previsão de propriedades aplicada a materiais compósitos · mecânico. ocorrência de adesão:...
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Previsão de Propriedades Aplicada a Materiais Compósitos
Prof. Otávio Bianchi
obianchi@ucs.br ou otavio.bianchi@gmail.com
Grupo de Compósitos e Polímeros Avançados (GCPA)
Natureza de superfícies sólidas (características gerais):
Além de irregularidades, uma superfície sólida consiste de várias zonas com propriedades físico-químicas peculiares a do volume do material
Rugosidades com alturas que excedem distâncias da ordem do
espaçamento atômico
Camada de adsorção
Camada de deformação
Camada reativa
Camada gerada por desgaste
Objetivo do compósito: A carga aplicada à matriz tem que ser
transferida ao reforço via interface.
• Se a interface é forte ↑E, ↑TS, ↓Resistência à fratura (material frágil) – Atensão máxima que pode ser transferida é igual ao ponto de escoamento emcisalhamento da matriz (τm) ou igual à resistência ao cisalhamento da matriz(matriz frágil).
• Se a interface é fraca ↓E, ↓TS, ↑Resistência à fratura – A tensãomáxima transmitida da matriz para a fibra na interface será menor que τm eigual à resistência da adesão.
-Bianchi, O. et al Viscoelastic properties of PS-POSS hybrid materials prepared by reactive processing. Polymer Testing, v. 54, p. 159-167, 2016.-Bianchi, O. et al Reactive melt blending of PS-POSS hybrid nanocomposites. Journal of Applied Polymer Science (Print), v. 128, p. 811-827, 2013.
Descontinuidade de natureza químicaEstrutura molecular e cristalinaFronteira abrupta entre as fases
Sem estireno Com 2% de estireno
-BIANCHI, O. et al Reactive melt blending of PS-POSS hybrid nanocomposites. Journal of Applied Polymer Science (Print), v. 128, p. 811-827, 2013.
Melhoria de interface resulta em fluidos mais homogêneos
-Bianchi, O. et al Viscoelastic properties of PS-POSS hybrid materials prepared by reactive processing. Polymer Testing, v. 54, p. 159-167, 2016.-Bianchi, O. et al Reactive melt blending of PS-POSS hybrid nanocomposites. Journal of Applied Polymer Science (Print), v. 128, p. 811-827, 2013.
Quando um líquido molha bem o
sólido, espalha-se sobre ele:
Quando um líquido não molha bem o
sólido, forma gotas sobre ele:
•Conceitos Básicos:
# Ligação interfacial se deve à adesão reforço/matriz e ao travamentomecânico. Ocorrência de adesão: contato próximo entre os materiaisdurante o processo de fabricação.
# Na fabricação, a matriz normalmente é capaz de fluir (como um líquido)sobre o substrato, por um período variável de tempo dependendo doprocesso.
# Molhabilidade define a extensão com a qual o líquido irá se espalhar(ser adsorvido) sobre a superfície sólida, ou seja, corresponde aodeslocamento de um fluido por outro e envolve três fases.
7menor área para dado volume
• O molhamento de um sólido em um líquido é uma consequência diretadas interações moleculares entre as fases em contato.
• Se a superfície for composta principalmente por grupos polares, elaapresentará afinidade pela água (hidrofílica) e elevadas forças adesivas.
• Se superfície for formada principalmente por grupos apolares, estaapresentará forças de adesão mais fracas com a água, sendonormalmente hidrofóbica.
Interface em compósitos:
Corresponde à região da microestrutura de um compósito onde se efetua a transição entre os meios distintos que são a matriz e o reforço:
- Alinhamento simples de ligações entre átomos de ambos os constituintes
- Camada de espessura finita formada pelos produtos de uma reação entre a matriz e o reforço (ou um revestimento deste)
Requisitos de uma interface ideal:
• Molhagem perfeita entre matriz e reforço;
• Estabilidade térmica;
• Extensão simplificada de uma eventual zona de reação;
• Coeficientes de dilatação térmica da matriz e do reforço devem ser próximos.
Em materiais compósitos o volume, a distribuição uniforme e amolhabilidade do reforço pela matriz são requisitos importantespara o controle das propriedades mecânicas destes materiais.
