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Proposta de Resolução dos Exercícios dos Subcapítulos
Geometria Analítica Página 1
Preparar o Exame 2015/2016 – Matemática A
Página 353 – Geometria Analítica
1. Tem-se que 0
)
ˆcos i
AB AC BC AB AC AB BC AB AC BAC a c a
c
2 a .
i) Os vetores AB e BC são perpendiculares, logo 0 AB BC . BAC é o ângulo formado pelos vetores AB e AC .
Resposta: B
2. Tem-se que:
▪ 2
5 5 3 2 15 5 15 33
AB BC AB AB AB AB AB AB . Portanto 2
3 23
BC .
▪ AD AC CD e BD BC DC .
Assim:
0 0
AD BD AC CD BC CD AC BC AC CD CD BC CD CD
2 2
)cos 0º 0 0 1 0 0 5 2 1 5 15
iAC BC CD AC BC CD
i) Os vetores AC e CD são perpendiculares e CD e BC também o são. Logo 0 AC CD e 0 CD BC .
ii) Como ABDE é um losango, tem-se 3 BD AB . Assim, pelo Teorema de Pitágoras:
2 2 2 2 2
2 23 2 5 CD BC BD CD CD
Resposta: D
3. Tem-se 1 u v w , pois os vetores u , v e w são vetores unitários. Como os vetores u e v são
perpendiculares então 0 u v e como v w , vem:
0 0 0 0 u v u w u w u w
ou seja, os vetores u e w também são perpendiculares. Assim:
0
2 3 3 2 2 3 2 u v u v w u u u v u w v u v v v w
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Geometria Analítica Página 2
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2 2 22 2
0 0
3 0 2 2 3 2 1 3 0 2 0 6 1 2 u u v v u v w w w
21 0 0 6 2 1 7 2 5
Resposta: D
4. O centro da esfera é o ponto de coordenadas 2, 2,2 . Este ponto pertence também à reta r, ou seja, a reta r
passa exatamente no centro da esfera pelo que a interseção da esfera com a reta r é um segmento de reta cujo
comprimento igual ao diâmetro da esfera. Como o raio a esfera é 2 tem-se que o seu diâmetro é 4 e portanto a resposta
correcta é a A.
Resposta: A
5. Tem-se:
1 2
3, , 1,0,3 2,3,0 ,
3
x k
y kx y z k k IR
zx z
x z 1 2 3
k 2 4
k
1 2 2 3
3 2 6
3 3
2
x x
y y
z z
k
A reta r e o plano intersetam-se no ponto de coordenadas 3,6,3 .
Resposta: A
6.
▪ Vamos começar por determinar um vetor director da reta r. Uma das maneiras de o fazer é determinando dois pontos
distintos da reta. Assim, atribuindo a x o valor 0, obtém-se: 2 0 1 2 1 y z y z . Logo o ponto
de coordenadas 0,2, 1 pertence à reta r. Designemos esse ponto por P.
Atribuindo a x o valor 1, obtém-se: 2 1 1 2 0 y z y z . Logo o ponto de coordenadas 1,2,0
pertence à reta r. Designemos esse ponto por Q.
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Portanto, um vetor diretor da reta r é o vetor PQ . Tem-se 1,2,0 0,2, 1 1,0,1 PQ Q P .
▪ Um plano é perpendicular à reta r se e só se um vetor normal a esse plano for colinear com o vetor 1,0,1PQ ,
vetor diretor da reta r. Logo, dos quatro apresentados, o plano de equação 2 2 5 x z é o único perpendicular à reta
r. O vector 2,0,2 é um vetor normal ao plano de equação 2 2 5 x z que é colinear com o vector 1,0,1PQ ,
pois 2,0,2 2 1,0,1 2 PQ .
Resposta: B
7. O vetor ,1, 3 r m m é um vetor diretor da reta r e o vetor 2,1 1 n é um vetor normal do plano . A reta
r é paralela ao plano se e só se o vetor r for perpendicular ao vetor n , ou seja, 0 r r n r n .
Assim, 0 ,1, 3 2,1, 1 0 2 1 3 0 2 0 2 r n m m m m m m .
Resposta: B
8. O vetor ,2, n a a é um vetor normal do plano e o vetor 4, ,2 n a a é um vetor normal do plano . Os
planos e são perpendiculares se e só se os vetores n e n também o forem, ou seja:
0 n n n n
Assim:
2 20 ,2, 4, ,2 0 4 2 2 0 2 2 0 2 2 0 n n a a a a a a a a a a a
0 2 2 0 0 2 2 0 1 a a a a a a
Como 0a , tem-se 1a .
Resposta: C
9.
▪ O ponto B pertence ao eixo Ox e portanto as suas coordenadas são da forma ,0,0x . Como o ponto B pertence ao
plano BCF, substituindo-o na sua equação vem, 15 12 0 20 0 60 15 60 4 x x x .
Logo, as coordenadas do ponto B são 4,0,0 .
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▪ O ponto C pertence ao eixo Oy e portanto as suas coordenadas são da forma 0, ,0y . Como o ponto C pertence ao
plano BCF, substituindo-o na sua equação vem, 15 0 12 20 0 60 12 60 5 y y y .
Logo, as coordenadas do ponto C são 0, 5,0 .
▪ O ponto F pertence ao eixo Oz e portanto as suas coordenadas são da forma 0,0, z . Como o ponto F pertence ao
plano BCF, substituindo-o na sua equação vem, 15 0 12 0 20 60 20 60 3 z z z .
Logo, as coordenadas do ponto F são 0,0,3 .
