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Pedro Paulo BalestrassiUNIFEI-Universidade Federal de Itajubá
IEPG
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ppbalestrassi@gmail.com
35-36291161
88776958
“Pensar estatisticamente será um dia, para a eficiente prática da cidadania, tão necessário como a habilidade de ler e escrever.”
H. G. Wells (Escritor Inglês, considerado o pai da moderna Ficção Científica, 1895)
Engenharia da
Qualidade I
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Engenharia da Qualidade I
2
Processo
Fatores Incontroláveis (ruído)
Fatores Controláveis
Entrada Saída
...
... x1 x2 xp
z1 z2 zq
y1 y2
ym
...Motivação das empresas para estudo e uso de Estatística:
Foco no Processo: Um dos principais requisitos da ISO 9001:2000
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X• Pressão de ar air strip• Pressão de ar air bag• Pressão de ar front piston• Pressão Hidráulica• Temperatura• Vazão de óleo Solúvel• Pressão do Nitrogênio
Y• Espessura da parede Top Wall• Espessura da Parede Mid Wall• Profundidade do Dome• Altura da Lata• Visualização
Processo Bodymaker de fabricação de latas
Z• Operador• Rede Elétrica• Qualidade da Bobina
Exemplo de Processo
Aplicação: Pense em um problema similar em sua área de atuação
É complexo inferir sobre X,Y e Z sem Estatística!
Y=f(X)+Z
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DO THE REAL
THING!
Faça anotações! Aplicando os conhecimentos na sua área é a única forma de sedimentá-los!
Cone of Learning
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Statgame e Statquiz(Interessante para verificar
o conhecimento básico)
Recursos de Software
O uso de recursos computacionais tornou os cálculos atividades fáceis permitindo uma maior ênfase na compreensão e interpretação dos resultados
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Pratique:
• Gere a planilha ao lado e entenda a diferença entre Worksheet e Project. Observe o que é Session.
• Calcule as principais Estatísticas Descritivas da planilha gerada.
Siga o caminho: <Stat> <Basic Statistics> <Graphical Summary>
Comandos Básicos
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Pratique:
• Navegue no Statguide
• Navegue pelo Tutorial do Minitab
• Cinco ícones importantes: Worksheet, Session, Show Graph Folders e Edit Last Dialog
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Pratique:
• Gere uma série de 100 valores aleatórios que poderia simular a variabilidade em Anéis de Pistão (considerando por exemplo Folga entre Pontas).
Use <Calc> <Random Data> <Normal Distribution> e inclua os parâmetros convenientes.
• Calcule as principais estatísticas descritivas da planilha usando Graphical Summary. Faça outros gráficos.
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Pratique:
• Entenda o procedimento <Calc> <Set Base>?
• Salve a planilha na Desktop com um nome qualquer.
• Feche o programa minitab e depois abra a planilha que você salvou.
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Obtenha domínio sobre o Minitab a partir do arquivo minitab.pdf.
Um bom Material de Apoio
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Engenharia da Qualidade IUm Exemplo de Controle Estatístico da Qualidade
A espessura de uma peça metálica é um importante parâmetro da qualidade para uma empresa. Uma grande quantidade de peças são produzidas diariamente e a cada lote produzido, 5 delas são medidas e colocadas em uma tabela, como ao lado.
Pergunta-se:a) O Processo está sob Controle?b) O Processo atende as
Especificações (LSL=0.060 e USL=0.066)
c) Qual a solução para o problema?
UseSet Base=9N(0.0625; 0.0025)Para gerar tal tabela
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Engenharia da Qualidade I
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Engenharia da Qualidade I
Problema PráticoProblema Prático
Problema EstatísticoProblema Estatístico
Solução EstatísticaSolução Estatística
Solução PráticaSolução Prática
© 1994 Dr. Mikel J. Harry V3.0
Baixo Rendimento
Média fora do alvo
Identificar variável Vital
Instalar um controlador
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Etapa Descrição FocoDefinir
A Identificar CTQs do ProjetoB Desenvolver Escopo de Atuação da EquipeC Definir Mapa do Processo
Medir1 Selecionar Característica do CTQ Y2 Definir Padrão de Desempenho Y3 Análise do Sistema de Medição e Coleta de Dados Y
Analisar4 Estabelecer a capabilidade do Processo Y5 Definir Objetivo do Desempenho Y6 Identificar Origens de Variação X
Melhorar7 Filtrar Causas Potenciais de Variação X8 Descobrir Relações entre as Variáveis e Propor Soluções X9 Estabelecer Tolerâncias Operacionais & Solução Piloto Y,X
Controlar10 Validar Sistema de Medição Y,X11 Determinar a Capabilidade do Processo Y,X12 Implementar Sistema de Controle do Processo X
Six Sigma - DMAIC
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Uma ótima bibliografia:
Montgomery, D.C., Runger, G.C., Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros, 2ª ed., LTC Livros Técnicos e Científicos, 2002, 461 p.
Não deixe de ler:
Fora de Série (Outliers) – Malcolm Gladwell – Editora Sextante – Uma boa análise sobre Causa e Efeito em inúmeras situações.
Uma Senhora Toma Chá – David Salsburg – Editora Zahar – Como a estatística revolucionou a ciência no século XX.
O Andar do Bêbado – Leonard Mlodinow– Editora Zahar – Como a aleatoriedade impacta nossas vidas.
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Estatística Descritiva
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A essência da ciência é a observação. Estatística: A ciência que se preocupa com a organização, descrição, análise e interpretação dos dados experimentais. Ramo da Matemática Aplicada. A palavra estatística provêm de Status.
Do que trata a Estatística
Estatística Básica (Anova, TH, Regressão)
Séries Temporais
Data Mining
Six Sigma
Redes Neurais
Controle de Qualidade
Estatística Bayseana
Simulação / PO
DOE /Taguchi /RSM
Análise do Sistema de Medição
Estatística Multivariada
Amostragem / Pesquisa
Confiabilidade
Caos
Em 1662, John Graunt publicou os primeiros informes estatísticos. Era sobre nascimento e mortes.
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A População (ou Distribuição) é a coleção de todas as observações potenciais sobre determinado fenômeno.
O conjunto de dados efetivamente observados, ou extraídos, constitui uma Amostra da população.
Um Censo é uma coleção de dados relativos a Todos os elementos de uma população.
Um Parâmetro está para a População assim como uma Estatística está para a Amostra.