A boa adesão interfacial aumenta a eficiência da transferência de tensãoou deformação entre a matriz e o reforço, aumentando o desempenhomecânico do compósito, adequando a rigidez, ductilidade, resistênciamecânica, ...
Caso não haja uma boa interação:
- material sujeito a falhas catastróficas.
ex.: propagação de trincas em maior escala
Fato influencia na escolha das fases reforço/matriz
A natureza da adesão em compósitos está relacionada a:
• Presença de grupos funcionais superficiais do reforço produzida por algum tratamento superficial.
• Morfologia do reforço (orientação, arranjo atômico, cristalinidade propriedades químicas...)
• Conformação molecular e constituição química da matriz.
• Difusividade dos elementos de cada constituinte.
• Arranjo geométrico do reforço.
Relação direta com energia livre superficial ou “tensão superficial” dos materiais.
As moléculas da superfície de sólidos ou líquidos estão mais suscetíveis a interação que as moléculas do interior destes.
Cada sistema reforço/matriz vai possuir uma característica interfacial específica e esta interação superficial é usada para caracterizar o composto.
• Ângulo de contato
• Força de adesão
• Energia livre de superfície
Mecanismos de adesão:
• Interdifusão
- para haver adesão, a solubilidade dos materiais devem ser próximos.
formação de entrelaçamento e ligações secundárias entre as moléculas da superfície.
polaridade, peso molecular, ramificações e temperatura
é função
Ex. ligação entre superfícies políméricas
Difusão
Auto-difusãoAdesão do adesivos em aderentesEntrelaçamentos/acoplamentos, reptação de cadeias(movimentos
Brownianos), movimentos coperativos
Inter-difusãoAmbos os polímeros em torno da interface
CondiçõesContato íntimoSistemas compatíveisAcima da Tg
Copolímeros em bloco
Heptablock
Pentablock
Triblock
Diblock
*Eastwood, E. A. and M. D. Dadmun (2002). Macromolecules 35: 5069-5077.
Uma estratégia é a produção de umamolécula com diferentes blocos aolongo da cadeia, que são semelhantesa cada uma das superfícies que setentar aderir. Estas pontas podemdifundir-se para a superfície de ummaterial e adsorver sobre a referidasuperfície.
• Ligação química
• Atração eletrostática
- adesão inicialmente por forças de eletrostáticas
difusão entre as fases ocorre sob ação da temperatura e tempo.
- forma de adesão mais eficiente, dada por agentes de acoplamento agindo como ponte entre reforço/matriz
grupos polares presentes em cadeias
n ligações químicas
ρ
• Sinterização reativa
• Adesão mecânica
- adesão em compósitos MMC (Metal Matrix Composites) por técnicas de infiltração por metal fundido envolvendo interdifusão.
vai depender do par reforço/compósito
- não há ligações químicas entre reforço/matriz. Junção ocorre pela penetração por adesivo em poros, fissuras e rugosidades.
após evaporação do solvente, ou da reação, há um aumento na adesão.
• Adsorção e molhamento
- molhamento eficiente remove o ar e recobre toda a superfície do reforço pela matriz.
vai depender das tensões superficiais (energia) dos componentes.
Em todos os fenômenos relacionados à adesão entre duas superfícies, a energia superficial livre ou tensão superficial possui papel importante.
É uma quantidade fundamental que caracteriza as propriedades superficiais de um determinado material.
Pode ser definida em termos de outras funções termodinâmicas:
área envolvida
PTPSVSA
G
A
H
A
U
,,,
∂∂
=
∂∂
=
∂∂
=γ
dAVdPSdTdG γ++−=
Adesão:
Molhabilidade:
envolve interações de curta distância de elétrons em escala atômica.
tendência ao espalhamento, expressa em termos do trabalho de adesão termodinâmico W.
