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INSIEME
DEFINIZIONE
UN RAGGRUPPAMENTO DI OGGETTI
RAPPRESENTA UN INSIEME IN SENSO
MATEMATICO SE ESISTE UN CRITERIO
OGGETTIVO CHE PERMETTE DI DECIDERE
UNIVOCAMENTE SE UN QUALUNQUE
OGGETTO FA PARTE O NO DEL
RAGGRUPPAMENTO
ESEMPIO 1
SONO INSIEMI I SEGUENTI
RAGGRUPPAMENTI:
• I PIANETI DEL SISTEMA SOLARE;
• I NUMERI NATURALI MAGGIORI DI
1000.
ESEMPIO 2
NON SONO INSIEMI, INVECE:
• I PROFESSORI PIÙ SEVERI;
• LE FRAZIONI MOLTO PICCOLE.
GLI ELEMENTI DI UN INSIEME
GLI OGGETTI CHE FORMANO UN INSIEME
SONO CHIAMATI ELEMENTI DELL’INSIEME.
UN INSIEME È FINITO SE CONTIENE UN
NUMERO FINITO DI ELEMENTI, IN CASO
CONTRARIO SI DICE INFINITO.
GLI INSIEMI SI INDICANO CON UNA LETTERA
MAIUSCOLA, GLI ELEMENTI DI UN INSIEME SI
INDICANO CON UNA LETTERA MINUSCOLA
ESEMPIO
L’INSIEME DEI GRANELLI DI SABBIA CONTENUTI
IN UN RECIPIENTE È UN INSIEME FINITO;
L’INSIEME DEI NUMERI NATURALI MULTIPLI DI 3
È UN INSIEME INFINITO.
GLI INSIEMI NUMERICI
PER GLI INSIEMI NUMERICI UTILIZZIAMO LE SEGUENTI LETTERE:
N INSIEME DEI NUMERI NATURALI; Z INSIEME DEI NUMERI INTERI;
P INSIEME DEI NUMERI NATURALI PARI; Q INSIEME DEI NUMERI RAZIONALI;
D INSIEME DEI NUMERI NATURALI DISPARI; R INSIEME DEI NUMERI REALI.
L'INSIEME VUOTO
L'INSIEME CHE NON HA ELEMENTI SI CHIAMA
INSIEME VUOTO.
PER INDICARE L'INSIEME VUOTO SI INDICA IL
SIMBOLO ∅
ESEMPI
L’INSIEME DEI NUMERI DISPARI DIVISIBILI PER 2;
L’INSIEME DELLE CONSONANTI DELLA PAROLA
«IO»;
L’INSIEME DEI TRIANGOLI AVENTI QUATTRO
LATI.
APPARTENENZA A UN INSIEME
PER INDICARE CHE UN ELEMENTO APPARTIENE A UN INSIEME SI USA IL
SIMBOLO ∈
SI SCRIVE X∈A E SI LEGGE «X APPARTIENE AD A»
PER INDICARE CHE UN ELEMENTO NON APPARTIENE A UN INSIEME SI
USA IL SIMBOLO ∉
SI SCRIVE X∉A E SI LEGGE «X NON APPARTIENE AD A»
ESEMPIO
• 5 ∈ N SIGNIFICA 5 APPARTIENE
ALL'INSIEME DEI NUMERI NATURALI
• 0,25 ∉ N SIGNIFICA 0,25 NON
APPARTIENE ALL'INSIEME DEI NUMERI
NATURALI
LE RAPPRESENTAZIONI DI UN INSIEME
POSSIAMO DESCRIVERE GLI INSIEMI IN TRE MODI DIVERSI:
• RAPPRESENTAZIONE GRAFICA;
• RAPPRESENTAZIONE PER ELENCAZIONE;
• RAPPRESENTAZIONE MEDIANTE LA PROPRIETÀ CARATTERISTICA.
LA RAPPRESENTAZIONE GRAFICA
SI UTILIZZANO I DIAGRAMMI DI EULERO-VENN, NEI QUALI GLI ELEMENTI DEGLI INSIEMI SONO
RACCHIUSI DENTRO LINEE CHIUSE.
A B
INSIEME DEI NUMERI NATURALI MINORI DI 4. INSIEME DELLE VOCALI
.0 .1
.2. .3
.a .e. .i.o. .u
RAPPRESENTAZIONE PER ELENCAZIONE
GLI ELEMENTI VENGONO ELENCATI,
RACCHIUSI FRA PARENTESI GRAFFE E
SEPARATI DA VIRGOLE. GLI ELEMENTI NON
DEVONO ESSERE RIPETUTI E NON HA
IMPORTANZA L’ORDINE CON CUI SONO
SCRITTI.
