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Polyominos linealesgeneralizados, funciones deGreen y matrices de Green
A. Carmona1, A.M. Encinas1 and M. Mitjana2
1Dept. Matematica Aplicada III
2Dept. Matematica Aplicada I
VIII JMDA Almerıa 2012
Polyominos lineales generalizados, funciones de Green y matrices de Green
Introduction
Motivation
Polyominos
I Presentacion de los poliominos
VIII JMDA Almerıa 2012
Polyominos lineales generalizados, funciones de Green y matrices de Green
Introduction
Motivation
Polyominos
I Presentacion de los poliominosI Presentacion de los poliominos lineales
VIII JMDA Almerıa 2012
Polyominos lineales generalizados, funciones de Green y matrices de Green
Introduction
Motivation
Polyominos
I Presentacion de los poliominosI Presentacion de los poliominos linealesI Interes en Quımica Organica
VIII JMDA Almerıa 2012
Polyominos lineales generalizados, funciones de Green y matrices de Green
Introduction
Polyominos soportados por un camino
Polyominos lineales generalizados: Ln
I V ={x1, . . . , x2n
}x1 x2 x3 xn−1 xn
x2n x2n−1 x2n−2 xn+2 xn+1
c1 c2
c2n−1 c2n−2
cnaisais−1ai1
I ci = c(xi, xi+1) > 0, i = 1, . . . , 2n− 1
VIII JMDA Almerıa 2012
Polyominos lineales generalizados, funciones de Green y matrices de Green
Introduction
Polyominos soportados por un camino
Polyominos lineales generalizados: Ln
I V ={x1, . . . , x2n
}x1 x2 x3 xn−1 xn
x2n x2n−1 x2n−2 xn+2 xn+1
c1 c2
c2n−1 c2n−2
cnaisais−1ai1
I ci = c(xi, xi+1) > 0, i = 1, . . . , 2n− 1
I ai = c(xi, x2n+1−i) ≥ 0, i = 1, . . . , n− 1
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Polyominos lineales generalizados, funciones de Green y matrices de Green
Introduction
Polyominos soportados por un camino
Polyominos lineales generalizados: Ln
I V ={x1, . . . , x2n
}x1 x2 x3 xn−1 xn
x2n x2n−1 x2n−2 xn+2 xn+1
c1 c2
c2n−1 c2n−2
cnaisais−1ai1
I ci = c(xi, xi+1) > 0, i = 1, . . . , 2n− 1
I ai = c(xi, x2n+1−i) ≥ 0, i = 1, . . . , n− 1
I Encadenamiento de P ∈ Ln: s = #{i : ai > 0}
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Polyominos lineales generalizados, funciones de Green y matrices de Green
Introduction
Polyominos soportados por un camino
Polyominos lineales generalizados: Ln
I Camino
x1 x2 x3 xn−1 xn
x2n x2n−1 x2n−2 xn+2 xn+1
c1 c2
c2n−1 c2n−2
cnaisais−1ai1
VIII JMDA Almerıa 2012
Polyominos lineales generalizados, funciones de Green y matrices de Green
Introduction
Polyominos soportados por un camino
Polyominos lineales generalizados: Ln
I Ciclo
x1 x2 x3 xn−1 xn
x2n x2n−1 x2n−2 xn+2 xn+1
c1 c2
c2n−1 c2n−2
cnaisais−1ai1
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Polyominos lineales generalizados, funciones de Green y matrices de Green
Introduction
Polyominos soportados por un camino
Polyominos lineales generalizados: Ln
I Cadena Lineal
x1 x2 x3 xn−1 xn
x2n x2n−1 x2n−2 xn+2 xn+1
c1 c2
c2n−1 c2n−2
cnaisais−1ai1
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Polyominos lineales generalizados, funciones de Green y matrices de Green
Introduction
Polyominos soportados por un camino
Polyominos lineales generalizados: Ln
I Cadena Hexagonal
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Introduction
Polyominos soportados por un camino
Polyominos lineales generalizados: Ln
I Phenyleno
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Polyominos lineales generalizados, funciones de Green y matrices de Green
Introduction
Funcion de Green
Laplaciano combinatoriox1 x2 x3 xn−1 xn
x2n x2n−1 x2n−2 xn+2 xn+1
c1 c2
c2n−1 c2n−2
cnaisais−1ai1
I Operador Laplaciano: L(u)(x) =∑y∈V
c(x, y)(u(x)− u(y)
)
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Polyominos lineales generalizados, funciones de Green y matrices de Green
Introduction
Funcion de Green
Laplaciano combinatoriox1 x2 x3 xn−1 xn
x2n x2n−1 x2n−2 xn+2 xn+1
c1 c2
c2n−1 c2n−2
cnaisais−1ai1
I
Laplaciano Combinatorio: L
L =
c1 + ai1 −c1 −ai1−c1 c1 + c2 + ai2 −c2 −ai2
. . .. . .
