philippe cara vrije universiteit brusselhomepages.vub.ac.be/~pcara/hobby/vwo2009talk.pdf · 2009....
Post on 24-Jan-2021
3 Views
Preview:
TRANSCRIPT
1 / 54
Wiskundig valt er veel in de plooi
Philippe Cara
Vrije Universiteit Brussel
pcara@vub.ac.be
Leuven, 13 mei 2009
ORIGAMI!
2 / 54
■ ORIGAMI = kunst vanhet papiervouwen
■ China, 1ste of 2de eeuw■ Japan 6de eeuw, Europa
in 12de eeuw
ORIGAMI!
3 / 54
■ ORIGAMI = kunst vanhet papiervouwen
■ China, 1ste of 2de eeuw■ Japan 6de eeuw, Europa
in 12de eeuw■ 1797: Hiden Senbazuru
Orikata■ 1880: “Oru” (plooien)
“Kami” (papier)■ 1935: Yoshizawa voert
symbolen en diagrammenin
Hoe maken we. . . ?
4 / 54
Waarom ik ?
5 / 54
Waarom ik ?
5 / 54
Papiervouwen : een hobby ?
6 / 54
■ Ontspannend, weinigrisico
■ Interesseert meetkundi-gen
■ Interesseert wiskundigen
Papiervouwen : een hobby ?
7 / 54
■ Ontspannend, weinigrisico
■ Interesseert meetkundi-gen
■ Interesseert wiskundigen■ Interessant voor het on-
derwijs
Papiervouwen : een hobby ?
8 / 54
■ Ontspannend, weinigrisico
■ Interesseert meetkundi-gen
■ Interesseert wiskundigen■ Interessant voor het on-
derwijs■ Interessant voor vei-
ligheid en ruimte
Papiervouwen : een hobby ?
9 / 54
■ Ontspannend, weinigrisico
■ Interesseert meetkundi-gen
■ Interesseert wiskundigen■ Interessant voor het on-
derwijs■ Interessant voor vei-
ligheid en ruimte
Papiervouwen : een hobby ?
10 / 54
■ Ontspannend, weinigrisico
■ Interesseert meetkundi-gen
■ Interesseert wiskundigen■ Interessant voor het on-
derwijs■ Interessant voor vei-
ligheid en ruimte
Papiervouwen : een hobby ?
11 / 54
■ Ontspannend, weinigrisico
■ Interesseert meetkundi-gen
■ Interesseert wiskundigen■ Interessant voor het on-
derwijs■ Interessant voor vei-
ligheid en ruimte■ Interessant in de ge-
neeskunde
Papiervouwen : een hobby ?
12 / 54
■ Ontspannend, weinigrisico
■ Interesseert meetkundi-gen
■ Interesseert wiskundigen■ Interessant voor het on-
derwijs■ Interessant voor vei-
ligheid en ruimte■ Interessant in de ge-
neeskunde
13 / 54
WAT KAN GECONSTRUEERD WORDEN ?
Meetkundige constructies
14 / 54
Alle constructies die in de Elementen van Euklides voorkomenzijn gebaseerd op het gebruik van passer en liniaal.
Meetkundige constructies
14 / 54
Alle constructies die in de Elementen van Euklides voorkomenzijn gebaseerd op het gebruik van passer en liniaal.
1. Tussen twee verschillende punten kan men steeds eenrechte lijn trekken.
2. Elke eindige rechte lijn kan steeds oneindig verlengdworden op een continue wijze.
3. Men kan steeds een cirkel tekenen indien zijn middelpunten een straal gegeven zijn.
We kunnen tweedegraadsvergelijkingen
oplossen
15 / 54
■ y − y1 = y2−y1
x2−x1
(x − x1)
■ (x − x1)2 + (y − y1)
2 = R2
Onmogelijke constructies
16 / 54
Drie problemen waarvoor men eeuwenlang tevergeefs naar eenoplossing zocht:
1. De duplicatie van de kubus = de constructie van de zijdevan een kubus die een volume heeft gelijk aan hetdubbele van dat van een gegeven kubus.
2. De trisectie van de hoek = de verdeling van een gegevenwillekeurige hoek in drie evengrote hoeken.
3. De kwadratuur van de cirkel = de constructie van eenvierkant met dezelfde oppervlakte als een gegeven cirkel.
Onmogelijke constructies
17 / 54
1. De duplicatie van de kubus : z3D = 2z3 ⇐⇒ zD = 3
√2z.
Onmogelijke constructies
17 / 54
1. De duplicatie van de kubus : z3D = 2z3 ⇐⇒ zD = 3
√2z.
2. De trisectie van de hoek : derdegraadsvergelijking :cos 3θ = 4 cos3 θ − 3 cos θ.
Onmogelijke constructies
17 / 54
1. De duplicatie van de kubus : z3D = 2z3 ⇐⇒ zD = 3
√2z.
2. De trisectie van de hoek : derdegraadsvergelijking :cos 3θ = 4 cos3 θ − 3 cos θ.
3. De kwadratuur van de cirkel : construeer√
π.