Relacionada termos da energia livre de Gibbs
Tensão superficial ou energia superficial livre
afeta o processo de fisissorção, é responsável por muitas das propriedades dos líquidos
capilaridade, gotas, bolhas...
a energia de superfície para um dado volume em contato com outro meio leva a uma superfície mínima
[mN/m2] trabalho reversível requerido (exercido no
líquido) para criar uma unidade de área de
superfície a temperatura, volume e
potencial químico constantes
nVTA
W
,,
∂∂
=γ
a energia de superfície para um dado volume sem contato com outro meio leva a uma superfície mínima
forças de atração internasem equilíbrio (Fres = 0)
forças de atração internas próximo a superfície fora do equilíbrio (Fres ≠ 0)
Minimização da energia
Implica além do trabalho mecânico também o consumo de energia térmica (se isotérmico)
Criação de nova superfície
energia total (Es) requerida para expandir
uma superfície líquida por unidade de área
termo de entropia (tensão superficial decresce com T)
TTE
S ∂∂
−=γ
γ
o ângulo depende do estado da superfície,
rugosidade (aspereza),
forma de preparação,
grau de oxidação
TENSÃO SUPERFICIAL depende do material(natureza do meio e fronteira do material)
=/SL SA
liquido ar
+Sólido (S) Líquido (L) Vapor (A)+
ângulo de contato ouângulo de molhabilidade
Interfaces
representação matemática para a tensão superficial no perímetro de contato (balanço de forças)
Equação de Young
−= −
LA
SLSA
γγγ
θ 1cos
SAγ
LAγ
SLγ
SAγ
LAγ
SLγ
não molhamento
SLSAγγ >
SLSAγγ <
molhamento
O ângulo de contato vai indicar o grau de interação entre os dois materiais
molhamento molhamento parcial sem molhamento
−= −
LA
SLSA
γγγ
θ 1cos
LASLSAγγγ <−
LASLSAγγγ =−
LASLSAγγγ >−
Trabalho de adesão por área entre as superfícies
Atração molecular entre as interfaces (S) + (L) irá reduzir a energia do sistema, abaixo do
valor quando separadas
Equação de Dupré
tensões superficiais entresol+ar, liq+ar, sol+liq
SLLASASLW γγγ −+=
Líquidos molhantes: Baixa tensão superficial.
Líquidos que não se espalham sobre uma superfície: Elevada tensão superficial.
O que fazer para diminuir tensão superficial?
# Então, pode-se esperar que a epóxi (γγγγLA ≈ 40 mJ/m2) “molhe” rapidamentea alumina (γγγγSA ≈ 1100 mJ/m2), mas não o polietileno (γγγγSA ≈ 30 mJ/m2).Percebe-se então a significância destes valores relativos.
Onde γSO: Energia superficial livre da superfície sólida limpa em vácuo.E.g. Metais não espalharão em PTFE.
Mas como quantificar a molhabilidade?
Material γγγγSO (mJ/m2)
Non-
wetting
wetting
PTFE 18
Organic
(polymeric)
solvents
20 – 30
Epoxides 40 – 60
Water 72
Inorganic
(ionic) solids 100 – 500
Mercury 486
Metallic solids 1000 - 5000
E o coeficiente de espalhamento:
SC = γγγγSA – (γγγγSL + γγγγLA)# SC (spreading coefficient) precisa serpositivo para que haja molhabilidade.
Para θ = 0o Molhabilidade perfeita.
Para θ = 180o Nenhuma molhabilidade (gota esférica - um ponto de contato).
Para θ > 90o Considera-se não haver molhabilidade.
Então, o grau de molhabilidade aumenta com a diminuição do ângulo de contato.
# Obs. θ = 0o pode ser alcançado pela aplicação de pressão.
# Taxa de espalhamento é função da rugosidade e da viscosidade.
# A adesão por molhamento muitas vezes não é alcançada devido à:
1 - Contaminação da superfície do reforço.
2 - Presença de ar preso ou outros gases na superfície irregular do sólido.
3- Contração da resina na cura endurecedor em excesso ou pós-cura (termorrígidos)ou resfriamento (termoplásticos).
4 - Ausência de viscosidade ideal para facilitar o molhamento do reforço pelopolímero durante o processamento.
SLLASASLW γγγ −+=
Como trabalho de adesão e ângulo de contato:
0cos =+− θγγγLASASL
Equação de Young-Dupré
(1 cos )SL LA
W γ θ= +
Trabalho de adesão é obtido medindo e o ângulo de contato θLAγ
Em termos de materiais compósitos:
SAγ
LAγ
Energia superficial livre do reforço
Energia superficial livre da matriz
Exemplo:
SAγ
fibra vidro 56fibra carbono 45 fibra polietileno 30
matriz epóxi 43
LAγmJ/m2 mJ/m2
sem molhabilidade adequada
(SiCp) é adicionado ao (Al) liquido, sob agitação mecânica a uma temperatura inferior a 800ºC para evitar a formação de carbeto de alumina (Al4C3).
