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La pieza de la figura esta formada por una semiesfera A de acero, por el cilindro B de plomo y por el cilindro C de aluminio. Localizar el centro de gravedad de la pieza. Los pesos específicos de los materiales son:
𝛾𝑎𝑐𝑒𝑟𝑜 = 490 𝑙𝑏𝑓/𝑝𝑖𝑒3
𝛾𝑝𝑙𝑜𝑚𝑜 = 700 𝑙𝑏𝑓/𝑝𝑖𝑒3
𝛾𝑎𝑙𝑢𝑚𝑖𝑛𝑖𝑜 = 166 𝑙𝑏𝑓/𝑝𝑖𝑒3
𝑊𝐴 = 𝛾𝑎𝑐𝑒𝑟𝑜𝑉𝐴 =2
3𝛾𝑎𝑐𝑒𝑟𝑜𝜋 𝑟𝐴
3 =2
3× 490 × 𝜋 × 33 = 27708.85 𝐿𝑏.
𝑊𝐵 = 𝛾𝑝𝑙𝑜𝑚𝑜𝑉𝐵 = 𝛾𝑝𝑙𝑜𝑚𝑜𝜋 𝑟𝐵2ℎ𝐵 = 8796.46 𝐿𝑏.
𝑊𝐶 = 𝛾𝑎𝑙𝑢𝑚𝑖𝑛𝑖𝑜𝑉𝐶 = 𝛾𝑎𝑙𝑢𝑚𝑖𝑛𝑖𝑜𝜋 𝑟𝐶2ℎ𝐶 = 4172.04 𝐿𝑏.
Las coordenadas del centro de gravedad de A, B y C son:
𝑥𝐴 = −3
8𝑟𝐴 = −1.125 𝑦𝐴 = 3 𝑧𝐴 = 0
𝑥𝐵 = 2 𝑦𝐵 = 0.5 𝑍𝐵 = 0 𝑥𝐶 = 5 𝑦𝐶 = 2 𝑧𝐶 = 0 El centro de gravedad del solido completo:
𝑋𝐶 =𝑊𝐴𝑥𝐴 +𝑊𝐵𝑥𝐵 +𝑊𝐶𝑥𝐶𝑊𝐴 +𝑊𝐵 +𝑊𝐶
𝑋𝐶 =27708.85 × −1.125 + 8796.46 × 2 + 4172.04 × 5
27708.85 + 8976.46 + 4172.04= 𝟎. 𝟏𝟕𝟗 𝒑𝒊𝒆𝒔
𝑌𝐶 =𝑊𝐴𝑦𝐴 +𝑊𝐵𝑦𝐵 +𝑊𝑐𝑦𝑐𝑊𝐴 +𝑊𝐵 +𝑊𝐶
= 𝟐. 𝟑𝟓𝟕 𝒑𝒊𝒆𝒔
𝑍𝐶 = 𝟎
𝑥𝑐 = 𝑥𝑑𝑙
𝑑𝑙
𝑑𝑙 =𝑑𝑥
𝑑𝑦
2
+ 1𝑑𝑦 =𝑦2 + 9
9𝑑𝑦 =
1
3𝑦2 + 9𝑑𝑦
𝑥𝑑𝑙 = 𝑦2
6
1
3𝑦2 + 9 𝑑𝑦 =
1
18 𝑦2 𝑦2 + 9𝑑𝑦12
0
𝑥2 𝑥2 + 𝑎2𝑑𝑥 =𝑥 𝑥2 + 𝑎2
32
4−𝑎2𝑥 𝑥2 + 𝑎2
8−𝑎4
8ln 𝑥 + 𝑥2 + 𝑎2
𝑥𝑑𝑙 =1
18
𝑦 𝑦2 + 𝑎232
4−𝑎2𝑦 𝑦2 + 𝑎2
8−𝑎4
8ln 𝑦 + 𝑦2 + 𝑎2
12
= 304.96
𝑑𝑙 =1
3 𝑦2 + 912
0
dy
𝑥2 + 𝑎2𝑑𝑥 =𝑥 𝑥2 + 𝑎2
2+𝑎2
2ln 𝑥 + 𝑥2 + 𝑎2
𝑑𝑙 =1
3 𝑦2 + 912
0
dy =1
3
𝑦 𝑦2 + 𝑎2
2+𝑎2
2ln 𝑦 + 𝑦2 + 𝑎2
12
= 27.88
𝒙𝒄 = 𝟏𝟎. 𝟗𝟒 pulg. 𝒚𝒄 = 𝟕. 𝟒𝟑 𝒑𝒖𝒍𝒈.
