persamaan maxwell
Post on 26-Oct-2015
236 Views
Preview:
DESCRIPTION
TRANSCRIPT
Modul 1-2 Persamaan Maxwell
Persamaan Maxwell dan gelombang elektromagnetik
1.1 The Displacement Current
Jika kawat pembawa arus memiliki simetri tertentu, medan magnet dapat diperoleh
menggunakan hukum Ampere:
(1.1.1)
Persamaan menyatakan bahwa integral garis dari medan magnet di sekitar lup
tertutup sembarang sama dengan encI0μ dimana adalah arus konduksi yang
mengalir pada permukaan yang dibatasi oleh lintasan tertutup. Sebagai tambahan,
sebagai konsekuensi hukum induksi Faraday, perubahan medan magnet dapat
menghasilkan medan listrik:
encI
(1.1.2)
Sebaliknya, perubahan medan listrik dapat menghasilkan medan magnet, dan suku
kanan Eq. (1.1.1) harus dimodifikasi untuk merefleksikan simetri antara E dan B.
Untuk memperlihatkan bagaimana medan magnet dapat dihasilkan dengan medan
listrik yang berubah terhadap waktu, kita fikirkan kapasitor yang sedang di-charge.
Selama proses charging, intensitas medan listrik bertambah terhadap waktu dan lebih
banyak muatan terakumulasi pada pelat. Arus konduksi pembawa muatan juga
menghasilkan medan magnet. Untuk menerapkan hukum Ampere menghitung
medan ini, dipilih kurva C seperti Figure 1.1.1 sebagai lup Amperian.
Elektromagnetika Telekomunikasi
Modul 1-2 Persamaan Maxwell
Figure 1.1.1 Permukaan S1 dan S2 dibatasi oleh kurva C.
Jika permukaan S1 yang dibatasi oleh permukaan datar, maka arus yang dilingkup
adalah . Bila kita memilih S2 menjadi permukaan yang dibatasi oleh kurva,
maka karena tidak ada arus yang lewat. Sehingga terdapat kontradiksi
dalam memilih permukaan yang dilingkup kurva C secara tepat. Maxwell
menyelesaikan masalah ini dengan menambahkan pada bagian kanan hukum
Ampere suku tambahan:
II enc =
0=encI
(1.1.3)
yang disebut “displacement current.” Suku ini menyatakan perubahan fluks listrik.
Sehingga hukum Ampere (atau Ampere-Maxwell) menjadi
(1.1.4)
Asal displacement current dapat dipahami sebagai berikut:
Figure 2.1.2 Displacement through S
2
Elektromagnetika Telekomunikasi
Modul 1-2 Persamaan Maxwell
Pada Figure 1.1.2, fluks listrik melewati S2 diberikan dengan persamaan
(1.1.5)
Dimana A adalah luas pelat kapasitor. Dari Eq. (1.1.3), displacement current
berhubungan dengan laju pertambahan muatan pada pelat
(1.1.6)
Meskipun demikian, suku pada sisi kanan sama dengan arus konduksi, I.
Sehingga, disimpulkan bahwa arus konduksi melalui S1 secara detil sama dengan
displacement current yang melewati S2,
dtdQ /
dII = . Dengan hukum Ampere-Maxwell,
kontradiksi dalam pemilihan permukaan yang dibatasi lup Amperian dapat diatasi.
2.2 Gauss’s Law for Magnetism Hukum Gauss untuk magnetika
Hukum Gauss untuk elektrostatika menyatakan bahwa fluks listrik melalui permukaan
tertutup sebanding dengan muatan yang dilingkupi (Figure 1.2.1a). Garis medan
listrik berasal dari muatan positif dan berakhir di muatan negative. Untuk kesetaraan
magnetik akan ada yang menulis
(1.2.1)
dimana adalah muatan magnetic (monopole) yang dilingkupi permukaan
Gaussian. Akan tetapi monopole magnetic yang terisolasi tidak pernah ditemukan.
Sehingga dan hukum Gauss untuk magnetika menjadi
mQ
0=mQ
(1.2.2)
Hal ini berimplikasi bahwa jumlah garis medan magnet yang memasuki permukaan
tertutup sama dengan jumlah garis medan yang meninggalkan permukaan. Ini berarti
Elektromagnetika Telekomunikasi
Modul 1-2 Persamaan Maxwell
tidak ada sumber. Garis harus kontinyu tanpa awal dan titik akhir. Dalam
kenyataannya, sebagaimana pada Figure 1.2.1(b) untuk batangan magnet, garis
medan yang berasal dari kutub utara ke kutub utara di luar magnet kembali lagi di
dalam magnet dan membentuk lup tertutu.
