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計算モデル論2013萩谷担当分全５回

予定

•分子コンピューティングから、計算とエネルギーの話、可逆計算• ランダウアーの原理・可逆チューリング機械・可逆論理回路

•分子コンピューティング・分子ロボティクス・合成生物学• DNAコンピュータ・DNAナノテクノロジー

•分子コンピューティングや合成生物学のための計算モデル• 確率状態遷移系・ジレスピーのアルゴリズム・・・

• ニューラルネットワーク・・・• ホップフィールネットワーク・ボルツマンマシン

•遺伝的アルゴリズム・進化計算・スウォーム計算

分子コンピューティング・分子ロボティクス

•分子ロボット？• 機械のロボットと同様に、センサー・コンピュータ・アクチュエータから成る自律的なシステム• 外から一挙動ごとに指令しなくても、環境をセンス（計測）して、自分で情報処理と判断をして、行動する（動く・薬などを放出する・自爆する・・・）

• ただし、人工物（細胞はロボットではない）

ロボットを構成する部品

•演算装置（論理回路，マイコン）

•構造体（ボディ）

• アクチュエータ（モータ）

• センサー

• エネルギー源（電池）

ロボットを構成する部品

•演算装置（論理回路，マイコン）

•構造体（ボディ）

• アクチュエータ（モータ）

• センサー

• エネルギー源（電池）

自律性

分子ロボットとは？

• センサー，情報処理回路，アクチュエータ，構造というロボットの構成要素がすべて分子レベルで実現され，さらに，これらが有機的なネットワークとして働くシステム

sensor sensor

actuator

computer

signal

order

drug production

sensor sensor

actuator

computer

signal

order

chemical computer

http://www.nanotech-now.com/Art_Gallery/antonio-siber.htm

http://escuadrondelaverdad.wordpress.com/category/salud/page/2/

こちらは本物！

This week in Science (4), Shawn Douglas and colleagues at the Wyss Institute for Biologically Inspired Engineering at Harvard University present a simple and effective DNA nanorobot that successfully delivers antibodies to kill cancer cells and bacterial proteins to activate T cells.

DNA Robots to the Rescue02/16/2012

http://stke.sciencemag.org/cgi/content/full/sci;335/6070/831

こちらは本物！

This week in Science (4), Shawn Douglas and colleagues at the Wyss Institute for Biologically Inspired Engineering at Harvard University present a simple and effective DNA nanorobot that successfully delivers antibodies to kill cancer cells and bacterial proteins to activate T cells.

DNA Robots to the Rescue02/16/2012

DNAの編み物

樽のように閉じている

センサーの分子（DNAやタンパク）

樽を開く

抗体など、アクチュエータの

分子

ただし、知能はほとんどない

http://stke.sciencemag.org/cgi/content/full/sci;335/6070/831

分子コンピューティング・分子ロボティクス

•分子ロボット？• 機械のロボットと同様に、センサー・コンピュータ・アクチュエータから成る自律的なシステム• 外から一挙動ごとに指令しなくても、環境をセンス（計測）して、自分で情報処理と判断をして、行動する（動く・薬などを放出する・自爆する・・・）

• ただし、人工物（細胞はロボットではない）

分子コンピューティング・分子ロボティクス

•分子ロボット？• 機械のロボットと同様に、センサー・コンピュータ・アクチュエータから成る自律的なシステム• 外から一挙動ごとに指令しなくても、環境をセンス（計測）して、自分で情報処理と判断をして、行動する（動く・薬などを放出する・自爆する・・・）

