predavanje12 zlatni presek

АрхитектонскиАрхитектонски факултетфакултетУниверзитетаУниверзитета уу БеоградуБеограду

МатематикаМатематика уу архитектуриархитектуриПрофПроф. . дрдр ЉиљанаЉиљана ПетрушевскиПетрушевски

Фрактална геометријаи фрактали у архитектуризлатни пресек

Шта је златни пресек?

Каква је то размера?

АрхитектонскиАрхитектонски факултетфакултетУниверзитетаУниверзитета уу БеоградуБеограду

МатематикаМатематика уу архитектуриархитектуриПрофПроф. . дрдр ЉиљанаЉиљана ПетрушевскиПетрушевски

Фрактална геометријаи фрактали у архитектуризлатни пресек

а b

Подела дужи на два дела а и b таквада је

φ==+

ba

aba

позната је подназивом ’’златнипресек’’.

АрхитектонскиАрхитектонски факултетфакултетУниверзитетаУниверзитета уу БеоградуБеограду

МатематикаМатематика уу архитектуриархитектуриПрофПроф. . дрдр ЉиљанаЉиљана ПетрушевскиПетрушевски

а

Фрактална геометријаи фрактали у архитектуризлатни пресек

b

φφ 11 =−φ==

+ba

aba

ba

ab1 =+ φ

φ=+

11

012 =−−φφ 61803398.12

51ba

=+

==φ

АрхитектонскиАрхитектонски факултетфакултетУниверзитетаУниверзитета уу БеоградуБеограду

МатематикаМатематика уу архитектуриархитектуриПрофПроф. . дрдр ЉиљанаЉиљана ПетрушевскиПетрушевски

Однос

61803398.1ba==φ

је необичан број.

φφ 161803398.01 ==−

Фрактална геометријаи фрактали у архитектуризлатни пресек

АрхитектонскиАрхитектонски факултетфакултетУниверзитетаУниверзитета уу БеоградуБеограду

МатематикаМатематика уу архитектуриархитектуриПрофПроф. . дрдр ЉиљанаЉиљана ПетрушевскиПетрушевски

Фрактална геометријаи фрактали у архитектуриконструкција златног пресека

61803398.12

51DFAD

ADAF

=+

===φ

АрхитектонскиАрхитектонски факултетфакултетУниверзитетаУниверзитета уу БеоградуБеограду

МатематикаМатематика уу архитектуриархитектуриПрофПроф. . дрдр ЉиљанаЉиљана ПетрушевскиПетрушевски

Фрактална геометријаи фрактали у архитектуризлатни правоугаоник

Правоугаоник чије су странице у односу φ:1назива се златним правоугаоником.

Визуелно пријатне пропорције!

АрхитектонскиАрхитектонски факултетфакултетУниверзитетаУниверзитета уу БеоградуБеограду

МатематикаМатематика уу архитектуриархитектуриПрофПроф. . дрдр ЉиљанаЉиљана ПетрушевскиПетрушевски

Фрактална геометријаи фрактали у архитектуризлатни правоугаоник и златни квадрат

Највећи квадрат који се може исећи иззлатног правоугаоника назива се златнимквадратом.

АрхитектонскиАрхитектонски факултетфакултетУниверзитетаУниверзитета уу БеоградуБеограду

МатематикаМатематика уу архитектуриархитектуриПрофПроф. . дрдр ЉиљанаЉиљана ПетрушевскиПетрушевски

Фрактална геометријаи фрактали у архитектуризлатни правоугаоник и златни квадрат

Преостали део је златни правоугаоник; његовестранице су опет у односу . Сличан јепочетном правоугаонику и представља његовускалирану копију са фактором скалирања .

φφ 11 =−

φ:1

φ1

АрхитектонскиАрхитектонски факултетфакултетУниверзитетаУниверзитета уу БеоградуБеограду

МатематикаМатематика уу архитектуриархитектуриПрофПроф. . дрдр ЉиљанаЉиљана ПетрушевскиПетрушевски

Фрактална геометријаи фрактали у архитектуризлатни правоугаоник и златни квадрат

φφ 11 =−

Понављајући поступак добија се низ златнихправоугаоника и низ златних квадрата. Сваки следећиу низу је скалирана копија претходног са факторомскалирања . Сваки од низова је самосличан низ.

φ1

АрхитектонскиАрхитектонски факултетфакултетУниверзитетаУниверзитета уу БеоградуБеограду

МатематикаМатематика уу архитектуриархитектуриПрофПроф. . дрдр ЉиљанаЉиљана ПетрушевскиПетрушевски

Фрактална геометријаи фрактали у архитектуризлатни правоугаоници

Самослични златниправоугаоници -фактор скалирања .

φ1

АрхитектонскиАрхитектонски факултетфакултетУниверзитетаУниверзитета уу БеоградуБеограду

МатематикаМатематика уу архитектуриархитектуриПрофПроф. . дрдр ЉиљанаЉиљана ПетрушевскиПетрушевски

Фрактална геометријаи фрактали у архитектуризлатни квадрати

Самослични златни квадрати –

фактор скалирања . φ1

АрхитектонскиАрхитектонски факултетфакултетУниверзитетаУниверзитета уу БеоградуБеограду

МатематикаМатематика уу архитектуриархитектуриПрофПроф. . дрдр ЉиљанаЉиљана ПетрушевскиПетрушевски

Фрактална геометријаи фрактали у архитектуризлатни квадрати

Самослични златни квадрати сачетвртинама кругова.

АрхитектонскиАрхитектонски факултетфакултетУниверзитетаУниверзитета уу БеоградуБеограду

МатематикаМатематика уу архитектуриархитектуриПрофПроф. . дрдр ЉиљанаЉиљана ПетрушевскиПетрушевски

Фрактална геометријаи фрактали у архитектуризлатни квадрати

Логаритамска спирала.

АрхитектонскиАрхитектонски факултетфакултетУниверзитетаУниверзитета уу БеоградуБеограду

МатематикаМатематика уу архитектуриархитектуриПрофПроф. . дрдр ЉиљанаЉиљана ПетрушевскиПетрушевски

Фрактална геометријаи фрактали у архитектуриФибоначиеви бројеви

F1=1, F2=1, 2n1nn FFF −− +=

= {1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, …}. F

{ }nF

.nkad,FF

1n

n ∞→→−

φ

АрхитектонскиАрхитектонски факултетфакултетУниверзитетаУниверзитета уу БеоградуБеограду

МатематикаМатематика уу архитектуриархитектуриПрофПроф. . дрдр ЉиљанаЉиљана ПетрушевскиПетрушевски

Фрактална геометријаи фрактали у архитектуриФибоначиеви бројеви