. . .
−ai2 −c2n−2 c2n−2 + c2n−1 + ai2 −c2n−1−ai1 −c2n−1 c2n−1 + ai1
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Introduction
Funcion de Green
Laplaciano combinatoriox1 x2 x3 xn−1 xn
x2n x2n−1 x2n−2 xn+2 xn+1
c1 c2
c2n−1 c2n−2
cnaisais−1ai1
I L es semidefinido positivo, singular y L(v) = 0 iff v = cte
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Polyominos lineales generalizados, funciones de Green y matrices de Green
Introduction
Funcion de Green
Laplaciano combinatoriox1 x2 x3 xn−1 xn
x2n x2n−1 x2n−2 xn+2 xn+1
c1 c2
c2n−1 c2n−2
cnaisais−1ai1
I L es semidefinido positivo, singular y L(v) = 0 iff v = cte
I Operador y funcion de Green: G y G(x, y)
ISi 〈f, 1〉 = 0, entonces u = G(f) es la unica solucion de laecuacion de Poisson L(u) = f tal que 〈u, 1〉 = 0
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Polyominos lineales generalizados, funciones de Green y matrices de Green
Introduction
Funcion de Green
Laplaciano combinatoriox1 x2 x3 xn−1 xn
x2n x2n−1 x2n−2 xn+2 xn+1
c1 c2
c2n−1 c2n−2
cnaisais−1ai1
I L es semidefinido positivo, singular y L(v) = 0 iff v = cte
I Operador y funcion de Green: G y G(x, y)
IDada f , entonces u = G(f) es la unica solucion de la ecuacionde Poisson L(u) = f − 1
n〈f, 1〉 tal que 〈u, 1〉 = 0
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Polyominos lineales generalizados, funciones de Green y matrices de Green
Introduction
Funcion de Green
Laplaciano combinatoriox1 x2 x3 xn−1 xn
x2n x2n−1 x2n−2 xn+2 xn+1
c1 c2
c2n−1 c2n−2
cnaisais−1ai1
I L es semidefinido positivo, singular y L(v) = 0 iff v = cte
I Operador y funcion de Green: G y G(x, y)
IDada f , entonces u = G(f) es la unica solucion de la ecuacionde Poisson L(u) = f − 1
n〈f, 1〉 tal que 〈u, 1〉 = 0
I G ◦ L = L ◦ G = I − 1n〈·, 1〉 =⇒ G = L†
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Polyominos lineales generalizados, funciones de Green y matrices de Green
Introduction
Funcion de Green
Laplaciano combinatoriox1 x2 x3 xn−1 xn
x2n x2n−1 x2n−2 xn+2 xn+1
c1 c2
c2n−1 c2n−2
cnaisais−1ai1
I L es semidefinido positivo, singular y L(v) = 0 iff v = cte
I Operador y funcion de Green: G y G(x, y)
IDada f , entonces u = G(f) es la unica solucion de la ecuacionde Poisson L(u) = f − 1
n〈f, 1〉 tal que 〈u, 1〉 = 0
I G ◦ L = L ◦ G = I − 1n〈·, 1〉 =⇒ G = L†
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Polyominos lineales generalizados, funciones de Green y matrices de Green
Perturbacion del Laplaciano
Funcion de Green
Perturbacion con dipolosx1 x2 x3 xn−1 xn
x2n x2n−1 x2n−2 xn+2 xn+1
c1 c2
c2n−1 c2n−2
cnaisais−1ai1
I Obtenemos el Polyomino, anadiendo s ramas
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Polyominos lineales generalizados, funciones de Green y matrices de Green
Perturbacion del Laplaciano
Funcion de Green
Perturbacion con dipolosx1 x2 x3 xn−1 xn
x2n x2n−1 x2n−2 xn+2 xn+1
c1 c2