• ただし、人工物（細胞はロボットではない）

•分子ロボットのコンピュータ？• 分子コンピューティング（分子計算）

• 分子計算というとシミュレーション（量子化学や分子動力学）を指すことが多い

分子コンピューティング：分子で計算

•電子回路も分子でできている？

分子コンピューティング：分子で計算

•電子回路も分子でできている？• そうではなくて、個々の分子が計算を行う

• 特に、化学反応による計算

分子コンピューティング：分子で計算

•電子回路も分子でできている？• そうではなくて、個々の分子が計算を行う

• 特に、化学反応による計算

•理論的な興味は昔からあった• 特に物理学者たち

• 計算の熱力学的限界（ランダウアーの原理）

分子コンピューティング：分子で計算

•電子回路も分子でできている？• そうではなくて、個々の分子が計算を行う

• 特に、化学反応による計算

•理論的な興味は昔からあった• 特に物理学者たち

• 計算の熱力学的限界（ランダウアーの原理）• １ビットの情報が失われる計算（たとえばXOR）は、kT ln 2 の熱を発生（kはボルツマン定数、Tは絶対温度、ln 2=0.69315）

kT ln 2 ?0

0

0

1

1

0

1

1

0

1

４通り ２通り

組み合わせの数が減っている各場合の物理的な状態の数は増えている乱雑さ（エントロピー）は増えているエネルギーが必要結局、熱となって散逸

最も簡単な場合

• １ビットを記憶するエネルギー

V1

最も簡単な場合

• １ビットを記憶するエネルギー

V1

最も簡単な場合

• １ビットを記憶するエネルギー

等温過程pV = kT ---理想気体分子１個dW = -pdV = -(kT/V)dV積分すればW = -kT ln (V2/V1)

= -kT ln (1/2) = kT ln 2

V2

V1

最も簡単な場合

• もし、１ビットの情報が失われたならば、その１ビットを記憶するために使ったエネルギーは散逸してしまったはず

最も簡単な場合

• もし、１ビットの情報が失われたならば、その１ビットを記憶するために使ったエネルギーは散逸してしまったはず

• １ビットを記憶したエネルギーをうまく回収できる？• 回収するためには、その情報を保持していなければならない。

• ということは、その情報は失われていない？

最も簡単な場合

• もし、１ビットの情報が失われたならば、その１ビットを記憶するために使ったエネルギーは散逸してしまったはず

• １ビットを記憶したエネルギーをうまく回収できる？• 回収するためには、その情報を保持していなければならない。

• ということは、その情報は失われていない？

•少なくとも、リセットして計算を再実行するにはエネルギーが必要

最も簡単な場合

• もし、１ビットの情報が失われたならば、その１ビットを記憶するために使ったエネルギーは散逸してしまったはず

• １ビットを記憶したエネルギーをうまく回収できる？• 回収するためには、その情報を保持していなければならない。

• ということは、その情報は失われていない？

•少なくとも、リセットして計算を再実行するにはエネルギーが必要

• ともかく、可逆計算ならば、エネルギー消費を限りなく０に近づけられることを示すことができる

分子コンピューティング：分子で計算

•電子回路も分子でできている？• そうではなくて、個々の分子が計算を行う

• 特に、化学反応による計算

•理論的な興味は昔からあった• 特に物理学者たち

• 計算の熱力学的限界（ランダウアーの原理）• １ビットの情報が失われる計算（たとえばXOR）は、kT ln 2 の熱を発生（kはボルツマン定数、Tは絶対温度、ln 2=0.69315）

分子コンピューティング：分子で計算

•電子回路も分子でできている？• そうではなくて、個々の分子が計算を行う

• 特に、化学反応による計算

•理論的な興味は昔からあった• 特に物理学者たち

• 計算の熱力学的限界（ランダウアーの原理）• １ビットの情報が失われる計算（たとえばXOR）は、kT ln 2 の熱を発生（kはボルツマン定数、Tは絶対温度、ln 2=0.69315）