Assim, as coordenadas do ponto D são 4, 5,3 e um vector director da reta OD por ser:
4, 5,3 0,0,0 4, 5 3 OD D O
Portanto, uma condição que define a reta OD é 4 5 3
x y z.
Resposta: D
10. O vetor 2, 1,1 n é um vetor normal do plano e o vector 6, 3,3 n é um vetor normal do plano .
Logo os vectores n e n são colineares pois 3 n n e portanto os planos e ou são estritamente paralelos
ou são coincidentes. Como as equações dos planos e não são equivalentes, os planos e não são coincidentes
e portanto são estritamente paralelos. Logo, a sua interseção é o conjunto vazio.
Resposta: B
11.
▪ Tem-se, , , 2 2 , ,1 , , , 2,0,1 2 , , , x y z k k k k x y z k k k k
, , 2,0,1 2,1,1 , x y z k k
Logo, um vetor diretor da reta r é 2,1,1 r .
▪ Tem-se, 2 3
2 4 2 6 2 2 2 2 3 2 22 2
x zx z y x z y y
Logo, um vetor diretor da reta s é 2,0, 2 s .
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▪ Seja a amplitude do ângulo formado pelas retas r e s. Tem-se:
2 22 2 2 2
2,1,1 2,0, 2 2 2 1 0 1 2cos cos cos
2,1,1 2,0, 2 2 1 1 2 0 2
r s
r s
4 0 2 6 6
cos cos cos4 1 1 4 0 4 6 8 48
0 90º
6 6 6 3 3cos cos cos cos 30º
4 3 248 4 3
Resposta: A
12.
▪ Tem-se, 2 2 20 0 a x y z ax a x ax y z a a x y z .
Logo, um vetor normal do plano é 2 ,1,1 n a a .
▪ Tem-se, 2 2 2 2 x y z x y z . Logo, um vetor normal do plano é 2,1,1 n .
▪ Tem-se, 0 0 x a y z x ay az . Logo, um vetor normal do plano é 1, , n a a .
▪ Os planos e são estritamente paralelos se e só se os vetores n e n forem colineares, ou seja:
n n n e n são colineares \ 0 : k n k n
Assim,
2 2
2
2 2 1
,1,1 2,1,1 1
1
a a k a a
n k n a a k k
k
Logo,
2
2 21 1 4 1 2
2 1 2 0 1 22 1
a a a a a a a
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▪ Os planos e são perpendiculares se e só se os vetores n e n também o forem, ou seja:
0 n n n n
Assim 0 1, , 2,1,1 0 2 0 0 2 2 1 n n a a a a a a .
Logo, como e não são perpendiculares, a não pode ser igual a 1 . Portanto 2a .
Resposta: C
Página 354
13.
13.1.
▪ O ponto B pertence ao eixo Oy e com tem ordenada 2. Logo as suas coordenadas são 0,2 .
▪ Tem-se que 0,2 7, 3 7, 1 C B BC e que 7, 1 6,2 1, 3 D C CD C DC .
Como os pontos A e D são simétricos em relação à bissetriz dos quadrantes ímpares, as coordenadas do ponto A são
3,1 .
13.2.
▪ Seja a amplitude do ângulo formado pelas retas AB e AD. Tem-se:
22 2 2
3,1 4, 4 3 4 1 4cos cos cos
3,1 4, 4 3 1 4 4
AB AD
AB AD
8 8 8
cos cos cos10 32 320
8
5cos
55
O ângulo entre duas retas é sempre um ângulo agudo (caso não sejam paralelas nem perpendiculares). Portanto,
0,2
.
Cálculos Auxiliares: 0,2 3,1 3,1 AB B A ; 1, 3 3,1 4, 4 AD D A .
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7
2
x
y
O
▪ Utilizando o círculo trigonométrico para comparar o cosseno dos ângulos de amplitude e 7
2 e a tangente dos
ângulos de amplitude e :
Assim, 7
cos sen2
e tg tg .
Logo, 7
tg 5cos tg 5sen2
.
▪ Tem-se
2
2 2 2 2 25 5 20 20sen cos 1 sen 1 sen 1 sen sen
5 25 25 25
Como 0,2
, vem 20 20 2 5
sen sen sen25 5 5
▪
2 52 5sen 5tg tg tg
cos 5
5
5
5 5tg 2
Assim, 7
tg 5cos tg 5sen 2 52
2 5
5 2 2 5
13.3.
▪ O vetor 6,2DC é um vetor diretor da reta DC. Logo 2 1
6 3 DCm .
▪ Seja t a reta perpendicular à reta DC que contém o ponto A. Assim 1 1
31
3
t
DC
mm
e portanto a equação
reduzida da reta t é do tipo 3 y x b . Como o ponto 3,1A pertence à reta t, substituindo-o na sua equação,
tem-se 1 3 3 1 9 8 b b b .
Então, a equação reduzida da reta t é dada por 3 8 y x .
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▪ Seja a inclinação da reta t, assim tg 3 tm e portanto 108º .
13.4.
▪ O vector AB é um vetor diretor da reta AB. Tem-se 0,2 3,1 3,1 AB B A .
Logo 1
3ABm e portanto a equação reduzida da reta AB é do tipo
1
3 y x b . Como o ponto 0,2B pertence à
reta AB então, a equação reduzida da reta AB é dada por 1
23
y x . Assim o segmento de reta AB pode ser
definido pela condição 1
2 3 03
y x x .
Como o ponto P pertence ao segmento de reta AB , as suas coordenadas são da forma 1
, 23
x x , com
3 0 x .