c2n−1 c2n−2
cnaisais−1ai1
I Obtenemos el Polyomino, anadiendo s ramas
I Consideremos el Dipolo, σj =√aij(εxij − εxn+1−ij
)
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Polyominos lineales generalizados, funciones de Green y matrices de Green
Perturbacion del Laplaciano
Funcion de Green
Perturbacion con dipolosx1 x2 x3 xn−1 xn
x2n x2n−1 x2n−2 xn+2 xn+1
c1 c2
c2n−1 c2n−2
cnaisais−1ai1
I Obtenemos el Polyomino, anadiendo s ramas
I Consideremos el Dipolo, σj =√aij(εxij − εxn+1−ij
)I L = Lpath +
s∑j=1Pσj , donde Pσj (u) = σj〈σj , u〉
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Polyominos lineales generalizados, funciones de Green y matrices de Green
Perturbacion del Laplaciano
Funcion de Green
Perturbacion con dipolosx1 x2 x3 xn−1 xn
x2n x2n−1 x2n−2 xn+2 xn+1
c1 c2
c2n−1 c2n−2
cnaisais−1ai1
I Obtenemos el Polyomino, anadiendo s ramas
I Consideremos el Dipolo, σj =√aij(εxij − εxn+1−ij
)I Λ =
(〈Gpath(σm), σk〉
)=⇒
(bkm
)=(I + Λ
)−1
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Polyominos lineales generalizados, funciones de Green y matrices de Green
Perturbacion del Laplaciano
Funcion de Green
Perturbacion con dipolosx1 x2 x3 xn−1 xn
x2n x2n−1 x2n−2 xn+2 xn+1
c1 c2
c2n−1 c2n−2
cnaisais−1ai1
I Obtenemos el Polyomino, anadiendo s ramas
I Consideremos el Dipolo, σj =√aij(εxij − εxn+1−ij
)I Λ =
(〈Gpath(σm), σk〉
)=⇒
(bkm
)=(I + Λ
)−1
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Polyominos lineales generalizados, funciones de Green y matrices de Green
Perturbacion del Laplaciano
Funcion de Green
Perturbacion con dipolosx1 x2 x3 xn−1 xn
x2n x2n−1 x2n−2 xn+2 xn+1
c1 c2
c2n−1 c2n−2
cnaisais−1ai1
I Obtenemos el Polyomino, anadiendo s ramas
I Consideremos el Dipolo, σj =√aij(εxij − εxn+1−ij
)I Λ =
(〈Gpath(σm), σk〉
)=⇒
(bkm
)=(I + Λ
)−1I G = Gpath −
s∑k,m=1
bkmPGpath(σm)Gpath(σk), Pστ (u) = σ〈τ, u〉
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Perturbacion del Laplaciano
Funcion de Green
Perturbacion con dipolosx1 x2 x3 xn−1 xn
x2n x2n−1 x2n−2 xn+2 xn+1
c1 c2
c2n−1 c2n−2
cnaisais−1ai1
I Obtenemos el Polyomino, anadiendo s ramas
I Consideremos el Dipolo, σj =√aij(εxij − εxn+1−ij
)I Λ =
(〈Gpath(σm), σk〉
)=⇒
(bkm
)=(I + Λ
)−1I G(x, y) = Gpath(x, y)−
s∑k,m=1
bkmGpath(σm)(x)Gpath(σk)(y)
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Perturbacion del Laplaciano de un camino
Funcion de Green del camino
Funcion de Green y resistencia efectivax1 x2 x3 xn−1 xn
x2n x2n−1 x2n−2 xn+2 xn+1
c1 c2
c2n−1 c2n−2
cnaisais−1ai1
I La funcion de Green del camino sobre 2n vertices es
I
Gpath(xi, xj) =1
4n2
min{i,j}−1∑`=1
`2
c`+
2n−1∑`=max{i,j}
(2n− `)c`
−max{i,j}−1∑`=min{i,j}
k(2n− `)c`
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Perturbacion del Laplaciano de un camino
Funcion de Green del camino
Funcion de Green y resistencia efectivax1 x2 x3 xn−1 xn
x2n x2n−1 x2n−2 xn+2 xn+1
c1 c2
c2n−1 c2n−2
