physik a vl9 (26.10.2012) - uni-muenster.de...2012/10/26 · heliozentrisches weltbild (nikolaus...
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Physik A – VL9 (26.10.2012)
Angewandte Dynamik – Bewegungsgleichungen,
Beispiel: Planetenbewegungen
• Bewegungsgleichungen
• Beispiel: Planetenbewegungen
Bewegungsgleichungen
• Darstellung von Bewegungen über Bewegungsgleichungen:
2
2
dt
rdm
dt
vdmamF
0)( vtm
Fdt
m
Ftvdt
m
Fvd
v0 = 0: t
m
Ftv
)(
00
2
2
1)()( rtvtF
mdt
tvdtr
v0 = 0, s0 = 0:2
2
1)( tF
mtr
Anfangs- / Randbedingungen
tFvmvm
)(
Bewegungsgleichungen
• Beispiel: Darstellung des Wurfverhaltens über Bewegungsgleichung
gmF
Wirkende Kraft:
Vektorielle Bewegungsgleichung: Anwendbar auf beliebige Wurfbewegungen!
00
2
0
2
2
1
2
1)( rtvtgrtvtgm
mtr
Beispiel 1: senkrechter Wurf, Bewegungsgleichung in Komponentenschreibweise
1. Anfangsbedingungen:
0
00
0;
0
0
vvr
2. Bewegungsgleichung:
tvgttytr
0
2
2
10
)(
0)(
Vergleich mit Beziehung für Wurfhöhe aus kinematischer Betrachtung: 2
02
tg
tvh
Bewegungsgleichungen
• Beispiel: Darstellung des Wurfverhaltens über Bewegungsgleichung
gmF
Wirkende Kraft:
Vektorielle Bewegungsgleichung: Anwendbar auf beliebige Wurfbewegungen!
00
2
2
1)( rtvtgm
mtr
Beispiel 2a: schräger Wurf, BG in Komponentenschreibweise
1. Anfangsbed.:
00
00
0
0
00sin
cos;
0
0
v
v
v
vvr
y
x
2. Bewegungsgleichung:
2
00
00
2
1sin
cos
)(gttv
tv
tr
Gleichung für Ort der Kugel aus der Kinematik: 2
,0,02
1; gttvystvxs yyxx
gtv
vtv
00
00
sin
cos)(
Bewegungsgleichungen
• Beispiel: Darstellung des Wurfverhaltens über Bewegungsgleichung
gmF
Wirkende Kraft:
Vektorielle Bewegungsgleichung: Anwendbar auf beliebige Wurfbewegungen!
00
2
2
1)( rtvtgm
mtr
Bewegungsgleichung:
2
00
00
2
1sin
cos
)(gttv
tv
tr
Beispiel 2b: schräger Wurf, Wurfparabel aus Bewegungsgl.
00
00cos
cos
v
xttvx
2
0000
00
2
00cos2
1
cossin
2
1sin
v
xg
v
xvgttvy
2
0
22
0
0cos2
tan xv
gxy
Wurfparabel aus
Kinematik: 2
2
,0,0
,0
2x
v
gx
v
vy
xx
y
Bewegungsgleichungen
mit der Differentialgleichung
können alle Bewegungsvorgänge aufgrund ihrer Ursache (resultierende Kraft
auf den Körper) beschrieben werden.
rmvmamF
Die wichtigsten Zusammenhänge der Kinematik
Planetenbewegungen
Anwendungsbeispiel: Planetenbewegung und Gravitationsgesetz
• Massen ziehen sich gegenseitig an; Beispiel: Sonne und Planeten
• aus astronomischen Beobachtungen der Planeten kann das Gravitationsgesetz
hergeleitet werden
Johannes Kepler leitete mit Hilfe dieser Daten die Keplerschen Gesetze ab. Er erkannte jedoch nicht das Gravitationsgesetz, das er daraus hätte herleiten können.
Johannes Kepler(1571 – 1630)
Tycho Brahe(1546 – 1601)
Tycho Brahe sammelte von 1571 – 1601 mit bloßem Auge (ohne Fernrohr) sehr genaue Daten der Planetenbewegung
Planetenbewegungen
Geschichtliches: geozentrisches vs. heliozentrisches Weltbild
geozentrisches Weltbild (Ptolemäus 84-160 n. Chr.)