▪ O vetor OP é um vetor diretor da reta OP e o vetor DC é um vetor diretor da reta DC. As retas OP e DC são
perpendiculares se e só se os vetores OP e DC também o forem, isto é, 0 OP DC OP DC OP DC .
Tem-se que 1 1
, 2 0,0 , 23 3
OP P O x x x x . Assim:
1 1 2
0 , 2 6,2 0 6 2 2 0 6 4 0 18 2 12 03 3 3
OP DC x x x x x x x x
12 3
20 1220 5
x x x
Logo as coordenadas do ponto P são 3 9
,5 5
.
Cálculo Auxiliar: Para 3
5 x a ordenada do ponto P é
1
3
3
1 92 2
5 5 5
.
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14.
14.1. A amplitude entre os vectores OA e OC é . Assim vem:
2 2
cos cosOB OA OA OC OA OA OA OC OA OA OC OA OA OC OA
2 2 2 2 2 23 6 1
2 cos 25 5 5
OA OA OA OA OA OA OA OA
Cálculo Auxiliar:
2
2 2 2 2 2 24 16 16 9 3sen cos 1 cos 1 cos 1 cos 1 cos cos
5 25 25 25 5
Como ,2
, tem-se 3
cos5
.
14.2. Tem-se 0 0 0CA
PC BC AC PC BC CA PC BA
.
Logo a condição 0 0PC BC AC PC BA define uma reta perpendicular ao segmento de reta AB que
contém o ponto C.
14.3.
a) O vector BC é um vetor diretor da reta BC. Tem-se 3, 3 5,2 2, 5BC C B .
Logo, 5 5
2 2BCm
. Seja a inclinação da reta BC, assim 5
2BCtg m pelo que 68º .
2.3.2.
▪ Tem-se que 2,5A O OA CB BC .
▪ O vetor AC é um vetor diretor da reta AC. Tem-se 3, 3 2,5 1, 8AC C A .
Logo, 8
81
ACm
.
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▪ A reta t é paralela à reta AC pelo que 8t ACm m . Assim a equação reduzida da reta t é do tipo 8y x b .
Como o ponto 5,2B pertence à reta t, substituindo-o na sua equação tem-se:
2 8 5 2 40 42b b b
Então a equação reduzida da reta t é dada por 1
8 42 8 42 0 4 21 02
y x x y x y .
Logo 4a e 1
2b .
15. Tem-se que:
▪ 2
3AD CD e 3CD CF . Portanto
2 2
3 3AD CD 3 2CF CF .
▪ Como E é o ponto médio do segmento de reta AD , tem-se 1 1
2 2ED AD 2 CF CF .
▪ 3 2DF CF CD DF CF CF DF CF
▪ EC ED DC e FG FD DA AG .
Assim:
0 0 0
EC FG ED DC FD DA AG ED FD ED DA ED AG DC FD DC DA DC AG
)0 cos 180º 0 cos 180º 0 cos 0º
iED DA DC FD DC AG
1 1 1 2 3 2 3ED DA DC FD DC AG CF CF CF CF CF CF
2 2 2 2
2 6 3 5CF CF CF CF
i) Os vetores ED e FD , ED e AG e DC e DA são perpendiculares. Logo 0ED FD ED AG DC DA .
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16.
16.1.
▪ A medida do raio da circunferência de centro em C que contém o ponto A é igual a:
2 2 2 2
1 2 2 1 3 1 10AC
Logo, a sua equação pode ser 22 2 2 2
2 1 10 2 1 10x y x y .
▪ O ponto B pertence ao eixo Ox, portanto as suas coordenadas são do tipo ,0x . Como o ponto B também pertence
à circunferência de centro em C que contém A, substituindo as suas coordenadas na equação da circunferência, vem:
2 2 2
2 0 1 10 2 10 1 2 9 2 3 2 3 1 5x x x x x x x
Como a abcissa de B é positiva, tem-se 5,0B .
▪ AB é um diâmetro da circunferência se os vetores AB e AC forem colineares. Tem-se:
5,0 1, 2 6,2AB B A e 2, 1 1, 2 3,1AC C A
Logo, 2AB AC . Assim, os vetores AB e AC são colineares e portanto AB é um diâmetro da circunferência.
16.2.
▪ Seja M o ponto médio do segmento de reta BC . Assim:
5 2 0 1 7 1, , ,
2 2 2 2 2 2
B C B Cx x y yM
A reta r é a mediatriz do segmento de reta BC , portanto, sendo ,P x y um ponto do plano, a sua equação é dada
por 0MP BC . Tem-se que 7 1
,2 2
MP P M x y
e que 2, 1 5,0 3, 1BC C B .
Assim, 7 1 21 1 20
0 , 3, 1 0 3 0 3 3 102 2 2 2 2
MP BC x y x y x y y x
.
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▪ Seja a inclinação da reta t, assim tg 3 tm e portanto 108,4º .
Outra resolução:
Seja ,P x y um ponto do plano, a equação PB PC define a mediatriz do segmento de reta BC , isto é, define a
reta r. Tem-se:
2 2 2 2 25 0 2 1PB PC x y x y x 210 25x y 2x 24 4x y 2 1y
2 6 5 25 2 6 20 3 10y x y x y x
16.3.
▪ Como o ponto P pertence à reta r, tem-se , 3 10P x x .
▪ As retas r e BC são perpendiculares. Assim, para que a reta DP seja paralela à reta BC terá de ser perpendicular à
reta r, ou seja, 0DP BC DP r DP r , sendo r um vetor diretor da reta r. Como o declive da reta r é
3 , um seu vetor diretor pode ser 1, 3r .