População e Amostra
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Variável
Qualitativa
Quantitativa
Ordinal
Nominal
Discreta
Contínua
Ex.: Para uma população de peças produzidas em um determinado processo, poderíamos ter:
Variável Tipo
Estado: Perfeita ou defeituosa Qualitativa Nominal
Qualidade: 1a, 2a ou 3a categoria Qualitativa Ordinal
No de peças defeituosas Quantitativa Discreta
Diâmetro das peças Quantitativa Contínua
(Também Dados Categóricos ou de Atributos)
Tipos de Dados
(Variáveis)
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Aplicação: Gere sequências de valores aleatórios que represente problemas em sua área.
O que significa o procedimento <Calc> <Set Base>?
Amostragem: Gere a sequência 1 2 3 ...100.
<Calc> <Make Patterned Data>
Selecione uma amostra com 10 valores a partir das sequências geradas anteriormente.
Use <Calc> Random Data> <Sample from Column>
<Calc> <Random Data> Números Aleatórios
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Aplicação:
Gere uma sequência de dados que represente um processo em sua área e calcule as estatísticas desse conjunto de dados.
Use:
<Random> e
<Graphical Summary>
Ex.:Número de acessos à página do Site da Empresa durante os últimos 100 dias úteis.
<Graphical Summary>
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Medidas de Posição: Média
xx x x
n
x
nn
ii
n
1 2 1
n
ii
n
iii
n
nn
p
px
ppp
pxpxpxx
1
1
21
2211
Aritmética Simples
Aritmética Ponderada
+...+
+...+
+...+
Um pouco sobre arredondamento de médias: Tome uma decimal acima da dos dados: Ex.: 2,4 3,4 e 5,7 => média =3,73
Em várias operações, arredonde apenas o resultado final
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Chama-se Robert
Pesa 78 Kg
Manequim 48
85 cm de cintura
Consome anualmente 8,5 Kg massa, 11,8Kg de bananas, 1,8 Kg de batatas fritas, 8,15Kg de sorvete e 35,8 Kg de carne.
Vê TV por ano 2567 horas
Recebe anualmente 585 “coisas” por correio (cartas e outros)
Diariamente dorme 7,7 horas, gasta 21 minutos para chegar ao trabalho e trabalha 6,1 horas
Um Cidadão Americano “Médio”
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25
~xn o
1
2termo ~x
n n
2 21
2
o o
termo termo
35 36 37 38 40 40 41 43 46 40, , , , , , , , ~ x
12 14 14 15 16 16 17 2015 16
215 5, , , , , , , ~ ,
x
Ex.:
Se n é ímpar: Se n é par:
Medidas de Posição: Mediana
Mediana é o valor “do meio” de um conjunto de dados dispostos em ordem crescente ou decrescente.
Inconveniente: Não considera todos os valores da amostra!
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Média x Mediana
x 345 7,~x 300
Ex.: { 200, 250, 250, 300, 450, 460, 510 }
Ambas são boas medidas de Tendência Central.
Prefira a média
x
{ 200, 250, 250, 300, 450, 460, 2300 }
= 601~x 300
Devido ao Outlier 2300, a mediana é
melhor estatística que a média.
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Medidas de Dispersão
Rode e Entenda o programa Interativo da
PQ Systems
Discuta:
1) Porque os bancos adotam fila única?
2) “Por favor, com quantos dias de antecedência eu devo postar uma carta de aniversário para minha mãe?”
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A = { 3, 4, 5, 6, 7 }B = { 1, 3, 5, 7, 9 }C = { 5, 5, 5, 5 }D = { 3, 5, 5, 7 }E = { 3.5, 5, 6.5 }
Uma medida de Posição não é suficiente para descrever um conjunto de dados. Os Conjuntos ao lado mostram isso! Eles possuem mesma média, sendo diferentes.
Algumas medidas de Variabilidade:
Amplitude (H): Tem o inconveniente de levar em conta apenas os dois valores extremos:
HÁ =7-3=4
Variabilidade
Amplitude=Range
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Considerando os desvios em relação à média, temos, para A, por exemplo:
A = { 3, 4, 5, 6, 7 } xxi - {-2, -1, 0, 1, 2}
Medidas de Dispersão
0)(1 11
xnxnxxxxn
i
n
ii
n
iiInconveniente:
Uma opção para analisar os desvios das observações é:considerar o total dos quadrados dos desvios.
x xii
2
1
5
4 1 0 1 4 10
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Desvio Padrão
.
x x
n
ii
n
2
1
Associando ao número de elementos da amostra (n), tem-se:
...que é a Variância ( Var(x))S2 =
S S 2 ...que é o Desvio Padrão (DP(x)), uma medida que é expressa na mesma unidade dos dados originais
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Dispersão: Fórmulas Alternativas
21
2
1
2
2 xn
x
n
xxn
ii
n
ii
S
x x
n
ii
n
2
2
1
1
Variância Amostral n-1 está
Relacionado a um problema de tendenciosidade
Variância Populacional (2 ou n
2 )
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Média = 3 Média = 3
Soma daúltima coluna= 10
Soma daúltima coluna= 10
Divide a Soma por (n-1):= Variância = S2
= 2,5
Divide a Soma por (n-1):= Variância = S2
= 2,5
X
=Soma dos pontos de dados
Número dos pontos de dados
X
54312
X210-2-1
X X
41041
X X2
Raiz Qadrada da Variância = Desv.Pa. = S= 1,58
Raiz Qadrada da Variância = Desv.Pa. = S= 1,58
S S 2
Calcular a Variância e o Desvio Padrão de X
S2
Exemplo
Uma Regra Prática para
conjunto de dados típicos:
S=Amplitude/4
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N
N=
N
1i
ixμ
N
)(=
N
1
2
2 i=
i μ x
n
xx
s
n
ii
1
2
2
n
n
x
x
n
ii
1
11
2
2
n
xx
s
n
ii
Estimador Tendencioso de σ
Estimador Não-Tendencioso σ
n-1
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34
n
xx
s
n
ii
1
2
2 )1( 2
n
n
1.
)1(1
2
1
2
2
n
xx
n
xx
n
ns
n
ii
n
ii
1
23
4
Simulação (n-1)
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35
25%
50%
75%109
104
99
94
DBP
* Outlier ( fora da distância do Q3 + 1,5D )
Q3=75ª Percentil
Observação Máxima
Q1=25ª Percentil
Q2=Mediana (50ª Percentil)
D=Q3-Q1
Interquartil
EDA (Exploratory Data Analysis) e Método dos
Cinco Números
Outra Estratégia: Percentis e Boxplot
Boxplot é desgastante quando feito sem computador pois supõe a ordenação de dados.