• MMC de (Al) reforçado com (SiCp)
Exemplo:
após banho com Al (0 min)
após banho com Al (15 min)
SiCp região de difusão
Melhoria da adesão interfacial após tratamento térmico:
Melhoria devido a dissolução de intermetálicos
Piora devido a formação de bolhas na superfície
aumento de propriedades mecânicas aumento da resistência a fadiga
A utilidade da fase reforço neste caso depende da resistência da ligação interfacial entre o reforço e a matriz.
• PMC reforçado com fibra de vidro
Exemplo:
Fraca aderência entre as fibras e a matriz
Boa aderência entre fibras e matriz
Altos valores de resistência mecânica e modulo de elasticidade,baixa massa específica, inércia química, resistência térmica econdutividade elétrica.
• PMC com reforços com fibra de carbono
Exemplo:
Baixa molhabilidade por determinadas matrizes poliméricas(baixa adesão fibra-matriz), fator determinante para o sucessoda aplicação dos compósitos.
fibras
Solução: tratamentos de superfície nas fibras visando melhorar a adesão fibra-matriz.
aumento damolhabilidade
• Por plasma
Tratamentos mais utilizados:
• Químico (com substância oxidante)
• Eletroquímico
• Oxidação anódica
• Oxidação térmica
Tais tratamentos alteram a energia livre de superfíciee o ângulo de contato, alterando a molhabilidade deum material no outro.
Uma energia de superfície mais alta e um ângulo de contatomenor originam uma adesão mais forte entre as duas superfícies.
Problema: Calcular as propriedades do material compósito
• ortotrópico ou
• transversalmente isotrópico
Sendo dada a fração volúmica das fibras vf e da matriz vm e as propriedades
• da matriz isotrópica
• do reforço isotrópico ou transversalmente isotrópico
MicromecânicaDefinição do problema
m mE e υ
f fE e υf f f f f1 2 12 23 12E ,E , , e Gυ υ
O problema consiste em obter em elasticidade 3D:
• 9 propriedades
• 5 propriedades
Em tensão plana:
• 4 propriedades
MicromecânicaDefinição do problema
1 2 3 12 13 23 12 13 23E ,E ,E , , , ,G ,G ,Gυ υ υ
1 2 12 23 12E ,E , , , Gυ υ *23ou k em vez de υ
1 2 12 12E ,E , ,Gυ
Propriedades elásticas auxiliaresMódulo de compressibilidade volúmica
Ensaio: compressão esférica
Campo de aplicação: materiais isotrópicos
p
p
p11
22
33
23
13
12
p10 0 0
E E E
1 p0 0 0
E E E
1 p0 0 0E E E
10 0 0 0 02 0
G
10 0 0 0 02 0G
10 0 0 0 0
2 0G
ε υ υ − −
υ υ ε − − υ υ ε − − = ε ε ε
( )mm
11 22 33 mm mm
1 1 2 Ep p p p p k
3 E E E E 3 1 2
ε υ υ − υ ε = ε = ε = = − − = = ε = ε − υ
( )E
k3 1 2
=− υ Módulo de compressibilidade
volúmica
• Resistência de Materiais: pretende obter valores médios para os deslocamentos, deformações e tensões, através da adopção de hipóteses simplificativas.
• Teoria da Elasticidade: pretende obter os deslocamentos, deformações e tensões, de forma exata, em todos os pontos do corpo.
Métodos variacionais limite superior e inferior da solução
Métodos clássicos soluções analíticas ou numéricas para modelos conhecidos
• Métodos Semi-analíticos: ajusta o comportamento dos materiais por comparação com resultados analíticos da Teoria da Elasticidade ou com resultados experimentais.
MicromecânicaResolução do problema
• Resistência de Materiais: pretende obter valores médios para osdeslocamentos, deformações e tensões, através de hipótesessimplificativas.
• Teoria da Elasticidade: pretende obter os deslocamentos, deformações etensões, de forma exata, em todos os pontos do corpo.
Métodos variacionais limite superior e inferior da solução
Métodos clássicos soluções analíticas ou numéricas paramodelos conhecidos
• Métodos Semi-analíticos: ajusta o comportamento dos materiais porcomparação com resultados analíticos da Teoria da Elasticidade ou comresultados experimentais.
