presentasi skripsi 2014
Post on 30-Jun-2015
140 Views
Preview:
DESCRIPTION
TRANSCRIPT
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS CENDERAWASIHJAYAPURA
2014
SKRIPSI
SOLUSI SISTEM PERSAMAAN DIFERENSIAL LINEAR TAK HOMOGEN DENGAN METODE
KOEFISIEN TAK TENTU
OLEH
RUTH DIAN FITRIO
NIM. 0100540040
ABSTRAKSkripsi ini membahas solusi dari sistem persamaan diferensial linear tak homogen dengan dua persamaan yang terdiri dari dua fungsi tak diketahui dan tiga persamaan yang terdiri dari tiga fungsi tak diketahui, khususnya yang berorde satu dan memiliki koefisien konstan menggunakan metode koefisien tak tentu. Langkah-langkah yang diperlukan untuk menentukan solusi sistem persamaan diferensial dengan metode koefisien tak tentu dimulai dengan menuliskan sistem persamaan diferensial dalam bentuk matriks
dengan merupakan matriks koefisien berordo dan merupakan
matriks fungsi tak homogen dari sistem tersebut. Langkah selanjutnya yaitu mencari solusi homogen dari sistem homogen dengan cara mencari nilai eigen dan vektor eigen dari matriks sehingga diperoleh solusi homogen dari sistem persamaan diferensial, yaitu dengan merupakan nilai eigen dan merupakan vektor eigen dari matriks .
Langkah selanjutnya yaitu mencari solusi khusus dari fungsi tak homogen . Langkah-langkahnya yaitu, melihat bentuk fungsi yang mirip dengan fungsi tak homogen dari bentuk-bentuk fungsi yang tersedia. Kemudian lihat kesamaan dengan solusi homogen , setelah itu memilih pemisalan yaitu bentuk fungsi yang mirip dengan bentuk dengan mengikuti aturan yang ada. Selanjutnya, substitusikan ke sistem untuk mencari nilai dari koefisien-koefisien pada . Setelah diperoleh hasil dari dan , maka dapat ditentukan solusi umum dari sistem persamaan diferensial linear tak homogen yaitu .
Latar BelakangPersamaan diferensial dengan bentuk
dengan dan adalah fungsi-fungsi dari variabel bebas , dan
merupakan bentuk umum dari persamaan diferensial linear tak homogen.
Sistem persamaan diferensial linear tak homogen adalah sistem yang memuat 2 atau lebih persamaan diferensial linear tak homogen.
Solusi dari sistem persamaan diferensial linear tak homogen ini dapat dicari dengan menggunakan suatu metode tertentu.
Salah satu metode yang dapat digunakan yaitu metode koefisien tak tentu.
Bagaimana cara menentukan solusi sistem persamaan diferensial linear tak homogen dengan metode koefisien tak tentu.
Rumusan Masalah
Sistem dengan dua persamaan yang terdiri dari dua fungsi tak diketahui yang memiliki koefisien konstan.
Sistem dengan tiga persamaan yang terdiri dari tiga fungsi tak diketahui yang memiliki koefisien konstan.
Batasan Masalah
Tujuan Penelitian
Mengetahui langkah-langkah menentukan solusi sistem persamaan diferensial linear tak homogen dengan metode koefisien tak tentu.
Fungsi
Turunan
Matriks
Sistem Persamaan Linear
Operasi Baris Elementer
Determinan
Invers Matriks
Ruang Vektor
Nilai Eigen Dan Vektor Eigen
Persamaan Diferensial
Metode Koefisien Tak Tentu
LANDASAN TEORI
Invers Matriks
Ruang Vektor
Nilai Eigen Dan Vektor Eigen
Persamaan Diferensial
Metode Koefisien Tak Tentu
Solusi Sistem Persamaan Diferensial (SPD) Linear Tak Homogen dengan
Metode Koefisien Tak TentuLangkah-langkah menentukan solusi sistem persamaan diferensial tak homogen dengan metode koefisien tak tentu yaitu:
1. Menuliskan sistem dalam bentuk matriks
2. Mencari solusi homogen dari sistem yaitu
dengan dan v merupakan nilai dan vektor eigen dari matriks .