cnaisais−1ai1
I La Resistencia Efectiva es R(xi, xj) = 2n
max{i,j}−1∑`=min{i,j}
1
c`
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Polyominos lineales generalizados, funciones de Green y matrices de Green
Perturbacion del Laplaciano de un camino
Funcion de Green del camino
Funcion de Green y resistencia efectivax1 x2 x3 xn−1 xn
x2n x2n−1 x2n−2 xn+2 xn+1
c1 c2
c2n−1 c2n−2
cnaisais−1ai1
I La Resistencia Efectiva es R(xi, xj) = 2n
max{i,j}−1∑`=min{i,j}
1
c`
I Gpath(σk)(xj) = 2n√aik
2n−ik∑`=max{j,ik}
1
c`−
2n−ik∑`=ik
1
c`
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Perturbacion del Laplaciano de un camino
Funcion de Green del camino
Funcion de Green y resistencia efectivax1 x2 x3 xn−1 xn
x2n x2n−1 x2n−2 xn+2 xn+1
c1 c2
c2n−1 c2n−2
cnaisais−1ai1
I La Resistencia Efectiva es R(xi, xj) = 2n
max{i,j}−1∑`=min{i,j}
1
c`
I 〈Gpath(σk), σm〉 =√aikaim R(xmax{ik,im}, x2n+1−max{ik,im})
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Perturbacion del Laplaciano de un camino
Funcion de Green del camino
Funcion de Green y resistencia efectivax1 x2 x3 xn−1 xn
x2n x2n−1 x2n−2 xn+2 xn+1
c1 c2
c2n−1 c2n−2
cnaisais−1ai1
I La Resistencia Efectiva es R(xi, xj) = 2n
max{i,j}−1∑`=min{i,j}
1
c`
I 〈Gpath(σk), σm〉 =√aikaim R(xmax{ik,im}, x2n+1−max{ik,im})
I OBJETIVO: Determinar(I + Λ
)−1, Λ =
(〈Gpath(σm), σk〉
)
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Polyominos lineales generalizados, funciones de Green y matrices de Green
Matrices de Green
Matrices de tipo D
Inversion de la matriz I + Λ
I Λ =(√
aikaim R(xmax{ik,im}, x2n+1−max{ik,im}))
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Polyominos lineales generalizados, funciones de Green y matrices de Green
Matrices de Green
Matrices de tipo D
Inversion de la matriz I + Λ
I Λ =(√
aikaim R(xmax{ik,im}, x2n+1−max{ik,im}))
I D: Matriz diagonal de entradas ai1 , . . . , ais
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Polyominos lineales generalizados, funciones de Green y matrices de Green
Matrices de Green
Matrices de tipo D
Inversion de la matriz I + Λ
I Λ =(√
aikaim R(xmax{ik,im}, x2n+1−max{ik,im}))
I D: Matriz diagonal de entradas ai1 , . . . , ais
I
I + Λ = D12
[D−1 + A
]D
12 , donde
A =
R(xi1 , x2n+1−i1) R(xi2 , x2n+1−i2) · · · R(xis , x2n+1−is)
R(xi2 , x2n+1−i2) R(xi2 , x2n+1−i2) · · · R(xis , x2n+1−is)
......
. . ....
R(xis , x2n+1−is) R(xis , x2n+1−is) · · · R(xis , x2n+1−is)
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Polyominos lineales generalizados, funciones de Green y matrices de Green
Matrices de Green
Matrices de tipo D
Inversion de la matriz I + Λ
I Λ =(√
aikaim R(xmax{ik,im}, x2n+1−max{ik,im}))
I D: Matriz diagonal de entradas ai1 , . . . , ais
I
I + Λ = D12
[D−1 + A
]D
12 , donde
A =
R(xi1 , x2n+1−i1) R(xi2 , x2n+1−i2) · · · R(xis , x2n+1−is)
R(xi2 , x2n+1−i2) R(xi2 , x2n+1−i2) · · · R(xis , x2n+1−is)
......