MicromecânicaResolução do problema
MicromecânicaResistência de Materiais
Hipóteses de base:1. O comportamento do material não depende da distribuição da fibra na matriz.
2. A existência de interface não altera o comportamento do material.
MicromecânicaResistência de Materiais
Módulo de Elasticidade Longitudinal na Direção das Fibras – E1
Módulo de Elasticidade Longitudinal na Direção Transversal às Fibras – E2
Coeficiente de Poisson – ν12
Módulo de Elasticidade em cisalhamento– G12
Módulo de Elasticidade Longitudinal na Direção das Fibras – E1
Módulo de Elasticidade Longitudinal na Direção Transversal às Fibras – E2
Coeficiente de Poisson – ν12
Módulo de Elasticidade Transversal – G12
MicromecânicaResistência de Materiais
MicromecânicaMódulo de elasticidade longitudinal E1
Hipótese simplificadora: As deformações segundo x1 são iguais para a fibra, para a matriz e para o conjunto.
F1F1
x
y
MicromecânicaMódulo de elasticidade longitudinal E1
Hipótese simplificadora: As deformações segundo x1 são iguais para a fibra, para a matriz e para o conjunto.
( ) ( ) ( )fibra matriz
11 11 11
11 11 11
∆ε = = ε = ε
l
l
F1F1
MicromecânicaMódulo de elasticidade longitudinal E1
Hipótese simplificadora: As deformações segundo x1 são iguais para a fibra, para a matriz e para o conjunto.
f m1 11 11 f 11 mF A A A= σ = σ + σ
( )
( )
( )
( )f f
m m
1111 1 11
11111 11 f 1111
1111
11 m 11
E
E
E
σ = εσ
Ε = σ = εε
σ = ε
Portanto: ( ) ( ) ( )11 11 111 f f m m11 11 11E A E A E Aε = ε + ε f m
1 f m
A AE E E
A A= +
( )1 f f m m f f m fE E v E v E v E 1 v= + = + − Lei das misturas
Iguais
Módulo de Elasticidade Longitudinal na Direção das Fibras – E1
Módulo de Elasticidade Longitudinal na Direção Transversal às Fibras –E2
Coeficiente de Poisson – ν12
Módulo de Elasticidade em Cisalhamento – G12
MicromecânicaResistência de Materiais
MicromecânicaMódulo de elasticidade longitudinal E2
Hipótese simplificadora: As tensões na fibra e na matriz são iguais à tensão aplicada.
F2
F2
MicromecânicaMódulo de elasticidade longitudinal E2
Hipótese simplificadora: As tensões na fibra e na matriz são iguais à tensão aplicada.
fibra matriz
222 22 22
F
Aσ = = σ = σ
F2
F2
MicromecânicaResistência de Materiais
Hipóteses de base:1. O comportamento do material não depende da distribuição da fibra na matriz.
Hipótese simplificadora: As tensões na fibra e na matriz são iguais à tensão aplicada.
MicromecânicaResistência de Materiais
Seria preferível usar um modelo mais próximo da realidade.
Por exemplo:
Hipótese simplificadora: As tensões na fibra e na matriz são iguais à tensão aplicada.
MicromecânicaMódulo de elasticidade longitudinal E2
Hipótese simplificadora: As tensões na fibra e na matriz são iguais à tensão aplicada.
MicromecânicaMódulo de elasticidade longitudinal E2
Hipótese simplificadora: As tensões na fibra e na matriz são iguais à tensão aplicada.
fh∆
mh∆
mh
fhh∆
h
Atendendo a que:f mh h h∆ = ∆ + ∆
f m
2 f m
1 1 h 1 h
E E h E h= +22 22 22
f m2 f m
h h hE E E
σ σ σ= +
f m
2 f m
1 v v
E E E= + Lei das misturas inversas
( )22
2 22
22
Eσ
=ε
Partindo de
e da definição de deformação linear
( )
( )
( )
f f
f
m m
m
22 22 2222
2 2
22 2222 ff f22
f f f
22 2222 mm m22
m m m
hh h
h E E
hh h
h E E
hh h
h E E
∆ σ σε = = ∆ =
σ σ∆ε = = ∆ =
σ σ∆ε = = ∆ =
fv
TE
0 0,5 1
mTE
fTE
MicromecânicaMódulo de elasticidade transversal
Mau comportamento quando comparado com a realidade
Módulo de Elasticidade Longitudinal na Direção das Fibras – E1
Módulo de Elasticidade Longitudinal na Direção Transversal às Fibras – E2
Coeficiente de Poisson – νννν12
Módulo de Elasticidade em Cisalhamento– G12
MicromecânicaResistência de Materiais
MicromecânicaCoeficiente de Poisson ν12
Hipótese simplificadora: As deformações segundo x1 são iguais para a fibra, para a matriz e para o conjunto.