• 情報を失わない可逆計算ならば、計算に必要なエネルギーは限りなく０に近づけることができる

可逆計算？0

0

0

1

1

0

1

1

出力を増やすと、計算が可逆になりエントロピーを保存することが可能？すると、エネルギーの散逸は免れる？余分な出力は最後に捨てればよい

可逆計算？ 0

0

1

1

1

0

0

1

出力を増やすと、計算が可逆になりエントロピーを保存することが可能？すると、エネルギーの散逸は免れる？余分な出力は最後に捨てればよい

ここで、チューリング機械

ここで、チューリング機械

• アラン・チューリングを知っていますか？

ここで、チューリング機械

• アラン・チューリングを知っていますか？

• 1912年生

• チューリング機械

• チューリングボンベ

• ACEコンピュータの設計

• Manchester Mark I のプログラミング

• チューリングテスト

• チューリングパターン

チューリング機械

http://www.youtube.com/watch?feature=player_detailpage&v=E3keLeMwfHY

チューリング機械

• ヘッドの下（上？）の文字を読む

•読んだ文字と現在の状態から、遷移規則にしたがって、次の状態に遷移し、ヘッドの下に文字を書き込み、ヘッドを左か右に動かす

•以上を、停止状態と定められた状態に達するまで繰り返す

•遷移規則はチューリング機械ごとに異なる

•文字の種類もチューリング機械ごとに定める（0と1と空白が典型的）

• ただし、状態の種類と文字の種類は有限個

• テープは左右に無限に伸びる（最初から無限でなくても、必要に応じて継ぎ足せればよい）

チューリング機械

1 0 1 1 1

1 0 1 1

1 0 0 0

チューリング機械

•標準的な計算モデルの一つ

• 「計算できること」は、必ず、いずれかのチューリング機械によって計算できる

•計算可能な関数は、必ず、いずれかのチューリング機械によって実現できる

•計算によって解ける問題は、必ず、いずれかのチューリング機械によって解ける

• チューリング機械ができないことは、計算不能

チューリング機械

http://www.youtube.com/watch?feature=player_detailpage&v=E3keLeMwfHY

RNAポリメラーゼ

http://www.tmd.ac.jp/artsci/biol/textbook/geneteng.htm http://www.seibutsushi.net/blog/2008/10/000589.html

DNAポリメラーゼ

http://3dciencia.com/blog/?p=248http://namaketarou.kakurezato.com/biotechnology/pcr/

リボソーム

http://en.m.wikipedia.org/wiki/Ribosome http://micro.magnet.fsu.edu/cells/ribosomes/ribosomes.html

分子チューリング機械？

d d

q(p, b, c, L, q)

…

（非可逆）チューリング機械

1 0 1 1 1

1 0 1 1

1 0 0 0

可逆チューリング機械

…

可逆チューリング機械

•遷移を逆戻りすることが可能なチューリング機械• どんなチューリング機械に対しても、同じ計算をする可逆チューリング機械を構成することができる

• XORの例と同様に、余分な情報を追加することにより、可逆な計算に変換できる

可逆チューリング機械

•遷移を逆戻りすることが可能なチューリング機械• どんなチューリング機械に対しても、同じ計算をする可逆チューリング機械を構成することができる

• XORの例と同様に、余分な情報を追加することにより、可逆な計算に変換できる

•物理的な実現（の可能性）• 生体コンピュータ（分子可逆チューリング機械？）

• ビリアードボール・コンピュータ

分子可逆チューリング機械？

d d

q(p, b, c, L, q)

…

分子コンピューティング：分子で計算

•電子回路も分子でできている？• そうではなくて、個々の分子が計算を行う

• 特に、化学反応による計算

•理論的な興味は昔からあった• 特に物理学者たち

• 計算の熱力学的限界（ランダウアーの原理）• １ビットの情報が失われる計算（たとえばXOR）は、kT ln 2 の熱を発生（kはボルツマン定数、Tは絶対温度、ln 2=0.69315）

• 情報を失わない可逆計算ならば、計算に必要なエネルギーは限りなく０に近づけることができる

分子コンピューティング：分子で計算

•電子回路も分子でできている？• そうではなくて、個々の分子が計算を行う

• 特に、化学反応による計算

•理論的な興味は昔からあった• 特に物理学者たち

• 計算の熱力学的限界（ランダウアーの原理）• １ビットの情報が失われる計算（たとえばXOR）は、kT ln 2 の熱を発生（kはボルツマン定数、Tは絶対温度、ln 2=0.69315）