Logo, 16 8
0 2, 3 6 1, 3 0 2 9 18 0 10 1610 5
DP r x x x x x x .
Portanto, 8 8 8 24 8 26
, 3 10 , 10 ,5 5 5 5 5 5
P
.
Cálculo Auxiliar: , 3 10 2,4 2, 3 6DP P D x x x x .
16.4.
▪ O vector 3, 1BC é um vetor diretor da reta BC. Logo 1 1
3 3BCm
e portanto a equação reduzida da reta
BC é do tipo 1
3 y x b . Como o ponto 5,0B pertence à reta BC então, substituindo-o na sua equação, vem:
1 50 5
3 3b b . Assim, a equação reduzida da reta BC é
1 5
3 3y x .
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▪ Uma condição que define a região sombreada da figura é:
2 2 1 5
2 1 10 3 103 3
x y y x y x
▪ Consideremos a seguinte figura:
Seja a amplitude do ângulo BCD. Tem-se que 3
, pois:
10102cos
10
CM
CD
2 10
1
2 3
, visto que 0,
2
Assim, 3 30
sen sen 103 2 210
MD MDMD
CD
Logo, tem-se que:
2
se
10 30
5 300 5 10 33 2 210 102 2 6 2 3 8 3 8
sombreada torBCD MCD
CM MDA A A
5 5 3 3
53 4 3 4
17.
17.1.
a) Tem-se que ED
A CH AE A AE HC E ED D .
b) Tem-se que 1
2 2 22
AF
AB AF DE GD AB AF DE GD AB AF AF GD
BG
AB AF GD AB BG GD AG GD AD
x
y
r
D
B M
C A
O
1
2
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17.2. O ponto E é o único comum aos planos ADE, CDE e ACE, isto é, é o ponto de interseção destes três planos.
Assim, formando um sistema com as equações destes planos, a solução que se obtém são as coordenadas de E. Tem-
se:
1 2
1 3
1
2
3
3
4 3 6 4 3 6 6 4 3 6 6
5 3 5 6 5 1 6 6 5 1
10 12 9 60 13 78 6
E EE E
E
E
E
x y z x y z y z
x y z x y y
x y z x x
4 3 6y z
5 35
6
y
x
28
4 7 3 0 3 28 3
7 7 7
6 6 6
zz z
y y y
x x x
Logo, 28
6,7,3
E
.
Outra resolução:
O ponto E é o único comum aos planos ADE, CDE e ACE. Assim, se o ponto de coordenadas 28
6,7,3
pertencer
aos planos ADE, CDE e ACE, esse ponto é o E.
ADE: 6 4 7 3 28
3 6 6 28 28 6 6 6 . Afirmação verdadeira.
CDE: 5 6 7 3 28
3 5 30 7 28 5 5 5 . Afirmação verdadeira.
ACE: 28
10 6 12 7 9 60 60 843
84 60 60 60 . Afirmação verdadeira.
Logo, 28
6,7,3
E
.
1 2 : 4 3E E x y z 6
5 3x y z
5
6 5 0 1x y
1 33 : 3 12E E x y 9z 18
10 12x y
9z 60
13 0 0 78x
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17.3.
a) O ponto A pertence ao eixo Ox e portanto as suas coordenadas são da forma ,0,0x . Como o ponto B pertence
ao plano ADE, substituindo-o na sua equação vem, 4 0 3 0 6 6x x . Logo, 6,0,0A .
Tem-se que DE
F A AF A DE . Como 28 19
6,7, 1,1,3 5,6,3 3
DE E D
, vem:
19 19
6,0,0 5,6, 11,6,3 3
F A DE
Assim, uma condição que define a reta paralela a Oy ( : 0 0Oy x z ) que contém o ponto F é:
1911
3x z
Outra resolução:
Um vetor diretor da reta paralela ao eixo Oy que contém o ponto F é 0,1,0u . Assim, uma condição que define a
referida reta é 19
, , 11,6, 0,1,0 ,3
x y z k k
.
b) Seja o plano paralelo ao plano ADE que contém o ponto G.
▪ Tem-se que 1, 4,3ADEn n .
▪ O ponto C pertence ao eixo Oy e portanto as suas coordenadas são da forma 0, ,0y . Como o ponto C pertence ao
plano CDE, substituindo-o na sua equação vem, 5 0 3 0 5y y y . Logo, 0,5,0C .
Tem-se que DC
G F FG F DC . Como 0,5,0 1,1,3 1,4, 3DC C D , vem:
19 10
11,6, 1,4, 3 10,10,3 3
G F DC
Assim, : 4 3 0x y z d . Como o ponto G pertence ao plano , substituindo-o na sua equação vem:
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10 4 10 3 10
3 0 10 40 10 0 20 0 20d d d d .
Logo, : 4 3 20 0 4 3 20x y z x y z .
c) Seja o plano perpendicular à reta r, definida por 2
: 2 3 1 13
xr x z y z y
que
contém o ponto H. Um plano é perpendicular a uma reta se um vetor normal desse plano for colinear com um vetor
diretor dessa reta, em particular, podem ser o mesmo vetor. Assim, como um vetor diretor da reta r é 3,0,1 , um
vetor normal de pode ser 3,0,1n . Portanto : 3 0 0 3 0x y z d x z d
Tem-se que 28 19
6,7, 1,4, 3 5,11,3 3
DC
H E EH E DC
.
Como o ponto H pertence ao plano , substituindo-o na sua equação vem:
19 26 263 5 0 0
3 3 3d d d .
