physical properties

เอกสารประกอบการเรยน รายวชา ว30202 สมบตเชงกลของสาร โรงเรยนมหดลวทยานสรณ

สาขาวชาฟสกส โรงเรยนมหดลวทยานสรณ

1

สมบตเชงกลของสาร

ภาพสะพานทเหนคงเปนทคนตาของนกเรยนหลายคนเพราะหากเดนทางโดยรถยนตจากกรงเทพมหา -นครสโรงเรยนมหดลวทยานสรณ แนนอนวานกเรยนตองเหนสะพานพระรามแปดททอดยาวขามแมนาเจาพระยา ซงนบเปนสถาปตยกรรมทมความงดงามอกแหงหนงของประเทศไทยเลยทเดยว กอนจะเกดความงดงามเชนน วศวกรตองใชความรเกยวกบสมบตเชงกลของวสดทจะนามาเปนโครงสราง เพอใหไดสะพานคงทนแขงแรงสามารถรองรบนาหนกของรถทแลนผาน รวมไปถงตว

สะพานเอง ยงไมรวมถงการสกหรอหรอเสอมสภาพจากปจจยอนๆ ในบทเรยนนนกเรยนจะไดศกษาสมบตเชงกลของของแขง รวมไปถงของเหลวซงจะกลาวถงในภายหลง เพอเปนพนฐานความรใชในการอธบายสมบตตางๆของสงทนกเรยนพบเหนในชวตประจาวน และเปนพนฐานสาหรบการศกษาดานวสดศาสตรในระดบทสงขน

คณสมบตเชงกลของวสด เชน ความแขง (Hardness) ความแขงแรง (Strength) ความเหนยว (Ductility) ฯลฯ เปนสงทจะบอกวาวสดนนๆ สามารถทจะรบหรอทนทานแรง หรอพลงงานเชงกลภายนอกทมากระทาไดดมากนอยเพยงใด ในงานวศวกรรมคณสมบตเชงกลมความสาคญมากทสด เพราะเมอเราจะเลอกใชวสดใดๆ กตาม สงแรกทจะนามาพจารณากคอ คณสมบตเชงกลของมน การทเครองจกรหรออปกรณใดๆ จะสามารถทางานไดอยางปลอดภยขนอยกบคณสมบตเชงกลของวสดทใชทาเครองจกร อปกรณนนๆ เปนสาคญ สถานะของสาร

จากความรเดม เราทราบวาสถานะของสาร ม 3 สถานะ คอ ของแขง ของเหลว และแกส สารทมสถานะเปนของเหลวหรอแกสบางทเรยกรวมกนวาของไหลเพราะสารทงสองสถานะสามารถไหลได

1. ของแขง เปนสถานะทมรปรางและปรมาตรคงทในอณหภมปกต มรปทรงตางๆเชน กอนหน ไม ยาง ดนสอ เทยนไข และเหลก เปนตน

2. ของเหลว เปนสถานะทมรปรางไมคงทแนนอนในอณหภมปกต จะเปลยนตามภาชนะทบรรจอย แตมปรมาตรคงท เชน นา นามน ปรอท แอลกอฮอล เปนตน

3. แกส เปนสถานะทมรปรางและปรมาตรไมคงทแนนอนในอณหภมปกต มการเปลยนแปลงอยเสมอ รปรางและปรมาตรจะเหมอนกบรปรางภาชนะทบรรจ เชนแกส

เอกสารประกอบการเรยน รายวชา ว30202 สมบตเชงกลของสาร โรงเรยนมหดลวทยานสรณ

สาขาวชาฟสกส โรงเรยนมหดลวทยานสรณ

2

ในทนจะขอกลาวถงคณสมบตเชงกลของสารในสถานะของแขง สวนของเหลวจะกลาวถงในลาดบตอไป 1. ความเคน (Stress)

ความเคนหมายถง แรงตานทานภายในเนอวสดทมตอแรงภายนอกทมากระทาตอหนงหนวยพนท แตเนองจากความไมเหมาะสมทางปฏบต และความยากในการวดหาคาน เราจงมกจะพดถงความเคนในรปของแรงภายนอกทมากระทาตอหนงหนวยพนท ดวยเหตผลทวา แรงกระทาภายนอกมความสมดลกบแรงตานทานภายใน