ESEMPIO 1
LA RAPPRESENTAZIONE PER
ELENCAZIONE DELL’INSIEME DELLE
LETTERE DELLA PAROLA
«ARISTOGATTI» È:
𝐿 = 𝑎, 𝑔, 𝑖, 𝑜, 𝑟, 𝑠, 𝑡
ESEMPIO 2
SE L’INSIEME È COSTITUITO DA INFINITI
ELEMENTI, DOPO AVER ELENCATO UN
NUMERO DI ELEMENTI SUFFICIENTE A
IDENTIFICARLO, SI PUÒ RICORRERE AI
PUNTINI.
NUMERI NATURALI:
N ={0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}
LA RAPPRESENTAZIONE MEDIANTE PROPRIETÀCARATTERISTICA
L’INSIEME È DEFINITO ENUNCIANDO LA
PROPRIETÀ CHE CARATTERIZZA IN MODO
OGGETTIVO E UNIVOCO OGNI SUO
ELEMENTO.
ESEMPIO:
OSSERVIAMO LA SCRITTURA
𝐼 = 𝑥 ∈ 𝑁 | 𝑥 È 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑜 𝑑𝑖 3
• IL SIMBOLO | SIGNIFICA «TALE CHE»;
• LA LETTERA 𝑥 INDICA UN ELEMENTO GENERICO DELL’INSIEME;
• «È MULTIPLO DI 3» È LA PROPRIETÀ DI CUI GODE 𝑥, OSSIA OGNI
ELEMENTO DELL’INSIEME.
• LA SCRITTURA 𝐼 = {𝑥 ∈N/ 𝑥 È MULTIPLO DI 3} SI LEGGE: «𝐼 È
L’INSIEME DEI NUMERI NATURALI 𝑥 TALI CHE 𝑥 È MULTIPLO DI 3».
SOTTOINSIEME
SI DICE CHE L’INSIEME B È SOTTOINSIEME DELL’INSIEME A SE
TUTTI GLI ELEMENTI DI B APPARTENGONO ANCHE AD A.
SI SCRIVE B ⊆ A E SI LEGGE «B È SOTTOINSIEME DI A», O «B È
INCLUSO IN A», O «B È CONTENUTO IN A».
DUE INSIEMI SONO UGUALI SE SONO FORMATI DAGLI STESSI
ELEMENTI E SI SCRIVE A=B.
PER DIRE CHE «A E B NON SONO UGUALI» SCRIVIAMO
INVECE A≠B
ESEMPIO
CONSIDERIAMO A {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
E B {0, 3, 6, 9}.
L’INSIEME B È UN SOTTOINSIEME DI A E
SCRIVIAMO B ⊆A.
INCLUSIONE STRETTA
SI DICE CHE L’INSIEME B È
STRETTAMENTE INCLUSO
NELL’INSIEME A QUANDO OGNI
ELEMENTO DI B È ANCHE ELEMENTO
DI A, MA ESISTONO ELEMENTI DI A
CHE NON SONO ELEMENTI DI B.
SI SCRIVE B⊂A E SI LEGGE «B
CONTENUTO STRETTAMENTE IN A»,
OPPURE «B È INCLUSO
STRETTAMENTE IN A
ESEMPIO
ESEMPIO
P⊂N, PERCHÉ TUTTI I NUMERI
PARI SONO NATURALI, MA
ESISTONO NATURALI CHE NON
SONO PARI.
OSSERVAZIONI
SE B ⊂ A, ALLORA B ⊆ A,
MENTRE NON È VERO IL
CONTRARIO: SE B ⊆ A, NON È
DETTO CHE B ⊂ A.
È SBAGLIATO SCRIVERE 2⊂N
E {8} ∈ N
I SOTTOINSIEMI PROPRI E IMPROPRI
DATO UN INSIEME, L’INSIEME STESSO E
L’INSIEME VUOTO SONO SEMPRE SUOI
SOTTOINSIEMI E SI DICONO SOTTOINSIEMI
IMPROPRI.
OGNI SOTTOINSIEME NON VUOTO
STRETTAMENTE INCLUSO IN UN INSIEME SI
DICE SOTTOINSIEME PROPRIO DELL’INSIEME.
ESEMPIO
1. L’INSIEME A DELLE CONSONANTI DELLA
PAROLA «AIA» È UN SOTTOINSIEME
IMPROPRIO DELL’INSIEME DELLE
CONSONANTI, PERCHÉ A=∅
2. L’INSIEME DELLE VOCALI È UN
SOTTOINSIEME PROPRIO DI QUELLO DELLE
LETTERE DELL’ALFABETO.
LE OPERAZIONI CON GLI INSIEMI
INTERSEZIONE DI DUE INSIEMI
SI DICE INTERSEZIONE DI DUE INSIEMI A E B
L’INSIEME DEGLI ELEMENTI CHE
APPARTENGONO SIA AD A SIA A B.
SI SCRIVE A∩B E SI LEGGE «A INTERSEZIONE
B» O «A INTERSECATO B».
