predavanja iz termodinamike

Poglavlje 1

Osnove

1.1 Osnovni pojmovi o strujanjufluida

1.1.1 Brzina

Slika 1.1: Kretanje fludnog deli�a kroz prostor.

U vremenskom trenutku t vektor polo�aja fluidnog deli�aje ~x (x1, x2, x3), a u vremenskom trenutku t+Dt fluidni deli�se pomerio za ~Dx (Dx1, Dx2, Dx3). Brzina fluidnog deli�a,

1

~u (u1, u2, u3), je koliqnik pomeranja deli�a i odgovaraju�egvremena:

ui =Dxi

Dt(1.1)

Poxto izvod nije u bilo kom pravcu ~dxl, ve� se pratifluidni deli�, sa ~Dx, brzina je materijalni izvod vektorapolo�aja.

1.1.2 Trajektorija

Slika 1.2: Trajektorije na hidrauliqkom modelu reqne kri-vine na Tisi, kod Adorjana.

Trajektorija, ili putanja, je geometrijsko mesto taqakakroz koje deli� prolazi u svom kretanju kroz prostor. Radise o jednom deli�u i o vremenu koje je potrebno da deli�pro�e kroz deo prostora koji se izuqava.

2

1.1.3 Materijalni izvodY je bilo koja veliqina koja je funkcija polo�aja u prostorui vremenu:

Y = Y (x1, x2, x3, t) (1.2)

Izvod po vremenu od Y , kao izvod slo�ene funkcije, je:

dY

dt=

∂Y

∂t+

∂Y

∂x1

dx1

dt+

∂Y

∂x2

dx2

dt+

∂Y

∂x3

dx3

dtdY

dt=

∂Y

∂t+

∂Y

∂xi

dxi

dt(1.3)

Jednaqina 1.3 je napisana primenom pravila da ako se u jed-nom monomu isti indeks udvostruqi to predstavlja trinom,prema [1].

Ako se priraxtaj Y ve�e za fluidni deli�, onda dxi idt nisu nezavisni, jer je njihov odnos odre�en brzinom ui.Priraxtaj po vremenu od Y , vezan za fluidni deli�, je ma-terijalni izvod od Y i mo�e se napisati kao:

DY

Dt=

∂Y

∂t+ ui

∂Y

∂xi. (1.4)

Prvi qlan zbira ∂Y/∂t je lokalna komponenta, a ui ∂Y/∂xi kon-vektivna komponent materijalnog izvoda.

1.1.4 UbrzanjeUbrzanje je materijalni izvod brzine:

Duj

Dt=

∂uj

∂t+ ui

∂uj

∂xi. (1.5)

Za pravac j = 2 komponenta ubrzanja je:

Du2

Dt=

∂u2

∂t+ u1

∂uj

∂x1+ u2

∂uj

∂x2+ u3

∂uj

∂x3. (1.6)

3

1.1.5 Koliqina kretanjaKoliqina kretanja je proizvod mase ρdV i brzine uj. Mater-ijalni izvod koliqne kretanja jednak je:

D

Dt(ρdV uj) = ρdV

Duj

Dt. (1.7)

1.1.6 StrujnicaStrujnica je geometrijsko mesto taqaka, koje u svakoj taqkiima tangentu u pravcu brzine. Strujnica se odnosi na jedanvremenski trenutak.

Slika 1.3: Strujnica (za vreme t3) i trajektorija, koje pro-laze kroz taqku A.

Iz definicije brzine, jednaqina (1.1), sledi:

ui =Dxi

Dt⇒ Dx1

u1=

Dx2

u2=

Dx3

u3= Dt (1.8)

xto je diferencijalna jednaqina strunice.

4

Slika 1.4: Strujnice na hidrauliqkom modelu evakuacionihobjekata na akumulaciji Grlixte, kod Zajeqara.

1.1.7 Emisiona linija

Slika 1.5: Emisiona linija iz taqke A i trajektorije.

Emisionu liniju saqinjavaju svi deli�i koji su proxlikroz istu taqku. Emisiona linija se odnosi na jedan trenu-tak vremena.

Ako je strujanje ustaljeno trajektorija, strujnica i emi-siona linija se preklapaju. Strujanja prikazana na slikama1.3 i 1.5 su neustaljena.

5

1.1.8 Proticaj

Slika 1.6: Proticaj kroz povrxinu A.

Elementarni proticaj, dQ, jednak je skalarnom proizvoduvektora brzine, ~u, i orijentisane elementarne povrxine, ~dA,xto je dato sa:

dQ = ~u · ~dA,

dQ = ni ui dA, (1.9)

gde je ni ort spoljne normale.Prema pravilu o udvajanju indeksa sledi:

ni ui = n1 u1 + n2 u2 + n3 u3.

Ako se elementarni proticaj, dQ, definisan jednaqinom(1.9), integrixe po celoj povrxini kroz koju struju fluid,A, dobija se proticaj, Q, kao:

Q =∫

Ani ui dA. (1.10)

6

Jednaqina (1.10) odre�uje proteklu zapreminu fluida. Pro-tok mase, Qρ, na osnovu jednaqine (1.10), je:

Qρ =∫

Aρni ui dA (1.11)

Na sliqan naqin mo�e se definisati protok energije, zaga-�enja, ili neke druge skalarne veliqine.

1.1.9 Srednja brzina

Slika 1.7: Raspored brzina po popreqnom preseku i srednjabrzina v.

