pdi unidad vi 2015 - fich - morfologia matematica
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Procesamiento Digital de Imgenes
Morfologa Matemtica
Departamento de Informtica - FICHUniversidad Nacional del Litoral
Morfologa Matematica p. 1
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Generalidades
Usos de la morfologa matemtica realce de imgenes anlisis de formas segmentacin de imgenes compresin de imgenes restauracin de imgenes anlisis de componentes deteccin de ejes espesamiento de curvas anlisis de texturas adelgazamiento general anlisis de partculas deteccin de caractersticas generacin de caractersticas reduccin de ruido obtencin de esqueletos filtrado espacio-tiempo
Morfologa Matematica p. 2
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Contenido
1. Conceptos preliminaresb Operaciones matmaticas, lgicas y relacionales con imgenesb Definiciones, propiedades y operaciones con conjuntosb Imgenes como conjuntos
2. Morfologa matemtica binariab Elemento estructuranteb Operaciones bsicas: dilatacin, erosin, apertura, cierre y Hit-or-Miss
3. Algoritmos y aplicacionesb Extraccin de contornosb Relleno de agujerosb Extraccin de componentes conectadasb Envoltura convexab Adelgazamientob
...
Morfologa Matematica p. 3
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Morfologa matemtica en imgenes
Elemento estructurante (EE)b Son pequeos conjuntos o sub-imgenesb Se utilizan para probar propiedades de la imagen que se estudiab Debe tener especificado un origenb Se deben definir las condiciones de borde
Morfologa Matematica p. 4
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Morfologa matemtica en imgenes
Elemento estructurante (EE)b Son pequeos conjuntos o sub-imgenesb Se utilizan para probar propiedades de la imagen que se estudiab Debe tener especificado un origenb Se deben definir las condiciones de borde
Columna jColumna j
Fila iFila i
Elementoestructurante
Imagen Imagen
Pixel desalida
Operacinmorfolgica
Morfologa Matematica p. 5
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Morfologa matemtica en imgenes
Erosin binariab Prueba: Est el EE completamente contenido en el conjunto?b Considerando A y B como conjuntos de Z2 , la erosin se define como:
AB = {z|(B)z A}
Morfologa Matematica p. 6
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Morfologa matemtica en imgenes
Erosin binariab Prueba: Est el EE completamente contenido en el conjunto?b Considerando A y B como conjuntos de Z2 , la erosin se define como:
AB = {z|(B)z A} o AB = {z|(B)z Ac = }
Morfologa Matematica p. 7
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Morfologa matemtica en imgenes
Erosin binariab Encoge y/o adelgaza objetos en una imagen binariab Puede considerarse una operacin de filtrado morfolgico
Morfologa Matematica p. 8
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Morfologa matemtica en imgenes
Dilatacin binariab El EE reflejado en su origen y la imagen coinciden en, al menos, un elemento?b Considerando A y B como conjuntos de Z2 , la dilatacin se define como:
AB = {z|(B)z A 6= }
Morfologa Matematica p. 9
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Morfologa matemtica en imgenes
Dilatacin binaria: ejemplo usando el EE reflejadob El EE reflejado en su origen y la imagen coinciden en, al menos, un elemento?
Morfologa Matematica p. 10
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Morfologa matemtica en imgenes
Dilatacin binariab Hace crecer y/o ensancha objetos en una imagen binariab La manera especfica y el grado de ensanchamiento est controlado por el EE
Morfologa Matematica p. 11
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Morfologa matemtica en imgenes
Aperturab Suaviza el contorno de un objeto, rompe los istmos estrechos y
elimina salientes delgadasb La apertura de un conjunto A y B se define como:
A B = (AB)B
Cierreb Suaviza el contorno de un objeto, elimina agujeros pequeos,
fusiona discontinuidades estrechas y golfos largos y finos,y rellena lagunas en el contorno
b El cierre de un conjunto A y B se define como:
A B = (AB)B
Morfologa Matematica p. 12
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Morfologa matemtica en imgenes
Apertura y Cierre
Morfologa Matematica p. 13
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Morfologa matemtica en imgenes
Propiedades
(A B)c = (Ac B) y (A B)c = (Ac B)
Aperturab Si C D, entonces (C B) (D B)b A B A
b A B = (A B) B
Cierreb Si C D, entonces (C B) (D B)b A A B
b A B = (A B) B
Morfologa Matematica p. 14
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Morfologa matemtica en imgenes
Apertura y Cierre
Morfologa Matematica p. 15
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Morfologa matemtica en imgenes
Transformacin de localizacin (Hit-or-Miss)
AB = (AD) [Ac (W D)]
AB = (AD) (A E) con E = (W D)
Morfologa Matematica p. 16
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Morfologa matemtica en imgenes
Algoritmos: extraccin de contornos (gradiente morfolgico)
E(A) = A (AB)
D(A) = (AB) A
DE(A) = (AB) (AB)
EE de 3x3.Morfologa Matematica p. 17
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Morfologa matemtica en imgenes
Algoritmos: extraccin de contornos (gradiente morfolgico)
E(A) = A (AB)
D(A) = (AB) A
DE(A) = (AB) (AB)
EE de 5x5.Morfologa Matematica p. 18
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Morfologa matemtica en imgenes
Algoritmos: relleno de agujeros semi-automtico (dilatacin condi-cionada)
Xk = (Xk1 B) Ac k = 1, 2, 3, . . .