IN SIMBOLI: A∩B= 𝑥| 𝑥 ∈ 𝐴 𝑒 𝑥 ∈ 𝐵
ESEMPI DI INTERSEZIONI DI DUE INSIEMI
A E B HANNO ALCUNI ELEMENTI IN
COMUNE, MA NON TUTTI: LA LORO
INTERSEZIONE È UN SOTTOINSIEME
PROPRIO SIA DI A SIA DI B.
B È SOTTOINSIEME DI A L’INTERSEZIONE È
SOTTOINSIEME IMPROPRIO DI B, POICHÉ
COINCIDE CON L.
A E B NON HANNO ELEMENTI IN COMUNE
E LA LORO INTERSEZIONE È L’INSIEME
VUOTO, CIOÈ UN SOTTOINSIEME
IMPROPRIO DI ENTRAMBI.
INSIEMI DISGIUNTI
SE DUE INSIEMI NON HANNO ELEMENTI IN
COMUNE, SI DICONO DISGIUNTI.
IN GENERALE, SULL’INTERSEZIONE POSSIAMO
AFFERMARE CHE:
SE A⊆B, ALLORA A∩B = A;
SE A E B SONO DISGIUNTI, ALLORA A∩B =∅ .
L'UNIONE DI DUE INSIEMI
SI DICE UNIONE DI DUE INSIEMI A E B L’INSIEME DEGLI ELEMENTI CHE APPARTENGONO AD A O A B.
SI SCRIVE A∪B E SI LEGGE «A UNIONE B» O «A UNITO B». IN SIMBOLI:
A∪B= 𝑥| 𝑥 ∈ 𝐴 𝑜 𝑥 ∈ 𝐵
ESEMPI DI UNIONE DI DUE INSIEMI
NELL’UNIONE CI SONO TUTTI GLI ELEMENTI DEI DUE INSIEMI E SOLTANTO ESSI. GLI ELEMENTI IN COMUNE VENGONO SCRITTI UNA SOLA
VOLTA.
LA DIFFERENZA TRA DUE INSIEMI
SI DICE DIFFERENZA TRA DUE INSIEMI A E B, CONSIDERATI NELL’ORDINE, L’INSIEME DEGLI ELEMENTIDI A CHE NON APPARTENGONO A B.
SI SCRIVE A-B E SI LEGGE «A MENO B». IN SIMBOLI: A-B= 𝑥| 𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∉ 𝐵
L'INSIEME COMPLEMENTARE DI UN INSIEME
SE B⊆A, L’INSIEME
COMPLEMENTARE DI B RISPETTO
AD A È A-B
L’INSIEME COMPLEMENTARE DI B
RISPETTO AD A SI INDICA CON
ESEMPI:
1. SE A È L’INSIEME DELLE LETTERE DI
UNA PAROLA E B QUELLO DELLE
SUE CONSONANTI, È
L’INSIEME DELLE VOCALI DELLA
PAROLA.
2. IL COMPLEMENTARE DI UN
INSIEME PUÒ ESSERE VUOTO.
PER ESEMPIO, È SEM-PRE VERO
CHE
DEFINIZIONE:
PRODOTTO CARTESIANO
SI DICE PRODOTTO CARTESIANO DI DUE
INSIEMI A E B, CONSIDERATI NELL’ORDINE,
L’INSIEME DI TUTTE LE COPPIE ORDINATE IN CUI
IL PRIMO ELEMENTO APPARTIENE AD A E IL
SECONDO APPARTIENE A B.
SI SCRIVE AXB E SI LEGGE «A PER B» O «A
CARTESIANO B».
IN SIMBOLI: A×B= ( 𝑥; 𝑦)| 𝑥 ∈ 𝐴 𝑒 𝑦 ∈ 𝐵
LA RAPPRESENTAZIONE CARTESIANA
NELLA RAPPRESENTAZIONE
CARTESIANA (O DIAGRAMMA
CARTESIANO) DI AXB DELL'ESEMPIO
PRECEDENTE, GLI ELEMENTI DI A
SONO RAPPRESENTATI SU UNA
SEMIRETTA ORIZZONTALE, GLI
ELEMENTI DI B SU UNA SEMIRETTA
VERTICALE, GLI ELEMENTI DI AXB
SONO I NODI DELLA GRIGLIA.
ESEMPIO
CONSIDERIAMO GLI INSIEMI: A {1, 2, 3},
B {A, B}.
IN AXB CI SONO LE COPPIE: (1; A), (2; A),
(3; A), (1; B), (2; B), (3; B).
INVECE IN BXA CI SONO (A; 1), (A; 2), (A;
3), (B; 1), (B; 2), (B; 3).
QUINDI A×B≠ B×A PERCHÉ, PER ESEMPIO,
(1;A)≠(A;1)
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