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Valor do meio
Quartis:
Q1=Quarta Observação Crescente=71.7
Q3=Quarta Observação Decrescente=150.6
Outliers: Q3+1.5D=150.6+1.5(150.6-71.7)=268.95
São outliers valores maiores que 268.95
Percentis e Boxplot
2.(n+1)/4 0
3.(n+1)/4 0
(n+1)/4 0
Para valores não inteiros dos quartis,
usa-se interpolação
graficos.mtw
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Escores padronizados (z)
zx x
sii x
Grupo
Peso médio
Desvio Padrão
A 66.5 kg 6.38 kg
B 72.9 kg 7.75 kg
Ex.: Dois grupos de pessoas acusam os seguintes dados:
e 3,238,6
5,662,81 : em
AzA 95,1
75,7
9,7288 : em
BzB
xi - considera o afastamento de xi em relação à média.
A divisão por s torna s como unidade ou padrão de medida.
Nesses grupos há duas pessoas que pesam respectivamente, 81.2 kg e 88.0 kg.
Logo, a pessoa de A revela um maior excesso relativo de peso.
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j (z)
z
xm-3 s m-2 s m- s m m+ s m+2 s m+3s
-3 -2 -1 0 1 2 3
Distribuião Normal Reduzida ou Padronizada
x
z);(: NX
Z: N(0; 1)
Tal fórmula está tabelada e fornece valores acumulados
Qual o formato da curva acumulada?
Distribuição Normal
N(0,1) é a distribuição Benchmark
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Escores padronizados (z)
zx x
sii
Uma mulher deu à luz um filho 308 dias após a visita de seu marido que serve na marinha dos EUA. Sabendo-se que uma gravidez normal tem média de 268 dias e desvio-padrão de 15 dias, determine se o tempo de gravidez da mulher pode ser considerado comum.
O marido tem razão de se preocupar?
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40
Escores padronizados (z)
zx x
sii
Regra 68 -- 95 -- 99 Cerca de 68% dos valores estão a menos de 1 desvio padrão a
contar da média (-1 < z < 1)
Cerca de 95% dos valores estão a menos de 2 desvios padrão a contar da média (-2 < z < 2)
Cerca de 99% dos valores estão a menos de 3 desvios padrão a contar da média (-3 < z < 3)
Regra 68 -- 95 -- 99
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41
Assimetria (Skewness)
Próximo de 0: Simétrico
Menor que 0: Assimétrico à Esquerda
Maior que 0: Assimétrico à Direita
Achatamento (Kurtosis)
Próximo de 0: Pico Normal
Menor que 0: Mais achatada que o Normal (Uniforme)
Maior que 0: Menos achatada que o normal (Afinada)
Skewness and Kurtosis
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Assimetria, Percentis e Boxplot
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43
Exercício
Encontre todas as estatísticas descritivas para a série da tabela a seguir.
10 23 34 40 58 74
13 24 35 41 58 80
15 25 37 48 63 82
15 25 38 53 64 88
20 30 39 58 70 250
21 32 39 58 70 254
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Ex.: População = X=Diâmetro de determinada peça (em mm). Dados brutos: { 168, 164, 164, 163, 165, 168, 165, 164, 168, 168 }Rol: { 163, 164, 164, 164, 165, 165, 168, 168, 168, 168 }Amplitude (H) = 168 - 163 = 5
Xni
(Frequência Absoluta)
fi(Frequência
Relativa)
Ni(Frequência
Absoluta Acumulada)
FiFrequência
Relativa Acumulada)
163 1 0.1 1 0.1
164 3 0.3 4 0.4
165 2 0.2 6 0.6
168 4 0.4 10 1.0
S 10 1
Distribuição de Freqüências
n ni
K
1
fn
nii
f ii
K
1
1
FN
nii
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45
x(Variável)
xi
(ponto médio)
ni
(frequência absoluta)
fi
(frequência relativa)
f%(frequência percentual)
Ni
(AbsolutaAcum.)
Fi
(RelativaAcum.)
F%(Percentual
Acum.)
10 ├ ─ 20 15 2 0.04 4 2 0.04 4
20 ├ ─ 30 25 12 0.24 24 14 0.28 28
30 ├ ─ 40 35 18 0.36 36 32 0.64 64
40 ├ ─ 50 45 13 0.26 26 45 0.9 90
50 ├ ─ 60 55 5 0.1 10 50 1.0 100
S 50 1 100
Classes (ou Categorias)
DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS
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46
x(Variável)
xi
(ponto médio)
ni
(frequência absoluta)
(Xi).(ni)
10 ├ ─ 20
15 2 30
20 ├ ─ 30
25 12 300
30 ├ ─ 40
35 18 630
40 ├ ─ 50 45 13 585
50 ├ ─ 60
55 5 275
S 50 1820
Classes (ou Categorias)
EXEMPLO – MÉDIA P/DADOS AGRUPADOS
4,3650
1820
.
1
1
X
n
nxXMédia n
ii
n
iii
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47
10
8
6
4
2
10 20 30 40 60 x
ni
Construção da tabela de distribuição de freqüências a partir do histograma de classes desiguais. Exercício: Complete a tabela.
X ni fi
10 |-- 20
20 |-- 30
30 |-- 40
40 |-- 60
1
Histogramas
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48
3 7
Processo A
Processo B
Tempo Total (A+B)
?
= 3s = 1
X = 7s = 2
X
3 2 1
2.23 5 (2) (1) S S S222
B
2
ABA
Correto; Some as
variâncias e depois
obtenha o Desvio Padrão
Incorreto;
Soma de Normais
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49
-10 -5 0 5 10 15
Linha A
Linha B
Diferença:Linha A – Linha B
?
= 3 s = 1X = 7
s = 2X
4 - 7 - 3 X -X X BABA
1 2 1
2.23 5 (2) (1) S S S222
B
2
ABA
= ¹
==+=+=– Correto
Incorreto
Diferença de Normais
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Engenharia da Qualidade I
50
Representação Gráfica:Ramo-e-folhas
x
Ramos x x Folhas
x x x x x
x x x
81 113 108 74 79 78 90 93 105 109 93
106 103 100 100 100 101 101 101 95 90 94
90 91 92 93 87 89 78 89 85 94 86
11 3
10 8 5 9 6 3 0 0 0 1 1 1
9 0 3 3 5 0 4 0 1 2 3 4
8 1 7 9 9 5 6
7 4 9 8 8
11 3
10+ 8 5 9 6
10- 3 0 0 0 1 1 1
9- 0 3 3 5 0 4 0 1 2 3 4
8 1 7 9 9 5 6
7 4 9 8 8
Ex.:
graficos.mtw
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51
Stem-and-Leaf Display: folha_ramo
Stem-and-leaf of Ramo N = 33Leaf Unit = 1.0
1 7 4 4 7 889 5 8 1 10 8 56799 (10) 9 0001233344 13 9 5 12 10 0001113 5 10 5689 1 11 3
Obtendo o seguinte Folha
e Ramo.
