primenjenamehanikafluidaprimenjena mehanika ......microsoft powerpoint - mehanika fluida author zika...

PRIMENJENA MEHANIKA FLUIDAPRIMENJENA MEHANIKA FLUIDAPredavanje IVj

dr Živojin Stamenković docentdr Živojin Stamenković, docent

Mirovanje fluida u polju Zemljine teže• Posmatra se sud sa tečnošću koji miruje u polju

l žZemljine teže• Na jedinicu mase tečnosti deluje sila Zemljine teže, a zaz osu je usvojeno da je usmerena vertikalno naniže:

0, 0,X Y Z g

•Komponente sila se•Komponente sila sezamenjuju u osnovnujednačinu hidrostatike

1 dp Xdx Ydy Zdz

jednačinu hidrostatike

dp Xdx Ydy Zdz

Jednačina rasporeda pritiskap p• Nakon zamene u osnovnu jednačinu hidrostatike dobija se sledeći raspored pritiska:

1 0 0d d d d1 0 0dp dx dy gdz

d ddp gdz

dp g dz p gz C

p g

0, 0 0p z C

p gz

Izobarske površiIzobarske površi

I j d či d iti k klj č j d• Iz jednačine rasporeda pritiska zaključujemo dasu izobarske površi određene jednačinom:

O ši d lj j h i l i

z const

• Ove površi predstavljaju horizontalne ravni.• Takože, te izobarske površi i vektor g su normalni,št i ij klj čili kt k j išto smo i ranije zaključili; vektor g pokazuje i smernajvećeg porasta pritiska‐ vertikalno naniže.

• Izobarska površ na kojoj je relativni pritisak p = 0• Izobarska površ na kojoj je relativni pritisak p = 0tj. tamo gde vlada atmosferski pritisak naziva seslobodna površ;slobodna površ;

Uticaj natpritiska i potpritiskaj p p p• Kako sada na površini iznad tečnosti ne vlada

t f ki iti k ć t iti k iliatmosferski pritisak, već natpritisak pm ilipotpritisak pv raspored pritiska se menja na sledećinačin:

• Izobare su i u ovom slučaju horizontalne ravni.

Relativno mirovanje fluidaj• Razmatra se problem relativnog mirovanja fluida u poljuinercijalnih sila i sile Zemljine težeinercijalnih sila i sile Zemljine teže.

• Rezervoar se kreće po horizontalnoj podlozi konstantnimb j U j l i j d j biubrzanjem a.  U stanju apsolutnog mirovanja sud je bio 

napunjen do visine H. • Iz iskustva znamo da će tečnost zauzeti položaj prikazanna slici. 

Relativno mirovanje fluidaj• Na jedinicu mase tečnosti deluje sila Zemljine teže i 

il i ij t d ktsila inercije usmerena suporotno od vektora ubrzanja a :

• Nakon zamene u osnovnu jednačinu hidrostatike dobija se sledeći raspored pritiska:j p p

, 0,X a Y Z g 1 0dp a dx dy g dz

dp adx adz dp adx gdz p ax gz C

0, 0, 0 0p z x C

p ax gz J‐na rasporeda pritiska

Jednačina slobodne površinep• Jednačina slobodne površine određuje se iz uslova poznatog pritiskapoznatog pritiska.

• Pritisak iznad tečnosti je atmosferski te je relativni pritisak jednak nuli:

p ax gz

0 ax gz 0 ax gz

gz ax

az xg

g

Izobarske površip

• Može se zaključiti da su izobarske površiMože se zaključiti da su izobarske površimeđusobno paralelne praveO kl j l d ći iti i• Ove prave zaklapaju sledeći ugao sa pozitivnimsmerom x ose:

aarctgg

g

Vektor spoljašnjih sila i izobarep j j• Iz diferenijalnog oblika Ojlerove jednačine:

1

• Zaključuje se da su vektori normala izobarskih površi i

1 dp Xdx Ydy Zdz

Zaključuje se da su vektori normala izobarskih površi iukupan vekor f spoljašnjih sila kolinearni, tj. vektor f jeupravan na izobarske površi koje su nagnute pod uglom αupravan na izobarske površi koje su nagnute pod uglom α.

• Ugao α je proporcionalan inentzitetu ubrzanja a.

