penduga regresi (regression estimator)

by nofita i s t iananofita@bps .go. id

PENDUGA REGRESI(REGRESSION ESTIMATOR)

Tujuan: mendapatkan estimator yang presisinya lebih baik dg menggunakan variabel lain yang berkorelasi dg variabel yg diduga

• walaupun mempunyai hubungan linear, persamaan garisnya tidak melalui titik (0,0)

Bandingkan : penduga ratio melalui (0,0)

dengan penduga regresi tidak melalui (0,0)

penduga perubahan untuk penambahan satu unit.

Nilai dan diperoleh dari setiap unit dalam sampel ; nilai dan diketahui.

Penduga total populasi :

Xxyyr

xXbyylr

b y x

lrlr yNY

ix iy ix X

Penduga regresi

Penduga regresi :

Untuk:

yylr0b

xXyyb lr1

xyb

rlr YXxyxX

xyyy

(penduga ratio)

xXbyylr

lry xyX

xbyXbxXbyylr (penduga beda)

YyXxNn lr

(penduga beda)

1. Penduga regresi dg nilai ditentukan, misal = (asumsi SRS)

Teorema 1.1

Varian:

unbiased estimator dari varian

b

xXbyylr 0

11 1

20

N

XxbYy

nfyV

N

iii

lr

2200

2 21xyxy SbSbS

nf

0b

11 1

20

n

xxbyy

nfyv

n

iii

lr

2200

2 21xyxy sbsbs

nf

2. Penduga regresi dg nilai dihitung dari sampel, least squares estimate dari B, sbb.

Bila merupakan least squares estimate dari B dan

maka dalam pengambilan sampel SRS dg jumlah sampel n ( n besar )

untuk korelasi populasi antara dan

b

n

ii

n

iii

xx

xxyyb

1

2

1

Teorema 1.3

b xXbyylr

22 11

ylr SnfyV

yx

yx

SSS

x y

Estimasi dari varian

XxBYye iii

22 11

ylr SnfyV 222 1 ey SS

21elr S

nfyV

21elr s

nfyv

2

1

2

11

n

iie ee

ns

Utk sampel besar, estimator dari 2eS

2es

1

1

2

n

xxbyyn

iii

Utk populasi yg tak terhingga (infinite) dan regresi linear digunakan penyebut (n-2), bukan (n-1), sehingga penduga varian menjadi :

n

iiilr xxbyy

nnfyv

1

2

21

2

22

21

xxxxyy

yynnf

i

iii

3. Penduga regresi pada stratified sampling a. Separate regression estimate ( penduga regresi dihitung untuk setiap rata-rata strata)

utk

Rumus di atas digunakan apabila koefisien regresi berbeda antar stratum

b. Combine regression estimate ( penduga regresi dihitung secara kombinasi ), yaitu apabila koefisien regresi sama utk semua strata

maka

hhhhlrh xXbyy

h

lrhhlrshh yWyNNW

hB

hB

h

hhst yWy h

hhst xWx

ststlrc xXbyy

c. Penghitungan VarianSeparate regression estimate

Combine regression estimate

nilai merupakan rata-rata tertimbang dari stratum regression koefisien

2222

21xhhyxhhyh

h h

hhlrs SbSbS

nfWyV

2

22

2

min1

xh

yxhyh

h h

hhlrs S

SSnfWyV

2222

21xhyxhyh

h h

hhlrc SbSbS

nfWyV

nilai yg meminimumkan varian di atasb

h h

xhhh

h h

yxhhhc n

SfWn

SfWB

222 11

cB

2

xh

yxhh S

SB

Latihan Soal

1. Seorang petani ingin memperkirakan total berat rambutan di perkebunannya. Jumlah pohon dalam perkebunan sebanyak 70 pohon. Dia mendapatkan total berat rambutan tahun sebelumnya yaitu 11600 kwintal. Buah rambutan dipetik dan ditimbang pada sampel acak sederhana dari 10 pohon dengan hasil sbb:

Hitung perkiraan total berat rambutan dengan penduga regresi dan tentukan kesalahan bakunya!