Compare os resultados
fazendo um Histograma.
O que representa tal
coluna?
Coluna folha_ramo
Ramo-e-folhas
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52
Exercício no Minitab: Faça o gráfico abaixo a partir dos dados seguintes.
Plot
graficos.mtw
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53
Faça o gráfico bidimensional a partir dos dados a seguir
<Marginal Plot>
graficos.mtw
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54
Os dados representam uma série temporal
Tal gráfico é útil para ver a estabilidade de um processo.
Control Chart é Melhor!
<Stat> <Quality Tools>
<Run Chart>
• Column=Tempo na fila
• Subgroup Size=1
Runchart
runchart.mtw
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55
• Identifica Diversos tipos de variação
• A análise de efeitos é similar em DOE
• Permite identificar interações
• Não é o mesmo que Estatística Multivariada
15 18 21
17,5
18,5
19,5
20,5
21,5
22,5
23,5
TipoMetal
Forç
a
0,5
1,0
2,0
Multi-Vari Chart for Força by TempoSinter - TipoMetal
TempoSinter
Use os
Dados a seguir
<Stat>
<Quality Tools>
<Multi-Vari>:
Response: Força (y)
Factor1: TempoSinter (x1)
Factor2: TipoMetal (x2)
Multi-Vari
Sinter.mtw
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56
Multi-Vari – Monte a Tabela
x1 x2 y x1 x2 y x1 x2 y0,5 15 23 1 15 22 2 15 180,5 15 20 1 15 20 2 15 180,5 15 21 1 15 19 2 15 160,5 18 22 1 18 24 2 18 210,5 18 19 1 18 25 2 18 230,5 18 20 1 18 22 2 18 200,5 21 19 1 21 20 2 21 200,5 21 18 1 21 19 2 21 220,5 21 21 1 21 22 2 21 24
Nível 0,5 Nível 1,0 Nível 2,0
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57
Distribuição Normal de
Probabiliade
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58
0xf
1
xf
b
aabdxxfbXaP )( )(
Algumas Distribuições Contínuas:
Normal Uniforme Chi-square Fisher(F) Student(t)
Beta Cauchy Exponential Gamma Laplace Logistic Lognormal Weibull
f(x) => fdp
Função densidade de probabilidade
Área da curva é unitária
Probabilidade está associada a área
Distribuições Contínuas de Probabilidade
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59
a ) f x d x( )
1
b ) f ( x ) 0
c ) l i m ( ) l i m ( )x x
f x f x
0 0 e
d ) f ( + x ) = f ( - x )
e ) M á x f ( x ) o c o r r e e m x =
f ) O s p o n t o s d e i n f l e x ã o s ã o x =
g ) E ( X ) =
h ) V a r ( X ) = 2
f(x)
x +
a ) f x d x( )
1
b ) f ( x ) 0
c ) l i m ( ) l i m ( )x x
f x f x
0 0 e
d ) f ( + x ) = f ( - x )
e ) M á x f ( x ) o c o r r e e m x =
f ) O s p o n t o s d e i n f l e x ã o s ã o x =
g ) E ( X ) =
h ) V a r ( X ) = 2
2
21
2
1)(
x
exf
Distribuição Normal
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60
Distribuição Normal
Pouca Utilidade Prática
Retorna a probabilidade Acumulada
Retorna a Variável quando é dada a probabilidade
acumulada
Exemplo
X:N(100,5)P(X<=95)=0,1587
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61
mm
1s1s
TT LSELSE
p(d)
3sUsed With Permission
Ó 6 Sigma Academy Inc. 1995
Distribuição Normal
);(: NX
Se a dimensão de uma peça segue uma distribuição Normal X: N(80,3) qual a Probabiliade de ter uma peça defeituosa de
acordo com a figura?
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62
Exercício 1:Em uma população onde as medidas tem Média 100 e Desvio Padrão 5, determine a probabilidade de se ter uma medida:
a) Entre 100 e 115
b) Entre 100 e 90
c) Superior a 110
d) Inferior a 95
e) Inferior a 105
f) Superior a 97
g) Entre 105 e 112
h) Entre 89 e 93
i) 98
Dica:
Crie uma coluna com os valores 100 115...98 no Minitab
Crie uma coluna com
os valores 0,74...0,05 no
Minitab
Exercício 2:Em uma população onde as medidas tem Média 100 e Desvio Padrão 5, determine os valores k tais que se tenha a probabilidade:
a) P(X>k)=0,26
b) P(X<k)=0,32
c) P(100-k<100<100+k)=0,47
d) P(x<100-k)+P(x>100+k)=5%
Distribuição Normal
Use: <Calc><Probability Distribution><Normal>
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63
Probabilidades e Escores padronizados (z)
ii
xz
Exemplo
Um cliente tem um portfólio de investimentos cuja média é US$ 500.000 com desvio padrão de US$ 15.000. Determine a probabilidade de que o valor de seu portfólio esteja entre US$ 485.000 e US$ 530.000.
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Probabilidades e Escores padronizados (z)
Exemplo
Se X tem distribuição normal N(15, 4), encontre a probabilidade de X ser maior que 18.
Exemplo
Uma companhia produz lâmpadas cuja vida segue uma distribuição normal com média 1.200 horas e desvio padrão de 250 horas. Escolhendo-se aleatoriamente uma lâmpada, qual é a probabilidade de sua durabilidade estar entre 900 e 1.300 horas?
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65
Probabilidades e Escores padronizados (z)
Exemplo
Um grupo de estudantes obtém notas que são normalmente distribuídas com média 60 e desvio padrão 15. Que proporção dos estudantes obtiveram notas entre 85 e 95?
Exemplo
No caso da prova do exercício anterior, determine a nota acima da qual estão 10% dos melhores alunos da classe.
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66
Probabilidades e Escores padronizados (z)
Exercício
É sabido que a quantidade anual de dinheiro gasto em livros por alunos de uma universidade, segue uma distribuição normal com média $380 e desvio padrão de $50.
Qual é a probabilidade de que um aluno escolhido aleatoriamente no campus gaste mais do que $ 360 por ano?
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67
Probabilidades e Produção
Exercício
A demanda antecipada de consumo de um certo produto é representada por uma distribuição normal com média 1.200 unidades e desvio padrão de 100.
a) Qual é a probabilidade de que as vendas excedam 1.000 unidades?
b) Qual é a probabilidade de que as vendas estejam entre 1.100 e 1300 unidades?
c) A probabilidade de se vender mais do que k unidades é de 10%. Determine k.