Morfologa Matematica p. 19
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Morfologa matemtica en imgenes
Algoritmos: extraccin de componentes conectadas
Xk = (Xk1 B) A k = 1, 2, 3, . . .
Morfologa Matematica p. 20
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Morfologa matemtica en imgenes
Algoritmos: extraccin de componentes conectadas
Xk = (Xk1 B) A k = 1, 2, 3, . . .
Morfologa Matematica p. 21
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Morfologa matemtica en imgenes
Algoritmos: envoltura convexa (Convex Hull)El conjunto convexo C(A) que contiene a A se obtiene mediante
Xik = (Xk1 Bi) A i = 1, 2, 3, 4 y k = 1, 2, 3, . . .
b Xi0 = A
b Converge cuando Xik= Xi
k1
b C(A) =4
i=1Xi
k
B B
B B
1 2
43
Morfologa Matematica p. 22
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Morfologa matemtica en imgenes
Algoritmos: envoltura convexa (Convex Hull)El conjunto crece ms all de lo mnimo necesario para garantizar convexidad ( limitar)
Morfologa Matematica p. 23
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Morfologa matemtica en imgenes
Algoritmos: adelgazamiento (Thinning)AB = A (AB) = A (AB)c
b El adelgazamiento simtrico de A, se puede definir de forma ms tilbasada en una secuencia de EE:
{B} = {B1, B2, B3, . . . , Bn}, Bi es una versin rotada de Bi1
A {B} = ((. . . ((AB1)B2) . . . )Bn)
Morfologa Matematica p. 24
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Morfologa matemtica en imgenes
Algoritmos: adelgazamiento (Thinning)
Morfologa Matematica p. 25
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Morfologa matemtica en imgenes
Algoritmos: espesamiento (Thickening)AB = A (AB)
b Similar al adelgazamiento simtrico de A, el espesamiento se puede definirde forma ms til basada en una secuencia de EE (complementos de los previos):
A {B} = ((. . . ((AB1)B2) . . . )Bn)
Morfologa Matematica p. 26
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Morfologa matemtica en imgenes
Algoritmos: esqueletos (Skeletons)El esqueleto S(A) de un conjunto A, puede deducirse segn:
b Si z S(A), se define (D)z A al mayor disco posible centrado en z.b El disco mximo (D)z toca el borde de A en al menos 2 puntos.b Serra [1982] defini el esqueleto en trminos de erosin y apertura:
S(A) =
Kk=0
Sk(A) con Sk(A) = (A kB) (A kB) B
K = max{k | (A kB) 6= }
Morfologa Matematica p. 27
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Morfologa matemtica en imgenes
Algoritmos: esqueletos (Skeletons)
Morfologa Matematica p. 28
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Morfologa matemtica en imgenes
Algoritmos: reconstruccin morfolgicab Dilatacin geodsica (tamao 1):
D(1)G
(F ) = (F B) G, F G
b Dilatacin geodsica (tamao n):
D(n)G
(F ) = D(1)G
[D(n1)G
(F )], D(0)G
(F ) = F
Morfologa Matematica p. 29
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Morfologa matemtica en imgenes
Algoritmos: reconstruccin morfolgicab Erosin geodsica (tamao 1):
E(1)G
(F ) = (F B) G, F G
b Erosin geodsica (tamao n):
E(n)G
(F ) = E(1)G
[E(n1)G
(F )], E(0)G
(F ) = F
Morfologa Matematica p. 30
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Morfologa matemtica en imgenes
Algoritmos: reconstruccin morfolgicab Reconstruccin por dilatacin:
RDG(F ) = D(k)G
(F ), hasta que D(k)G
(F ) = D(k+1)G
(F )
b Reconstruccin por erosin:
REG(F ) = E(k)G