• 情報を失わない可逆計算ならば、計算に必要なエネルギーは限りなく０に近づけることができる

• たとえば、可逆チューリング機械

分子コンピューティング：分子で計算

•電子回路も分子でできている？• そうではなくて、個々の分子が計算を行う

• 特に、化学反応による計算

•理論的な興味は昔からあった• 特に物理学者たち

• 計算の熱力学的限界（ランダウアーの原理）• １ビットの情報が失われる計算（たとえばXOR）は、kT ln 2 の熱を発生（kはボルツマン定数、Tは絶対温度、ln 2=0.69315）

• 情報を失わない可逆計算ならば、計算に必要なエネルギーは限りなく０に近づけることができる

• たとえば、可逆チューリング機械

• それを、可逆な化学反応で実現できないか？

分子コンピューティング：分子で計算

•電子回路も分子でできている？• そうではなくて、個々の分子が計算を行う

• 特に、化学反応による計算

•理論的な興味は昔からあった• 特に物理学者たち

• 計算の熱力学的限界（ランダウアーの原理）• １ビットの情報が失われる計算（たとえばXOR）は、kT ln 2 の熱を発生（kはボルツマン定数、Tは絶対温度、ln 2=0.69315）

• 情報を失わない可逆計算ならば、計算に必要なエネルギーは限りなく０に近づけることができる

• たとえば、可逆チューリング機械

• それを、可逆な化学反応で実現できないか？

•実際に化学反応により計算は可能か、エネルギーは？

化学反応による計算

•分子に情報を記憶

•化学反応により、分子に記憶された情報を処理（変換・転送・・・）

•実際にやってみせたのはAdleman• RSA暗号のAの人

• 具体的にはDNA分子を用いた⇒DNAコンピュータ

• ハミルトン経路問題（探索問題・最適化問題）

• その後、様々な取組• 分子可逆チューリング機械は実現していないが

•現在は、分子ロボットのコンピュータとして活発に研究

エネルギー？

• DNAオートマトンの場合、計算の１ステップで２か所のホジエステル結合が加水分解により開裂することにより、エネルギーが消費

• ホジエステル結合のエネルギーは約 8 kcal mol-1≒33600 J mol-1

（≒ ATPADPのエネルギー）

• これに対して、kT ln 2 は？

• k = 1.38 × 10-23 J K-1

• kのアボガドロ数倍が気体定数 R = 8.3 J K-1 mol-1

• T=300とすると RT ln 2≒1730 J mol-1

• ホジエステル結合のエネルギーは約20倍

エネルギー？

•熱力学的限界の20倍程度で計算が可能？• 電子回路の場合、約58000倍（2006年の45nmプロセスに対する報告）

• http://nanohub.org/resources/1250

エネルギー？

•熱力学的限界の20倍程度で計算が可能？• 電子回路の場合、約58000倍（2006年の45nmプロセスに対する報告）

• http://nanohub.org/resources/1250

• しかし、一個の分子の反応は、エラーや逆戻りなどを免れない

•多重化は必須• 電子回路と同様

• 生体（細胞）もそうしている

• とすると、エネルギーはもっと必要

再びチューリング機械

• δ：遷移規則：(p,s,t,d,q)の集合• pは遷移前の状態・qは遷移後の状態

• sは遷移前の記号・tは遷移後の記号

• dはヘッドの移動方向：L（左）かR（右）かN（移動なし）

• チューリング機械が決定的であるとは、∀(p,s,t,d,q), (p’,s’,t’,d’,q’)∊δ

p=p’ ∧ s=s’ ⇒ (p,s,t,d,q)=(p’,s’,t’,d’,q’)