รปท 1 แรงภายนอกและแรงภายในทกระทาตอวตถ

รปท 2 แรงเคนปกตและแรงเคนเฉอน

พจารณาพนทหนาตดดงรปท 1 ซงถกแบงออกเปนพนทเลก ๆ พจารณา ซงแสดงในรปท 2 พบวามแรง กระทาบนพนท แรงนเกดจากแรงองคประกอบสองทศทาง

คอ และ ซงเกดในแนวตงฉาก(Normal) และในแนวขนาน(Tangent ) ถา เปนพนทเลกๆเขาใกลศนย แรง มขนาดเลกมาก ผลหารของแรงภายในตอพนทเลกๆนเรยกวา ความเคน (Stress) ซงหมายถง ความเขมของแรงภายในบนพนททแรงกระทาหรอแรงลพธภายในตอพนทหนาตดทแรงกระทา โดยความเคนแบงออกเปน 2 ประเภท ดงน 1. 1 ความเคนปกต (Normal Stress) ความเคนปกตเปนความเขมของแรง หรอแรงภายในตอหนวยพนท แรงภายในนนตองกระทาตงไดฉากกบพนท ใชสญลกษณ คอ ( Sigma ) สาหรบพนใดๆเมอ

0ΔA → จะไดวา

dAdF

σ n=

โดยกาหนดให หมายถง ความเคน (Stress) มหนวยเปนปาสกาล (Pa,

1 Pa = 1N/m2) หรอ kgf/mm2 หรอ psi (lbf/in2) F หมายถง แรงภายนอกทมากระทา มหนวยเปน N หรอ kgf หรอ lbf A หมายถง พนทภาคตดขวางทแรงกระทา : m2 หรอ mm2

เอกสารประกอบการเรยน รายวชา ว30202 สมบตเชงกลของสาร โรงเรยนมหดลวทยานสรณ

สาขาวชาฟสกส โรงเรยนมหดลวทยานสรณ

3

ความเคนปกตเฉลย วตถทมรปแบบสมาเสมอ คงทตลอด เมอมแรงกระทาในแนวแกนทางดานปลายทงสองของวตถ ไม

วาจะเปนวตถทแขวนอย (Hanger)หรอมการมดรวมกนอย (Truss Member) หรอยดดวยโบลท วตถเหลานจะเกดความเคนเฉลยกระจายทวทงพนทหนาตดตลอดแนวแกนของวตถ สาหรบการวเคราะห ภาระภายในบนภาคตด ขวางจะพจารณาพนทหนาตดของวตถทตงฉากกบแรง ถาไมคดนาหนกของวตถจะไดดงรปท การสมดลของสวนวตถทถกตดจะเกดแรงลพธภายใน (Internal Result Force) ทกระทาบนภาคตดขวาง(Cross Section)จะมคาสมดลเทากบขนาดของแรงภายนอกทมากระทา

รปท 3 แรงภายนอกและแรงภายในทกระทาตอวตถ

รปท 4 แสดงแรงภายในทเกดขนบนหนาตด

หากตดวตถใหมรปแบบคงทจะเกดความเคนปกตคงท ( Constant Normal Stress ) กระจายอยอยางสมาเสมอตลอดพนทหนาตดของวตถ เนองจากแตละพนท บนพนทสมาเสมอหนาตดนจะมแรงกระทา σΔAΔF = และผลรวมของแรงบนพนทเลก ๆ เหลานจะมคาเทากบแรง F ซงเปนผลลพธของแรงภายใน ถาเราพจารณาพนทเลกมากๆ โดยหนดให dAΔA = และ dFΔF = และคาความเคน คงท จะไดดงน

ดงนน σAF = เมอกาหนดให หมายถง ความเคนเฉลย ณ จดทกจดบนพนทหนาตด F หมายถง ผลลพธของแรงปกตภายใน ซงแรงนจะผานจดศนยถวงของวตถในแนวแกนทแรงกระทาบนพนทหนาตด A หมายถง พนทหนาตดของวตถทแรงลพธกระทาเพอทจะใหคงไวซงการเปลยนแปลงรปแบบอยางสมาเสมอ ของวตถ