C
𝑋𝐶 =𝑥1𝐿1 + 𝑥2𝐿2 + 𝑥3𝐿3𝐿1 + 𝐿2 + 𝐿3
𝑦𝐶 =𝑦1𝐿1 + 𝑦2𝐿2 + 𝑦3𝐿3𝐿1 + 𝐿2 + 𝐿3
𝑍𝐶 =𝑧1𝐿1 + 𝑧2𝐿2 + 𝑧3𝐿3𝐿1 + 𝐿2 + 𝐿3
1
2
3
X = 𝑥𝑑𝐴
𝑑𝐴 dA = ydx
𝑦2 = 𝑏2𝑙 − 𝑥2
𝑎 =
𝑏
𝑎𝑎2 − 𝑥2
𝑥𝑑𝐴 = 𝑥𝑦𝑑𝑥𝑎
0 = 𝑥
𝑏
𝑎𝑎2 − 𝑥2
12
𝑎
0 𝑑𝑥 =
𝑏
𝑎 𝑥 𝑎2 − 𝑥2
12
𝑎
0 𝑑𝑥 =
𝑏
𝑎−
𝑎2−𝑥232
3 0
𝑎
= 𝑏
𝑎−
𝑎2−𝑎232
3+
𝑎2−0232
3 =
𝑏
𝑎
𝑎3
3 =
𝑎2𝑏
3
𝑑𝐴 = 𝑦𝑑𝑥𝑎
0=
𝑎
𝑏𝑎2 − 𝑥2
12
𝑎
0dx =
𝑏
𝑎 𝑎2 − 𝑥2
12
𝑎
0 𝑑𝑥 =
𝑏
𝑎
𝑥 𝑎2− 𝑥212
2+𝑎2
2sin−1
𝑥
𝑎 0
𝑎
= 𝑏
𝑎
𝑎 𝑎2−𝑎212
2+
𝑎2𝜋
2 =
𝑏
𝑎
𝑏𝑎2
4 =
𝜋𝑎𝑏
4
XC =
𝑎2𝑏
3𝜋𝑎𝑏
4
= 𝟒𝒂
𝟑𝝅
YC = 𝑦𝑑𝐴
𝑑𝐴 ; 𝑑𝐴 = 𝑥𝑑𝑦
𝑥2 = 𝑎2 1 −𝑦2
𝑏2 x =
𝑎
𝑏𝑏2 − 𝑦2
12
𝑦𝑑𝐴 = 𝑦𝑥𝑑𝑦𝑏
0
= 𝑦𝑎
𝑏𝑏2 − 𝑦2
12
𝑏
0
𝑑𝑦
= 𝑎
𝑏 𝑦 𝑏2 − 𝑦2
12 𝑑𝑦 =
𝑏2𝑎
3
𝑏
0
𝑑𝐴 = 𝑎
𝑏𝑏2 − 𝑦2
12
𝑏
0
𝑑𝑦
= 𝑎
𝑏 𝑏2 − 𝑦2
12
𝑏
𝑎
𝑑𝑦 = 𝜋𝑎𝑏
4
YC =
𝑏2𝑎
3𝜋𝑎𝑏
4
= 𝟒𝒃
𝟑𝝅
Calculo de los puntos de intersección:
𝑎 − 𝑎2 − 𝑥2 = 𝑎2 − 𝑥2
𝑎 = 2 𝑎2 − 𝑥2
𝑎2 = 4 𝑎2 − 𝑥2
𝑎2 = 4𝑎2 − 4𝑥2
𝒙 =𝒂 𝟑
𝟐
𝑋𝑐 = 𝑥𝑑𝐴
𝑑𝐴
𝑦 = 𝑎 − 𝑎2 − 𝑥2 𝑑𝐴 = 𝑦𝑑𝑥
𝑑𝐴 = 𝑎2 − 𝑥2 − (𝑎 − 𝑎2 − 𝑥2) 𝑑𝑥
𝑑𝐴 = (2 𝑎2 − 𝑥2 − 𝑎)𝑑𝑥
𝐴 = (2 𝑎2 − 𝑥2 − 𝑎)𝑑𝑥
𝑎 32
0
𝐴 = 𝑥 𝑎2 − 𝑥2 + 𝑎2𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑎− 𝑎𝑥
0
𝑎 32
𝐴 =𝑎 3
2𝑎2 −
3
4𝑎2 + 𝑎2𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛
3
2− (𝑎2√3)/2
𝐴 =𝑎2 3
4+𝜋𝑎2
3−𝑎2 3
2
𝐴 = 0.614𝑎2
C
𝑥𝑐1 = 0 𝑦𝑐1 = 10 𝑧𝑐1 = 20 𝐴1 =𝑏ℎ
2= 600 𝑐𝑚2
𝑥𝑐2 = 22.5 𝑦𝑐2 = 0 𝑧𝑐2 = 20 𝐴2 = 𝑏ℎ = 1800 𝑐𝑚2
𝑥𝑐3 = 30 𝑦𝑐3 = 10 𝑧𝑐3 = 0 𝐴3 =𝑏ℎ
2= 675 𝑐𝑚2
𝑋𝑐 =𝐴1𝑥𝑐1 + 𝐴2𝑥𝑐 + 𝐴3𝑥𝑐3
𝐴1 + 𝐴2 + 𝐴3= 6.83 𝑐𝑚
𝑌𝑐 =𝐴1𝑦𝑐1 + 𝐴2𝑦𝑐2 + 𝐴3𝑦𝑐3
𝐴1 + 𝐴2 + 𝐴3= 24.87 𝑐𝑚
𝑍𝑐 =𝐴1𝑧𝑐1 + 𝐴2𝑧𝑐2 + 𝐴3𝑧𝑐3
𝐴1 + 𝐴2 + 𝐴3= 9.88 𝑐𝑚
Una parabola gira en torno al eje 𝑧, generando el paraboloide de revolucion de la figura. Localizar el centroide de su volumen respecto a la base 𝑧 = 0.