Figure 1.2.1 Gauss’s law for (a) electrostatics, and (b) magnetism.
1.3 Persamaan Maxwell
Empat persamaan yang membentuk dasar fenomena elektromagnetika:
Hukum Persamaan Interpretasi fisis
Fluks listrik melalui suatu
permukaan tertutup sebanding
dengan muatan yang dilingkupi
Perubahan fluks magnetic
menghasilkan medan listrik
Fluks magnetic total melalui
suatu permukaan tertutup
adalah nol
Arus listrik dan perubahan fluks
listrik menghasilkan medan
magnet
Semuanya dikenal sebagai persamaan Maxwell. Dapat pula ditulis dapat bentuk
diferensial:
Elektromagnetika Telekomunikasi
Modul 1-2 Persamaan Maxwell Dengan sumber Tanpa keberadaan sumber
0,0 == IQ
dimana ρ dan J adalah muatan bebas dan densitas arus konduksi.
Konsekuensi penting persamaan Maxwell, seperti akan dilihat, adalah prediksi
keberadaan gelombang elektromagnetik yang berjalan dengan kecepatan cahaya
00/1 εμ=c . Alasannya adalah karena fakta bahwa perubahan medan listrik
menghasilkan medan magnet dan sebaliknya, dan kapling antara kedua medan
membawa pada terbentuknya gelombang elektromagnetik. Prediksi ini dikonfirmasi
oleh H. Hertz pada 1887.
1.4 Plane Electromagnetic Waves
Untuk mengamati sifat gelombang elektromagnetik, fikirkan gelombang
elektromagnetik yang merambat pada arah +x, dengan medan listrik E mengarah ke
arah +y dan medan magnet B pada arah +z, seperti ditunjukkan 2.4.1 di bawah. Yang
dibahas di sini adalah gelombang bidang dimana E dan B uniform pada setiap bidang
yang tegak lurus terhadap arah perambatan. Gelombang adalah transversal karena
kedua gelombang tegak lurus terhadap arah rambah, yang menuju ke arah perkalian
silang E x B.
Elektromagnetika Telekomunikasi
Modul 1-2 Persamaan Maxwell
Figure 1.4.1 A plane electromagnetic wave
Menggunakan persamaan Maxwell akan diperoleh hubungan antara besar medan.
Untuk ini, fikirkan lup persegi pada bidang xy, seperti pada Figure 2.4.2. Diketahui
vektor satuan normal terhadap lup pada arah positif z, . kn ˆˆ =
Figure 1.4.2 Spatial variation of the
electric field
Figure 1.4.3 Spatial variation of the
magnetic field
Menggunakan hukum Faraday
(2.4.1)
Sisi kiri dapat dituliskan dengan
(1.4.2)
Dimana perluasannya dapat dibuat
(1.4.3)
Di sisi lain, laju perubahan fluks magnetic pada sisi kanan diberikan dengan
Elektromagnetika Telekomunikasi
Modul 1-2 Persamaan Maxwell
(1.4.4)
Menyamakan kedua persamaan dan dibagi dengan luas yxΔΔ menghasilkan
(1.4.5)
Syarat kedua pada hubungan antara medan listrik dan magnet dapat dideduksi
menggunakan persamaan Ampere-Maxwell:
(1.4.6)
Fikirkan lup persegi pada bidang xz yang digambarkan pada Figure 2.4.3, dengan
normal satuan . Integral garis dari medan magnet adalah jn ˆˆ =
(1.4.7)
Di sisi lain, turunan waktu dari fluks listrik adalah
(2.4.8)
Menyamakan dua persamaan dan dibagi dengan zxΔΔ diperoleh
(2.4.9)
Hasil menunjukkan bahwa medan listrik yang berubah terhadap waktu dihasilkan oleh
medan magnet yang berubah secara spasial. Menggunakan Eqs. (2.4.4) dan (2.4.8),
diverifikasi bahwa medan listrik dan magnet memenuhi persamaan gelombang satu
dimensi. Untuk menunjukkan ini, pertama dilakukan turunan parsial dari Eq. (1.4.5)
terhadap x, dan turunan parsial lain dari Eq. (1.4.9) terhadap t:
Elektromagnetika Telekomunikasi
Modul 1-2 Persamaan Maxwell
Perhatikan sifat interchange dari diferensiasi parsial:
(1.4.11)
Dengan cara yang sama, lakukan turunan parsial dari Eq. (1.4.9) terhadap x
menghasilkan, dan turunan parsial lainnya dari Eq. (1.4.5) terhadap t menghasilkan
Hasil dapat diringkaskan dengan :
(1.4.2)
Ingat bahwa bentuk umum dari persamaan gelombang satu dimensi diberikan
dengan
(1.4.14)
Dimana v adalah laju perambatan dan ),( txψ adalah fungsi gelombang, terlihat jelas
bahwa Ey dan Bz memenuhi persamaan gelombang dan merambat dengan
kecepatan cahaya:
Disimpulkan bahwa cahaya adalah gelombang elektromagnetik. Spektrum
gelombang elektromagnetik ditunjukkan pada Figure 1.4.4.