แรงภายใน Internal Force

พนทหนาตด cross section area

แรงภายนอก External Force

F

F

F

F

F

F F F F F

A

เอกสารประกอบการเรยน รายวชา ว30202 สมบตเชงกลของสาร โรงเรยนมหดลวทยานสรณ

สาขาวชาฟสกส โรงเรยนมหดลวทยานสรณ

4

1.2 ความเคนเฉอน ( Shear Stress ) ความเคนเฉอน ใชสญลกษณคอ τ เกดขนเมอมแรงมากระทาใหทศทางขนานกบพนทภาคตดขวางดงรป

ท 2 แรงเฉอน tFΔ กระทาในแนวขนานบนพนทเลกๆ ΔA ทาใหเกดความเคนเฉอนบนพนทหนาตด สาหรบพนใดๆเมอ 0ΔA → จะไดวา

dAdF

AΔFlimτ tt

0ΔA==

→

dAdFτ t=

รปท 5 รปแสดงแรงกระทาททาใหความเคนปกตและความเคนเฉอน

ในกรณวตถมคณสมบตสมาเสมอมดงรปท 5 ความเคนเฉอนจะมคาเทากนในทกๆจดบนระนาบเดยวกน

เทากบความเคนเฉอนเฉลย โดยมคาเทากบแรงเฉอน (Shear Force) หารดวยพนทภาคตดขวาง A ซงขนานกบทศทางของแรงเฉอน ดงน

∫∫∫ ==

=

At

t

dAττdAdF

τdAdF

จะได τAFt = เมอ τ หมายถง ความเคนเฉอนเฉลย ณ จดทกจดบนพนทหนาตด

tF หมายถง ผลลพธของแรงเฉอนภายใน ซงแรงนมคาเทากบแรงเฉอนภายนอกทกระทาตอวตถ A หมายถง พนทหนาตดของวตถทมระนาบขนานกบแนวของแรงเฉอนทกระทา ในทางปฏบตความเคนทเกดจะมทงความเคนอดหรอดง และความเคนเฉอนพรอมๆกนกนดงรปท 5 สวนในกรณทเกดความเคนเฉอนอยางเดยวเชนกรณทมแรงภายนอกพยายามดงวตถใหเลอนออกจากกน ความเคนเฉอนจะมคาเทากบ อตราสวนระหวางแรงเฉอนตอพนททมระนาบขนานกบแรงเฉอนนนดงรปท 6 A

รปท 6 แสดงการเคลอนผานกนของวตถเมอไดรบความเคนเฉอน

Fn F Ft

F F

F F

จากรปจะได F/Aτ =

A

เอกสารประกอบการเรยน รายวชา ว30202 สมบตเชงกลของสาร โรงเรยนมหดลวทยานสรณ

สาขาวชาฟสกส โรงเรยนมหดลวทยานสรณ

5

2. ความเครยดกบการเปลยนแปลงรปราง ( Strain ) ความเครยด (Strain) คอ การเปลยนแปลงรปรางของวสด (Deformation) เมอมแรงภายนอกมากระทา (เกดความเคน) การเปลยนรปของวสดนเปนผลมาจากการเคลอนทภายในเนอวสด ซงลกษณะของมนสามารถแบงเปน 2 ชนดใหญ ๆ คอ

1. การเปลยนรปแบบอลาสตกหรอความเครยดแบบคนรป (Elastic Deformation or Elastic Strain) เปนการเปลยนรปในลกษณะทเมอปลดแรงกระทา อะตอมซงเคลอนไหวเนองจากผลของความเคนจะเคลอนกลบเขาตาแหนงเดม ทาใหวสดคงรปรางเดมไวได ตวอยางไดแก พวกยางยด, สปรง ถาเราดงมนแลวปลอยมนจะกลบไปมขนาดเทาเดม

2. การเปลยนรปแบบพลาสตกหรอความเครยดแบบคงรป (Plastic Deformation or Plastic Strain) เปนการเปลยนรปทถงแมวาจะปลดแรงกระทานนออกแลววสดกยงคงรปรางตามทถกเปลยนไปนน โดยอะตอมทเคลอนทไปแลวจะไมกลบไปตาแหนงเดม