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 jumlahBerat sekarang (yi)

61 42 50 58 67 45 39 57 71 53 543

Berat tahun lalu (xi)

59 47 52 60 67 48 44 58 76 58 569

2. Tabel berikut ini menyajikan jumlah penduduk (dalam ribuan) untuk setiap sampel acak sederhana dari 49 kota diambil dari populasi 202 kota. Jika diketahui jumlah penduduk pada tahun 2005 sebanyak 20216.

Tabel 1. Jumlah Penduduk 49 Kota (dalam Ribuan) Pada Tahun 2005 (xi) dan Tahun 2010 (yi)

xi yi xi yi xi yi xi yi xi yi76 80 172 183 77 89 87 105 74 93138 143 78 106 64 63 30 111 45 5367 67 66 86 64 77 71 79 36 5429 50 60 57 56 142 256 288 50 58381 464 46 65 40 60 43 61 48 7523 48 2 50 40 64 25 5737 63 507 634 38 52 94 85120 115 179 260 136 139 43 5061 69 121 113 116 130 298 317387 459 50 64 46 53 36 4693 104 44 58 243 291 161 232

a. Hitung perkiraan regresi dari jumlah penduduk tahun 2010 di 202 kota dan kesalahan bakunya!

b. Bandingkan ketelitiannya dengan perkiraan rasio!

3. Suatu survey dilakukan untuk menentukan jumlah hasil pertanian yang dipengaruhi oleh polusi air. Sampil diambil secara acak sederhana sebanyak 20 plot dari 100 populasi plot. Jumlah hasil pertanian disimbolkan (dalam satuan kwintal) dan level polusi disimbolkan . Hasilnya diperoleh

Rata-rata level polusi adalah 5a. Perkirakan rata-rata hasil pertanian berdasarkan level

polusi dengan penduga regresi linier!b. Perkirakan varians dari penduga regresi linier!c. Prediksikan hasil pertanian pada plot dengan level polusi 4!

4. Suatu survey dilaksanakan untuk memperkirakan rata-rata biaya berobat di suatu wilayah. Untuk memudahkan penelitian, kecamatan di wilayah tersebut dikelompokkan ke dalam tiga strata berdasarkan tingkat kesehatan daerah. Data yang diperoleh yaitu sbb:Strata Jumlah

Kec.Jumlah Penduduk Sakit

Jumlah Kec. Terpilih

Jumlah Penduduk Sakit di Kec. Terpilih

Pengeluaran untuk Berobat di masing-masing Kec. Terpilih (puluhan ribu rp)

Rendah

25 910 7 35,30,25,15,5,7,13

889,813,758,711,175,212,650

Sedang

30 65o 9 15,10,5,7,9,11,13,6,4

535,343,179,175,315,375,380,165,13

0Tinggi 20 270 6 5,7,9,3,11,15 253,261,272,120,4

35,525

Perkirakan rata-rata pengeluaran untuk berobat setiap kecamatan beserta standard errornya dengan metode separate regression estimator!(jumlah penduduk sakit sebagai variabel pembantu)

5. Suatu studi bertujuan untuk mempelajari produksi susu dilakukan dengan menarik sampel sebanyak 17 desa dari 117 desa secara SRS-WOR. Estimasi total direncanakan menggunakan metode ratio estimate dan regression estimate. Untuk keperluan tsb, auxiliary variabel yang digunakan adalah jumlah ternak penghasil susu per desa hasil sensus yang lalu. Diketahui total ternak penghasil susu (pada 117 desa) berdasarkan hasil sensus yang lalu adalah X=143968 ekor. Data jumlah ternak penghasil susu hasil survei (y) per desa berikut data jumlah ternak penghasil susu dari sensus yang lalu (x) tersaji pd tabel.Berdasarkan data, hitungah estimasi total ternak penghasil susu berikut satandard error-nya dengan menggunakan metode a). rata-rata per unit,b). ratio estimate,c). regression estimate.

No. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17X i 1141 1144 1127 1153 1117 1140 1153 1146 1189 1137 1170 1115 1130 1118 1122 1113 1166Y i 1129 1144 1125 1138 1137 1127 1163 1153 1164 1130 1153 1125 1116 1115 1112 1112 1123