podkowa smale’a jako klasyk chaosu - strona główna · podkowa smale’a jako klasyk chaosu...
Post on 01-Mar-2019
226 Views
Preview:
TRANSCRIPT
Podkowa Smale’ajako
klasyk chaosu
Justyna Signerska
jussig@wp.pl
Wydział Fizyki Technicznej i Matematyki Stosowanej,
Politechnika Gdanska
IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMw – p. 1/??
Odwzorowanie podkowa
DefinicjaNiech S = [0, 1] × [0, 1].Najprostsze odwzorowanie podkowa Mh : S → R
2 okreslamygeometrycznie w nastepujacy sposób:
1. dokonujemy kontrakcji kwadratu w kierunku poziomym doszerokosci λ, gdzie 0 < λ < 1
2 : S → [0, λ] × [0, 1]
2. otrzymany prostokat rozciagamy w kierunku pionowym dowysokosci µ, gdzie 2 + ǫ < µ:[0, λ] × [0, 1] → [0, λ] × [0, µ]
3. prostokat o wymiarach λ × µ zginamy i umieszczamy nawyjsciowym kwadracie S w taki sposób, aby przecinał onkwadrat S dwukrotnie - otrzymujemy Mh(S)
4. powtarzamy proces uzywajac Mh(S) zamiast S itd.IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMw – p. 3/??
Zbiór niezmienniczy
DefinicjaZbiorem niezmienniczym odwzorowania f nazywamy zbiór X owłasnosci:
∀x ∈ X f(x) ∈ X
IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMw – p. 7/??
Zbiór niezmienniczy
Obraz pierwszej iteracji wstecz M−1h (S):
IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMw – p. 7/??
Zbiór niezmienniczy
M−2
h (Vij) = Hij
W S nie ma atraktoraIV Matematyczne Warsztaty KaeNeMw – p. 7/??
Zbiór niezmienniczy
Niech:∆n = Mn
h (S) ∩ S
∆−n = M−nh (S) ∩ S
Wtedy:∆1 = V0 ∪ V1
∆2 = V00 ∪ V01 ∪ V11 ∪ V10
∆−1 = H0 ∪ H1
∆−2 = H00∪H01∪H11∪H10
Zbiór niezmienniczy ∆ odwzorowania podkowa Mh uzyskujemyjako:
∆ = ∆+ ∩ ∆−,
gdzie
∆+ =∞⋂
i=0
∆n(S), ∆− =∞⋂
i=0
∆−n(S).
IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMw – p. 8/??
Zbiór niezmienniczy
∆ ⊂ (H0 ∪ H1) ∩ (V0 ∪ V1)
∆ ⊂ (H00 ∪ H01 ∪ H11 ∪ H10) ∩ (V00 ∪ V01 ∪ V11 ∪ V10) itd. ...
IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMw – p. 9/??
Zbiór niezmienniczy
∆ ⊂ (H0 ∪ H1) ∩ (V0 ∪ V1)
∆ ⊂ (H00 ∪ H01 ∪ H11 ∪ H10) ∩ (V00 ∪ V01 ∪ V11 ∪ V10) itd. ...
IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMw – p. 9/??
Zbiór niezmienniczy
∆ ⊂ (H0 ∪ H1) ∩ (V0 ∪ V1)
∆ ⊂ (H00 ∪ H01 ∪ H11 ∪ H10) ∩ (V00 ∪ V01 ∪ V11 ∪ V10) itd. ...
Zbiór niezmienniczy jest iloczynem kartezjanskim dwóch zbiorówCantora.
IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMw – p. 9/??
Dynamika symboliczna
Σ = {0, 1}Z - zbiór wszystkich podwójnie nieskonczonych ciagówa = (an), n ∈ Z z metryka:
d(α, β) =∑
k∈Z
|αk − βk|2|k|
Punkt x ∈ ∆ mozemy okreslic za pomoca podwójnienieskonczonego ciagu symboli a:
a = ...a−3a−2a−1.a0a1a2...,
gdzie:
ai =
0, dla M ih(x) ∈ H0;
1, dla M ih(x) ∈ H1.