3. Mencari solusi khusus dari fungsi tak homogen dengan cara melihat dan mencocokkan bentuk fungsi dengan bentuk yang tersedia dan dengan solusi homogen, kemudian pilih pemisalan yang bentuknya sesuai dengan bentuk , setelah itu substitusikan ke sistem untuk mencari koefisien-koefisien dari
4. Diperoleh solusi umum dari sistem persamaan diferensial linear tak homogen, yaitu
Kasus 1:
Diberikan sebuah SPD linear sebagai berikut
Solusi umumnya yaitu
Bentuk matriks dari Sistem (3.1) adalah dengan dan .
Solusi Homogen dari SPD homogen
Mencari nilai-nilai eigen dari matriks
det(det
(3.1)
Sehingga diperoleh nilai eigen dari yaitu dan .
Selanjutnya, mencari vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen.
Untuk ,
Dengan operasi baris elementer, diperoleh
Misalkan , maka sehingga vektor jadi vektor eigen yang bersesuaian dengan yaitu .
Digunakan cara yang sama untuk , sehingga diperoleh vektor eigen .
Sehingga diperoleh solusi homogen dari SPD yaitu
Solusi khusus dari fungsi tak homogen
Dapat dilihat bahwa memuat bentuk-bentuk polinomial dan eksponensial, dan tidak sama dengan solusi homogen dari SPD, sehingga dapat dipilih pemisalan yang sesuai dengan bentuk yaitu
Substitusikan pada SPD
Dari persamaan di atas, diperoleh koefisien-koefisien dan yang akan dicari.
1) koefisien dari yaitu: …(1)
2) koefisien dari yaitu: …(2)
3) koefisien dari yaitu:
misalkan
Diperoleh
Persamaan (3.1) dan (3.2) dapat ditulis dalam bentuk matriks
Dengan operasi baris elementer, diperoleh
sehingga,
…(3)
atau …(3.1)
atau …(3.2)
…(3)
4) dan konstanta yaitu:
Sehingga diperoleh solusi khusus yaitu
…(4)
Jadi solusi umum dari SPD tak homogen yang diberikan yaitu
KesimpulanLangkah-langkah menentukan solusi sistem persamaan diferensial tak homogen dengan metode koefisien tak tentu yaitu:1. Menuliskan sistem dalam bentuk matriks 2. Mencari solusi homogen dari sistem yaitu
dengan dan v merupakan nilai dan vektor eigen dari matriks .
3. Mencari solusi khusus dari fungsi tak homogen dengan cara melihat dan mencocokkan bentuk fungsi dengan bentuk yang tersedia dan dengan solusi homogen, kemudian pilih pemisalan yang bentuknya sesuai dengan bentuk , setelah itu substitusikan ke sistem untuk mencari koefisien-koefisien dari
4. Diperoleh solusi umum dari sistem persamaan diferensial linear tak homogen, yaitu
Saran
Bagi pembaca yang tertarik untuk membahas lebih mendalam mengenai metode ini, dapat mengkaji tentang solusi sistem persamaan diferensial linear tak homogen dengan orde yang lebih tinggi atau solusi persamaan diferensial linear tak homogen dengan orde yang lebih tinggi.
DAFTAR PUSTAKA
Anton, Howard. 2009. Dasar-dasar Aljabar Linear (Jilid 1). Tangerang : Binarupa Aksara.
Anton, H. dan C. Rorres. 2004. Aljabar Linear Elementer versi Aplikasi (Edisi Kedelapan). Terjemahan oleh R. Indriasari dan I. Harmen. Jakarta : Erlangga.
Finizio, N dan G. Ladas. 1988. Persamaan Diferensial Biasa dengan Penerapan Modern. Terjemahan oleh Dra. W. Santoso. Jakarta: Erlangga.
Gazali, Wikaria. 2005. Matriks dan Transformasi Linear. Yogyakarta: Graha Ilmu.
Leon, J. Steven. 2001. Aljabar Linear dan Aplikasinya, Edisi Kelima. Jakarta: Erlangga.
Purcell, E. J, D. Varberg, dan S. E. Rigdon. 2004. Kalkulus Jilid 1 (Edisi Kedelapan). Jakarta: Erlangga.
Waluya, B. 2006. Buku Ajar Persamaan Diferensial. Semarang: Universitas Negeri Semarang.
TERIMA KASIH
top related