วสดทกชนดจะมพฤตกรรมการเปลยนรปทงสองชนดนขนอยกบแรงทมากระทา หรอความเคนวามมากนอยเพยงใด หากไมเกนพกดการคนรป (Elastic Limit) แลว วสดนนกจะมพฤตกรรมคนรปแบบอลาสตก (Elastic Behavior) แตถาความเคนเกนกวาพกดการคนรปแลววสดกจะเกดการเปลยนรปแบบถาวรหรอแบบพลาสตก (Plastic Deformation) นอกจากความเครยดทง 2 ชนดนแลว ยงมความเครยดอกประเภทหนงซงพบในวสดประเภทโพลเมอร เชน พลาสตก เรยกวาความเครยดกงอลาสตกจะมลกษณะทเมอปราศจากแรงกระทาวสดจะมการคนรป แตจะไมกลบไปจนมลกษณะเหมอนเดม การวดและคานวณหาคาความเครยดมอย 2 ลกษณะคอ

2.1 ความเครยดตามยาวหรอความเครยดเชงเสน (Linear Strain) สญลกษณ คอ ε จะเกดขนเมอแรงทมากระทามลกษณะเปนแรงดงหรอแรงกด คาของความเครยดจะเทากบความยาวทเปลยนไปตอความยาวเดม อยางไรกตามโดยทวไปคาความเครยดเชงเสนนจะขนอยกบตาแหนงของวสด และอาจคานวณไดโดยการพจารณาการยดตวของชนสวน dL เลกๆ ณ ตาแหนงนนๆ

รปท 7 แสดงการยดของชนสวน dL ใดๆในวตถเมอไดรบความความเคนดง

ความเครยดเชงเสน ณ ตาแหนงใดๆ เปนไปตามสมการ

จากรปชนสวน dL มความเครยดเทากบ

เมอ δd คอความยาวทเปลยนแปลงไปจากเดมของชนสวน dL

dLd dL δ+

ddLδε =

ddLδε =

เอกสารประกอบการเรยน รายวชา ว30202 สมบตเชงกลของสาร โรงเรยนมหดลวทยานสรณ

สาขาวชาฟสกส โรงเรยนมหดลวทยานสรณ

6

ถาหากชนสวนทรบแรงดงมพนทหนาตดคงทตลอดความยาว มคณสมบตเปนเนอเดยวกนตลอด และแรงดงกระทาผานจดศนยถวงของหนาตด ความเครยดตามยาวทเกดขนจะมคาคงท มคาเทากบความเครยดเฉลย ดงน

รปท 8 ความเครยดตามยาวเฉลย

วตถมความยาวเดมเปน L0 และมความยาวเปลยนไปจากเดม เปน 0LL −=δ เมอไดรบความเคน ความเครยดเฉลยมคาเทากบ

0Lδε =

2.2 ความเครยดเฉอน ความเครยดเฉอน (Shear Strain) ใชกบกรณทแรงทกระทามลกษณะเปนแรงเฉอน (τ ) ดงรป คาของ

ความเครยดจะเทากบระยะทเคลอนทไปตอระยะหางระหวางระนาบ ดงสมการ

γ =ah

รปท 9 ความเครยดเฉอน

เมอ γ = θθ ≈tan (หนวย radian ในกรณทเปนมมเลกๆ) a = ระยะทเคลอนไป (displacement ) h = ระยะหางระหวางระนาบ θ = มมทเปลยนไป

จะเหนไดวาคาของความเครยดทงสองแบบไมมหนวย เพราะตวตงและตวหารมหนวยเปนความยาวอยแลว 3. ความสมพนธระหวางความเคนกบความเครยด (Stress-Strain Relationship) ในการแสดงความสมพนธระหวางความเคนและความเครยด ในทนเราจะใชเสนโคงความเคน-ความเครยด (Stress-Strain Curve) ซงไดจากการทดสอบแรงดง (Tensile Test) เปนหลก โดยจะพลอตคาของความเคนในแกนตงและความเครยดในแกนนอน ดงรปท 10 การทดสอบแรงดงนอกจากจะใหความสมพนธระหวางความเคน-ความเครยดแลว ยงจะแสดงความสามารถในการรบแรงดงของวสด ความเปราะ เหนยวของวสด (Brittleness

F F

เอกสารประกอบการเรยน รายวชา ว30202 สมบตเชงกลของสาร โรงเรยนมหดลวทยานสรณ

สาขาวชาฟสกส โรงเรยนมหดลวทยานสรณ

7

and Ductility) และบางครงอาจใชบอกความสามารถในการขนรปของวสด (Formability) ไดอกดวย

รปท 10 เสนโคงความเคน-ความเครยด (Stress-Strain Curve) แบบมจดคราก (Yield Point)

