parcijalne diferencijalne jednaČine (dunp.matematika)

DRZAVNI UNIVERZITET U NOVOM PAZARUdepartman za matematicke naukestudijski program:matematikacetvrta godina OAS

PARCIJALNE DIFERENCIJALNEJEDNACINE

( pismeni deo ispita, april 2015)

1. (a) Naci jednacinu povrsi cija proizvoljna tangentna ravan sece x-osu u tacki cija jeapscisa tri puta veca od apscise dodirne tacke. 10

(b) Naci ono resenje z(x, y) jednacine

∂z

∂y= x2 + 2y

koje zadovoljava uslov z(x, x2) = 1 15

2. Odrediti tip parcijalne diferencijalne jednacine drugog reda

(y + 1)3∂2z

∂x2+ 2x(y + 1)2

∂2z

∂x∂y+ 2x2(y + 1)

∂2z

∂y2− 2x2∂z

∂y= 0

i svesti je na kanonski oblik za x(y + 1) 6= 0

5+15=20

3. (a) Naci singularno resenje jednacine

2x4yp + pq = 8x3y2z − 4x3y2q (p =∂z

∂x, q =

∂z

∂y)

ili utvrditi da ono ne postoji 15

(b) Odrediti kompletno(potpuno) resenje parcijalne diferencijalne jednacine

2pq = z6xy (p =∂z

∂x, q =

∂z

∂y)

i proveriti dobijeni rezultatat. 5+10=15

4. Resiti Kosijev zadatak za jednacinu provodenja toplote :

2∂u

∂t(x, y, t) = ∆u(x, y, t)

u(x, y, 0) = cos xy

25