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68
Probabilidades e Investimentos
Exercício
Um portfólio de investimentos contém ações de um grande número de empresas. Ao longo do último ano as taxas de retorno das ações dessas corporações seguiram distribuição normal com média de 12,2% e desvio padrão de 7,2%.
a) Para que proporção de empresas o retorno foi maior que 20%?
b) Para que proporção de empresas o retorno foi negativo?
c) Que proporção de empresas tiveram retornos entre 5% e 15%?
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69
Probabilidades e Finanças
Exercício
Um portifólio de investimentos contém ações de um grande número de empresas. Ao longo do último ano as taxas de retorno das ações dessas corporações seguiram distribuição normal com média de 12,2% e desvio padrão de 7,2%.
a) Para que proporção de empresas o retorno foi maior que 20%?
b) Para que proporção de empresas o retorno foi negativo?
c) Que proporção de empresas tiveram retornos entre 5% e 15%?
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Engenharia da Qualidade I Testes de Hipóteses
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71
Exemplos:
• Duas linhas de produção supostamente idênticas estão apresentando resultados diferentes. Como confirmar isso?
• A variabilidade de um processo é maior que outro. Temos certeza?
• Os dados estão normalmente distribuídos?
• Como saber estatisticamente se dois funcionários tem o mesmo desempenho?
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72
Um produto original é identificado pelo seu peso (em libras) e reconhecidamente segue uma distribuição normal N(50; 0.8).
Do mesmo modo, produtos falsificados tem pesos significativamente maiores que 50 lb, seguindo distribuição também normal N(52, 0.8).
Uma amostra aleatória revelou um peso médio de 51,3 lb.
Baseado nesta amostra a que conclusões se pode chegar?
Decisão Estatística
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73
• Qual é a probabilidade de que (em função da amostra) um produto original seja classificado como Falso?
• Qual a probabilidade de que o produto original seja corretamente identificado?
• Qual a probabilidade de que um produto falsificado seja classificado como original?
• Qual é a probabilidade de se detectar produtos falsificados neste caso?
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74
54535251504948
100
80
60
40
20
0
50 52
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Engenharia da Qualidade I
75
54535251504948
100
80
60
40
20
0
51,350 52
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7654535251504948
100
80
60
40
20
0
51,350 52
5%Erro Tipo 1 (Alfa)
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77
54535251504948
100
80
60
40
20
0
51,350 52
5%19%
Erro Tipo 1 (Alfa)
Erro Tipo 2 (Beta)
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78
54535251504948
100
80
60
40
20
0
51,350 52
5%19%
Erro Tipo 1 (Alfa)
Erro Tipo 2 (Beta)
CONFIANÇA (1-Alfa)
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79
54535251504948
100
80
60
40
20
0
51,350 52
5%19%
Erro Tipo 1 (Alfa)
Erro Tipo 2 (Beta)
POWER(1-Beta)CONFIANÇA
(1-Alfa)
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80
• Na afirmação: “Uma pessoa é considerada inocente até que se prove o contrário pois é um erro maior condenar um inocente do que libertar um culpado.”, defina:
• Erros Tipo I e Tipo II
• Hipóteses Nula e Alternativa
H0: o réu é inocente (hipótese fundamental)
H1: o réu é culpado (hipótese alternativa)
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81
Os erros de julgamento poderiam ser : condenar um réu inocente ou, então, absolver um réu culpado.
REALIDADE
H0 verdadeira H0 falsa
aceitarH0
decisão correta1 -
erro tipo II
DECISÃO
rejeitarH0
erro tipo I
decisão correta1 -
Hipóteses e Erros
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82
• ERRO DO TIPO I
Rejeitar Ho sendo Ho verdadeira
P(Erro I) = P(rejeitar Ho|Ho é verdadeira) =
• ERRO DO TIPO II
Não rejeitar Ho sendo Ho falsa
P(Erro II) = P(não rejeitar Ho|Ho é falsa) =
Tipos de Erros
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83
No Minitab: Análise do P-value !
1) Definir as hipóteses;
2) Escolher a estatística de teste adequada;
3) Escolher e estabelecer a Região Crítica (RC);
4) Com base em uma amostra de tamanho n, extraída da população, calcular ;
5) Rejeitar Ho caso RC. Não rejeitar Ho em caso contrário.
Construção de T.H.
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84
Testes de Hipóteses Estatísticas
Os testes de hipóteses em Estatística podem ser empregados para avaliar ou comparar:
• médias;• variâncias (ou desvios-padrão);• proporções;• distribuições de probabilidade e correlação.
Estas análises podem se do tipo “igual”, “menor que” ou, ainda, “maior que”.
Testes Paramétricos
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85
• Para avaliar médias, empregam-se dois diferentes tipos de testes: z ou t.
• o teste z é empregado somente se o desvio-padrão da população (s) é conhecido (caso pouco provável);
• o teste t é utilizado nas demais circunstâncias e, por isso, este é que será visto no curso.
TH p/ Média
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86
Ex.
The production manager of a company has asked you to evaluate a proposed new procedure for producing its double-hung windows. The present process has a mean production of 80 units per hour with a population standard deviation of 8 units. The manager indicates that she does not want to change to a new procedure unless there is strong evidence that the mean production level is higher with the new process.
A random sample of 25 units revealed the sample mean was 83. Based on this sample, is there strong evidence to support the conclusion that the new process resulted in higher productivity?
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87
n
XZ
0
80:
80:
1
0
H
H
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88
•P-Value é a área ou probabilidade que fica acima (ou abaixo) do valor obtido experimentalmente.
Quanto menor o P-Value, menor será a chance de se cometer um erro do tipo 1!
P-Value = P(1-Ø)
P-Value
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89
Alfa
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90
N(,) x
N(,) x
N(,) x
Teste Unilateral Esquerdo
Teste Unilateral Direito
Teste Bilateral
/2
A1A2
A1
A2
A2A1
P-Value = A1Aceita-se Ho
P-Value = A2Rejeita-se Ho
P-Value = A1Aceita-se Ho
P-Value = A2Rejeita-se Ho
P-Value = A1+A2
Unilateral e Bilateral
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Engenharia da Qualidade I
91
Exemplo
A manufacturing process involves drilling holes whose diameters are normally distributed with population mean of 2 inches and population standard deviation 0.06 inches. A random sample of 9 measurements had a sample mean of 1.95 inches. Use a significance level of 5% to determine if the observed sample mean is unusual and suggests that the drilling machine should be adjusted.
n
XZ
0
2:
2:
1
0
H
H
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92
Question :
A company which receives shipments of batteries tests a random sample of nine of them before agreeing to take a shipment. The company is concerned that the true mean lifetime for all batteries in the shipment should be at least 50 hours. From past experience, it is safe to conclude that the population distribution of lifetimes is normal, with standard deviation of 3 hours. For one particular shipment, the mean lifetime for a sample of nine batteries was 48.2 hours. Test at 5% level the null hypothesis that the population
mean lifetime is at least 50 hours.