Mirovanje fluida u poljut if l ilcentrifugalne sile

• Posmatra se jedan cilindričniPosmatra se jedan cilindričnisud, prečnika D koji je napunjentečnošću gustine ρ do visine H.tečnošću gustine ρ do visine H.Neka se sud počne obrtatikonstantnom ugaonom brzinomkonstantnom ugaonom brzinomω oko vertikalne ose, i neka seta osa poklapa sa osom suda.ta osa poklapa sa osom suda.

Usled dejstva viskoznosti delići tečnosti koji se nalaze nazidu suda će se obrtati zajedno sa sudom; ti delići će utom kretanju sa sobom povlačiti i ostale deliće, a ovi sebisusedne na manjem radijusu, sve do ose cevi.

Mirovanje fluida u poljucentrifugalne sile

P l i t t d ć b t ti• Posle izvesnog vremena sva teqnost u sudu će se obrtatizajedno sa njim ‐ možemo smatrati da se tečnost obrćek k t t lkao kruto telo.

• U koordinatnom sistemu vezanom za sud, tečnost miruje,pa će za nju važiti Ojlerova jednačina statike fluida.

Jednačina hidrostatike pri rotacijiJednačina hidrostatike pri rotaciji• Pošto tečnost rotira konstantnom ugaonom brzinom• Pošto tečnost rotira konstantnom ugaonom brzinom,na svaki fluidni delić koji se nalazi na rastojanju r odose rotacije deluje centrifugalna sila (po jediniciose rotacije, deluje centrifugalna sila (po jedinicimase) usmerena ka osi rotacije:

2c x yf f i f j xi yj

• Da bi se odredile projekcije zapreminske sile kojadeluje na fluid, za usvojeni koordinatni sistem važi:

• z osa se mora poklapati sa osom rotacije, zbognačina definisanja centrifugalne sile; r osa se moženačina definisanja centrifugalne sile; r osa se možeusvojiti bilo gde na osi rotacije.

Jednačina hidrostatike pri rotacijip j

• Projekcije zapreminske sile sada glase:j j p g2

xf x 2yf y zf g

• Njihovom zamenom u osnovnu jednačinu hidrostatike dobija se:dobija se: 

2 21 dp xdx ydy gdz dp xdx ydy gdz

2 21 dp xdx ydy g dz

Jednačina hidrostatike pri rotacijiJednačina hidrostatike pri rotaciji

• Nakon integraljenja osnovne jednačine hidrostatike dobija se:j

2 22 2x yp gz C 2 2

p g

22 2p x y g C

22

r

p x y gz C

22

2p r gz C

2

Jednačina hidrostatike pri rotacijiJednačina hidrostatike pri rotaciji

• Konstanta C se određuje iz graničnih uslova. Zausvojeni koordinatni sistem, taj granični uslov je:

22

2p r gz C

2

0, 0 0r z p 0, 0 0r z p

0C 2

2

2p r gz

2

Jednačina slobodne površi i izobarep

• Polje pritiska je nelinearno po koordinati r a• Polje pritiska je nelinearno po koordinati r, alinearno po koordinati z.

• Jednačina slobodne površi (pritisak je jednaatmosferksom, tj. relativni pritisak jednak je nuli)određena je izrazom:

22

2 22

202r gz

2

2gz r 2

2z r

g

• Izobarske površi su obrtni paraboloidi

Korisne relacijej• Ukoliko pri obrtanju suda ne dolazi do prosipanja t č ti l k t t ti i ži t l ditečnosti, uslov konstantnosti zapremine važi, te sledi:

2 2 21D D D 10

14 4 2 4 rD D DH H H

012 rH H H

Uticaj natpritiska i potpritiskaj p p p• Ukoliko iznad tečnosti deluje pritisak gasa koji je j d k ( t iti k) ili ( t iti k) j i tijednak pm (natpritisak) ili pv (potpritisak) on je isti u svim tačkama iznad tečnosti

22

2p r gz C

0, 0 mr z p p

Dmp C

0,2 r mDr z H H p p

2 2D 02 4m rDp g H H C

Uticaj natpritiska i potpritiskaj p p p• Kada je sud pun tečnosti i nema gasa iznad tečnosti,natpritisak je različit u različitim tačkama, i običnoje definisan za neku tačku (slede dva primera):

p ax gz C p ax gz C

L L1, ,

2 2mL Lp p x z tg

2 , ,2 2mL Lp p x z tg 2 2