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PROPORCIONALIDAD INVERSA

OCTAVO BÁSICO 2020

Liceo José Toribio Medina “Participación – Diversidad”Departamento de Matemática

Una razón corresponde a la comparaciónde dos cantidades mediante un cociente

(división).𝑎

𝑏o a:b

Una proporción es la igualdadentre dos razones.

𝑎

𝑏= 𝑐

𝑑o a : b = c : d

¿Qué aprendimos anteriormente?

Dos variables (x e y) están en proporcionalidad directa si al aumentar odisminuir una en cierto factor, la otra aumenta o disminuye, respectivamente,en el mismo factor. Por lo tanto, el cociente entre sus valores relacionados esconstante. 𝑥

𝑦= k→ Constante de proporcionalidad

¿ QUÉ ES LA PROPORCIONALIDAD INVERSA?

Dos variables (x e y) son inversamente proporcionales si, al aumentar una de lasvariables en cierto factor, la otra disminuye en el mismo factor; así mismo si unade las variables disminuye, la otra aumenta. En toda proporción inversa, elproducto de los valores es constante.

EJEMPLO

• La siguiente tabla representa la relación entre el tiempo que demora un auto en recorrer una distancia fija y la velocidad.

x ∙ y = k→ Constante de proporcionalidad

Horas (x) Km/h (y) k = x ∙ y

1 120 120

2 60 120

4 30 120

8 15 120

PRACTIQUEMOS

1. En una pista de carrera de 120 kilómetros,circulan autos, de iguales condiciones, adiferentes velocidades, quienes se demorancierta cantidad de tiempo en completar lacarrera.

a. ¿A qué velocidad circula el auto amarillo, si sedemora 3 horas en completar la carrera?

b. ¿Cuántas horas se demora el auto verde enterminar la carrera, si va a una velocidad de 60km/hora?

c. ¿En cuánto tiempo completará la pista el autoazul si su velocidad es de 120 km/hora?

d. ¿Cuál es la constante de proporcionalidad de estasituación?

RESOLUCIÓN

1. En una pista de carrera de 120 kilómetros, circulanautos a diferentes velocidades, quienes se demorancierta cantidad de tiempo en completar la carrera.

a. ¿A qué velocidad circula el auto amarillo, si sedemora 3 horas en completar la carrera?

Al ser una relación inversamente proporcional, debemospresentar la proporción de la siguiente manera.

x = Velocidad del auto amarillo(Velocidad a. rojo) (Tiempo a. rojo) (x) (Tiempo a. amarillo)

30 ∙ 4 = x ∙ 3

120 = 3x

x =120

3

x = 40

Por lo tanto, el auto amarillo circula a una velocidad de 40km/hora.

RESOLUCIÓN

b. ¿Cuántas horas se demora el auto verde enterminar la carrera, si va a una velocidad de 60km/hora?

x = Tiempo del auto verde(Velocidad a. rojo) (Tiempo a. rojo) (Velocidad a. verde) (x)

30 ∙ 4 = 60 ∙ x

120 = 60x

x =120

60

x = 2

Por lo tanto, el auto verde se demora 2 horas encompletar la carrera.

RESOLUCIÓN

c. ¿En cuánto tiempo completará la pista el auto azulsi su velocidad es de 120 km/hora?

x = Tiempo del auto azul(Velocidad a. rojo) (Tiempo a. rojo) (Velocidad a. azul) (x)

30 ∙ 4 = 120 ∙ x

120 = 120x

x =120

120

x = 1

Por lo tanto, el auto azul se demora 1 hora encompletar la pista.

RESOLUCIÓN

d. ¿Cuál es la constante de proporcionalidad de estasituación?

1. Auto rojo : k = 30 ∙ 4

k = 120

2. Auto amarillo: k = 40 ∙ 3

k = 120

3. Auto verde : k = 60 ∙ 2

k = 120

4. Auto azul : k = 120 ∙ 1

k = 120

La constante de proporcionalidad es 120.

40 km/hora

1 hora

2 horas

PRACTIQUEMOS

2. Identifica, si en las siguientes situaciones, las magnitudes son inversamente proporcionales. Justifica tu respuesta.

a. Tiempo que tarda un automóvil en recorrer una distancia y su rapidez.

b. Número de estudiantes en un campamento y cantidad de carpas.

c. Cantidad de trabajadores que pintan en un muro y el tiempo que se demoran.

RESOLUCIÓN

2. Identifica, si en las siguientes situaciones, las magnitudes son inversamente proporcionales. Justifica tu respuesta.

a. Tiempo que tarda un automóvil en recorrer una distancia y su rapidez.Es inversamente proporcional, ya que a medida que aumenta la rapidez de un auto, el tiempo que tardará en recorrer la distancia disminuye.

b. Número de estudiantes en un campamento y cantidad de carpas.Es directamente proporcional, debido a que mientras mayor sea la cantidad de estudiantes se necesitará una mayor cantidad de carpas.

c. Cantidad de trabajadores que pintan en un muro y el tiempo que se demoran.Es inversamente proporcional, porque mientras mayor sea la cantidad de trabajadores, menor cantidad de tiempo necesitarán.

El gráfico que representa la proporcionalidad inversa es una curva que no pasa por el origen ni interseca los ejes.

En ella, se cumple:Xn ∙ Yn =k

¿Cómo es un gráfico de una proporción inversa?

PRACTIQUEMOS

1. Analiza las tablas y determina si las variables son inversamente proporcionales. Para ello, calcula la constante de proporcionalidad.

a. c.

b. d.

RESOLUCIÓN

1. Analiza las tablas y determina si las variables son inversamente proporcionales. Para ello, calcula la constante de proporcionalidad.

a. c.

k= 5*12= 60 k= 3*15= 45k= 10*6= 60 k= 6*30= 180k= 15*4= 60 k= 12*60= 720Al ser todas las k iguales, Al no ser todas las k iguales,es inversamente prop. NO es directamente prop.

b. d.

k=0,5*0,02 = 0,01 k= 1500*7500 = 11250000k=0,4*0,025 = 0,01 k= 3000*6000 =18000000k=0,1*0,1 = 0,01 k= 4500*4500 = 20250000Al ser todas las k iguales, Al no ser todas las k iguales, es inversamente proporcional. NO es inversamente prop.

Si quieres más información de proporcionalidad inversa, visita el siguiente link:

https://www.youtube.com/watch?v=WzcLzSY9JLA

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