EXERCÍCIOS
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93
Question :
An engineering research center claims that through the use of a new computer control system, automobiles should achieve on average an additional 3 miles per gallon of gas. A random sample of 100 automobiles was used to evaluate this product. The sample mean increase in miles per gallon achieved was 2.4 and the sample standard deviation was 1.8 miles per gallon.
EXERCÍCIOS
Test the hypothesis that the population mean is at least 3 miles per gallon using 5% significance level. Find the P-value of this test, and interpret your findings.
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Engenharia da Qualidade I
94
Question :
A beer distributor claims that a new display, featuring a life-size picture of a well-known rock singer, will increase product sales in supermarkets by an average of 50 cases in a week. For a random sample of 20 liquor weekly sales, the average sales increase was 41.3 cases and the sample standard deviation was 12.2 cases. Test at the 5% level the hypothesis that the population mean sales increase is at least 50 cases.
EXERCÍCIOS
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95
Question :In contract negotiations, a company claims that a
new incentive scheme has resulted in average weekly earning of at least $400 for all customer service workers. A union representative takes a random sample of 15 workers and finds that their weekly earnings have an average of $381.25 and a standard deviation of $48.60. Assume a normal distribution.
a) Test the company’s claim;b) If the same sample results had been obtained
from a random sample of 50 employees, could the company’s claim be rejected at a lower significance level than in part (a)?
EXERCÍCIOS
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Engenharia da Qualidade I
96
Question :
A bearing used in an automotive application is supposed to have a nominal inside diameter of 1.5 inches. A random sample of 25 bearings is selected and the average inside diameter of these bearing is 1.4975 inches. Bearing diameter is known to be normally distributed with standard deviation 0.01 inch. Test the null hypothesis using a two-sided approach and considering.
EXERCÍCIOS
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Engenharia da Qualidade I
97
Question :A process that produces bottles of
shampoo, when operating correctly, produces bottles whose contents weigh, on average, 20 ounces. A random sample of nine bottles from a single production run yielded the following content weights (in ounces):
EXERCÍCIOS
21,4 19,7 19,7 20,6 20,8 20,1 19,7 20,3 20,9.
Assuming that the population distribution is normal, test at the 5% level against a two-sided alternative the null hypothesis that the process is operating correctly.
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Engenharia da Qualidade I
98
A Resistência ao Estufamento das latas para a inspeção final deve ser maior que 90 psi. Tal resistência obedece a uma distribuição normal com desvio padrão de 1 psi . As medidas da Resistência para uma determinada linha/turno estão dadas na planilha Resistência.MTW
Teste a Hipótese de que as medidas da Resistência ao Estufamento estão dentro do limite de especificação. (Prove que as medidas são maiores que 90)
Gere: N(91; 0.83)
Exemplo 1Z
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Engenharia da Qualidade I
99
•TH - Proporções
01
00
:H
:H
01
00
:H
:H
01
00
:H
:H
Onde: p é a proporção populacional e p0 é uma constante
T.U.E BilateralT.U.D
T.U.E T.U.D Bilateral
211
210
:H
:H
211
210
:H
:H
211
210
:H
:H
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Engenharia da Qualidade I
100
Em uma indústria de autopeças, historicamente 3,5% das peças produzidas contém algum tipo não-conformidade. Uma equipe está trabalhando na redução desta incidência de defeitos e, no último mês, foram produzidas 1500 peças e somente 45 estavam fora da especificação.
A equipe obteve melhoria no desempenho ?
035,0:
035,0:
1
0
H
H
Exemplo – 1 Proportion
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101
<Stat > <Basic Statistics > <1 Proportion>
Selecione Summarized data
“Number of trials”: 1500
“Number of successes”: 45
Options
“test proportion”: < 0,035 >
“alternative”: < less than >
%0,31500
45p
p0
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Engenharia da Qualidade I
102
Uma equipe deseja aumentar a porcentagem (ou proporção) de pedidos aceitos pelos clientes.
A equipe acredita ter identificado uma das causas de perdas de pedidos que é o prazo elevado para envio da cotação ao cliente. Conseguiram reduzir este tempo e os resultados das últimas 10 semanas estão fornecidos no arquivo pedidos.mtw.
Qual é a conclusão ?
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103
<Stat > <Basic Statistics > <2 Proportions>
Selecione Samples in different columns
First= antes
Second= depois
Options
“test difference”: < 0 >
“alternative”: < less than >
Obs: no arquivo, “s” indica pedido aceito, e “n”, pedido recusado
2 Proportions
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104
Test and CI for Two Proportions: antes; depois
Success = s
Variable X N Sample pantes 11 43 0,255814depois 14 30 0,466667
Estimate for p(antes) - p(depois): -0,21085395% upper bound for p(antes) - p(depois): -0,0253151Test for p(antes) - p(depois) = 0 (vs < 0): Z = -1,87
P-Value = 0,031
Rejeita-se H0
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105
<Stat><Basic Statistics> <1 Sample Z>
Selecione Resistencia
Sigma=1 (isso geralmente não é fornecido)
Test mean= 90
<Options>
Alternative= Greater than
<Graphs...>
Individual plot
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106
One-Sample Z: Resistencia
Test of mu = 90 vs mu > 90
The assumed sigma = 1
Variable N Mean StDev SE MeanResistencia 15 91,111 0,834 0,258
Variable 95,0% Lower Bound Z PResistencia 90,686 4,30 0,000
H0 H1
Rejeita-se H0Região Crítica
Valor dentro da Região Crítica
Uma boa regra:
Se P-Value < , rejeita-se Ho
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107
A especificação da Largura da Flange das latas para a inspeção final é definida como 0.082’’+/- 0.010’’ e obedece a uma distribuição normal. As medidas da Largura da Flange para uma determinada linha/turno estão dadas na planilha.