F1F1
MicromecânicaCoeficiente de Poisson ν12
( ) ( ) ( )fibra matriz
11 11 11
11 11 11ε = ε = ε
F1F1
Hipótese simplificadora: As deformações segundo x1 são iguais para a fibra, para a matriz e para o conjunto.
MicromecânicaCoeficiente de Poisson ν12
Hipótese simplificadora: As deformações segundo x1 são iguais para a fibra, para a matriz e para o conjunto.
MicromecânicaCoeficiente de Poisson ν12
Hipótese simplificadora: As deformações segundo x1 são iguais para a fibra, para a matriz e para o conjunto.
mh∆
fh∆
( )
( )
11
2212 11
11
ευ = −
ε
Partindo de
e da definição de deformação linear
( )
( )( ) ( )
( )
( )( ) ( )
( )
( )( ) ( )
f
f f
f
m
m m
m
1111 1122
12 1222 1111
11
11
22 11 11 ff f22 1111
f11
11
22 11 11 mm m22 1111
m11
h
h
h
h
h
h
ε ∆υ = − ε = − υ ε =
ε
ε ∆υ = − ε = − υ ε =
ε
ε ∆υ = − ε = − υ ε =
ε
( ) ( ) ( )11 11 11
12 f f m m11 11 11h h h− υ ε = − υ ε − υ ε f m12 f m
h h
h hυ = υ + υ
Lei das misturas12 f f m mv vυ = υ + υ
Por outro lado:
f mh h h∆ = ∆ + ∆
LTυ
fv
0 0,5 1
mLTυ
fLTυ
MicromecânicaCoeficiente de Poisson ν12
Bom comportamento quando comparado com a realidade
Módulo de Elasticidade Longitudinal na Direção das Fibras – E1
Módulo de Elasticidade Longitudinal na Direção Transversal às Fibras – E2
Coeficiente de Poisson – ν12
Módulo de Elasticidade em Cisalhamento – G12
MicromecânicaResistência de Materiais
MicromecânicaMódulo de elasticidade em Cisalhamento G12
Hipótese simplificadora: As tensões na fibra e na matriz são iguais à tensão aplicada.
F2
F2 d
dfdm
MicromecânicaMódulo de elasticidade em cisalhamento G12
Hipótese simplificadora: As tensões na fibra e na matriz são iguais à tensão aplicada.
f m12 12 12σ = σ = σ
F2
F2 d
dfdm
( )12
12 12
12
Gσ
=γ
Partindo de
e da definição de deformação angular
Hipótese simplificadora: As tensões na fibra e na matriz são iguais à tensão aplicada.
Atendendo a que:f mδ = δ + δ
f m
12 f m
1 1 h 1 h
G G h G h= +12 12 12
f m12 f m
h h hG G G
σ σ σ= +
f m
12 f m
1 v v
G G G= + Lei das misturas inversas
MicromecânicaMódulo de elasticidade em cisalhamento G12
d
dfdm
( )
( )
( )
f f
f
m m
m
12 12 1212
12 12
12 1212 ff f12
f f f
12 1212 mm m12
m m m
hh G G
hh G G
hh G G
δ σ σγ = = δ =
σ σδγ = = δ =
σ σδγ = = δ =
Iguais
fv
LTG
0 0,5 1
fLTG
mLTG
MicromecânicaMódulo de elasticidade em cisalhamento G12
Mau comportamento quando comparado com a realidade
• Resistência de Materiais: pretende obter valores médios para os deslocamentos, deformações e tensões, através de hipóteses simplificativas.
• Teoria da Elasticidade: pretende obter os deslocamentos, deformações e tensões, de forma exata, em todos os pontos do corpo.
