persamaan lingkaran dan garis singgung
Post on 05-Aug-2015
503 Views
Preview:
DESCRIPTION
TRANSCRIPT
Sub Materi :
Persamaan – persamaan lingkaran
Posisi suatu titik terhadap lingkaran
Posisi garis terhadap lingkaran
Persamaan garis singgung lingkaran
Posisi dua lingkaran
Persamaan – persamaan lingkaran
M pusat lingkaran
P4 (x4, y4)
P3 (x3, x3)
P1 (x1, y1)
P2 (x2, y2)
r = jari - jari
Lingkaran adalah tempat kedudukan titik –titik yang berjarak sama terhadap sebuah titik tertentu yang terletak pada bidang datar.
Jarak yang sama : jari – jariSebuah titik tertentu : pusat lingkaran
Persamaan yang menghubungkan peubah x dan peubah y disebut persamaan lingkaran.
Bentuk persamaan lingkaran ditentukan oleh :a. Letak pusat lingkaran M,
danb. Panjang jari – jari.
** Persamaan Lingkaran yang Berpusat di O (0, 0) dan
Berjari – jari r
O P’
P (x, y)
Y
ry
x
Misalkan titik P(x, y) adalah sembarang titik pada keliling lingkaran. Titik P’ adalah proyeksi titik P pada sumbu X sehingga merupakan segitiga siku-siku di P.
Karena titik P(x, y) diambil sembarang, maka persamaanx2 + y2 = r2 berlaku untuk semua titik P(x, y) yang terletak pada keliling lingkaran itu.
X
POP'
Persamaan lingkaran dengan pusat O dan jari-jarir adalah :
KESIMPULAN !!!
x2 + y2 = r2
Contoh Soal … (1)
Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di O (0, 0) dan tentukan melaluititik A(-3, 5).
Jawab :
Lingkaran berpusat di O(0, 0) dan melalui titik A(-3, 5), maka jari-jari r adalah :
22 53 r
34 Sehingga, 22 34r
34
Persamaan lingkarannya : x2 + y2 = r2 maka, x2 + y2 = 34
Jadi, persamaan lingkaran yang berpusat di O(0, 0) dan melalui titik A(-3,5)adalah :
3422 yxL
Contoh Soal . . . (2)
Tentukan persamaan lingkaran yang berjari-jari r = 5 jika sebuahlingkaran yang bertitik pusat di O.
Jawab :
Persamaan di O dan jari-jari r = 5
x2 + y2 = r2
x2 + y2 = 52 maka, x2 + y2 = 25
Jadi, persamaan lingkarannya adalah x2 + y2 = 25 atau
25, 22 yxyxL
Contoh Soal . . . (3)
Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di O(0, 0) serta menyinggung garis .
01034 yxg
Jawab :
Jarak titik O(0, 0) ke garis adalah
Jadi, lingkaran itu berpusat di O(0, 0) dan berjari-jari r = 2 mempunyai persamaan
01034 yxg
2
5
10
34
1003042222
11
ba
cbyaxOPr
422 yxL
** Persamaan Lingkaran yang Berpusat di A(a, b) dan Berjari-jari r
P(x, y)
y - b
x - a
P’
A (a, b)
r
O X
Y
g
22 '' PPAPAP
22 byaxr
222
222
rbyax
byaxr
Persamaan lingkaran dengan pusat A(a, b) dan jari-jari r adalah (x – a)2 + (y – b)2 = r2
Persamaan lingkaran dapat ditulis sebagai berikut
22, byaxyxL
Contoh Soal
Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di A(2, -1) dan menyinggung garis 3x + 4y – 12 = 0 di titik P.Jawab :
Jari-jari lingkaran adalah r = AP, yaitu jarak titik A(2, -1) ke garis 3x + 4y – 12 = 0
25
10
43
12142322
APr
412 22 yxL
Jadi, persamaan lingkaran dengan pusat di A(2, -1)menyinggung garis 3x + 4y – 12 = 0 adalah
** Bentuk Umum Persamaan LingkaranBentuk umum dari persamaan lingkaran dapat dinyatakan dengan persamaan
(A, B dan C bilangan-bilangan real) 022 CByAxyx
(A, B, C dan D bilangan-bilangan bulat, 022 DCyBxAyAx 0A
ATAU
Ciri-ciri khusus Pers. Lingkaran :- Peubah x dan y berpangkat dua dan tidak memuat perkalian x dengan y (suku xy)- Koefisien x2 sama dengan koefisien y2
Contoh Soal
Di antara persamaan-persamaan berikut ini, manakah yang merupakan persamaan lingkaran??a. 4x +3y -4 = 0b. x2 + y2 – 6x + 10x + 3 =0c. x2 + y2 + 2xy + 2x – 4y +2 = 0
Jawab :a. 4x +3y -4 = 0 bukan persamaan
lingkaran, sebab peubah x dan y berpangkat satu.