. . ....
R(xis , x2n+1−is) R(xis , x2n+1−is) · · · R(xis , x2n+1−is)
I Si αj = R(xij , x2n+1−ij ) = 2n
2n−ij∑`=ij
1
c`=⇒ A =
(αmax{k,m}
)
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Polyominos lineales generalizados, funciones de Green y matrices de Green
Matrices de Green
Matrices de tipo D
Inversion de la matriz I + Λ
I Λ =(√
aikaim R(xmax{ik,im}, x2n+1−max{ik,im}))
I D: Matriz diagonal de entradas ai1 , . . . , ais
I
I + Λ = D12
[D−1 + A
]D
12 , donde
A =
R(xi1 , x2n+1−i1) R(xi2 , x2n+1−i2) · · · R(xis , x2n+1−is)
R(xi2 , x2n+1−i2) R(xi2 , x2n+1−i2) · · · R(xis , x2n+1−is)
......
. . ....
R(xis , x2n+1−is) R(xis , x2n+1−is) · · · R(xis , x2n+1−is)
I Si αj = R(xij , x2n+1−ij ) = 2n
2n−ij∑`=ij
1
c`=⇒ A =
(αmax{k,m}
)
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Matrices de Green
Matrices de tipo D
Inversion de la matriz I + Λ
I Λ =(√
aikaim R(xmax{ik,im}, x2n+1−max{ik,im}))
I D: Matriz diagonal de entradas ai1 , . . . , ais
I
I + Λ = D12
[D−1 + A
]D
12 , donde
A =
R(xi1 , x2n+1−i1) R(xi2 , x2n+1−i2) · · · R(xis , x2n+1−is)
R(xi2 , x2n+1−i2) R(xi2 , x2n+1−i2) · · · R(xis , x2n+1−is)
......
. . ....
R(xis , x2n+1−is) R(xis , x2n+1−is) · · · R(xis , x2n+1−is)
I(I + Λ
)−1= I− D
12 (A−1 + D)−1D
12
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Matrices de Green
Matrices de tipo D
Propiedades de A =(R(xmax{ik,im}, x2n+1−max{ik,im})
)I Parametros α1, . . . , αs
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Matrices de Green
Matrices de tipo D
Propiedades de A =(R(xmax{ik,im}, x2n+1−max{ik,im})
)I Parametros α1, . . . , αs
I Matriz de tipo D debil: Σ =(αmin{k,m}
)
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Matrices de Green
Matrices de tipo D
Propiedades de A =(R(xmax{ik,im}, x2n+1−max{ik,im})
)I Parametros α1, . . . , αs
I Matriz de tipo D debil: Σ =(αmin{k,m}
)I Matriz de tipo D: Si ademas α1 < · · · < αs
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Matrices de Green
Matrices de tipo D
Propiedades de A =(R(xmax{ik,im}, x2n+1−max{ik,im})
)I Parametros α1, . . . , αs
I Matriz de tipo D debil: Σ =(αmin{k,m}
)I Matriz de tipo D: Si ademas α1 < · · · < αs
I Matriz de tipo D inverso debil: Σ =(αmax{k,m}
)
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Matrices de Green
Matrices de tipo D
Propiedades de A =(R(xmax{ik,im}, x2n+1−max{ik,im})
)I Parametros α1, . . . , αs
I Matriz de tipo D debil: Σ =(αmin{k,m}
)I Matriz de tipo D: Si ademas α1 < · · · < αs
I Matriz de tipo D inverso debil: Σ =(αmax{k,m}
)I Matriz de tipo D inverso: Si ademas α1 > · · · > αs
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Matrices de Green
Matrices de tipo D
Propiedades de A =(R(xmax{ik,im}, x2n+1−max{ik,im})
)I Parametros α1, . . . , αs
I Matriz de tipo D debil: Σ =(αmin{k,m}
)I Matriz de tipo D: Si ademas α1 < · · · < αs
I Matriz de tipo D inverso debil: Σ =(αmax{k,m}
)I Matriz de tipo D inverso: Si ademas α1 > · · · > αs
I Matriz de Green: G =(αmin{k,m}