Einteilung der hellsten
Sterne in Tierkreiszeichen
(Antike)
Im Mittelalter:Hildegard von Bingen:
de operati dei
Erde ruht im
Zentrum des
Universums,
Planeten, Mond
und Sonne um-
kreisen sie.
heliozentrisches Weltbild (Nikolaus Kopernikus 1473-
1543, Galileo Galilei (1564 -
1642)
Sonne ruht im Zentrum,
Planeten umkreisen sie
Tag und Nacht lassen sich durch die Eigenrotation
der Erde erklären
Planetenbewegungen
Die Keplerschen Gesetze
1. Die Planeten bewegen sich auf Ellipsen, in deren einem
Brennpunkt die Sonne steht
2. Ein von der Sonne zum
Planeten gezogener Fahrstrahl
überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen.
Johannes Kepler(1571 – 1630)
3. Die Quadrate der Umlaufzeiten zweier Planeten verhalten sich wie die
dritten Potenzen der großen Halbachsen der Bahnellipsen.
.3
2
3
1
2
2
2
1 constCr
r
T
T
T1
T2
r2
r2
Planetenbewegungen
Johannes Kepler(1571 – 1630)
vereinfachende Annahme: Planeten bewegen sich auf
Kreisbahnen
Nach dem Gesetz von ‘actio = reactio’ wechselwirkt die Erde mit der Sonne.
Beide Körper ziehen sich mit der Kraft F an:
Johannes Kepler leitete mit Hilfe der Daten Tycho Brahes die Keplerschen Gesetze ab. Er erkannte jedoch nicht das Gravitationsgesetz, das er daraus hätte herleiten können.
Die Grundlage dafür schuf Newton:
Tycho Brahe(1546 – 1601)
r
M
m
F
F = m2r
Kraft der Sonne auf die Erde2
2 2
TmrrmmaF
3. Kepler’sches Gesetz:
.32
3
2
3
1
2
2
2
1 constrTCr
r
T
T
3
2
3
2
2
2 444
rCm
rCmr
TmrF
Gravitationsgesetz
Newton 1686
2
211
2
22
2
1068,64
mit 4
kg
Nm
CMG
r
mMG
rCMmMF
Planetenbewegungen
Bestimmung der Gravitationskonstante:
• Cavendish (1797) mit Gravitationsdrehwaage von John Michell
Messung der Kraft zwischen einer Probe und einer festen Masse
durch Messung der Anziehung zwischen den Massen:
Henry Cavendish(1731 – 1810)2
12
21
r
mmGFG
%21kg
Nm1075,6
2
211
1797,
CavendishG
• heutiges Experiment
Messung der Kraft über Torsionsfaden, Bestimmung der Auslenkung über Spiegel
und Licht-/Laserstrahl
2
311
s
kgm10673,6G
Planetenbewegungen
Planetenbewegung und Gravitationsgesetz:
Kosmische/astronautische Geschwindigkeiten
Geschwindigkeiten: 1. Umlaufbahn, Fluchtgeschwindigkeiten: 2. Erde, 3. Sonnensystem,
4. Milchstrasse
• um einen Körper der Masse m im Schwerefeld anzuheben, muss Arbeit gegen die
Schwerkraft geleistet werden:
Arbeit für Hub von r1 auf r2:
2
1
2
121
2
11r
r
r
r rrGmMdr
r
mMGdrFW
Arbeit für Hub von r1 = R = Erdradius auf Höhe h: r2 = R + h
hR
hmgR
hR
h
R
GmM
hRRGmMW
11
g auf der Erdoberfläche
(Erdradius R, Erdmasse M)2R
MG
m
Fg G 2r
mMGmaF
2
2
2 )()()(
hR
Rg
hR
MG
m
Fhg G
g in Höhe h über der Erdoberfläche
Arbeit für R >> h: mghhR
h
R
GmMW
Planetenbewegungen
Planetenbewegung und Gravitationsgesetz:
Kosmische/astronautische Geschwindigkeiten
1. kosmische Geschwindigkeit: Geschwindigkeit auf
einer stabilen Umlaufbahn
• Geschwindigkeit auf einer Umlaufbahn:
Schwerkraft = Fliehkraft: FF = FG
2
2
22
)()(
)(
hR
RmghgmF
hR
mvhRmF
G
F