Métodos variacionais limite superior e inferior da solução
Métodos clássicos soluções analíticas ou numéricas para modelos conhecidos
• Métodos Semi-analíticos: ajusta o comportamento dos materiais por comparação com resultados analíticos da Teoria da Elasticidade ou com resultados experimentais.
MicromecânicaResolução do problema
MicromecânicaMétodos Semi-empíricos: Equações de Halpin-Tsai
Princípio que estes modelos respeitem os valores dos limites superiores e
inferiores. No modelo de Halpin-Tsai temos:
f m f f mm
f m f f m
P P V (P P )P P
P P V (P P )
+ζ +ζ −=
+ζ − −
P é qualquer constante de Engenharia, ξ é um parâmetro empírico de valores não
negativos. Deste Parâmetro é obtido de forma experimental pelo ajuste da função
e traduz a eficiência do reforço. 1
f f
f m
f f f m
V 1 V0 P=
P P
1 P V P (1 V )P
− −
ζ = +
ζ → → + −
Os outros módulos ( E2, G12 ou ν23) através da relação geral:
f
m f
M 1 v
M 1 v
+ ξ η=
− ηcom
( )( )
f m
f m
M / M 1
M / M
−η =
+ ξ
sendo M o módulo considerado ( E2, G12 ou ν23) Mf o módulo correspondente das fibras (Ef, Gf ou νf) Mm o módulo correspondente da matriz ( Em, Gm ou νm) ξ é função da geometria e distribuição das fibras e da
propriedade elástica considerada. ξ = 2 para E2
ξ = 1 para G12 (experiências de Adams/Donner)
MicromecânicaMétodos Semi-empíricos: Equações de Halpin-Tsai
10
2
15
20
25
ff
c
Vv
V=
MicromecânicaComparação de diversas soluções
( )2E GPa
Lei inversa das misturas
Carbono Vidro Kevlar Epoxi Poliamida
E1 230 GPa 85 GPa 124 GPa 3,4 GPa 3,5 GPa
E2 22 GPa 85 GPa 8 GPa 3,4 GPa 3,5 GPa
ν12 0,30 0,20 0,36 0,30 0,35
G12 22 GPa 35,42 GPa 3 GPa 1,3 GPa 1,3 GPa
MicromecânicaPropriedades elásticas de fibras e resinas
MicromecânicaCaso de resina epoxi e fibra de vidro
Comparar os valores obtidos para as quatro propriedades de um
compósito de fibra de vidro/epoxy com 70% de fibra em volume.
Vidro Epoxi
E1 85 GPa 3,4 GPa
E2 85 GPa 3,4 GPa
ν12 0,20 0,30
G12 35,42 GPa 1,3 GPa
Autar K. Kaw
MicromecânicaCaso de resina epoxi e fibra de vidro
Comparar os valores obtidos para as quatro propriedades de um
compósito de fibra de vidro/epoxy com 70% de fibra em volume.
Resistência de
Materiais
Equações de
Halpin-TsaiTeoria da Elasticidade
E1 60,52 GPa 60,55 GPa 60,6 GPa
E2 10,37 GPa 20,26 GPa -
ν12 0,23 0,23 0,205
G12 3,99 GPa 6,15 GPa 19,98 GPa
MicromecânicaCaso de polimerização in situ PMMA/POSS
-Wanke, C. et al Effects of POSS vertex group on structure, thermal and mechanical properties of PMMA/POSS hybrid materials. Polymer Testing, v.54, p. 214-222, 2016.
MicromecânicaCaso de polimerização in situ PMMA/POSS
-Wanke, C. et al Effects of POSS vertex group on structure, thermal and mechanical properties of PMMA/POSS hybrid materials. Polymer Testing, v.54, p. 214-222, 2016.
Traçando linhas de para critério de excelência para matriz de titânio em E/ρ, E1/2/ρ e E/ρ, E1/3/ρ.
Para isso precisamos de ao menos 2-3 pontos para estabelecer uma reta que se encontra na liga de titânio . Como o gráfico é log-log temos:M= E/ρ =log M=log E-logρ →loE=log M+logρM= E1/2/ρ=logM=1/2logE-logρ →loE=2log M+2logρM= E1/2/ρ=logM=/3logE-logρ →loE=3log M+3logρ
Agora precisamos encontras os valores demódulo e densidade para fraçãovolumétrica com f=0,5 e construir os limitessuperiores e inferiores
Usando gráficos
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