)◦(βmax{k,m}
)
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Matrices de Green
Matrices de tipo D
Propiedades de A =(R(xmax{ik,im}, x2n+1−max{ik,im})
)I Parametros α1, . . . , αs
I Matriz de tipo D debil: Σ =(αmin{k,m}
)I Matriz de tipo D: Si ademas α1 < · · · < αs
I Matriz de tipo D inverso debil: Σ =(αmax{k,m}
)I Matriz de tipo D inverso: Si ademas α1 > · · · > αs
I Matriz de Green: G =(αmin{k,m}
)◦(βmax{k,m}
)I gkm = αmin{k,m}βmax{k,m} =
{αkβm, si k ≤ m,αmβk, si k ≥ m
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Polyominos lineales generalizados, funciones de Green y matrices de Green
Matrices de Green
Matrices de tipo D
Propiedades de A =(R(xmax{ik,im}, x2n+1−max{ik,im})
)I Parametros α1, . . . , αs
I Matriz de tipo D debil: Σ =(αmin{k,m}
)I Matriz de tipo D: Si ademas α1 < · · · < αs
I Matriz de tipo D inverso debil: Σ =(αmax{k,m}
)I Matriz de tipo D inverso: Si ademas α1 > · · · > αs
I Matriz de Green: G =(αmin{k,m}
)◦(βmax{k,m}
)I
G es una matriz de Green no singular siiG−1 es una matriz triangular irreducible
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Matrices de Green
Matrices de tipo D
Propiedades de A =(R(xmax{ik,im}, x2n+1−max{ik,im})
)I Parametros: α1, . . . , αs ( αs+1 = 0)
I Matriz de tipo D inverso debil: Σ =(αmax{k,m}
)I Matriz de tipo D inverso: Si ademas α1 > · · · > αs
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Polyominos lineales generalizados, funciones de Green y matrices de Green
Matrices de Green
Matrices de tipo D
Propiedades de A =(R(xmax{ik,im}, x2n+1−max{ik,im})
)I Parametros: α1, . . . , αs ( αs+1 = 0)
I Matriz de tipo D inverso debil: Σ =(αmax{k,m}
)I Matriz de tipo D inverso: Si ademas α1 > · · · > αs
I
Σ es invertible sii αi 6= αi+1. Ademas, si γj = (σj −σj+1)−1
Σ−1 =
γ1 −γ1 0 · · · 0
−γ1 γ1 + γ2 −γ2 · · · 0
......
. . .. . .
...
0 0 · · · γs−2 + γs−1 −γs−10 0 · · · −γs−1 γs−1 + γs
VIII JMDA Almerıa 2012
Polyominos lineales generalizados, funciones de Green y matrices de Green
Matrices de Green
Matrices de tipo D
Propiedades de A =(R(xmax{ik,im}, x2n+1−max{ik,im})
)I Parametros: αj = R(xmax{ik,im}, x2n+1−max{ik,im})
I α1 > · · · > αs > 0 =⇒ A es una matriz de tipo D inverso
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Polyominos lineales generalizados, funciones de Green y matrices de Green
Matrices de Green
Matrices de tipo D
Propiedades de A =(R(xmax{ik,im}, x2n+1−max{ik,im})
)I Parametros: αj = R(xmax{ik,im}, x2n+1−max{ik,im})
I α1 > · · · > αs > 0 =⇒ A es una matriz de tipo D inverso
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Polyominos lineales generalizados, funciones de Green y matrices de Green
Matrices de Green
Matrices de tipo D
Propiedades de A =(R(xmax{ik,im}, x2n+1−max{ik,im})
)I Parametros: αj = R(xmax{ik,im}, x2n+1−max{ik,im})
I α1 > · · · > αs > 0 =⇒ A es una matriz de tipo D inverso
I
A−1 =
γ1 −γ1 0 · · · 0
−γ1 γ1 + γ2 −γ2 · · · 0
......
. . .. . .
...