Teste a Hipótese de que as medidas da Largura da Flange estão dentro do limite de especificação. (Prove que os valores são em média maiores que 0,072” e menores que 0,092”)
Gere: N(0.0835; 0.00345)
Teste de média t para 1 amostra
Exemplo 1t
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108
<Stat><Basic Statistics> <1 Sample t>
Selecione Largura Flange
Test mean= 0,092
<Options>
Alternative= Less than
<Graphs...>
Histogram of data
<Stat><Basic Statistics> <1 Sample t>
Selecione Largura Flange
Test mean= 0,072
<Options>
Alternative= Greater than
<Graphs...>
Histogram of data
Teste 1 (Para provar que os valores são menores que 0,092)
Teste 2 (Para provar que os valores são maiores que 0,072)
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109
01
00
:H
:H
01
00
:H
:H
01
00
:H
:H
Teste de Hipótese para Médias – Uma amostra
T.U.E BilateralT.U.D
n
XZ
/0
0
nS
XT
/0Teste Z: Teste T:
1Z e 1t
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110
211
210
:
:
H
H
211
210
:
:
H
H
211
210
:
:
H
H
Teste de Hipótese para Médias – Duas amostras
T.U.E BilateralT.U.D
2
22
1
21
2121
0
nn
XXZ
Variâncias Conhecidas
21
2121
111nnS
XXT
p
Variâncias Desconhecidas
2Z e 2t
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111
Estimador Combinado
11
11
21
222
2112
nn
SnSnS p
: :
: :
21
22
21
nn
SS Variância Amostral Grupo 1 Variância Amostral Grupo 2
Tamanho do Grupo 1 Tamanho do Grupo 2
2t – Cálculo da Variância
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112
22
12
1
22
12
0
:
:
H
H
TH p/ Variâncias
T.U.E BilateralT.U.D
22
21
0 S
SF Estatística de Teste:
22
12
1
22
12
0
:
:
H
H
22
12
1
22
12
0
:
:
H
H
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113
Exemplo
Dois tipos de Bico de Aplicação de verniz (Tipo I e Tipo II) foram avaliados. Deseja-se investigar o efeito desses dois Bicos com relação ao Peso do Verniz (em mg) medido após o processo. Tais medidas são dadas na planilha ao lado.
As variâncias são iguais? (Teste a Hipótese nula de que os dois bicos produzem um peso de Verniz com mesma variância.) Peso_Verniz.MTW
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114
Obs.: Teste o Procedimento Stack Columns
Para usar Samples in one column
<Stat><Basic Statistics> <2 Variances>
Selecione Samples in different columns
First= Verniz_tipo1
Second= Verniz_tipo2
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115
95% Bonferroni Confidence Intervals for StDevs
Verniz_tipo2
Verniz_tipo1
1,21,00,80,60,40,2
Data
Verniz_tipo2
Verniz_tipo1
112,5112,0111,5111,0110,5110,0
F-Test
0,236
Test Statistic 2,74P-Value 0,150
Levene's Test
Test Statistic 1,51P-Value
Test for Equal Variances for Verniz_ tipo1; Verniz_ tipo2
Prefira sempre, pois independe da distribuição dos dados.
As variâncias são iguais!
Levene’s Test
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116
Bonferroni confidence intervals for standard deviations
Lower Sigma Upper N Factor Levels
0.358564 0.548160 1.10380 10 Verniz_tipo1
0.216713 0.331303 0.66713 10 Verniz_tipo2
F-Test (normal distribution)
Test Statistic: 2.738
P-Value : 0.150
Levene's Test (any continuous distribution)
Test Statistic: 1.505
P-Value : 0.236 (variâncias iguais)
Após empilhamento dos dados faça: <Anova> <test for equal variances>
Esse método é melhor, pois pode testar mais que dois conjuntos de dados.
Test for Equal Variances
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117
Exemplo: Em relação ao problema anterior, teste se as médias são diferentes. (Peso_Verniz.MTW)
<Stat><Basic Statistics> <2 Sample t>
Selecione Samples in different columns
First= Verniz_tipo1
Second= Verniz_tipo2
Selecione: Assume equal variances
<Options>
Test mean= 0
Alternative= not equal
<Graphs>
Selecione Boxplots of data
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118
Two-Sample T-Test and CI: Verniz_tipo1, Verniz_tipo2
Two-sample T for Verniz_tipo1 vs Verniz_tipo2
N Mean StDev SE Mean
Verniz_t 10 110.792 0.548 0.17
Verniz_t 10 112.205 0.331 0.10
Difference = mu Verniz_tipo1 - mu Verniz_tipo2
Estimate for difference: -1.413
95% CI for difference: (-1.838, -0.987)
T-Test of difference = 0 (vs not =): T-Value = -6.97
P-Value = 0.000 DF = 18 Both use Pooled StDev = 0.453
Médias diferentes
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119
Data
Verniz_tipo2Verniz_tipo1
112,5
112,0
111,5
111,0
110,5
110,0
Boxplot of Verniz_ tipo1; Verniz_ tipo2
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120
Observações Emparelhadas
0:
0:
2101
2100
H
H
0:
0:
2101
2100
H
H
0:
0:
2101
2100
H
H
nS
DT
D /0
0
Diferença Amostral Média
Desvio Padrão das diferenças entre 1 e 2
Paired t
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121
• Consiste em dois testes (um antes e outro depois) com a mesma unidade experimental (amostra).
Ex.: O peso de pessoas antes e depois de um tratamento.
• Em geral, as unidades experimentais são heterogêneas ( grande) e exibem alta correlação positiva.
Paired t - Características
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122
Suspeita-se que dois funcionários estão monitorando o manômetro de um processo de uma forma desigual. Para diferentes pressões foram lidas (de uma forma emparelhada) os resultados da planilha ao lado.
Teste a Hipótese de que os dois operadores tem o mesmo desempenho.
Exemplo - Paired t
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123
Paired t
<Stat><Basic Statistics> <Paired t>
Selecione Samples in columns
First sample= Operador 1
Second sample= Operador 2
<Options>
Test mean= 0
Alternative= not equal
<Graphs>
Individual value plot
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124
Paired T-Test and CI: Operador 1, Operador 2
Paired T for Operador 1 - Operador 2
N Mean StDev SE Mean
Operador 1 10 194 428 135
Operador 2 10 196 428 135
Difference 10 -2.400 1.075 0.340
95% CI for mean difference: (-3.169, -1.631)
T-Test of mean difference = 0 (vs not = 0): T-Value = -7.06 P-Value = 0.000
Médias diferentes
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125
• As bases da Análise de Variância
• Um fator (One-way)• Dois fatores (Two-way)• Análise de Médias (ANOM)• Balanced ANOVA
ANOVA é um Teste para Comparar Médias
(O nome é enganoso!)
ANOVA
Análise de Variância
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126
Entendendo o significado da
ANOVA...