Onmogelijke constructies
17 / 54
1. De duplicatie van de kubus : z3D = 2z3 ⇐⇒ zD = 3
√2z.
2. De trisectie van de hoek : derdegraadsvergelijking :cos 3θ = 4 cos3 θ − 3 cos θ.
3. De kwadratuur van de cirkel : construeer√
π.
Galoistheorie =⇒ geen van deze drie problemen heeft eenoplossing met passer en liniaal.
Met passer en geijkte liniaal
18 / 54
Eerste stappen
19 / 54
Eerste stappen
19 / 54
Eerste stappen
19 / 54
Eerste stappen
19 / 54
Binaire breuken
20 / 54
■ We kunnen alle breuken1
2nconstrueren!
Binaire breuken
20 / 54
■ We kunnen alle breuken1
2nconstrueren!
■ We kunnen dus ook de m2n
maken, in 2n−1 vouwen.
Binaire schrijfwijze van getallen
21 / 54
384 =3×102+8×101+4×100
Binaire schrijfwijze van getallen
21 / 54
384 =3×102+8×101+4×100
101 =1×22+0×21+1×20
Binaire schrijfwijze van getallen
21 / 54
384.678=3×102+8×101+4×100 +6×10−1+7×10−2+8×10−3
101 =1×22+0×21+1×20
Binaire schrijfwijze van getallen
21 / 54
384.678=3×102+8×101+4×100 +6×10−1+7×10−2+8×10−3
101.001=1×22+0×21+1×20 +0×2−1+0×2−2+1×2−3
Binaire schrijfwijze van getallen
21 / 54
384.678=3×102+8×101+4×100 +6×10−1+7×10−2+8×10−3
101.001=1×22+0×21+1×20 +0×2−1+0×2−2+1×2−3
We kunnen dus binaire breuken m2n
met m < 2n schrijven als“binaire kommagetallen”.
Binaire schrijfwijze van getallen
21 / 54
384.678=3×102+8×101+4×100 +6×10−1+7×10−2+8×10−3
101.001=1×22+0×21+1×20 +0×2−1+0×2−2+1×2−3
We kunnen dus binaire breuken m2n
met m < 2n schrijven als“binaire kommagetallen”.
.111= 1×2−1+1×2−2+1×2−3 = 7
8
Binaire breuken
22 / 54
.11001 = 1×2−1 +1×2−2 +0×2−3 +0×2−4 +1×2−5 =25
32
.11001 =1
2(1 + 1 × 2−1 + 0 × 2−2 + 0 × 2−3 + 1 × 2−4)
...
.11001 =1
2(1 +
1
2(1 +
1
2(0 +
1
2(0 +
1
2(1)))))
We kunnen 25
32berekenen door van rechts naar links te lezen
en, afhankelijk van wat er staat,
1. plus 0, maal 1
2
2. plus 1, maal 1
2
Deze twee bewerkingen met papier
23 / 54
r
Deze twee bewerkingen met papier
23 / 54
r r1
2(0 + r)
Deze twee bewerkingen met papier
23 / 54
r r1
2(0 + r)
r
Deze twee bewerkingen met papier
23 / 54
r r1
2(0 + r)
r r1
2(1 + r)
Efficientie!
24 / 54
Hier slechts n vouwen nodig!!!
25
32= .11001 = 1×2−1 +1×2−2 +0×2−3 +0×2−4 +1×2−5
Benaderingen
25 / 54
1
3= .0101010101 . . .
Benaderingen
25 / 54
1
3= .0101010101 . . .
Dus vouw bovenkant naar benden, onderkant naar bovenbovenkant naar beneden, onderkant naar boven, bovenkantnaar benden, onderkant naar boven bovenkant naar beneden,onderkant naar boven, bovenkant naar benden, onderkantnaar boven bovenkant naar beneden, onderkant naar boven,. . .
Willekeurige breuken
26 / 54
w
z
x
y
y
Willekeurige breuken
26 / 54
w
z
x
y
y
■ Y = w + x−w
y+zX = w + (x − w)X
Willekeurige breuken
26 / 54
w
z
x
y
y
■ Y = w + x−w
y+zX = w + (x − w)X
■ Diagonaal ≡ X = Y
Willekeurige breuken
26 / 54
w
z
x
y
y
■ Y = w + x−w
y+zX = w + (x − w)X
■ Diagonaal ≡ X = Y■ Y (1 − (x − w)) = w ⇐⇒ y = w
1−x+w
Willekeurige breuken
26 / 54
w
z
x
y
y
■ Y = w + x−w
y+zX = w + (x − w)X
■ Diagonaal ≡ X = Y■ Y (1 − (x − w)) = w ⇐⇒ y = w
1−x+w
■ z = 1 − y = 1−x1−x+w
Willekeurige breuken
26 / 54
w
z
x
y
y
■ Y = w + x−w
y+zX = w + (x − w)X
■ Diagonaal ≡ X = Y■ Y (1 − (x − w)) = w ⇐⇒ y = w
1−x+w
■ z = 1 − y = 1−x1−x+w
■ Zij p = 2n en stel w = mp
en x = np
met m,n < p
Willekeurige breuken
26 / 54
w
z
x
y
y
■ Y = w + x−w
y+zX = w + (x − w)X
■ Diagonaal ≡ X = Y■ Y (1 − (x − w)) = w ⇐⇒ y = w
1−x+w
■ z = 1 − y = 1−x1−x+w
■ Zij p = 2n en stel w = mp
en x = np
met m,n < p
■ Dan y = mp+m−n
en z = p−n
p+m−n.