การทดสอบแรงดง (Tension Test) วธการทดสอบนน เราจะนาตวอยางทจะทดสอบมาดงอยางชา ๆ แลวบนทกคาของความเคนและความเครยดทเกดขนไว แลวมาพลอตเปนเสนโคงดงรปท 10 ขนาดและรปรางของชนทดสอบมตาง ๆ กน ขนอยกบชนดของวสดนน ๆ มาตรฐานตาง ๆ ของการทดสอบ เชน มาตรฐานของ ASTM (American Society of Testing and Materials), BS (British Standards), JIS (Japanese Industrial Standards) หรอแมแต มอก. (มาตรฐานผลตภณฑอตสาหกรรมไทย) ไดกาหนดขนาดและรปรางของชนทดสอบไว ทงนเพอใหผลของการทดสอบเชอถอได พรอมกบกาหนดความเรวในการเพมแรงกระทาเอาไวดวย จากการศกษาเสนโคงความเคน-ความเครยด เราพบวา เมอเราเรมดงชนทดสอบอยางชา ๆ ชนทดสอบจะคอย ๆ ยดออก จนถงจดจดหนง (จด A) ซงในชวงนความสมพนธระหวางความเคน-ความเครยดจะเปนสดสวนคงท ทาใหเราไดกราฟทเปนเสนตรง ตามกฎของฮค (Hook's law) ซงกลาววาความเคนเปนสดสวนโดยตรงกบความเครยด จด A น เรยกวาพกดสดสวน (Proportional Limit) และภายใตพกดสดสวนน วสดจะแสดงพฤตกรรมการคนรปแบบอลาสตก (Elastic Behavior) นนคอเมอปลอยแรงกระทา ชนทดสอบจะกลบไปมขนาดเทาเดม เมอเราเพมแรงกระทาตอไปจนเกนพกดสดสวน เสนกราฟจะคอย ๆ โคงออกจากเสนตรง วสดหลายชนดจะยงคงแสดงพฤตกรรมการคนรปไดอกเลกนอยจนถงจด ๆ หนง (จด B) เรยกวา พกดยดหยน (Elastic limit) ซงจดนจะเปนจดกาหนดวาความเคนสงสดทจะไมทาใหเกดการแปรรปถาวร (Permanent Deformation or Offset) กบวสด

เอกสารประกอบการเรยน รายวชา ว30202 สมบตเชงกลของสาร โรงเรยนมหดลวทยานสรณ

สาขาวชาฟสกส โรงเรยนมหดลวทยานสรณ

8

นน เมอผานจดนไปแลววสดจะมการเปลยนรปอยางถาวร (Plastic Deformation) ลกษณะการเรมตนของความเครยดแบบพลาสตกนเปลยนแปลงไปตามชนดของวสดในโลหะหลายชนด เชน พวกเหลกกลาคารบอนตา (Low Carbon Steel) จะเกดการเปลยนรปอยางรวดเรว โดยไมมการเพมความเคน (บางครงอาจจะลดลงกม) ทจด C

ซงเปนจดทเกดการเปลยนรปแบบพลาสตก จด C นเรยกวาจดคราก (Yield Point) และคาของความเคนทจดน

เรยกวา ความเคนจดคราก (Yield Stress) หรอ Yield Strength คา Yield Strength นมประโยชนกบวศวกรมาก เพราะเปนจดแบงระหวางพฤตกรรมการคนรปกบพฤตกรรมการคงรป และในกรณของโลหะจะเปนคาความแขงแรงสงสดทเราคงใชประโยชนไดโดยไมเกดการเสยหาย วสดหลายชนดเชน อะลมเนยม ทองแดง จะไมแสดงจดครากอยางชดเจน แตเรากมวธทจะหาไดโดยกาหนดความเครยดท 0.10 - 0.20% ของความยาวกาหนดเดม (Original Gage Length) แลวลากเสนขนานกบกราฟชวงแรกไปจนตดเสนกราฟทโคงไปทางดานขวา ดงรปท 11 คาความเคนทจดตดนจะนามาใชแทนคาความเคนจดครากได ความเคนทจดนบางครงเรยกวา ความเคนพสจน (Proof Stress) หรอความเคน 0.1 หรอ 0.2% offset ดงแสดงในรปท 11