ANOVA - Visualmente
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127
Tratamentos
RespostaA B C
5 9 10
4 1 5
6 8 8
7 11 7
8 6 10
Somatório 30 35 40
Médias 6 7 8
As médias são realmente diferentes ou tudo não passa de casualidade?
negadoser vai sinais dos um menos Pelo:
:
1
0
H
H CBA
As Bases da ANOVA
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128
Passo 1: Cálculo da Variação Total
5 5-7=-2 4
4 4-7=-3 9
Etc. Etc. Etc
7 0 0
10 3 9
105 0 96
iX ii xXX 2ix
(A, B
e C
)
VT - Variação Total
Como VT>0 é razoável imaginar que ela se compõe de variações que ocorrem Dentro dos Grupos (VD - Within) e Entre os tratamentos (VE - Between)
Foram considerados 15 observações: Glib=14
Média geral
Algoritmo: Variação Total
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129
5 5-6=-1 1
4 -2 4
6 0 0
7 1 1
8 2 4
10
Passo 2: Cálculo da Variação Dentro do Grupo - Within
AA XX 2)( AA XX AX 2)( BB XX 2)( CC XX
58 18
VD=10+58+18=86Foram considerados 5 observações em cada caso: Glib=12
Algoritmo: Variação Within
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130
6 -1 1
6 -1 1
6 -1 1
6 -1 1
6 -1 1
5
Passo 3: Cálculo da Variação Entre Tratamentos (Between)
XX A 2)( XX A AX
0 5
VE=5+0+5=10
2)( XX B 2)( XX C
Foram considerados 3 observações : Glib=2
Algoritmo: Variação Between
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131
VT=VD+VE ! 96=86+10
Graus de Liberdade:
A VT possui (15-1)=14 GLIB
(3 Tratamentos) (5 Observ/Trat)
A VD possui (5-1)(3)=12 GLIB
(5 Observ/Amostra)(3 Amostras)
A VE possui (3-1)=2 GLIB
(3 Tratamentos -1)
A B C
5 9 10
4 1 5
6 8 8
7 11 7
8 6 10
GLIBVT=GLIBVD+GLIBVE ! 14=12+02
Algoritmo: Graus de Liberdade
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132
VT=VD+VE ! 96=86+10
GLIBVT=GLIBVD+GLIBVE ! 14=12+02
VD/GLIBVD = 86/12 = 7,17
VE/GLIBVE= 10/2 = 5
Estimativas de Variâncias:
F0= 5/7,17=0,70
Fcrítico= 3,89 (em função dos GLIBVE GLIBVD e alfa=5%
F0<Fcrítico Não se Rejeita Ho
Algoritmo: Teste de Fisher para Médias
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Fonte de Variação
Própria Variação GLIB Variância
Estimada F0
VE 10 2 10/2=5 5/7,17=0,70
VD 86 12 86/12=7,17
VT 96 14
Quadro Resumo Básico
Algoritmo: Quadro resumo
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134
One-way ANOVA: A; B; C (use unstacked)
Analysis of Variance
Source DF SS MS F P
Factor 2 10,00 5,00 0,70 0,517
Error 12 86,00 7,17
Total 14 96,00
Individual 95% CIs For Mean
Based on Pooled StDev
Level N Mean StDev ----+---------+---------+---------+--
A 5 6,000 1,581 (------------*------------)
B 5 7,000 3,808 (------------*------------)
C 5 8,000 2,121 (------------*------------)
----+---------+---------+---------+--
Pooled StDev = 2,677 4,0 6,0 8,0 10,0
Minitab <ANOVA>One-Way Unstacked
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135
Exemplo
Na definição do Setup dos fatores para o processo Inside Spray quatro conjuntos de níveis para os parâmetros de Temperatura foram avaliados. Deseja-se investigar o efeito desses quatro Setups com relação a Distribuição do Verniz interno no fundo para cerveja medidas em mg/pol2 após o processo. Tais medidas são
dadas na planilha ao lado.
One-Way ANOVA
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136
Usar o Procedimento Stack Columns para executar o Teste ANOVA One-Way (preferível pois faz a análise de resíduos!!)
ANOVA One-Way (Unstacked)
ANOVA One-Way (Unstacked)
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137
As médias são diferentes
ANOVA One-Way: Resultados
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138
Se
tup
1
Se
tup
2
Se
tup
3
Se
tup
4
4.5
5.5
6.5
7.5
8.5
Boxplots of Setup1 - Setup4(means are indicated by solid circles)
ANOVA One-Way: Boxplots
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139
6.0 6.5 7.0
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
Fitted Value
Res
idua
lResiduals Versus the Fitted Values
(response is mg)
ANOVA One-Way: Residuals x Fitted
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140
Exemplo
No processo Bodymaker deseja-se investigar a Profundidade do Dome em função de 3 conjuntos de parâmetros (envolvendo pressão, Temperatura Vazão, etc...) e também em dois turnos de operação. Foram então colhidas amostras da Profundidade do Dome (em polegadas) para diferentes Turnos e diferentes Conjuntos de Parâmetros. Anova_2.MTW
Two-Way ANOVA
Processo de fabricação de latas
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141
ANOVA Two-Way: Follow along
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142
Diferentes
Iguais
ANOVA Two-Way: Resultados
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143
Exemplo
Foram avaliados três níveis de pressões de ar draw pad (em psi) e também três níveis de pressões de ar blow off (em psi) na influência de problemas visuais após o processo Minster. O número de defeitos visuais (Riscos, Abaulamento, orelhas, rebarbas, rugas e ovalização) está mostrado na planilha ao lado. Anova_3.MTW
ANOM
Análise de Médias
ANOM: Para identificar qual média é diferente e avaliar a Interação!
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144
ANOM
Isso é melhor estudado em DOE!
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145
Não há interação entre as pressões Blow e Draw. O Efeito de
Blow é significativo!
ANOM: Gráficos
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146
A Pressão Blow afeta mais a
média
3,0 e 8,83 são valores distantes
de 6,22
Draw
Blow
ANOM: Resultados
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147
Exemplo
Deseja-se avaliar o tempo gasto (em minutos) por seis funcionários para ajustar o Setup de dois processos (I e II) usando dois diferentes procedimentos (um novo e um antigo). A planilha seguinte mostra os resultados obtidos.
Anova_5.MTW
Balanced Anova
Processo de fabricação de latas
Isso é a base para DOE - Delineamento
de Experimentos!
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148
Balanced ANOVA
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149
Diferentes
Balanced ANOVA: Resultados
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150
TWO-WAY
Ex.: An engineer suspects that the surface finish of metal parts is influenced by paint used and the drying time.
Using a 5% significance level, test the influence of these two factors as also its interaction.
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TWO-WAY
Drying Time (min)
Paint 20 25 30 Total (yi..)
1 74 64 50 188 73 61 44 178 78 85 92 255 621
2 92 86 68 246 98 73 88 259 66 45 85 196 701
Total:(y.j.) 434 437 451 1322
(y…)
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152
TWO-WAY
Ex.: Am experiment describes na investigation about the effect of glass type and phosphor type on the brigtness of a television tube. The response is the current (mA) necessary to obtain a specified brightness level.
Using a 5% significance level, test the influence of these two factors as also its interaction.
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