Elektromagnetika Telekomunikasi
Modul 1-2 Persamaan Maxwell
Figure 1.4.4 Electromagnetic spectrum
2.4.1 Persamaan gelombang satu dimensi
Setiap fungsi yang berbentuk )( vtx ±ψ memenuhi persamaan gelombang satu
dimensi yang ditunjukkan pada Eq. (1.4.14). Coba buktikan !!. Persamaan gelombang
adalah satu contoh persamaan diferensial linier, yang berarti bahwa ),(1 txψ dan
),(2 txψ adalah solusi terhadap persamaan gelombang, maka ),(),( 21 txtx ψψ ±
adalah juga solusi. Implifikasinya bahwa gelombang elektromagnetik mematuhi
prinsip superposisi. Satu kemungkinan solusi terhadap persamaan gelombang
adalah
(1.4.21)
Dimana medan adalah sinusoidal dengan amplitude E0 dan B0. Jumlah gelombang
angular k berhubungan dengan panjang gelombang λ dengan persamaan
(2.4.22)
Dan frekuensi angular ω adalah
Elektromagnetika Telekomunikasi
Modul 1-2 Persamaan Maxwell
(1.4.23)
Dimana f adalah frekuensi linier. Pada ruang hampa gelombang merambat dengan
kecepatan cahaya ν=c. Perilaku karakteristik dari gelombang elektromagnetik
sinusoidal diilustrasikan dalam Figure 1.4.5.
Figure 1.4.5 Plane electromagnetic wave propagating in the +x direction.
Kita lihat E dan medan B selalu satu fasa (mencapai maksima dan minima pada
waktu yang sama). Untuk memperoleh hubungan antara amplitudo medan E0 dan Bo,
kita gunakan Eqs. (1.4.4) dan (1.4.8). Mengambil turunan parsial akan menghasilkan
(1.4.24)
dan
(1.4.25)
Yang berimplikasi 00 BkE ω= atau
(1.4.26)
Dari Eqs. (2.4.20) dan (2.4.21), secara mudah diperlihatkan bahwa besar dari medan
pada sembarang jarak dihubungkan dengan
Elektromagnetika Telekomunikasi
Modul 1-2 Persamaan Maxwell
(1.4.27)
Mari kita ringkaskan fitur penting gelombang elektromagnetik pada Eq. (1.4.21):
1. Gelombang adalah transversal karena baik medan E dan B tegak lurus terhadap
arah rambat, yang mengarah pada hasil perkalian silang BE × .
2. Medan E dan B tegak lurus satu sama lain. Sehingga perkalian titiknya hilang
0=• BE .
3. Rasio besar dan amplitude medan adalah
4. Laju rambat dalam vakum setara dengan kecepatan cahaya 00/1 εμ=c .
5. Gelombang elektromagnetik mematuhi prinsip superposisi.
1.5 Standing Electromagnetic Waves
Mari kita periksa situasi dimana terdapat dua gelombang elektromagnetik bidang
sinusoidal, satu berjalan pada arah +x, dengan
(1.5.1)
Dan yang lainnya berjalan pada arah -x, dengan
(1.5.2)
Untuk mempermudah, diasumsikan bahwa gelombang elektromagnetik ini memiliki
amplitude yang sama ),( 0201002010 BBBEEE ==== dan juga panjang gelombang
),( 2121 ωωω ==== kkk . Menggunakan prinsip superposisi, medan listrik dan
medan magnet dapat dituliskan sebagai berikut,
(2.5.3)
Elektromagnetika Telekomunikasi
Modul 1-2 Persamaan Maxwell
dan
(1.5.4)
Menggunakan identitas
(1.5.5)
Persamaan di atas dapat dituliskan ulang sebagai
(1.5.6)
dan
(1.5.7)
Dapat diperiksa bahwa medan total dan masih memenuhi
persamaan gelombang pada Eq. (1.4.2), meskipnun tidak lagi memiliki bentuk
),( txE y ),( txBz
tkx ω± . Gelombang yang dijelaskan oleh Eqs. (1.5.6) dan (1.5.7) adalah standing
waves, yang tidak merambat tetapi hanya berosilasi pada ruang dan waktu.