b. x2 + y2 – 6x + 10x + 3 =0 merupakan persamaan lingkaran.
c. x2 + y2 + 2xy + 2x – 4y +2 = 0 bukan merupakan persamaan lingkaran, sebab memuat suku xy.
Menentukan Pusat dan Jari-jari Lingkaran
Pusat dan jari-jari lingkaran ditentukan dengan rumus :
022 CByAxyxL
Pusat :
2,2
BA
Jari-jari r = CBA
44
22
Proses menentukan bentuk umum persamaan lingkaran dapat dilihat pada bagan berikut ini.
DIKETAHUIPusat (a, b)Jari-jari r
BENTUK BAKU( x - a )2 + (y - b)2 = r2
BENTUK UMUM x2 + y2 – 2ax – 2by + (a2 + b2 – r2) = 0
Pusat
Jari-jari
2,2
BA
CBA
r 44
22 BENTUK BAKU
CBAB
yA
x
4422
2222
DIKETAHUI BENTUK UMUM x2 + y2 + Ax + By + C = 0
Contoh Soal …
Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran berikut ini.036222 22 yxyxL
Jawab :
Untuk lingkaran ekuivalen dengan sehingga dapat ditetapkan A = -1, B = 3 dan
C =
@ pusat lingkaran :
@ jari-jari lingkaran :
036222 22 yxyxL
02
3322 yxyxL
2
3
222
2
3
4
3
4
1
r
2
3,2
1
2
3,
2
1
244
6
4
9
4
1 rr
Posisi Suatu Titik Terhadap Lingkaran
** Posisi suatu titik terhadap lingkaran 222 ryxL
1. Titik P(a, b) terletak di dalam lingkaran2. Titik P(a, b) terletak pada lingkaran 3. Titik P(a, b) terletak di luar lingkaran
222 rbaL 222 rbaL 222 rbaL
Y
XO
r
P(a, b)
Y
XO
r
P(a, b)
Y
XO
r
P(a, b)
(a) P(a, b) di dalam L (b) P(a, b) pada L (c) P(a, b) di luar L
Contoh Soal …
Tanpa menggambar pada bidang Cartesius, tentukan posisi titikP terhadap lingkaran L berikut ini.Titik P(2, -3) terhadap lingkaran 1322 yxL
Jawab :
P(2, -3) terhadap(2)2 + (-3)2 = 13 = 13
Jadi, titik P(2,-3) terletak pada lingkaran
1322 yxL
1322 yxL
** Posisi suatu titik terhadap lingkaran 222 rbyaxL
1. Titik P(h, k) terletak di dalam lingkaran L jika dan hanya jika (h – a)2 + (k – b)2 < r2
2. Titik P(h, k) terletak pada lingkaran L jika dan hanya jika(h – a)2 + (k – b)2 = r2
3. Titik P(h, k) terletak di luar lingkaran L jika dan hanya jika(h – k)2 + (k – b)2 > r2
r
P(h, k)
A(a, b)
L
X
Y
r
P(h, k)
A(a, b)
L
X
Y
r
P(h, k)
A(a, b)
L
X
Y
O OO
(a) P(h, k) di dalam L (b) P(h, k) pada L (c) P(h, k) di luar L
Contoh Soal …
Tanpa menggambar pada bidang Cartesius, tentukan posisi setiap titik berikut ini terhadap lingkaran yang disebutkan.a. Titik (1, -1) terhadap lingkaranb. Titik (-3, 2) terhadap lingkaran c. Titik (-4, -1) terhadap lingkaran
1653 22 yxL
2551 22 yxL
1232 22 yxL
Jawab :
a. (1, -1) dan (1 + 3)2 + (1 – 5)2 = 32 > 16jadi, titik (1, -1) terletak di luar lingkaran
b. (-3, 2) dan (-3 – 1)2 + (2 – 5)2 = 25 = 25
jadi, titik (-3, 2) terletak pada lingkaran c. (-4, -1) dan
(-4 + 2)2 + (-1 + 3)2 = 8 < 12jadi, titik (-4, -1) terletak di luar lingkaran
1653 22 yxL
2551 22 yxL 1653 22 yxL
2551 22 yxL 1232 22 yxL
1232 22 yxL
** Posisi suatu titik terhadap lingkaran 022 CByAxyxL
1. Titik P(h, k) terletak di dalam lingkaran2. Titik P(h, k) terletak pada lingkaran3. Titik P(h, k) terletak di luar lingkaran
dimana k = h2 + k2 + Ah + Bk + C
0 KL0 KL0 KL
Contoh Soal …
Diketahui persamaan lingkaran
a. Hitunglah nilai kuasa titik-titik berikut A(1, 3), B(7, 5) dan C(9, 2) terhadap L.