Logo, 26
: 3 0 9 3 26 0 9 3 26 9 3 263
x z x z x z x z .
17.4. Seja , ,n a b c um vetor normal do plano DCG. Este vetor é perpendicular aos vetores DC e DG , dois
vetores não colineares do plano DCG. Assim tem-se:
1,4, 3 , , 0 4 3 0 4 30
19,9, , , 0 9 9 0 9 4 3 9 00
3 3 3
a b c a b c b c aDC n
c ca b c a b c c bDG n
36 27 9 0
3
cb c b
8045 0
3
cb
16 644 3 3
27 27
8016 1645
327 27
c ca c a c
cc cb
b b
17
27
16
27
ca
cb
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Concluímos então que as coordenadas do vetor n são da forma 17 16
, ,27 27
c cc
, com \ 0c . Fazendo, por
exemplo, 27c , um vetor normal de DCG é 17,16,27n . Logo, como D DCG , uma equação do plano
DCG pode ser:
17 1 16 1 27 3 0 17 17 16 16 27 81 0 17 16 27 80x y z x y z x y z
Outra resolução: O plano DCG contém os pontos D, C e G que não são colineares. Por três quaisquer pontos não
colineares passa um único plano. Assim, se os pontos D, C e G pertencerem ao plano definido pela condição
17 16 27 80x y z , então esta é uma condição que define o plano DCG:
1,1,3D : 17 1 16 1 27 3 80 17 16 81 80 80 80 . Afirmação verdadeira
0,5,0C : 17 0 16 5 27 0 80 80 80 . Afirmação verdadeira
1010,10,
3G
: 10
17 10 16 10 27 170 160 90 80 803
. Afirmação verdadeira
Logo, DCG: 17 16 27 80x y z .
17.5.
▪ O ponto P tem cota 3 e pertence aos planos DCG e , isto é, é o ponto de interseção dos planos DCG e e do
plano de equação 3z . Assim, formando um sistema com as equações destes planos, a solução que se obtém são as
coordenadas de P. Tem-se:
17 16 27 80 17 16 3 27 3 80
3 3
3
x y z x x
x y y x
z
17 48 16 81 80x x
33 49x
49 49
33 33
49 503
33 33
3 3
x x
y y
z z
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▪ A reta r é perpendicular ao plano DCG, portanto pode-se tomar para vetor diretor da reta r um vetor normal do plano
DCG, ou seja, 17,16,27DCGr n . Assim:
49 50
, , , ,3 17,16,27 ,33 33
x y z k k
▪ Seja Q o ponto de interseção da reta r com o plano xOz: 0y . Portanto, as coordenadas de Q são do tipo ,0,x z .
Substituindo as coordenadas de Q na equação vetorial da reta r, vem:
4917
33
49 50 50,0, , ,3 17,16,27 , 0 16
33 33 33
3 27
x k
x z k k k
z k
5016
33k
50
528k
49 25 81717
33 264 264
25 25
264 264
39253 27
88264
x x
k k
zz
Logo, 817 39
,0,264 88
Q
.
17.6.
▪ Tem-se que:
: , , 1 10 , 1 2 ,5 6 , , , 1, 1,5 10 , 2 , 6 ,s x y z k k k k x y z k k k k
, , 1, 1,5 10, 2, 6 ,x y z k k
Portanto, um vetor diretor da reta s é 10, 2, 6s .
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▪ Tem-se que 1,1,3 6,0,0 5,1,3AD D A .
▪ Duas retas definem um plano se forem estritamente paralelas ou se forem concorrentes.
Tem-se que 2s AD , logo s e AD são colineares e portanto as reta s e AD são paralelas. O ponto A não
pertence à reta s, pois:
7
106 1 10
16,0,0 1 10 , 1 2 ,5 6 , 0 1 2
2
0 5 65
6
k
k
k k k k k k
k
k
Sistema impossível
Logo, as retas s e AD são estritamente paralelas e portanto definem um plano.
▪ Seja , ,n a b c um vetor normal do plano definido pelas retas s e AD. Este vetor é perpendicular aos vetores
AD e AQ , onde 1, 1,5Q , dois vetores não colineares do plano . Assim tem-se:
5,1,3 , , 00
7, 1,5 , , 00
a b cAD n
a b cAQ n
5 3 0 5 3
7 5 0 7 5 3 5 0
a b c b a c
a b c a a c c
8 12c a
35 3
2 2
123 3
82 2
a ab a b
aa ac
c c
Concluímos então que as coordenadas do vetor n são da forma 3
, ,2 2
a aa
, com \ 0a . Fazendo, por
exemplo, 2c , um vetor normal de é 2,1,3n . Logo, como A , uma equação do plano pode ser:
2 6 1 0 3 0 0 2 12 3 0 2 3 12x y z x y z x y z
A D
s
, ,n a b c
1, 1,5Q
1, 1,5 6,0,0 7, 1,5AQ Q A
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18.
18.1.
▪ Tem-se que:
2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 24 4 4 0 4 4 4 2 22 2 2 2 4x y z x z x x y z z x y z
Assim, a superfície esférica está centrada no ponto de coordenadas 2,0,2 e tem raio 2. Logo:
2,0,2G , 2,0,0A , 2,2,2B , 0,0,2C , 2, 2,2D , 4,0,2E e 2,0,4F
▪ Seja , ,n a b c um vetor normal do plano ABE. Este vetor é perpendicular aos vetores AB e AE , dois vetores
não colineares do plano ABE.