0 0 · · · γs−2 + γs−1 −γs−10 0 · · · −γs−1 γs−1 + γs
γs = R(xis , x2n+1−is)
−1,
γk =[R(xik , xik+1
) +R(x2n+1−ik+1, x2n+1−ik)
]−1
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Polyominos lineales generalizados, funciones de Green y matrices de Green
Matrices de Green
Problemas de Sturm–Liouville
Calculo de(bkm)= (I + Λ)−1, s ≥ 3
I(I + Λ
)−1= I− D
12 (A−1 + D)−1D
12
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Polyominos lineales generalizados, funciones de Green y matrices de Green
Matrices de Green
Problemas de Sturm–Liouville
Calculo de(bkm)= (I + Λ)−1, s ≥ 3
I(I + Λ
)−1= I− D
12 (A−1 + D)−1D
12
IA−1 + D es triangular y por tanto,
(A−1 + D
)−1es una matriz
de Green, que esta determinada por la funcion de Green deun problema discreto de Sturm–Liouville.
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Polyominos lineales generalizados, funciones de Green y matrices de Green
Matrices de Green
Problemas de Sturm–Liouville
Calculo de(bkm)= (I + Λ)−1, s ≥ 3
I(I + Λ
)−1= I− D
12 (A−1 + D)−1D
12
IA−1 + D es triangular y por tanto,
(A−1 + D
)−1es una matriz
de Green, que esta determinada por la funcion de Green deun problema discreto de Sturm–Liouville.
ai1 + γ1 −γ1 0 · · · 0
−γ1 ai2 + γ1 + γ2 −γ2 · · · 0
......
. . .. . .
...
0 0 · · · ais−1+ γs−2 + γs−1 −γs−1
0 0 · · · −γs−1 ais + γs−1 + γs
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Polyominos lineales generalizados, funciones de Green y matrices de Green
Matrices de Green
Problemas de Sturm–Liouville
Calculo de(bkm)= (I + Λ)−1, s ≥ 3
I(I + Λ
)−1= I− D
12 (A−1 + D)−1D
12
IA−1 + D es triangular y por tanto,
(A−1 + D
)−1es una matriz
de Green, que esta determinada por la funcion de Green deun problema discreto de Sturm–Liouville.
ai1 + γ1 −γ1 0 · · · 0
−γ1 ai2 + γ1 + γ2 −γ2 · · · 0
......
. . .. . .
...
0 0 · · · ais−1+ γs−2 + γs−1 −γs−1
0 0 · · · −γs−1 ais + γs−1 + γs
I (aik + γk−1 + γk)zk − γk−1zk−1 − γkzk+1 = 0
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Polyominos lineales generalizados, funciones de Green y matrices de Green
Matrices de Green
Problemas de Sturm–Liouville
Calculo de(bkm)= (I + Λ)−1, s ≥ 3
I(I + Λ
)−1= I− D
12 (A−1 + D)−1D
12
IA−1 + D es triangular y por tanto,
(A−1 + D
)−1es una matriz
de Green, que esta determinada por la funcion de Green deun problema discreto de Sturm–Liouville.
I (aik + γk−1 + γk)zk − γk−1zk−1 − γkzk+1 = 0, 2 ≤ k ≤ s− 1
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Polyominos lineales generalizados, funciones de Green y matrices de Green
Matrices de Green
Problemas de Sturm–Liouville
Calculo de(bkm)= (I + Λ)−1, s ≥ 3
I(I + Λ
)−1= I− D
12 (A−1 + D)−1D
12
IA−1 + D es triangular y por tanto,
(A−1 + D
)−1es una matriz
de Green, que esta determinada por la funcion de Green deun problema discreto de Sturm–Liouville.