ความเคน ความเครยดพสจน

ความเครยด

รปท 11 เสนโคงความเคน-ความเครยดแบบทไมมจดคราก

หลงจากจดครากแลว วสดจะเปลยนรปแบบพลาสตกโดยความเคนจะคอย ๆ เพมอยางชา ๆ หรออาจจะคงทจนถงจดสงสด (จด D) คาความเคนทจดนเรยกวา Ultimate Strength หรอความเคนแรงดง (Tensile Strength) ซงเปนคาความเคนสงสดทวสดจะทนไดกอนทจะขาดหรอแตกออกจากกน (Fracture) เนองจากวสดหลายชนดสามารถเปลยนรปอยางพลาสตกไดมาก ๆ คาความเคนสงสดนสามารถนามาคานวณใชงานได นอกจากน คานยงใชเปนดชนเปรยบเทยบคณสมบตของวสดไดดวยวา คาวา ความแขงแรง (Strength) ของวสด หรอ กาลงวสดนน โดยทวไป จะหมายถงคาความเคนสงสดทวสดทนไดนเอง

0.1 – 0.2 %

เอกสารประกอบการเรยน รายวชา ว30202 สมบตเชงกลของสาร โรงเรยนมหดลวทยานสรณ

สาขาวชาฟสกส โรงเรยนมหดลวทยานสรณ

9

ทจดสดทาย (จด E) ของกราฟ เปนจดทวสดเกดการแตกหรอขาดออกจากกน (Fracture) สาหรบโลหะบางชนด เชน เหลกกลาคารบอนตาหรอโลหะเหนยว คาความเคนประลย (Rupture Strength) นจะตากวาความเคนสงสด เพราะเมอเลยจด D ไป พนทภาคตดขวางของตวอยางทดสอบลดลง ทาใหพนทจะตานทานแรงดงลดลงดวย ในขณะทเรายงคงคานวณคาของความเคนจากพนทหนาตดเดมของวสดกอนทจะทาการทดสอบแรงดง ดงนนคาของความเคนจงลดลง สวนโลหะอน ๆ เชน โลหะทผานการขนรปเยน (Cold Work) มาแลว มนจะแตกหกทจดความเคนสงสด โดยไมมการลดขนาดพนทภาคตดขวาง ดงรป 12 a ทานองเดยวกบพวกวสดเปราะ (Brittle Materials) เชน เซรามค ทมการเปลยนรปอยางพลาสตกนอยมากหรอไมมเลย สวนกรณของวสดทเปนพลาสตกจะเกดแตกหกโดยทตองการความเคนสงขน ดงรป 12 b

รปท 12 เปรยบเทยบเสนโคงความเคน-ความเครยดของวสดเปราะและวสดพลาสตก เสนโคงความเคน-ความเครยดน นอกจากจะใชบอกคาความแขงแรง ณ จดคราก (Yield Strength) ความเคนสงสดและความเคนประลยแลว ยงจะใชบอกคาตาง ๆ ไดอกดงน คอ

3.1 ความเหนยว (Ductility) คาทใชวดจะบอกเปนเปอรเซนต การยดตว (Percentage Elongation) และการลดพนทภาคตดขวาง (Reduction of Area) ในทางปฏบตเรามกใชคา %El มากกวาเพราะสะดวกในการวด ความเหนยวของวสดนจะเปนตวบอกความสามารถในการขนรปของมน คอถาวสดมความเหนยวด (%El สง) กสามารถนาไปขนรป เชน รด ตขนรป ดงเปนลวด ฯลฯ ไดงาย แตถามความเหนยวตา (เปราะ , Brittle) กจะนาไปขนรปยาก หรอทาไมได เปนตน 3.2. Modulus of Elasticity or Stiffness ภายใตพกดสดสวนซงวสดมพฤตกรรมเปนอลาสตก อตราสวนระหวางความเคนตอความเครยดจะเทากบคาคงท คาคงทนเรยกวา Modulus of elasticity (E) หรอ Young's