Constructie van a/b
27 / 54
■ Dan y = mp+m−n
en z = p−n
p+m−n.
■ m := a, n = a − b + p met p = 2n zo dat p ≥ a enp ≥ b − a.
Constructie van a/b
27 / 54
■ Dan y = mp+m−n
en z = p−n
p+m−n.
■ m := a, n = a − b + p met p = 2n zo dat p ≥ a enp ≥ b − a.
■ Voorbeeld: voor 1
3nemen we p = 2, m = 1 en n = 0
Constructie van a/b
27 / 54
■ Dan y = mp+m−n
en z = p−n
p+m−n.
■ m := a, n = a − b + p met p = 2n zo dat p ≥ a enp ≥ b − a.
■ Voorbeeld: voor 1
3nemen we p = 2, m = 1 en n = 0
■
Origami axioma’s
28 / 54
Twee punten −→ rechte vouwen die ze verbindt.
Origami axioma’s
29 / 54
p1 en p2 −→ zo plooien dat p1 op p2 terecht komt.
Origami axioma’s
30 / 54
Twee rechten l1 en l2 −→ die op elkaar vouwen.
Origami axioma’s
31 / 54
Punt p1 en een rechte l1 −→ loodlijn op l1 door p1
construeren.
Origami axioma’s
32 / 54
p1 en p2 samen met een rechte l1 −→ een vouw maken doorp2 zo dat p1 op l1 terecht komt.
Origami axioma’s
33 / 54
1. Twee punten −→ rechte vouwen die ze verbindt.2. p en q −→ zo plooien dat p op q terecht komt.3. Twee rechten L en M −→ die op elkaar vouwen.4. Punt p en een rechte L −→ loodlijn op L door p
construeren.5. p en q samen met een rechte L −→ een vouw maken
door q zo dat p op L terecht komt.
De meetkunde der spiegelingen!
Trisectie
34 / 54
Trisectie
35 / 54
Trisectie
36 / 54
Trisectie
37 / 54
Origami axioma’s
38 / 54
Twee punten p1, p2 en twee rechten l1, l2 −→ een vouwmaken zo dat p1 op l1 komt en p2 op l2.
Zonder instrumenten ?
39 / 54
1. Twee punten −→ rechte vouwen die ze verbindt.2. p en q −→ zo plooien dat p op q terecht komt.3. Twee rechten L en M −→ die op elkaar vouwen.4. Punt p en een rechte L −→ loodlijn op L door p
construeren.5. p en q samen met een rechte L −→ een vouw maken
door q zo dat p op L terecht komt.6. Twee punten p, q en twee rechten L,M −→ een vouw
maken zo dat p op L komt en q op M .
Plooien is beter dan Euklides!
40 / 54
Door axioma 6 kunnen we derdegraadsvergelijkingen oplossen!
Stelling. Met papierplooien kan je juist evenveel als met
passer en geijkte liniaal.
Plooien is beter dan Euklides!
40 / 54
Door axioma 6 kunnen we derdegraadsvergelijkingen oplossen!
Stelling. Met papierplooien kan je juist evenveel als met
passer en geijkte liniaal.
7de axioma : Gegeven p en l1, l2, kunnen we een vouwmaken, loodrecht op l2, die p afbeeldt op l1.
Duplicatie van de kubus
41 / 54
Duplicatie van de kubus
41 / 54
Erik Demaine
42 / 54
■ Geboren op 28 februari1981 in Canada.
■ Werd op 20-jarige leeftijdprof op MIT.
■ Uiterst multidisciplinair!■ Meer dan 100 publi-
caties!■ Werkt veel op gebied van
origami en wiskundigeveralgemeningen vanvouwen.
■ Houdt ook van comput-ers.
■
http://erikdemaine.org
Pasen
43 / 54
Verpakkingsprobleem
44 / 54
De kubus: 2√
2z Mozartkugel = eenheidssfeer1.6π2 < 2π2
Er valt veel in de plooi
45 / 54
En er valt nog veel meer in de plooi!
Modulaire origami
46 / 54
Modulaire origami
47 / 54
Modulaire origami
48 / 54
Modulaire origami
49 / 54
Modulaire origami
50 / 54
Modulaire origami
51 / 54
Modulaire origami
52 / 54
Modulaire origami
53 / 54
Modulaire origami
54 / 54
top related