Ako su strujnice me�usobno paralelne i normalne na povr-xinu, A, kao na slici 1.7, jednaqina (1.10) se svodi na:

Q =∫

Au dA (1.12)

Uvodi se srednja brzina u popreqnom preseku, v, kao:

v =

∫

Au dA

A=

Q

A(1.13)

7

1.1.10 Gustina, stixljiv i nestixljiv fluidProseqna gustina, ρpros, je:

ρpros =m

V. (1.14)

Na sliqan naqin gustina u taqki, ρ, je:

ρ = lim∆V →0

∆m

∆V=

dm

dV. (1.15)

Ako je fluid nestixljiv gustina ne zavisi od pritiska iva�i:

ρ = const. (1.16)

Dimenzija za gustinu je:

[ρ] = M L−3.

Za vodu, pri temperaturi t = 4◦ C, gustina je ρ = 1000 kg/m3.Voda se smatra da je nestixljiva, osim pri razmatranju hi-drauliqkog udara. Vazduh se smatra da je nestixljiv svedok brzina kretanja vazduha nije ve�a od 1/4 brzine kretanjazvuka u vazduhu. Da li �e se fluid smatrati stixljivim,ili ne, zavisi od problema koji se rexava.

8

1.1.11 Jednaqina nepromenljivosti mase– Jednaqina kontinuiteta

Stav o nepromenljivosti mase je: ,,Masa se ne mo�e ni un-ixtiti ni stvoriti”. Na osnovu ovog stava masa fluidnogdeli�a je:

dm = ρdV = const (1.17)

Materijalni izvod fluidnog deli�a daje:

D

Dt(ρdV ) = 0 (1.18)

xto pretstavlja jednaqinu nepromenjivosti mase deli�a. In-tegrisanjem jednaqine (1.18) po konaqnoj zapremini, V , do-bija se:

∫

V

D

Dt(ρdV ) =

∫

V

∂ρ

∂tdV +

∫

Aρni ui dA = 0 (1.19)

jednaqina nepromenljivosti mase u konaqnoj zapremini, V ,ograniqenoj povrxinom A.

Jednaqina (1.19) mo�e se napisati i u obliku:

∫

V

∂ρ

∂tdV = −

∫

Aρni ui dA (1.20)

odakle je jasno da do promene gustine fluida, ρ, unutar kon-trolne zapremine, V , mo�e do�i samo ako su ulaz i izlazfluida, kroz kontrolnu zapreminu, A, razlikuju. Na slici1.9, na delovima gde je ugao izme�u brzine i normale povr-xine ve� od pravog ugla, proizvod ima znak ,,-” i tu je ulazfluida. Obrnuto, na delovima gde je ugao manji od pravognalazi se izlaz i proizvod ima znak ,,+”.

Pri razmatrenju nestixljivog fluida za parcijalni izvodgustine, po vremenu, va�i:

∂ρ

∂t= 0 (1.21)

9

Slika 1.8: Proticanje fluida kroz telo zapremine V .

zbog qega zapreminski integral u jednaqini (1.20) mora biti0, pa sledi:

∫

Aρni ui dA = 0, (1.22)

xto predstavlja jednaqinu odr�anja mase za nestixljiv fluid,za konaqnu zapreminu, V , ograniqenu povrxinom, A.

Slika 1.9: Proticanje fluida a) na proxirenju cevi i b) naraqvanju cevi.

Ako se jednaqina (1.22) primeni na strujanje na proxirenju,

10

dato na slici 1.9, pod ,,a”, dobija se:

−v1 A1 + v2 A2 = 0

A1 v1 = A2 v2 (1.23)

ili za primer ,,b”, sa iste slike:

−v1 A1 + v2 A2 + v3 A3 = 0 (1.24)

11

1.1.12 Dinamiqka jednaqina za konaqnu masu

Slika 1.10: Sile koje deluju na masu fluida izme�u preseka,,1” i ,,2”.

Pretpostavlja se da je:

• fluid nestixljiv

ρ = const

• i strujanje ustaljeno

∂v

∂t= 0 .

Priraxtaj koliqine kretanja za vreme dt je:

−ρQdt ~v1 + ρQdt ~v2 = ρQdt (~v2 − ~v1) (1.25)

gde je Qdt zapremina vode koja protekne kroz kontrolne pre-seke ,,1” i ,,2”, a ρQdt odgovaraju�a masa. Ako se leva stranajednaqine (1.25) podeli sa dt dobija se priraxtaj koliqinekretanja u jedinici vremena:

ρQ (~v2 − ~v1) . (1.26)

12

Na osnovu zakona o odr�anju koliqine kretanja, da je pri-raxtaj koliqine kretanja u jedinici vremena jednak rezul-tanti deluju�ih sila, sledi:

ρQ (~v2 − ~v1) = ~G + ~K + ~P1 + ~P2 (1.27)

gde je te�ina, ~G, zapreminska sila, a ~K+ ~P1+ ~P2 su povrxinskesile. ~K je sila kojom qvrsta granica deluje na fluid, a ~Pi

je sila pritiska na odgovaraju�em kontrolnom preseku ,,i”.Leva strana jednaqine (1.27) sa promenjenim znakom je:

~I = −ρQ (~v2 − ~v1) = ~I1 + ~I2 (1.28)

gde je ~I ,,fiktivna inercijalna sila”.

~I1 = ρQ ~v1 (1.29)

~I2 = ρQ (−~v2) (1.30)

~I1 + ~I2 + ~G + ~K + ~P1 + ~P2 = 0 (1.31)

Zadaci koji se rexavaju su:

1. Poznati su: Q, P1, P2 I1 i I2, iz jednaqine (1.31) odre�ujese sila kojom fluid deluje na qvrstu granicu − ~K.

2. Poznati su: Q, I1, I2, K i jedna sila pritiska, a odre�u-je se druga sila pritiska.

Ako se po popreqnom preseku brzina strujanja menja uvodise:

β =

∫

Au2 dA

v2 A(1.32)

U tom sluqaju inercijalna sila se definixe kao:

~I = ρQβ ~v (1.33)

13

14