(F ), hasta que E(k)G
(F ) = E(k+1)G
(F )
Morfologa Matematica p. 31
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Morfologa matemtica en imgenes
Algoritmos: aplicaciones de reconstruccin morfolgicab Apertura por reconstruccin:
O(n)R
(F ) = RDF [(F nB)] , para n erosiones de F y B
Morfologa Matematica p. 32
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Morfologa matemtica en imgenes
Algoritmos: aplicaciones de reconstruccin morfolgicab Relleno de agujeros automtico:
F (x, y) =
{1 I(x, y) si (x, y) pertenecen al borde de I
0 para otros casos
La imagen, similar a I , con los agujeros rellenos se obtiene por:
H =[RDIc(F )
]c
Morfologa Matematica p. 33
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Morfologa matemtica en imgenes
Algoritmos: aplicaciones de reconstruccin morfolgicab Relleno de agujeros automtico:
Morfologa Matematica p. 34
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Morfologa matemtica en imgenes
Algoritmos: aplicaciones de reconstruccin morfolgicab Limpieza de objetos en el borde:
F (x, y) =
{I(x, y) si (x, y) pertenecen al borde de I
0 para otros casos
La imagen, similar a I , sin objetos que tocan el borde:
X = I RDI (F )
Morfologa Matematica p. 35
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Fin de teora
Bibliografab J. Serra (1982): Image Analysis and Mathematical Morphology, Academic Press, London.b R. Gonzales and R. Woods (2007): Digital Image Processing (3rd Edition), Prentice Hall.b E. R. Davies (2005) Machine Vision: Theory, Algorithms, Practicalities (3rd Edition), Elsevier.b F. Shih (2009) Image Processing and Mathematical Morphology: Fundamentals and
Applications, CRC Press.b W. Burger and M. J. Burge (2010) Digital Image Processing - An algorithmic Introduction Using
Java, Springer.b J. Goutsias, L. Vincent and D. S. Bloomberg (Editors). (2000) Mathematical Morphology and
Its Applications to Image and Signal, Springer.b Online course on mathematical morphology, by Jean Serra (in English, French, and Spanish).http://cmm.ensmp.fr/~serra/cours/index.htm
Morfologa Matematica p. 36
GeneralidadesContenidoMorfolog'ia matem'atica en im'agenesMorfolog'ia matem'atica en im'agenesMorfolog'ia matem'atica en im'agenesMorfolog'ia matem'atica en im'agenesMorfolog'ia matem'atica en im'agenesMorfolog'ia matem'atica en im'agenesMorfolog'ia matem'atica en im'agenesMorfolog'ia matem'atica en im'agenesMorfolog'ia matem'atica en im'agenesMorfolog'ia matem'atica en im'agenesMorfolog'ia matem'atica en im'agenesMorfolog'ia matem'atica en im'agenesMorfolog'ia matem'atica en im'agenesMorfolog'ia matem'atica en im'agenesMorfolog'ia matem'atica en im'agenesMorfolog'ia matem'atica en im'agenesMorfolog'ia matem'atica en im'agenesMorfolog'ia matem'atica en im'agenesMorfolog'ia matem'atica en im'agenesMorfolog'ia matem'atica en im'agenesMorfolog'ia matem'atica en im'agenesMorfolog'ia matem'atica en im'agenesMorfolog'ia matem'atica en im'agenesMorfolog'ia matem'atica en im'agenesMorfolog'ia matem'atica en im'agenesMorfolog'ia matem'atica en im'agenesMorfolog'ia matem'atica en im'agenesMorfolog'ia matem'atica en im'agenesMorfolog'ia matem'atica en im'agenesMorfolog'ia matem'atica en im'agenesMorfolog'ia matem'atica en im'agenesMorfolog'ia matem'atica en im'agenesFin de teora
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