Tem-se 2,2,2 2,0,0 0,2,2AB B A e 4,0,2 2,0,0 2,0,2AE E A
Assim:
0,2,2 , , 0 2 2 0 2 20
2,0,2 , , 0 2 2 0 2 20
a b c b c b c b cAB n
a b c a c a c a cAE n
Concluímos então que as coordenadas do vetor n são da forma , ,c c c , com \ 0c . Fazendo, por exemplo,
1c , um vetor normal de ABE é 1,1, 1n . Assim, : 0ABE x y z d . Como o ponto A pertence ao plano
ABE, substituindo-o na sua equação vem 2 0 0 0 2d d .
Logo, : 2 0 2ABE x y z x y z .
18.2. Tem-se:
222
2 42 4 3 42
3 42
x y zxx y z
x zx z
y
y
2z
4 8 12 3x z 4 8 12 3
x z
x x
7 20
x z
x
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20
7
20
7
2
z
x
y
. Logo, as coordenadas do ponto de interseção do plano ABE com a reta r é 20 20
,2,7 7
.
18.3.
▪ Como o ponto T pertence ao eixo Oy e tem a mesma ordenada que o ponto B, as suas coordenadas do ponto T são
0,2,0 .
▪ Tem-se:
2 4 32 4 8 12 3 2 4 20 3 2 5 2
3 4 4
x z zy x z y x z y x y
Como o ponto Q pertence à reta r, as coordenadas de Q são do tipo 3
5 ,2,4
zz
.
▪ O triângulo TQF é retângulo em Q se 0QT QF QT QF
3 3 3 3
0 5,0, 3, 2,4 0 5 3 0 2 4 04 4 4 4
z z z zQT QF z z z z
2 2
2
. .
9 9 15 25 1215 4 0 10 15 0 4
16 4 4 16 5F R
z z z zz z z z z
Logo, se 12
5z então
3 12 12 16 125 ,2, ,2,
4 5 5 5 5Q
e se 4z então 3
5 4,2,4 2,2,44
Q
.
Cálculo Auxiliar: 3 3
0,2,0 5 ,2, 5,0,4 4
z zQT T Q z z
;
3 32,0,4 5 ,2, 3, 2,4
4 4
z zQF F Q z z
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18.4. O ponto 22cos ,sen ,2senP pertence ao plano ABE definido por 2x y z . Assim, substituindo as
coordenadas de P na equação de ABE, tem-se:
2 22cos sen 2sen 2 2 1 sen sen 2 2 22sen sen 2
sen 2sen 1 0 sen 0 2sen 1 0
1
sen 0 sen2
7
2 2 ,6 6
k k k k
Como 3
,2
, tem-se 7
6
. Portanto as coordenadas de P são:
2
2 7 7 7 3 1 1 3 1 3 12cos ,sen ,2sen 2 , ,2 2 , , 1 , , 1
6 6 6 2 2 2 4 2 2 2P
19.
19.1. Vamos começar por determinar as coordenadas dos vértices do prisma:
▪ O ponto A é o único comum ao plano ABC e à reta AG, isto é, é o ponto de interseção do plano ABC com a reta AG.
Assim, formando um sistema com as suas, a solução que se obtém são as coordenadas de A. Tem-se:
5 1
5 1 2 7 5 3 12 15 17
2 77 12 4 84 8 12 3 12
12
4 12
y zy z x xy z
x yx yx y z
x zx z
2 7 15 60 1x x
13 52x
4 4
2 4 7 1
3 4 12 0
x x
y y
z z
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Portanto, 4, 1,0A . Como o ponto D pertence ao plano yOz e tem a mesma ordenada que A ( ABCD é um
retângulo), ou seja, os as suas coordenadas são da forma 0, 1,D z . Como o ponto D pertence ao plano ABC,
substituindo-o na sua equação vem, 1 5 1z 5 0 0z z . Logo, 0, 1,0D .
▪ O ponto B tem abcissa 4 e portanto as suas coordenadas são da forma 4, ,y z . Como o ponto B pertence à reta
BH, substituindo-o na sua equação vem:
4 8 4 4 4
4, , 8,6, 9 4, 2,10 , 6 2
9 10
k k
y z k k y k
z k
1 1
6 2 1 4
9 10 1 1
k k
y y
z z
Logo, 4,4,1B e portanto 0,4,1C .
▪ O ponto H pertence ao plano yOz e portanto as suas coordenadas são da forma 0, ,y z . Como o ponto H pertence
à reta BH, substituindo-o na sua equação vem:
0 8 4 4 8
0, , 8,6, 9 4, 2,10 , 6 2
9 10
k k
y z k k y k
z k
2 2
6 2 2 2
9 10 2 11
k k
y y
z z
Logo, 0,2,11H e portanto 4,2,11E .
▪ O ponto G pertence ao plano yOz e portanto as suas coordenadas são da forma 0, ,y z . Como o ponto G pertence
à reta AG, substituindo-o na sua equação vem:
70
7 0 780 7 12
4 8 12 12 0 12120
12
y
y yy z
z zz
Logo, 0,7,12G e portanto 4,7,12F .
▪ O plano DBF contém os pontos D, B e F que não são colineares. Por três quaisquer pontos não colineares passa um
único plano. Assim, se os pontos D, B e F pertencerem ao plano definido pela condição 13 11 3 11x y z , então
esta é uma condição que define o plano DBF:
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0, 1,0D : 13 0 11 1 3 0 11 11 11 . Afirmação verdadeira
4,4,1B : 13 4 11 4 3 1 11 52 44 3 11 11 11 . Afirmação verdadeira
4,7,12F : 13 4 11 7 3 12 11 52 77 36 11 11 11 . Afirmação verdadeira
Logo, DBF: 13 11 3 11x y z .
