presentacion fase ii - proyecto final maed (operaciones con matrices)
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OPERACIONES CON MATRICES
MATEMATICA PARA LA ADMINISTRACION
Licda. Mónica DíazIng. Alex EstradaLic. Edward Cordero
AGENDA • Lectura de la Competencia
• Retroalimentación de la tarea de la unidad anterior
• Breve introducción del tema
• Explicación de la presentación
• Ejemplificación y Ejercitación Individual
• Trabajo cooperativo –hoja de trabajo grupal -
• Explicación Guía de Estudios de la unidad –autoaprendizaje-
Competencias a desarrollarAplica el álgebra matricial para la solución de problemas de la vida real
Licda. Mónica Díaz Ing. Alex Estrada Lic. Edward Cordero
Definición de matriz
Se llama matriz de orden m×n a todo conjunto rectangular de elementos aij dispuestos en m líneas horizontales (filas) y n verticales (columnas) de la forma:
Abreviadamente suele expresarse en la forma A =(aij), con i =1, 2, ..., m, j =1, 2, ..., n. Los subíndices indican la posición del elemento dentro de la matriz, el primero denota la fila ( i ) y el segundo la columna ( j ). Por ejemplo el elemento a25 será el elemento de la fila 2 y columna 5.
Dimensión de la matriz nm
2ª columna
3ª fila
èçççççæ
ø÷÷÷÷÷ö a11 a12 a13 ...... a1n
a21 a22 a23 ...... a2n a31 a32 a33 ...... a3n
.. .. .. .. .. am1 am2 am3 ...... amn
= (aij )
Licda. Mónica Díaz Ing. Alex Estrada Lic. Edward Cordero
Juan, Ana y Elena han ido a una tienda y han comprado lo siguiente:
1. Juan compró dos bocadillos, un refresco y un pastel.
2. Ana se llevó un bocadillo, un refresco y un pastel.
3. Elena compró un bocadillo y un refresco.
Estos datos se pueden agrupar en una matriz
æçççè
ö÷÷÷ø
2 1 1
1 1 11 1 0
Licda. Mónica Díaz Ing. Alex Estrada Lic. Edward Cordero
Tiene la siguiente matriz de los coeficientes: A = èççæ 2 5 –3 1 –4 1
Tiene la siguiente matriz ampliada: A = èççæ
ø
ö 2 5 –3 1 1 –4 1 –2
Tiene la siguiente expresión matricial: èççæ
ø
ö 2 5 –3 1 –4 1
èççæ
ø
ö x y z
= èççæ
ø
ö 1 – 2
2 z 4y - x 1z3y5x2El sistema
EXPRESION MATRICIAL
ç
Licda. Mónica Díaz Ing. Alex Estrada Lic. Edward Cordero
Matriz fila: Es una matriz que solo tiene una fila, es decir m =1 y por tanto es de orden 1 x n.
naaaa 1131211
Matriz columna: Es una matriz que solo tiene una columna, es decir, n =1 y por tanto es de orden m x 1.
÷÷÷÷÷÷
ø
ö
çççççç
è
æ
1
31
21
11
ma
aaa
Tipos de matrices:
Licda. Mónica Díaz Ing. Alex Estrada Lic. Edward Cordero
Tipos de matrices: Matriz cuadrada: Es aquella que tiene el mismo número de filas que
de columnas, es decir m = n. En estos casos se dice que la matriz cuadrada es de orden n, y no n x n.
Los elementos aij con i = j, o sea aii forman la llamada diagonal principal de la
matriz cuadrada, y los elementos aij con i + j = n +1 la diagonal secundaria.
÷÷÷÷÷÷
ø
ö
çççççç
è
æ
nnnnn
n
n
n
aaaa
aaaaaaaaaaaa
321
3333231
2232221
1131211
Licda. Mónica Díaz Ing. Alex Estrada Lic. Edward Cordero
Matriz traspuesta: Dada una matriz A, se llama traspuesta de A, y se representa por At, a la matriz que se obtiene cambiando filas por columnas. La primera fila de A es la primera fila de At , la segunda fila de A es la segunda columna de At, etc.
De la definición se deduce que si A es de orden m x n, entonces At es de orden n x m.
Tipos de matrices:
Matriz simétrica: Una matriz cuadrada A es simétrica si A = At, es decir, si aij = aji " i, j.
Matriz antisimétrica: Una matriz cuadrada es antisimétrica si A = –At, es decir, si aij = –aji " i, j.
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Matriz nula es aquella que todos sus elementos son 0 y se representa por 0
La matriz
La matriz
es una matriz nula de orden 3
es una matriz nula de orden 2 x 4
Tipos de matrices:
Licda. Mónica Díaz Ing. Alex Estrada Lic. Edward Cordero
Tipos de matrices:
Matriz diagonal: Es una matriz cuadrada, en la que todos los elementos no pertenecientes a la diagonal principal son nulos.
Matriz escalar: Es una matriz diagonal con todos los elementos de la diagonal iguales
Matriz unidad o identidad: Es una matriz escalar con los elementos de la diagonal principal iguales a 1.
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Tipos de matrices:
Matriz Triangular: Es una matriz cuadrada que tiene nulos todos los elementos que están a un mismo lado de la diagonal principal.
Las matrices triangulares pueden ser de dos tipos:
Triangular Superior: Si los elementos que están por debajo de la diagonal principal son todos nulos. Es decir, aij = 0 " i < j.