ความเคน ความเครยด

12 a วสดเปราะ

ความเคน ความเครยด

12 b วสดพลาสตก

เอกสารประกอบการเรยน รายวชา ว30202 สมบตเชงกลของสาร โรงเรยนมหดลวทยานสรณ

สาขาวชาฟสกส โรงเรยนมหดลวทยานสรณ

10

Modulus หรอ Stiffness มกมหนวยเปน ksi (1 ksi=1000 psi) หรอ kgf/mm2 หรอ GPa ถาแรงทมากระทาเปนแรงเฉอนเราเรยกคาคงทนวา Shear Modulus หรอ Modulus of Rigidity (G) คา E และ G ของวสดแตละชนดจะมคาเฉลยคงท และเปนตวบอกความสามารถคงรป (Stiffness, Rigidity) ของวสด นนคอ ถา E และ G มคาสง วสดจะเปลยนรปอยางอลาสตกไดนอย แตถา E และ G ตา มนกจะเปลยนรปอยางอลาสตกไดมาก คา E และ G นมประโยชนมากสาหรบงานออกแบบวสดทตองรบแรงตาง ๆ ตารางท 1 จะแสดงตวอยางคา E ของวสด ตางๆ

ตารางท 1 ตวอยางคามอดลสของยงสาหรบวสดบางชนด

วสด มอดลสของยง , E ( x 1011 N/m2 )

ตะกว 0.16

แกว 0.55

อลมเนยม 0.70

ทองเหลอง 0.91

ทองแดง 1.1

เหลก 1.9

เหลกกลา 2.0

ทงสเตน 3.6 การคานวณหาคามอดลสของยง คามอดลสของยง คออตราสวนระหวางความเคนตอความเครยด มความสมพนธตามสมการ

εσ

=E เมอแทนคาความเคนและความเครยด จะไดวา

0Ll

AF

EΔ

=

δ

0LAFE ⋅=

เมอ E หมายถง คามอดลสของยง ( Young’s Modulus ) มหนวยเปน N/m2

F หมายถง แรงเคน มหนวยเปน N A หมายถง พนทหนาตด มหนวยเปน m2 L0 และ δ หมายถง ความยาวของวตถเดมและความยาวทเปลยนแปลงตามลาดบมหนวยเปน m

เอกสารประกอบการเรยน รายวชา ว30202 สมบตเชงกลของสาร โรงเรยนมหดลวทยานสรณ

สาขาวชาฟสกส โรงเรยนมหดลวทยานสรณ

11

*** การคานวณระยะยดกรณทวตถมพนทหนาตดไมสมาเสมอ

กรณทวตถมพนทหนาตดไมสมาเสมอ เราจะพจารณาจากสวนเลกๆในวตถทมความยาว dL เมอไดรบ

แรงเคนตามยาวดงรปทาใหวตถยดออกโดยแตละสวน dL เลกๆ จะยดออกเปนระยะ δd ตางๆกนขนอยกบพนทหนาตดของชนสวน dL ดงนนในการหาระยะยดทงหมดของวตถ จงตองอาศยการอนทเกรตตลอดความยาวของวสด กรณออกแรงเคนกระทาตอวตถ และวตถยงคงมสภาพยดหยนเปนไปตามกฎของฮก จะสามารถคานวณหาระยะยดทงหมดของวสด(δ ) ไดดงน จากนยามของความเครยด จะไดวา dLd εδ =

เมอแทนคาจากนยามของความเคน εσ

=E

จะได ดงนนความยาวทยดออกทงหมด

ในกรณท F และ A คงท จะไดวา AEFL

=δ

ตวอยางการคานวณเรองสมบตเชงกลของของแขง ตวอยาง 1 ลวดทองแดงเสนหนงยาว 4 เมตร มพนทภาคตดขวาง 1 x 10-8ตารางเมตร มคายงมอดลสเปน 1.1 x 1011