19.2. Seja , ,P x y z um ponto do espaço. Uma equação da superfície esférica de diâmetro AH é dada por
0AP HP . Assim:
0 4, 1, 0 0, 2, 11 0 4 1 2 11 0AP HP x y z x y z x x y y z z
2 2 24 2 2 11 0x x y y y z z
2 2 2 2
2 22 2 21 11 1 112 2
2 2 21
24 1 2x x y y z z
2 2
2 1 11 732
2 2 2x y z
Outra resolução: O centro da superfície esférica é o ponto médio do segmento de reta AH :
4 0 1 2 0 11 1 11, , 2, ,
2 2 2 2 2AH
M
A medida do seu raio é dada por
2 2 24 0 1 2 0 11 16 9 121 146
2 2 2 2
AH .
Assim, uma equação da superfície esférica é dada por:
22 2 2 22 21 11 146 1 11 73
2 22 2 2 2 2 2
x y z x y z
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19.3.
▪ Consideremos a seguinte figura:
Tem-se que:
ABCDEFG ABCDV A PG AB AD PG
onde P é o ponto de interseção do plano ABC com a
reta perpendicular ao plano ABC que contém o ponto
G. Designemos essa reta por r.
▪ Uma equação vetorial da reta r é dada por : , , 0,7,12 0,1, 5 ,r x y z k k . Intersetando a reta r com o
plano ABC obtém-se as coordenadas de P:
0
7, , 0,7,12 0,1, 5 ,
12 55 1
7 5 12 5 1
x
y kx y z k k
z ky z
k k
7 60 25 1k k
0 0
7 2 9
12 5 2 2
26 52 2 2
x x
y y
z z
k k k
Logo, 0,9,2P .
▪ Tem-se:
4AD
2 2 2
4 4 4 1 1 0 0 25 1 26AB
2 2 2
0 0 9 7 2 12 0 4 100 104 2 26PG
A B
C D
E F G H
P
0,1, 5n
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Portanto, 2
4 26 2 26 8 26 8 26 208ABCDEFG
V AB AD PG
Se as dimensões do prisma duplicarem, isto é, se multiplicarmos as suas dimensões por 2, o seu volume vem
multiplicado por 32 (se r for a razão entre as medidas lineares de duas figuras semelhantes, a razão entre os seus volumes é 3r ).
Portanto, volume do novo prisma será igual a 3208 2 1664 .
De uma outra forma: 2 2 2 8 8 8 208 1664novo prisma ABCDEFGV AB AD PG AB AD PG V .
19.4.
a) Tem-se que:
0 0 0 0GC
AP AB EG FB AP BA EG FB BA AP EG GC BP EC
Assim, a condição 0AP AB EG FB define o plano perpendicular ao vetor EC que contém o ponto B.
b) Tem-se que 0,4,1 4,2,11 4,2, 10EC C E . Assim:
0 0 4, 4, 1 4,2, 10 0AP AB EG FB BP EC x y z
4 4 2 4 10 1 0 4 16 2 8 10 10 0x y z x y z
4 2 10 16 8 10 4 2 10 18 2 5 9x y z x y z x y z
20.
20.1.
▪ O ponto A pertence ao eixo Ox e portanto as suas coordenadas são da forma ,0,0x . Como o ponto A pertence ao
plano , substituindo -o na sua equação vem, 3 4 0 6 0 24 3 24 8x x x . Logo, 8,0,0A .
▪ O ponto B pertence ao eixo Oy e portanto as suas coordenadas são da forma 0, ,0y . Como o ponto B pertence ao
plano , substituindo -o na sua equação vem, 3 0 4 6 0 24 4 24 6y y y . Logo, 0, 6,0B .
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▪ Seja , ,P x y z um ponto do espaço. Uma equação da superfície esférica de diâmetro AB é dada por
0AP BP . Assim:
2 2 2 20 8, , , 6, 0 8 6 0 8 6 0AP BP x y z x y z x x y y z x x y y z
2
2
2 22 2 2 2
4 3
2 2 2 28 6 4 3 24 3 4 3 5
x y
x x y y z x y z
Portanto uma equação da superfície esférica de diâmetro AB é 2 2 24 3 25x y z , tem centro no ponto
de coordenadas 4, 3,0 e raio 5.
▪ Substituindo o ponto 1, 1,3P na equação da superfície esférica de diâmetro AB , tem-se:
2 2 22 21 4 1 3 3 25 3 2 9 25 9 4 9 25 22 25 . Afirmação falsa
Logo o ponto P não pertence à superfície esférica de diâmetro AB .
20.2.
▪ O ponto C pertence ao eixo Oz e portanto as suas coordenadas são da forma 0,0, z . Como o ponto C pertence ao
plano , substituindo -o na sua equação vem, 3 0 4 0 6 24 6 24 4z z z . Logo, 0,0,4C .
▪ Seja o plano que contém a recta s e o ponto C. O ponto de coordenadas 1,1,0 pertence à recta s, designemos
esse ponto por Q. Consideremos a figura seguinte:
O vetor 3,2, 3s é um vetor diretor da reta s. Seja , ,n a b c um vetor normal do plano . Este vetor é
perpendicular aos vectores QC e s , dois vetores não colineares do plano . Assim tem-se:
n
ss C
Q
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41, 1,4 , , 0 4 00
3 4 2 3 03,2, 3 , , 0 3 2 3 00
a c ba b c a b cQC n
c b b ca b c a b cs n
12 3 2 3 0c b b c
4 9 5
9 0 9 9
a c c a c
b c b c b c
Concluímos então que as coordenadas do vetor n são da forma 5 ,9 ,c c c , com \ 0c . Fazendo, por
exemplo, 1c , um vetor normal de π é 5,9,1n . Assim, : 5 9 0x y z d . Como o ponto C pertence
ao plano π, substituindo-o na sua equação vem 5 0 9 0 4 0 4d d .