Triangular Inferior: Si los elementos que están por encima de la diagonal principal son todos nulos. Es decir, aij = 0 " j < i.
matriz triangular inferior
matriz triangular superior
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Para sumar dos matrices A y B con las mismas dimensiones se suman
los correspondientes elementos: si A = (aij) y B = (bij) entonces A + B = (aij +
bij). Por tanto, para poder sumar dos matrices estas han de tener la misma
dimensión. La matriz suma se obtiene sumando los elementos de las dos matrices que ocupan la misma posición.
La suma de las matrices A y B se denota por A+B.
Suma y diferencia de matrices
La diferencia de matrices A y B se representa por A–B, y se define como: A–B = A + (–B)
A + B = ( aij) + (bij) = èççæ
ø÷÷öa11 a12 a13 a14
a21 a22 a23 a24
a31 a32 a33 a34
+ èççæ
ø÷÷öb11 b12 b13 b14
b21 b22 b23 b24
b31 b32 b33 b34
=
= èççæ
ø÷÷öa11 + b11 a12 + b12 a13 + b13 a14 + b14
a21 + b21 a22 + b22 a23 + b23 a24 + b24
a31 + b31 a32 + b32 a33 + b33 a34 + b34
= (aij + bij )
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4ª. La matriz –A, que se obtiene cambiando de signo todos los elementos de A, recibe el nombre de matriz opuesta de A, ya que A + (–A) = 0.
Propiedades de la suma de matrices
1ª. A + (B + C) = (A + B) + C Propiedad Asociativa
2ª. A + B = B + A Propiedad conmutativa
Matriz Nula3ª. A + 0 = A (0 es la matriz nula)
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EJEMPLO 1
El elemento marcado en amarillo muestra que se suman los elementos correspondientes y se coloca en esa misma posición en la matriz suma.
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Ejemplo 2
Este paso es cómputo mental, no es necesario escribirlo al sumar matrices.
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Contestaciones a la Práctica de Suma de Matrices
No se puede sumar. No tienen igual Orden.
Primera es 1 x 2 y la segunda es 3 x 1.
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Producto de una matriz por un número
Para multiplicar un número real por una matriz, se multiplican cada uno de los elementos de la matriz por dicho número. Si A = (aij), entonces kA = (kaij)
El producto de la matriz A por el número real k se designa por k·A. Al número real k se le llama también escalar, y a este producto, producto de escalares por matrices
k . A = k . (aij) = k·èççæ
ø÷÷öa11 a12 a13
a21 a22 a23a31 a32 a33
= èççæ
ø÷÷öka11 ka12 ka13
ka21 ka22 ka23
ka31 ka32 ka33
= (kaij)
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.
Propiedades del producto de una matriz por un escalar
1ª. k (A + B) = k A + k B Propiedad distributiva 1ª
2ª. (k + h)A = k A + h A Propiedad distributiva 2ª
Propiedad asociativa mixta3ª. k [h A] = (k h) A
Elemento unidad4ª. 1 · A = A · 1 = A
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Multiplicación de matrices
Dadas dos matrices A y B, su producto es otra matriz P cuyos elementos se obtienen multiplicando las filas de A por las columnas de B.
Es evidente que el número de columnas de A debe coincidir con el número de filas de B. Es más, si A tiene dimensión m x n y B dimensión n x p, la matriz P será de orden m x p.
no se pueden multiplicar
Ejemplo:
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es la matriz C = A · B, tal que el elemento que ocupa la posición ij es:
cij = ai1. b1j + ai2
. b2j + ... + ain. bnj
El producto de la matriz
A = (a ij) =
èççççæ
ø÷÷÷÷ö
a11 a12 a13 ...... a1n
a21 a22 a23 ...... a2n
a31 a32 a33 ...... a3n
.. .. .. .. ..am1 am2 am3 ...... amn
por la matriz
B = (b ij) =
÷÷÷÷÷÷
ø
ö
çççççç
è
æ
np3n2n1n
p3333231
p2232221
p1131211
bbbb
bbbbbbbbbbbb
................
......
......
......
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EJEMPLO
(aij)2,3 . (bij)3,3 =
producto
posible
(cij) 2, 3
A · B =èççæ
ø÷÷ö2 1 –1
3 –2 0 .èççæ
ø÷÷ö1 2 0
1 0 –3 0 1 –2
= èççæ
ø÷÷ö3 3 –1
1 6 6
1.- PRODUCTO O MULTIPLICACION DE A X B
2.- QUE DIMENSIONES TIENE LA MATRIZ PRODUCTO
Licda. Mónica Díaz Ing. Alex Estrada Lic. Edward Cordero
¿Cuándo es posible el producto de matrices?
(aij)m,n . (bij)n,p =
Posible
filas
columnas
(cij)m,p
El producto de matrices es posible cuando coincide el número de columnas de una matriz con el número de filas de la otra matriz.
Licda. Mónica Díaz Ing. Alex Estrada Lic. Edward Cordero
Propiedades del producto de matrices
A·(B·C) = (A·B)·C (Propiedad asociativa)
Si A es una matriz cuadrada de orden n se tiene A·In = In·A = A.
Dada una matriz cuadrada A de orden n, no siempre existe otra matriz B tal que A·B = B·A = In. Si existe dicha matriz B, se dice que es la matriz inversa de A y se representa por A–1 .
El producto de matrices es distributivo respecto de la suma de matrices, es decir: A·(B + C) = A·B + A·C
El producto de matrices en general no es conmutativo.
Licda. Mónica Díaz Ing. Alex Estrada Lic. Edward Cordero
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