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Performance des algorithmes à véracité garantie pour l'ordonnancement de tâches individualistes
Fanny Pascual - Laboratoire d’Informatique de Grenoble (LIG)En collaboration avec : Georges Christodoulou (Max Planck Institute), Laurent Gourvès (LAMSADE, Univ. Dauphine)
2ROADEF - 22/02/2007
Ordonnancement P||Cmax
m machines identiques n tâches toute tâche i a - une longueur li
- un numéro d’identification
Objectif : minimiser le makespan (la plus grande date de fin)
M2 M2
M1 M1
3ROADEF - 22/02/2007
Algorithmes d’approximation
SPT (Shortest Processing Time first)2-1/m approché
LPT (Largest Processing Time first)4/3-1/(3m) approché
Schéma d’approximation
1M1
M2
2
2 3
4
Exemple: tâches de longueur 1, 2, 2, 3, 4
4ROADEF - 22/02/2007
Ordonnancement de tâches détenues par des agents individualistes
Chaque tâche i est détenue par un agent qui seul connaît li (tâche ≡ agent)
Les tâches communiquent leur longueur à un protocole qui doit les ordonnancer de sorte à minimiser le makespan
5ROADEF - 22/02/2007
Stratégies des agents
L’algorithme d’ordonnancement est connu. Le but de chaque tâche est de minimiser
sa date de fin d’exécution. Chaque tâche i déclare une valeur bi
représentant sa longueur. Hyp : bi ≥ li (exécution incomplète si bi<li)
li
bi
6ROADEF - 22/02/2007
Un exemple Le protocole utilise l’algorithme LPT 3 tâches de longueurs {2,1,1}, 2 machines
La tâche rouge a intérêt à mentir sur sa longueur afin de minimiser sa date de fin d’exécution.
7ROADEF - 22/02/2007
Algorithmes à véracité garantie
Algorithme à véracité garantie : algorithme avec lequel les tâches ne peuvent pas diminuer leur date de fin en mentant sur leur longueur.
8ROADEF - 22/02/2007
Retour sur l’exemple Le protocole utilise l’algorithme SPT
C’est un algorithme déterministe, à véracité garantie et 2-1/m approché. [Christodoulou et al. ICALP’04]
Existe–t’il un algorithme avec véracité garantie avec un meilleur rapport d’approximation ?
9ROADEF - 22/02/2007
Objectif
Borner la performance d’un protocole (algorithme) à véracité garantie dans divers contextesDéterministe ou randomiséModèle d’exécution fort ou souple
10ROADEF - 22/02/2007
Modèles d’exécution Modèle fort
Une tâche i ayant déclaré bi obtiendra son résultat li unités de temps après le début de son exécution.
Modèle souple Une tâche i ayant déclaré bi obtiendra son
résultat bi unités de temps après le début de son exécution.
li = 2
bi = 3
11ROADEF - 22/02/2007
Bornes pour un système centralisé
Déterministe Randomisé
inf. sup. inf. sup.
Fort 2-1/m * 2-(5/3+1/(3m))/(m+1)**
Souple 1 *** 1 ***
* [Christodoulou, Nanavati, Koutsoupias, ICALP 2004]
** [Angel, Bampis, Pascual, TCS 2006]
*** [Angel, Bampis, Pascual, Tchetgnia, 2006]
12ROADEF - 22/02/2007
Bornes pour un système centralisé
Déterministe Randomisé
inf. sup. inf. sup.
Fort ? 2-1/m * 2-(5/3+1/(3m))/(m+1)**
Souple 1 *** 1 ***
* [Christodoulou, Nanavati, Koutsoupias, ICALP 2004]
** [Angel, Bampis, Pascual, TCS 2006]
*** [Angel, Bampis, Pascual, Tchetgnia, 2006]
13ROADEF - 22/02/2007
Modèle fort, algorithme déterministe, borne inférieure (1/2)
m machines m(m-1)+1 tâches de longueur 1
Au moins une tâche t se termine à la date m.
Hyp : Algorithme déterministe et de rapport d’approximation < 2-1/m .
1M1
M2
M3
1 1
1 1
1 1
14ROADEF - 22/02/2007
Modèle fort, algorithme déterministe, borne inférieure (2/2) la tâche t déclare 1 : 1 1 1
1 1
1 1
3
11 1
1 1 1
fin(t) ≥ 3
début(t) < 2, fin(t) < 3OPT = 3
3
Makespan < (2-1/m) OPT = 5
Ordonnancement optimal Ordonnancement (2-1/m-ε)-approché
La tâche t a intérêt à déclarer m plutôt que 1 :
15ROADEF - 22/02/2007
Bornes pour un système centralisé
Déterministe Randomisé
inf. sup. inf. sup.
Fort 2–1/m 2-1/m 3/2-1/(2m)
(pour m=2: 1,25)
2-(5/3+1/(3m))/(m+1) (pour m=2: 1,39)
Souple 1 1
16ROADEF - 22/02/2007
Bornes pour un système centralisé
Déterministe Randomisé
inf. sup. inf. sup.