可逆チューリング機械

• では、チューリング機械が可逆であるとは、∀(p,s,t,d,q), (p’,s’,t’,d’,q’)∊δ

…

可逆チューリング機械

• では、チューリング機械が可逆であるとは、∀(p,s,t,d,q), (p’,s’,t’,d’,q’)∊δ

q=q’ ∧ t=t’ ⇒ (p,s,t,d,q)=(p’,s’,t’,d’,q’)

可逆チューリング機械

• では、チューリング機械が可逆であるとは、∀(p,s,t,d,q), (p’,s’,t’,d’,q’)∊δ

q=q’ ∧ t=t’ ⇒ (p,s,t,d,q)=(p’,s’,t’,d’,q’)

q=q’ ⇒ d=d’

可逆チューリング機械

• どんなチューリング機械に対しても、同じ計算をする可逆チューリング機械を構成することができる

• XORの例と同様に、余分な情報を追加することにより、可逆な計算に変換できる• 任意の１テープTM Tに対し、それをシミュレートする３テープ（作業用・履歴・出力）の可逆TM T’を構成できる

•余分な情報（ゴミ）は、計算の最後で捨てればよい• 実は、ゴミは捨てなくても、可逆性を保ちながら回収して、もともとの入力と出力のみを得るようにすることができる

• Tに入力記号列sを与えたとき、出力記号列yを書き出して停止するならば、T’にxを与えたとき、xとyだけを書き出し、ゴミ情報である動作履歴は残さずに停止する

可逆論理回路

・・・

閉路を持たない回路

Toffoliゲート

x

y

z

Toffoliゲート

x

y

xとyが両方1ならばzの否定そうでなければzそのもの

Fredkinゲート

0

y

z

Fredkinゲート

0

z

y

Fredkinゲート

1

y

z

Fredkinゲート

1

y

z

スイッチゲート

0

x

スイッチゲート

0

x

0

スイッチゲート

1

x

スイッチゲート

x

0

1

可逆論理回路

• m入力n出力の論理ゲートは、[0,1]m[0,1]nの関数として単射である

とき、可逆であるという

•可逆論理ゲートを有限個接続することによって得られる閉路を持たない回路で次の条件を満たすもの：各素子の出力は他のいずれかの素子の高々１つの入力にしか接続できない

論理的万能性

•定数入力とゴミ出力を許して、任意の論理関数を実現可能

• Toffoliゲート、Fredkinゲート、スイッチゲートは、それぞれ単独で、論理的に万能

定数c

入力x

出力f(x)

ゴミg

ビリアードボール・コンピュータ

森田: 情報処理, 1994, 35 (4) 306-314

ロータリー素子

0

1

0

0

ロータリー素子

0

0

1

0

ロータリー素子

0

0

1

0

ロータリー素子

1

0

0

0

ロータリー素子

•状態を持ち、タイミングが明示的に定義されている素子

• ロータリー素子も論理的に万能• Fredkinゲートを構成可能

• 逆に、Fredkinゲート（と遅延素子）によってロータリー素子を構成可能

• ビリアードボールによりロータリー素子を直接的に構成可能

可逆順序回路

•順序回路とは、δ：Q×ΣQ×Γ• Qは内部状態の有限集合

• Σは入力記号の有限集合・Γは出力記号の有限集合

•可逆順序機械とは、δが単射であるような順序回路

ロータリー素子による可逆順序機械

•任意の可逆順序機械は、ロータリー素子だけから構成される、ゴミ情報をまったく生み出さない回路によって実現できる

ロータリー素子による可逆TM

•任意の可逆TMは、ロータリー素子だけから構成される、ゴミ情報をまったく生み出さない回路によって実現できる• テープのセルは無限にある

参考

•小宮他：DNAナノエンジニアリング, 近代科学社

•萩谷・西川：DNAロボット, 岩波書店

• ファインマン他：ファインマン計算機科学, 岩波書店

•森田：可逆計算, 近代科学社

•川合・萩谷：基礎情報科学, 放送大学大学院教材