นวตนตอตารางเมตร จะตองออกแรงดงเทาใดจงจะทาใหลวดเสนนยดออกอก 1 มลลเมตร

แนวคด หาแรงทใชในการดงลวดจาก δ

0LAFE ⋅= จะได

0LEAF δ⋅⋅

=

จากโจทย L0= 4 m , A = 1 x 10-8 m2 , E = 1.1 x 1011 N/m2 , δ = 1 x 10-3 m

แทนคา Nm

mxNmxmxF 275.0)(4

)(101)(101.1)(101 321128

=⋅⋅

=−−−

ตอบ 0.275 นวตน

dL

d dL δ+

ddLδε =

dd LE

σδ =

∫∫ ==LL

dLAEFdL

Eσδ

เอกสารประกอบการเรยน รายวชา ว30202 สมบตเชงกลของสาร โรงเรยนมหดลวทยานสรณ

สาขาวชาฟสกส โรงเรยนมหดลวทยานสรณ

12

ตวอยางท 2 สายเคเบลเหลกมพนทภาคตดขวาง 3.0 x 10-4 ตารางเมตร ผกตดกบลฟทซงหนก 8000 นวตน ถาใน การใชลฟทกาหนดใหความเคนทกระทากบสายเคเบลมคาไมเกน 0.25 ของขอบเขตความยดหยน จงหาคาความเรงสงสดในการเคลอนทขนของลฟท ถาสายเคเบลเหลกมคาขอบเขตความยดหยน 2.8 x 108 นวตนตอตามรางเมตร แนวคด เขยนแรงทเกดขนกบตวลฟท F 800 x 9.8 N ตอบ ลฟทเคลอนทดวยความเรงสงสดไดไม เกน 16.45 เมตร/วนาท2

จาก AF

=σ หรอ AF σ=

แทนคา F = 0.25 x 2.8 x 108x 3.0 x 10-4 N F = 2.1 x 104 N หาคาความเรงจาก ∑ = maF แทนคา

216.45m/sa800

13,160a

800a7,84021,000a800F

=

=

=−⋅=− )8.9800( x

ตวอยางท 3 ลวดเหลกดงลฟทมความเคนทขดจากดความยดหยนเทากบ 2 x 108 นวตนตอตารางเมตร และม

พนทหนาตด 2.0 x 10-4 เมตร2 ถาลฟทมสมภาระมวล 2,000 กโลกรม ลฟทนสามารถเคลอนทดวยความเรงสงสดเทาใด ลวดจงจะไมยดเกนขดจากด กาหนดคา g = 9.8 m/s2 ( 10.2 เมตร/วนาท2 )

m=800 kg

เอกสารประกอบการเรยน รายวชา ว30202 สมบตเชงกลของสาร โรงเรยนมหดลวทยานสรณ

สาขาวชาฟสกส โรงเรยนมหดลวทยานสรณ

13

ตวอยางท 4 ลวดทาดวยโลหะตางชนดกนสองเสนยาวเทากน มพนทหนาตดเปน 0.1 และ 0.18 ตารางเซนตเมตร เมอดงลวดทงสองดวยแรงเทากน มนจะยดออกยาวเทากบ 0.3 และ 0.2 เซนตเมตร ตามลาดบ จงหาอตราสวนของมอดลสของยงของลวดเสนทหนง ตอมอดลลสของยงของลวดเสนทสอง ( 6/5 )

ตวอยางท 5 ลกตมมมวล 20 กโลกรม สายแขวนลกตมเปนลวดเหลกยาว 10 เมตร มพนทภาคตดขวาง 5 x 10-6 ตา

รางแมตร ปลอยใหลกตมแกวงเปนมมกวาง โดยมอตราเรวทจดตาสด 10 เมตร/วนาท ความยาวของเสนลวดทยดเพมขนจากเมอแขวนอยนงมคาเทาใด ใหมอดลสยงของเหลกมคาเทากบ 20 x 1010 นวตน/ตารางเมตร ( 2 x 10-3 m )

เอกสารประกอบการเรยน รายวชา ว30202 สมบตเชงกลของสาร โรงเรยนมหดลวทยานสรณ

สาขาวชาฟสกส โรงเรยนมหดลวทยานสรณ

14

ตวอยางท 6 จงคานวณหาระยะยดของวตถเนองจากแรงภายนอกขนาด 100 กโลนวตน ทกระทาทปลายทงสองดานของแผนวตถหนา 20 มลลเมตร ยาว 10 เมตร โดยมความของปลายสองดานไมเทากน ดานหนงกวาง 40 มลลเมตร และปลายอกดานหนงกวาง 120 มลลเมตร ดงแสดงในรป เมอวตถมคามอดลสของยงเปน 200 จกะพาสคล

กาหนด ∫ = xdx

xln1 และ dxxu

dxdxdu ⋅= )()(

แนวคด เนองจากวตถมพนทหนาตดไมสมาเสมอจงหาความยาวทเปลยนแปลงโดยการอนทเกรต

จาก ∫∫ ==LL

dLAEFdL

Eσδ และ A = xy

…………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………..

หนา 20 มลลเมตร กวาง 40 มลลเมตร

x dx

10 เมตร

y F = 100 กโลพาสคล

y

กวาง 120 มลลเมตร

F = 100 กโลพาสคล x