(1)
IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMw – p. 11/??
Shift map
Shift map
σ : Σ → Σ
a = (an), a′ = σ(a) = (an+1)
tj. ∀i a′
i = ai+1
Z (1) otrzymujemy:
a′i =
0, dla M i+1h (x) = M i
h(Mh(x)) ∈ H0;
1, dla M i+1h (x) = M i
h(Mh(x)) ∈ H1.(2)
IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMw – p. 12/??
Dynamika symboliczna
Niech φ : ∆ → Σ okresla zwiazek miedzy x ∈ ∆, a ciagiem symbolia ∈ Σ, a = φ(x).Wtedy:
σ(a) = φ(Mh(x))
Mh ↾∆= φ−1 ◦ σ ◦ φ
Σσ // Σ
φ−1
��∆
φ
OO
Mh
// ∆
Dynamike symboliczna odpowiadajaca odwzorowaniu Mh ↾∆
nazywamy przesunieciem zupełnym na dwóch symbolach.
IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMw – p. 13/??
Własno sci Mh ↾∆
istnieja dwa punkty stałe,
dla kazdego n ∈ N odwzorowanie Mh ↾∆ posiada 2n
orbit okresowych o okresie n
IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMw – p. 15/??
Własno sci Mh ↾∆
istnieja dwa punkty stałe,
dla kazdego n ∈ N odwzorowanie Mh ↾∆ posiada 2n
orbit okresowych o okresie n
istnieja orbity okresowe o dowolnie długim okresie
IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMw – p. 15/??
Własno sci Mh ↾∆
istnieja dwa punkty stałe,
dla kazdego n ∈ N odwzorowanie Mh ↾∆ posiada 2n
orbit okresowych o okresie n
istnieja orbity okresowe o dowolnie długim okresie
orbit okresowych jest przeliczalnie wiele
IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMw – p. 15/??
Własno sci Mh ↾∆
istnieja dwa punkty stałe,
dla kazdego n ∈ N odwzorowanie Mh ↾∆ posiada 2n
orbit okresowych o okresie n
istnieja orbity okresowe o dowolnie długim okresie
orbit okresowych jest przeliczalnie wiele
zbiór orbit nieokresowych jest nieprzeliczalny
IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMw – p. 15/??
Własno sci Mh ↾∆
istnieja dwa punkty stałe,
dla kazdego n ∈ N odwzorowanie Mh ↾∆ posiada 2n
orbit okresowych o okresie n
istnieja orbity okresowe o dowolnie długim okresie
orbit okresowych jest przeliczalnie wiele
zbiór orbit nieokresowych jest nieprzeliczalny
zbiory punktów okresowych i nieokresowych sageste w ∆
IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMw – p. 15/??
Własno sci Mh ↾∆
istnieja dwa punkty stałe,
dla kazdego n ∈ N odwzorowanie Mh ↾∆ posiada 2n
orbit okresowych o okresie n
istnieja orbity okresowe o dowolnie długim okresie
orbit okresowych jest przeliczalnie wiele
zbiór orbit nieokresowych jest nieprzeliczalny
zbiory punktów okresowych i nieokresowych sageste w ∆
w Mh obserwujemy tzw. "chaos przejsciowy"
IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMw – p. 15/??
Własno sci Mh ↾∆
W szczególnosci wiec odwzorowanie Mh ↾∆ jest chaotyczne:
DefinicjaDeterministyczny układ dynamiczny jest chaotyczny, jesli dla
kazdego ciagu Bernoulliego mozemy znalezc stan
poczatkowy, startujac z którego odtworzymy ten ciag
wzgledem ustalonej partycji przestrzeni fazowej.
IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMw – p. 16/??