)()(
2
hR
gRhv
• Für erdnahe Satelliten (h << R):
km/s 9,71 gRv
1. kosmische Geschwindigkeit
Planetenbewegungen
Planetenbewegung und Gravitationsgesetz:
Kosmische/astronautische Geschwindigkeiten
2. kosmische Geschwindigkeit: Fluchtgeschwindigkeit
von der Erde bzw. von einer Umlaufbahn
• Fluchtgeschwindigkeit von Umlaufbahn:
kinetische Energie so groß wie Arbeit,
um Körper ins Unendliche zu bringen
)/(1
1
2
1 2
hRmgR
Rh
hmgRWmvEkin
)/(1
2
hR
gRv
gRvh 2 km/s 2,1122 gRv
2. kosmische Geschwindigkeit
Planetenbewegungen
Erste und zweite kosmische Geschwindigkeit: Flugbahnen
km/s 2,112
km/s 9,7
2
1
gRv
gRv
http://de.wikipedia.org/wiki/Parabel_%28Mathematik%29
Planetenbewegungen
Wie können Kräfte auf große Distanzen wirken ?
gelöst durch Konzept des Feldes:
Gravitationsfeld
Gravitationsgesetz
Eine kurze Diskussion des Gravitationsgesetzes:
• Analogie zwischen Gravitationsgesetz und zweitem Newtonschen Axiom: Masse
Masse ist Ursache für die Trägheit:
träge Masse
Masse verursacht Gravitationskraft:
schwere Masse
- Das Äquivalenzprinzip geht auf Überlegungen von Galileo Galilei (1636/38) zurück.
- Die Äquivalenz von träger Masse und schwerer Masse wird in Isaac Newtons
Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (1687) formuliert, bleibt aber dort
unerklärt.
- Äquivalenzprinzip der allgemeinen Relativitätstheorie (Albert Einstein 1916)
gmF sG
amF t
• experimentell findet man: träge Masse = schwere Masse:
ga
mm ts
Alle Körper fallen (bei vernachlässigter Reibung mit der Luft) im Erdschwerefeld gleich,
unabhängig von ihrer Masse.
Träge Masse kann sich ändern, schwere Masse nicht
Beispiel: Gewichtsbestimmung im Aufzug
• Wenn ein Aufzug startet oder bremst, ändert sich die
resultierende Kraft auf die Waage, nicht die Gewichtskraft:
gmmgF Messung „Normalfall“:
)(/ agmF real
downup Im Aufzug:
g
agmm real
Messung
)(
kg 70;m/s 1 2 realma
kg 9,66
kg 1,77
down
Messung
up
Messung
m
m
Zusätzliche Beschleunigung ändert die träge Masse, nicht aber die schwere Masse
Gravitationsgesetz
FFF G
up
FF
F
G
down
Zusammenfassung
• Bewegungsgleichungen
Mit der Differentialgleichung
können alle Bewegungsvorgänge aufgrund ihrer Ursache (resultierende Kraft auf den Körper)
beschrieben werden.
• Planetenbewegungen
• Planeten bewegen sich im heliozentrischen System: Sonne im Mittelpunkt, Planeten kreisen darum
• aus den Kepler‘schen Gesetzen kann das Gravitationsgesetz hergeleitet werden.
• Berechnung von 1. (7,9 km/s) und 2. kosmischer Geschwindigkeit (11,2 km/s)
• Diskussion des Gravitationsgesetzes
• Masse verursacht Gravitationskraft: schwere Masse
• Masse ist Ursache für die Trägheit: träge Masse
• Äquivalenzprinzip: träge Masse = schwere Masse
Alle Körper fallen (bei vernachlässigter Reibung mit der Luft) im Erdschwerefeld gleich,
unabhängig von ihrer Masse.
• träge Masse kann sich ändern (zusätzl. Beschleunigung), schwere Masse nicht
rmvmamF
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