b. Tanpa menggambar pada bidang Cartesius, tentukan posisi A, Bdan C terhadap lingkaran L.
082822 yxyxL
Jawab :
a) - nilai kuasa titik A(1, 3) : KA(1, 3) = (1)2 + (3)2 – 8(1) – 2(3) – 8 = -12- nilai kuasa titik B(7, 5) : KB(7, 5) = (7)2 + (5)2 – 8(7) – 2(5) – 8 = 0- nilai kuasa titik C(9, 2) : KC(9, 2) = (9)2 + (2)2 – 8(9) – 2(2) – 8 = 1
b) - titik A(1, 3) terletak di dalam ingkaran L, sebab KA(1, 3) < 0- titik B(7, 5) terletak pada lingkaran L, sebab KB(7, 5) = 0- titik C(9, 2) terletak di luar lingkaran L, sebab KC(9, 2) > 0
Kesimpulan
Umum
Jika titik P(h, k) di luar lingkaran , maka
panjang garis singgung yang dibuat melalui titik P(h, k) terhadap lingkaran L ditentukan dengan rumus :
ATAU
Dengan S adalah titik singgung dan Kp adalah kuasa titik P terhadap lingkaran L.
022 CByAxyxL
CBkAhkhPS 22
pKPS
** Posisi Garis Terhadap Lingkaran
a. Garis g memotong lingkaran di dua titik yang berlainan, yaitu titik A(x1, y1) dan titik B(x2, y2).b. Garis g memotong lingkaran di satu titik atau dikatakan garis g menyinggung lingkaran di titik S(xS, yS).c. Garis g tidak memotong maupun menyinggung lingkaran.
A(x1, y1)
B(x2, y2) gY
XO
L
S(xS, yS)
gY
X
L
O
g
LO
Y
X
(a) (b) (c)
Contoh Soal … (1)
Diketahui garis dan lingkaran Tentukan persamaan kuadrat gabungan antara garis dan lingkaran,kemudian tentukan nilai diskriminan dari persamaan kuadratgabungan itu.
1 yxg 422 yxL
Jawab :
Dari persamaan garis , diperoleh y = -x + 1Subsitusikan y = -x + 1 ke persamaan lingkarandiperoleh :
x2 + (-x + 1)2 = 4x2 + x2 – 2x + 1 = 4 2x2 – 2x – 3 = 0
Persamaan 2x2 – 2x – 3 = 0 disebut persamaan kuadrat gabunganantara persamaan garis dengan persamaan lingkaran, dengan demikiannilai diskriminan adalah D = (-2)2 – 4(2)(-3) = 28 > 0
1 yxg422 yxL
Contoh Soal … (2)
Carilah koordinasi titik potong garis dengan lingkaran04 yxg
0122822 yxyxL
Jawab :
-Garis , diperoleh y = x – 4.-Subsitusikan y = x – 4 ke persamaan lingkaran
x2 + (x – 4)2 – 8x – 2(x – 4) + 12 = 0- 2x2 – 18x + 36 = 0- x2 – 9x + 18 = 0- (x – 3)(x – 6) = 0- x = 3 atau x = 6
-Untuk x = 3, diperoleh y = 3 – 4 = -1, titik potongnya A(3, -1).-Untuk x = 6, diperoleh y = 6 – 4 = 2, titik potongnya B(6, 2).-Jadi, titik koordinatnya adalah A(3, -1) dan B(6, 2)
04 yxg
0122822 yxyxL
Persamaan Garis Singgung Lingkaran
1. Suatu titik pada lingkaran yang dilalui oleh garis singgung tersebut diketahui.2. Gradien garis singgung diketahui.3. Suatu titik di luar lingkaran yang dilalui oleh garis singgung tersebut diketahui.