Zbiory przyciagania i odpychania
DefinicjaX- zwarta gładka rozmaitosc,f : X → X - dyffeomorfizm klasy Ck,p - punkt stały dla f
Rozmaitoscia stabilna punktu p nazywamy zbiór:
W s(p) := {x ∈ X : limn→∞
fn(x) → p}
Rozmaitoscia niestabilna punktu p nazywamy zbiór:
W u(p) := {x ∈ X : limn→∞
f−n(x) → p}
IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMw – p. 18/??
Zbiory przyciagania i odpychania
DefinicjaMówimy, ze punkt stały p jest hiperboliczny, jesli lezy na przecieciuconajmniej jednej rozmaitosci stabilnej i conajmniej jednejrozmaitosci niestabilnej.
IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMw – p. 19/??
Przeciecie homo- i heterokliniczne
Uwagi:
rozmaitosci stabilne nie moga przecinac sie ze soba(niezaleznie od tego, czy odpowiadaja temu samemu punktowistałemu czy tez róznym punktom stałym),
podobnie rozmaitosci niestabilne nie przecinaja sie ze soba,
rozmaitosci stabilne i niestabilne moga sie przecinacwzajemnie
DefinicjaMówimy, ze punkt x ∈ X jest punktem homoklinicznym, jesli lezy naprzecieciu rozmaitosci stabilnej i niestabilnej odpowiadajacychtemu samemu punktowi stałemu p.
IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMw – p. 20/??
Przeciecie homo- i heterokliniczne
DefinicjaMówimy, ze punkt x ∈ X jest punktem heteroklinicznym, jesli lezyna przecieciu rozmaitosci stabilnej i niestabilnej odpowiadajacychróznym hiperbolicznym punktom stałym p1 i p2.Twierdzenie (Poincaré)Jesli istnieje jeden punkt homokliniczny (heterokliniczny), to istniejeich nieskonczenie wiele.
IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMw – p. 21/??
Przeciecie homo- i heterokliniczne
Przeciecie homokliniczne:
IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMw – p. 22/??
Przeciecie homo- i heterokliniczne
Przeciecie heterokliniczne:
IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMw – p. 22/??
Uniwersalna dynamika
W 1967 roku Smale udowodnił, ze z istnienia przeciecia homoklinicznego wynikadynamika typu odwzorowanie podkowa:
IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMw – p. 24/??
Uogólniona n− podkowa
µ > n + ǫ
"zawijamy" n − 1 razy i umieszczamy na kwadracie S tak, aby"podkowa" przecinała S n-krotnie
IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMw – p. 26/??
Twierdzenie Smale’a
Twierdzenie (Smale, 1963)Kazde odwzorowanie typu odwzorowanie podkowaposiada domkniety zbiór niezmienniczy ∆, który zawieraprzeliczalnie wiele orbit okresowych o dowolnie długim okresie oraznieprzeliczalnie wiele orbit nieokresowych, wsród których sa orbityprzebiegajace dowolnie blisko kazdego danego punktu zbioru ∆.
IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMw – p. 27/??
Hiperboliczno sc
DefinicjaOdwzorowanie f nazywamy hiperbolicznym, jesli przecinajace sierozmaitosci stabilne i niestabilne dowolnych punktów stałychzawsze przecinaja sie transwersalnie.Jesli przecinaja sie stycznie, to odwzorowanie jest niehiperboliczne.
Odzworowanie podkowa Mh jest zatem hiperboliczne.
IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMw – p. 29/??
Hiperboliczno sc
Rozwazania dyskretnego układu dynamicznego:
xn+1 = F (xn)
mozna w poblizu punktu stałego x∗ sprowadzic do rozwazan układuliniowego
yn+1 = Ayn, gdzie A = DF (x∗).
Niech αj beda wartosciami własnymi A takimi, ze |αj | > 1 orazu1, u2, ..., un(α) odpowiadajacymi im wektorami własnymi. Wtedy:
Eu = span(u1, u2, ..., un(α)) - podprzestrzen niestabilna.
IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMw – p. 30/??
Hiperboliczno sc
Analogicznie dla βj takich, ze |βj | < 1
Es = span(v1, v2, ..., vn(β)) - podprzestrzen stabilna
oraz dla γj takich, ze |γj | = 1
Ec = span(w1, w2, ..., wn(β)) - podprzestrzen srodkowa.
Wektory y układu yn+1 = Ayn nazywamy wektorami stycznymi dlaodwzorowania F .Przestrzen, w której leza wektory styczne odwzorowania w punkciex = x∗ nazywamy przestrzenia styczna i oznaczamy Tx∗ .
IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMw – p. 31/??
Hiperboliczno sc
DefinicjaMówimy, ze punkt stały x∗ jest hiperboliczny, jezeli nie istniejepodprzestrzen srodkowa Ec . To znaczy, ze przestrzen styczna Tx∗
rozkłada sie na sume Tx∗ = Es ⊗ Eu.DefinicjaMówimy, ze zbiór niezmienniczy ∆ jest hiperboliczny, jesli w zbiorze∆ istnieje ciagły wzgledem x rozkład przestrzeni Tx na sumeprzestrzeni stabilnej i niestabilnej Tx = Es
x ⊗ Eux .
IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMw – p. 32/??
W s(x∗) i W u(x∗) vs. Es i Eu
Rozmaitosci stabilne i niestabilne W s(x∗) i W u(x∗) hiperbolicznegoukładu xn+1 = F (xn) maja taki sam wymiar jak Es i Eu i sa do nichstyczne:
IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMw – p. 33/??
Uogólnione odwzorowanie piekarza
Uogólnione odwzorowanie piekarza definiujemy jako nastepujaceprzekształcenie kwadratu S = [0, 1] × [0, 1]:
xn+1 =
λaxn, jezeli yn < α;
(1 − λb) + λbxn, jezeli yn > α.
yn+1 =
yn
α, jezeli yn < α;
yn−αβ
, jezeli yn > α.
gdzie β = 1 − α i αa + αb = 1.
IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMw – p. 35/??
Uogólnione odwzorowanie piekarza
Dla uogólnionego odwzorowania piekarza macierz Jacobiego mapostac:
DM(x) =
λx(y) 0
0 λy(y)
,
gdzie wartosci własne:
λx(y) =
λa, jezeli y < α;
λb, jezeli y > α.
λy(y) =
α−1, jezeli y < α;
β−1, jezeli y > α.
Rozmaitosci stabilne sa liniami poziomymi, a niestabilne -pionowymi.
IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMw – p. 38/??
Odwzorowanie kota Arnolda
Odwzorowanie Arnolda dane jest wzorem:
xn+1
yn+1
=
1 1
1 2
xn
yn
mod 1 (3)
Jesli wartosci x i y modulo 1 uwazac za zmienne katowe, toodwzorowanie to oddziałuje na powierzchnie dwuwymiarowegotorusa (gdzie jeden obieg dookoła jest zaznoczony poprzez zwiekszenie wartosci
odpowiedniej zmiennej katowej o 1 a nie o 2π).
IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMw – p. 39/??
Odwzorowanie kota Arnolda
Inaczej odwzorowanie Arnolda zwane jest "wyzymaniem kota"
IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMw – p. 40/??
Odwzorowanie kota Arnolda
Inaczej odwzorowanie Arnolda zwane jest "wyzymaniem kota"
IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMw – p. 40/??
Odwzorowanie kota Arnolda
Wartosci własne macierzy w odwzorowaniu (??) wynosza:
λ1 =3 +
√5
2> 1 oraz λ2 =
3 −√
5
2< 1.
Kierunki stabilne i niestabilne sa zatem jednowymiarowe irównoległe do odpowiednich wektorów własnych (1, λ1 − 1) i(1, λ2 − 1)."Typowe warunki poczatkowe" daja poczatek orbicie, któraostatecznie dochodzi dowolnie blisko do dowolnego punktu natorusie oraz odwiedza równe pola z równa czestotliwoscia - stadnaturalna miara niezmiennicza jest jednostajna.
IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMw – p. 41/??
Odwzorowanie Hénona
Odwzorowanie Hénona dane jest wzorem:
xn+1 = 1 − ax2n + yn
yn+1 = bxn
(standardowy wybór dla parametrów a i b to a = 1.4 i b = 0.3).
Istnieja punkty na atraktorze Hénona, w których rozmaitosc stabilnaW s oraz niestabilna W u sa styczne. W tych punktach stycznoscinie mozemy wyznaczyc przestrzeni Es i Eu - atraktor Hénona niejest hiperboliczny.
IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMw – p. 44/??
Strukturalna stabilno sc
Definicja(X, d) - p. metrycznaf : X → X- homeomorfizmMówimy, ze odwzorowanie f jest strukturalnie stabilne, jesli istniejeotoczenie V w zbiorze Homeo(X) takie, ze kazdy element V jesttopologicznie sprzezony z f .DefinicjaM - zwarta gładka rozmaitoscf : M → M - dyffeomorfizm klasy Ck
Mówimy, ze odwzorowanie f jest strukturalnie stabilne, jesli istniejeotoczenie V w zbiorze Diffk(M) takie, ze kazdy element V jesttopologicznie sprzezony z f .
IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMw – p. 48/??
Własno sci układów hiperbolicznych
dynamike na zbiorze niezmienniczym mozemy badac zapomoca dynamiki symbolicznej (przesuniecie zupełne lub niezupełnena podwójnie nieskonczonym ciagu symboli),
IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMw – p. 49/??
Własno sci układów hiperbolicznych
dynamike na zbiorze niezmienniczym mozemy badac zapomoca dynamiki symbolicznej (przesuniecie zupełne lub niezupełnena podwójnie nieskonczonym ciagu symboli),
jezeli hiperboliczny zbiór niezmienniczy jest atraktorem, toistnieje miara naturalna,
IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMw – p. 49/??
Własno sci układów hiperbolicznych
dynamike na zbiorze niezmienniczym mozemy badac zapomoca dynamiki symbolicznej (przesuniecie zupełne lub niezupełnena podwójnie nieskonczonym ciagu symboli),
jezeli hiperboliczny zbiór niezmienniczy jest atraktorem, toistnieje miara naturalna,
zbiór niezmienniczy i jego dynamika sa strukturalnie stabilnetzn. małe gładkie zaburzenia zachowuja dynamike.
IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMw – p. 49/??
Ukł. hiperboliczne vsniehiperboliczne
Dla hiperbolicznych układów mozliwe jest uzyskanie
wielu scisłych wyników. Mozna je opisywac analitycznie
oraz statystycznie.
IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMw – p. 50/??
Ukł. hiperboliczne vsniehiperboliczne
Dla hiperbolicznych układów mozliwe jest uzyskanie
wielu scisłych wyników. Mozna je opisywac analitycznie
oraz statystycznie.
Niestety rzeczywiste zjawiska chaotyczne obserwowane
w układach doswiadczalnych sa przewaznie
niehiperboliczne.
IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMw – p. 50/??
Bibliografia
1. E. Ott, Chaos w układach dynamicznych, WNT, Warszawa1997.
2. S. Smale, Differentiable dynamical systems, Bull. Amer. Math.Soc. 73 (1967)
3. M. Shub, What is ... a Horseshoe?, Notices of AMS, vol. 52.
4. C. Beck, F. Schlogl Thermodynamics of chaotic systems,Cambridge University Press 1993.
5. J.P. Eckmann, D. Ruelle Ergodic theory of chaos and strangeattractors, Reviews of Modern Physics, vol. 57, No.3
6. M. Branson, The Smale Horseshoe as a Fractal Structure inDynamical Systems, Lecture Notes.
IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMw – p. 51/??
top related