Pertama diperiksa ketergantungan medan terhadap ruang. Eq. (1.5.6)
memperlihatkan bahwa medan listrik total tetap nol pada setiap waktu jika atau 0=kx
(1.5.8)
Bidang yang mengandung titik-titik ini disebut nodal planes dari medan listrik. Di sisi
lain, ketika 1sin ±=kx atau
(1.5.9)
Amplitude medan berada pada maksimumnya. Bidang yang mengandung titik-titik ini
disebut anti-nodal planes dari mdan listrik. Perhatikan bahwa di antara dua nodal
planes, terdapat sebuah anti-nodal plane, dan sebaliknya.
Elektromagnetika Telekomunikasi
Modul 1-2 Persamaan Maxwell
Untuk medan magnet, nodal planes harus mengandung titik-titik yang sesuai kondisi
. Ini menghasilkan 0cos =kx
(1.5.10)
Mirip dengan itu, anti-nodal planes untuk B mengandung titik-titik yang memenuhi
atau 1cos ±=kx
(1.5.11)
Sehingga, kita melihat bahwa sebuah nodal plane dari medan magnet
berkorespondensi dengan sebuah anti-nodal plane dari medan magnet dan
sebaliknya.
Untuk ketergantungan waktu, Eq. (1.5.6) memperlihatkan bahwa medan listrik nol
dimanapun saat 0sin =tω , atau
(1.5.12)
Dimana ωπ /2/1 == fT adalah periode. Meskipun demikian, ini adalah kondisi
maksimum untuk medan magnet. Sehingga, tidak seperti gelombang elektromagnetik
berjalan dimana medan listrik dan magnet selalui sefasa, pada standing
electromagnetic waves, kedua medan berbeda fasa 90 derajat.
Standing electromagnetic waves dapat dibentuk dengan confining gelombang
elektromagnetik di antara konduktor reflector sempurna, sepeti diperlihatkan pada
Figure 2.4.6.
Elektromagnetika Telekomunikasi
Modul 1-2 Persamaan Maxwell
Figure 1.4.6 Formation of standing electromagnetic waves using two perfectly
reflecting conductors.
1.6 Poynting Vector
Pada bagian sebelumnya sudah dipelajari bahwa medan listrik dan magnet
menyimpan energi. Sehingga, energi dapat juga dibawa dengan gelombang
elektromagnetik yang mengandung keduanya. Fikirkan sebuah gelombang
elektromagnetik bidang melewati elemen volume kecil seluas A dan ketebalan dx,
seperti pada Figure 1.6.1.
Figure 1.6.1 Electromagnetic wave passing through a volume element
Energi total pada elemen volume diberikan dengan
(2.6.1)
Elektromagnetika Telekomunikasi
Modul 1-2 Persamaan Maxwell
dimana
(1.6.2)
Adalah densitas energi yang berhubungan dengan medan listrik dan magnet. Karena
gelombang elektromagnetik merambat dengan kecepatan cahaya c, waktu yang
diperlukan untuk bergerak melalui elemen volume adalah cdxdt /= . Sehingga dapat
diperoleh laju perubahan energi persatuan luas, dilambangkan dengan S sebagai
berikut
(1.6.3)
Satuan SI dari S adalah W/m2. Perhatikan bahwa cBE = dan 00/1 εμ=c ,
persamaan di atas dapat ditulis ulang sebagai
(1.6.4)
Secara umum, laju aliran energi persatuan luas dapat dijelaskan dengan Poynting
vector S (after the British physicist John Poynting), yang didefinisikan sebagai
(1.6.5)
Yang menunjuk pada arah rambat. Karena E dan B tegak lurus, maka besar S adalah
(1.6.6)
Sebagai contoh, misalkan komponen listrik dari gelombang elektromagnetik bidang
adalah jtkxEE ˆ)cos(0 ω−= . Komponen magnetik terkait adalah
ktkxBB ˆ)cos(0 ω−= dan arah rambat adalah +x. Poynting vector dapat diperoleh
dengan
Elektromagnetika Telekomunikasi
Modul 1-2 Persamaan Maxwell
Figure 1.6.2 Poynting vector for a plane wave
Seperti diharapkan, S menunjuk kea rah rambat gelombang (lihat Figure 1.6.2).
Intensitas gelombang, I, didefinisikan sebagai rerata waktu dari S, diberikan dengan
(1.6.8)
Dimana kita menggunakan
(1.6.9)
Untuk menghubungkan intensitas dengan densitas energi, pertama perhatikan
kesetaraan antara densitas energi listrik dan magnetic:
(1.6.10)
Rerata densitas energi total menjadi
(1.6.11)
Sehingga, intensitas dihubungkan dengan densitas energi dengan
(1.6.12)
Elektromagnetika Telekomunikasi
top related