Fort 2–1/m 2-1/m 3/2-1/(2m)
(pour m=2: 1,25)
2-(5/3+1/(3m))/(m+1) (pour m=2: 1,39)
Souple ? 1 1
17ROADEF - 22/02/2007
Un algorithme déterministe pour le modèle souple Idée : bénéficier de l’avantage de LPT
(son rapport d’approx) mais pas de son inconvénient (les tâches mentent pour être exécutées en premier).
Construire un ordonnancement LPT puis l’exécuter en sens opposé, i.e. du makespan (Cmax) à la date 0.
18ROADEF - 22/02/2007
LPT mirror
Toute tâche t se commençant en d(t) dans LPT se termine à la date Cmax - d(t) dans LPT mirror.
Si t déclare une valeur plus grande que sa longueur réelle alors Cmax ne peut qu’augmenter tandis que d(t) ne peut que diminuer.
LPT mirror est à véracité garantie et 4/3 – 1/(3m) approché.
8 14
6 5 4
81 4
654
LPT LPT mirror
d(t)Cmax
19ROADEF - 22/02/2007
Bornes pour un système centralisé
Déterministe Randomisé
inf. sup. inf. sup.
Fort 2–1/m 2-1/m 3/2-1/(2m) 2-(5/3+1/(3m))/(m+1)
Souplem=2: ρ≥1.1
m≥3: 7/64/3-1/(3m) 1 1
20ROADEF - 22/02/2007
Système distribué
Les tâches décident sur quelle machine elles vont être exécutées.
La stratégie de la tâche i est (bi,mi) Chaque machine j a un algorithme local
d’ordonnancement. Cet algorithme ne dépend que des tâches ayant choisi j : mécanisme de coordination [Christodoulou et al. ICALP’04]
21ROADEF - 22/02/2007
Prix de l’anarchie Équilibre de Nash : Situation dans laquelle
aucune tâche ne peut se terminer plus tôt en changeant unilatéralement de stratégie.
Prix de l’Anarchie = max {MakÉq. Nash / MakOPT}
Objectif : borner le prix de l’anarchie pour les mécanismes de coordination à véracité garantie.
22ROADEF - 22/02/2007
Bornes pour un système distribué
Déterministe Randomisé
inf. sup. inf. sup.
Fort 2–1/m 2-1/m 3/2-1/(2m) 2-1/m
Souple 2-1/m 2-1/m
23ROADEF - 22/02/2007
Bornes pour un système distribué
Déterministe Randomisé
inf. sup. inf. sup.
Fort 2–1/m 2-1/m 3/2-1/(2m) 2-1/m
Souple (1+√17)/4 > 1.28 2-1/m 1+(√13-3)/4>1.15 2-1/m
24ROADEF - 22/02/2007
Perspectives
Réduire les écarts entre bornes sup et inf Mécanisme de coordination avec véracité
garantie Agents contrôlant plusieurs tâches Machines hétérogènes, cas online
25ROADEF - 22/02/2007
26ROADEF - 22/02/2007
Modèle souple, mécanisme de coordination déterministe, borne inf
ρ < (2+ε)/2 et ρ ≥ 2/(1+ε)
→ ρ ≥(1+√17)/4 > 1.28
M1
M1 M1
M1
M2 M2
M2 M2
27ROADEF - 22/02/2007
Modèle fort, algorithme randomisé, borne inférieure
m machines identiques xm(m-1)+m tâches de longueur 1 (x entier)
Existence d’une tâche t telle que :
E[C(t)] ≥(x(m-1))/2 + 1
Hyp : Existence d’un algorithme à véracité garantie, randomisé et de rapport d’approximation 3/2 - 1/(2m) - ε
28ROADEF - 22/02/2007
Modèle fort, algorithme randomisé, borne inférieure Si x>1/(2εm)-1/(2εm²)-1/m alors la tâche t peut
déclarer xm+1 plutôt que 1 et diminuer l’espérance de sa date de fin
E[C(t)] + xm = E[C’(t)] ≤ (3/2 - 1/2m - ε)OPT’
E[C(t)] + xm ≤ (3/2 - 1/2m - ε)(xm + 1)
E[C(t)] < (x(m-1))/2 + 1
29ROADEF - 22/02/2007
Modèle souple, algorithme déterministe, borne inférieure (1) Hyp : algorithme à véracité garantie de
rapport d’approximation 11/10 – ε 2 machines et 5 tâches de longueurs
{5,4,3,3,3}
30ROADEF - 22/02/2007
Modèle souple, algorithme déterministe, borne inférieure (2)
31ROADEF - 22/02/2007
Modèle souple, algorithme déterministe, borne inférieure (3)
32ROADEF - 22/02/2007
Modèle fort, algorithme déterministe, borne inférieure
C(t) + m - 1 = C’(t) ≤ (2-1/m-ε)OPT’
C(t) + m – 1 ≤ 2m – 1 - εm
C(t) ≤ (1-ε)m < m
33ROADEF - 22/02/2007
34ROADEF - 22/02/2007
LPT mirror
Toute tâche t se commençant en d(t) dans LPT se termine à la date Cmax - d(t) dans LPT mirror.
Si t déclare une valeur plus grande que sa longueur réelle alors Cmax ne peut qu’augmenter tandis que d(t) ne peut que diminuer.
LPT mirror est à véracité garantie et 4/3 – 1/(3m) approché.
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