** Persamaan garis singgung lingkaran yang melalui sebuah titik pada lingkaran
A. Untuk Lingakaran dengan pusat di O(0, 0) dan berjari-jari r
-Gradien garis OP adalah mOP = -Karena garis singgung g tegak lurus OP maka gradiennya :
1
1
x
y
1
1
1
1
11
y
x
xym
mOP
g
y1
garis singgungP(x1, y1)
g
Y
XO
222 ryxL
x1 P’
Persamaan garis singgung g adalah : y – y1 = mg (x – x1)
y1 y – y12 = -x1 x + x1
2
x1 x + y1 y = x12 + y1
2
11
11 xx
y
xyy
x1 x + y1 y = r2
B. Untuk Lingkaran dengan Pusat di O(a, b) dan jari-jari r
1. Gradien garis AP adalah mAP =2. Garis singgung g tegak lurus
garis AP, sehingga gradien singgung g adalah
3. Persamaan garis singgung g adalah :
ax
by
1
1
by
ax
mm
APg
1
11
(x1 – a)(x – a) + (y1 – b)(y – b) = r2
Y
X
g
(y1 – b)
O
A(a, b)
( x1 – a)
P(x1, y1)
garis singgung
Conroh Soal …
Tentukan persamaan garis singgung lingkaran
Yang melalui titik (7, 2) 2513 22 yxL
Jawab :
titik (7, 2), x1 = 7 dan y1 = 2, terletak padaPersamaan garis singgungnya :(7 – 3)(x – 3) + (y – 2)(y + 1) = 254x – 12 + 3y + 3 = 254x + 3y – 34 = 0
Jadi, persamaan garis singgung yang melalui titik (7, 2) adalah4x + 3y – 34 = 0
2513 22 yxL
** Persamaan Garis Singgung Lingkaran yang gradiennya diketahui
-Persamaan garis dengan gradien m adalah y = mx + n-Subsitusikan y = mx + n ke persamaan lingkaran
Nilai diskriminan persamaan kuadratadalah
222 ryxL
021
22222
22222
222
rnmnxxm
rnmnxxmx
rnmxx
021 2222 rnmnxxm
D
A. Untuk lingkaran dengan pusat di O(0, 0) dan jari-jari r
2222
22222222
22222222
2222
4
44444
44
142
rnrmD
rnrmnmnmD
rnrmnmnmD
rnmmnD
-Karena garis menyinggung lingkaran, maka nilai diskriminan D = 0
-Subsitusikan ke persamaan garis y = mx + n, sehingga diperoleh :
B. Untuk lingkaran dengan pusat di A(a, b) dan jari-jari r
2
222
2222
2222
1
1
0
04
mrn
mrn
rnrm
rnrm
21 mrn
21 mrmxy
21 mraxmby
** Persamaan garis singgung lingkaran yang melalui sebuah titik di luar lingkaran.
X
Y
r
garis singgung 1
garis singgung 2
P(x1 , y1)
L
O
Persamaan lingkaranny :y – y1 = m(x – x1)
ATAU …..y = mx – mx1 + y1
Posisi Dua Lingkaran (Pengayaan)
1) -L1 dan L2 berpotongan di dalam jika pusat lingkaran L2 berada di dalam lingkaran L1 atau sebaliknya.- L1 dan L2 berpotongan di luar jika pusat lingkaran L2 berada di luar lingkaran L1 atau sebaliknya.
2) - L1 dan L2 bersinggungan di dalam.- L1 dan L2 bersinggungan di luar.
3) - L1 dan L2 tidak berpotongan maupun bersinggungan di dalam- L1 dan L2 tidak berpotongan maupun bersinggungan di luar- L1 dan L2 saling lepas.
Contoh Soal …
Tentukan posisi dua lingkaran berikut ini. dan 922
1 yxL 0966222 yxyxL
Jawab :
x2 + y2 - 9 - x2 + y2 – 6x – 6y - 9 = 6x + 6y – 18 = x + y – 3
y = -x + 3
Subsitusikan y = -x + 3 ke x2 + y2 - 9 = 0, diperoleh : x2 + (-x + 3)2 – 9 = 0 x2 + x2 – 6x + 9 – 9 = 0
2x2 – 6x = 0 x2 – 3x = 0, nilai diskriminannya D = (-3)2 – 4(1)(0) = 9 > 0
Karena D > 0, maka L1 dan L2 berpotongan di dua titik berbeda.
top related