Logo, : 5 9 4 0 5 9 4x y z x y z .
Cálculo Auxiliar: 0,0,4 1,1,0 1, 1,4QC C Q
20.3.
a)
▪ O vetor AC é um vetor diretor da reta AC. Tem-se 0,0,4 8,0,0 8,0,4AC C A .
O vetor 4,15,8r é um vetor diretor da reta r. As retas r e AC são perpendiculares se e só se o vetor r for
perpendicular ao vector AC , ou seja, 0r AC r AC r AC . Assim:
4,15,8 8,0,4 4 8 15 0 8 4 32 0 32 0r AC .
Logo as retas r e AC são perpendiculares.
▪ A reta AC contém o ponto A e o vetor 8,0,4AC é um seu vetor diretor. Portanto uma condição que define a
reta AC pode ser 8 0 8
0 08 4 8 4
x z x zy y
.
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▪ Formando um sistema com as condições que definem as duas retas, tem-se:
6
0 6 24 15
6 4 15 4 5
4 15 8 24 8
88 8 20
8 48 4
0
0
x y
x x
x y zx z
x z
x zx z x zy
y
y
8
5
82
5
88 2
5
x
z
z
8
5
16
5
322
5
x
z
z
8
5
16
5
16
5
0
x
z
z
y
Logo, as retas r e AC são concorrentes no ponto P de coordenadas 8 16
,0,5 5
.
b)
▪ Substituindo o ponto B na condição que define a reta r, tem-se:
0 6 6 0 00 0 0 0 0
4 15 8 15
. Afirmação verdadeira.
Logo, o ponto B pertence à reta r.
▪ Tem-se 8 16 8 16
,0, 0, 6,0 ,6,5 5 5 5
BP P B
. Assim:
2 2
28 16 8 16 64 256 64 900 256 1220,6, 6 36
5 5 5 5 25 25 25 5BP
22 5 61 2 305
5 5
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c) Consideremos a figura seguinte:
280
2ABC
AC BPA
305
5
2
4 4 280 305 2 5 5 61 2 5 61 2 2 5
5 5 5
61
5
4 61
Cálculos Auxiliares: 2 305
5BP BP ;
2 2 28,0,4 8 0 4 64 16 80AC AC
21.
21.1.
▪ Tem-se que : 2 2 22
xs z x y z y . Logo, um vetor diretor da reta s é 2,0,1s .
▪ A reta s é perpendicular ao plano se e só se um vetor diretor da reta s for colinear com um vetor normal do plano .
Neste caso como não temos um vetor normal ao plano , basta verificar que a reta s é perpendicular a duas retas
concorrentes contidas no plano , isto é, basta verificar que um vetor diretor da reta s é perpendicular a dois vetores
não colineares do plano . Os vectores AB e AC são dois vetores não colineares do plano . Vejamos então se o
vetor s é perpendicular aos vectores AB e AC . Tem-se:
2,5,4 4,0,0 2,5,4AB B A e 0,0,8 4,0,0 4,0,8AC C A
Assim:
2,0,1 2,5,4 2 2 0 5 1 4 4 0 4 0s AB
x
y
z
A
B
C
P
O
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2,0,1 4,0,8 2 4 0 0 1 8 8 0 8 0s AC
Logo, a reta s é perpendicular ao plano .
▪ Como a reta s é perpendicular ao plano , um vetor normal do plano pode ser 2,0,1n s , vetor diretor da
reta s. Assim, : 2 0 0 2 0x y z d x z d . Como o ponto A pertence ao plano , substituindo-o na
sua equação vem 2 4 0 0 8d d .
Logo, : 2 8 0 2 8x z x z .
21.2. Duas retas definem um plano se forem estritamente paralelas ou se forem concorrentes num ponto. Vejamos
então que as retas r e s não verificam nenhumas destas condições.
▪ Tem-se que : 3 0 03
yr y x z x z . Logo, um vetor diretor da reta r é 1,3,0r .
As retas r e s são paralelas se e só se os seus vetores diretores forem colineares, ou seja:
:r s k IR r k s
Assim vem:
1
21 2
1,3,0 2,0,1 3 0 3 0
0
0
k
k
r k s k
k
k
Sistema impossível
Logo as retas r e s não são paralelas.
▪ Vejamos se as retas r e s intersetam. Tem-se:
3 2 3
3 0 0
2 2 2
2
y x x
y x z z
z x y z x
y
2 0 x
2
3x
0x
Sistema impossível
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Logo as retas r e s não se intersetam.
Portanto as retas r e s não definem um plano, pois não são estritamente paralelas nem são concorrentes num ponto.
21.3.
▪ Intersetando a reta r com o plano obtém-se as coordenadas de D:
2 8 2 0 82 8
33 0
0
x z xx z
y xy x z
z
4 4
3 4 12
0 0
x x
y y
z z
Logo, 4,12,0D .
▪ Consideremos a seguinte figura:
Tem-se:
1 1
3 3 2OADC OAD
OA ADV A OC OC
1 4 12 48
8 8 643 2 6
A O
D
C
x
y
z
12
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