I (aik + γk−1 + γk)zk − γk−1zk−1 − γkzk+1 = 0, 2 ≤ k ≤ s− 1
I
Si {uk}sk=1, {vk}sk=1 son las soluciones que satisfacen
u1 = γ1, u2 = ai1 + γ1, vs−1 = ais + γs−1 + γs, vs = γs−1,
bkm = δkm −√aikaim
γ1((ai1 + γ1)v1 − γ1v2
) umin{k,m}vmax{k,m}
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Polyominos lineales generalizados, funciones de Green y matrices de Green
Polyominos autocomplementarios
Solucion de los problemas de Sturm–Liouville
Calculo de(bkm)= (I + Λ)−1, s ≥ 3
x1 x2 x3 xn−1 xn
x2n x2n−1 x2n−2 xn+2 xn+1
c1 c2
c2n−1 c2n−2
cnaisais−1ai1
IP ∈ Ln es autocomplementario si existen a, r1, r2 > 0 con
aij = a, R(xij , xij+1) = r1 y R(x2n+1−ij+1 , x2n+1−ij ) = r2
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Polyominos autocomplementarios
Solucion de los problemas de Sturm–Liouville
Calculo de(bkm)= (I + Λ)−1, s ≥ 3
x1 x2 x3 xn−1 xn
x2n x2n−1 x2n−2 xn+2 xn+1
c1 c2
c2n−1 c2n−2
cnaisais−1ai1
IP ∈ Ln es autocomplementario si existen a, r1, r2 > 0 con
aij = a, R(xij , xij+1) = r1 y R(x2n+1−ij+1 , x2n+1−ij ) = r2
I(a+ 2(r1 + r2)
−1)zk − (r1 + r2)−1zk−1 − (r1 + r2)
−1zk+1 = 0
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Polyominos lineales generalizados, funciones de Green y matrices de Green
Polyominos autocomplementarios
Solucion de los problemas de Sturm–Liouville
Calculo de(bkm)= (I + Λ)−1, s ≥ 3
x1 x2 x3 xn−1 xn
x2n x2n−1 x2n−2 xn+2 xn+1
c1 c2
c2n−1 c2n−2
cnaisais−1ai1
IP ∈ Ln es autocomplementario si existen a, r1, r2 > 0 con
aij = a, R(xij , xij+1) = r1 y R(x2n+1−ij+1 , x2n+1−ij ) = r2
I(a+ 2(r1 + r2)
−1)zk − (r1 + r2)−1zk−1 − (r1 + r2)
−1zk+1 = 0
I 2(a(r1 + r2)
2+ 1)zk − zk−1 − zk+1 = 0
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Polyominos autocomplementarios
Solucion de los problemas de Sturm–Liouville
Calculo de(bkm)= (I + Λ)−1, s ≥ 3
x1 x2 x3 xn−1 xn
x2n x2n−1 x2n−2 xn+2 xn+1
c1 c2
c2n−1 c2n−2
cnaisais−1ai1
IP ∈ Ln es autocomplementario si existen a, r1, r2 > 0 con
aij = a, R(xij , xij+1) = r1 y R(x2n+1−ij+1 , x2n+1−ij ) = r2
I zk+1 = 2qzk + zk−1, con q = 1 +ar
2y r = r1 + r2
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Polyominos autocomplementarios
Solucion de los problemas de Sturm–Liouville
Calculo de(bkm)= (I + Λ)−1, s ≥ 3
x1 x2 x3 xn−1 xn
x2n x2n−1 x2n−2 xn+2 xn+1
c1 c2
c2n−1 c2n−2
cnaisais−1ai1
IP ∈ Ln es autocomplementario si existen a, r1, r2 > 0 con
aij = a, R(xij , xij+1) = r1 y R(x2n+1−ij+1 , x2n+1−ij ) = r2
I zk+1 = 2qzk + zk−1, con q = 1 +ar
2y r = r1 + r2
I ui =1
rVi−1(q), vi =
[R(xis , x2n+1−is)Vs−i(q) + rUs−1−i(q)
]rR(xis , x2n+1−is)
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Polyominos autocomplementarios
Solucion de los problemas de Sturm–Liouville
Calculo de(bkm)= (I + Λ)−1, s ≥ 3
x1 x2 x3 xn−1 xn
x2n x2n−1 x2n−2 xn+2 xn+1
c1 c2
c2n−1 c2n−2
cnaisais−1ai1
IP ∈ Ln es autocomplementario si existen a, r1, r2 > 0 con
aij = a, R(xij , xij+1) = r1 y R(x2n+1−ij+1 , x2n+1−ij ) = r2
Ibkm = δkm −
aVmin{k,m}−1(q)
R(xis , x2n+1−is)[aUs−1(q) + Vs−1(q)
]×[R(xis , x2n+1−is)Vs−max{k,m}(q) + rUs−1−max{k,m}(q)
]
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