C
La ecuación de la parábola es : (𝑌 − 𝐾)2= 4𝑝 𝑍 − ℎ 𝑠𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 ℎ = 𝑎 𝐾 = 0
𝑌2 = 4𝑝(𝑍 − 𝑎)
Calculando ‘p’ z=0 ; y=b 𝑏2 = 4𝑝(−𝑎)
𝑝 = −𝑏2
4𝑎
dz
y
dz
𝑌2 = 4(−𝑏2
4𝑎)(𝑧 − 𝑎)
−𝑏2
𝑎𝑧 − 𝑎 =
𝑏2
𝑎(𝑎 − 𝑧)
𝑎𝑌2 = 𝑏2(𝑎 − 𝑧)
𝑌2 =𝑏2
𝑎(𝑎 − 𝑧)
𝑑𝑣 = 𝜋𝑦2𝑑𝑧𝑎
0
=𝜋
𝑎 𝑏2 𝑎 − 𝑧 𝑑𝑧𝑎
0
𝜋
𝑎 (𝑏2𝑎
0
𝑎 − 𝑏2𝑧)𝑑𝑧 =𝜋𝑏2
𝑎[𝑎𝑧 −
𝑧2
2]𝑎0= 𝜋𝑏2
𝑎(𝑎2 −
𝑎2
2) =
𝜋𝑏2𝑎2
2𝑎=𝜋𝑎𝑏2
2
𝑧𝑑𝑣 =𝜋
𝑎[ 𝑎𝑏2𝑧𝑑𝑧𝑎
0
− 𝑏2𝑧2𝑑𝑧𝑎
0
]
𝑧𝑑𝑣 =𝜋
𝑎
𝑎𝑏2𝑧2
2−𝑏2𝑧3
3
𝑎0 =
𝜋
𝑎
𝑎3𝑏2
2− 𝑎3𝑏2
3
=𝜋𝑎3𝑏2
𝑎
1
2−1
3 =
𝜋𝑎3𝑏2
6𝑎
𝑍𝐶 = 𝑧𝑑𝑥
𝑑𝑥=
𝜋𝑎3𝑏2
6𝑎𝜋𝑎𝑏2
2
= 2𝜋𝑎3𝑏2
6𝜋𝑎2𝑏2 =
𝑎
3 .
Un volumen compuesto consta de un paralelepipedo rectangulo a x b x h, una placa semicircular de radio , y un pasador circular de radio y altura a, como se muestra en la figura. ¿Cuánto vale a si y el centroide del volumen compuesto se encuentra a una altura de ?
Considerando el origen de la en la base de la figura. Se tiene que.
𝑍𝐶 =𝑉1𝑍1 + 𝑉2𝑍2 + 𝑉3𝑍3𝑉1 + 𝑉2 + 𝑉3
……(1)
Donde 𝑉1 =volumen de la placa semicircular
𝑉2 =Volumen del paralelepípedo
𝑉3 = Volumen del pasador
𝐴𝑑𝑒𝑚á𝑠 𝑍𝐶 =3ℎ
4= 0.75ℎ
𝑐𝑜𝑚𝑜 ℎ = 2𝑏 ⟹ 𝑍𝐶 = 1.5𝑏 𝑉1 =𝜋(𝑏 2 )
2
2∗ 𝑎 =
𝜋𝑎𝑏2
8= 0.393𝑎𝑏2
𝑉2 = 𝑎 ∗ 𝑏 ∗ ℎ = 2𝑎𝑏2
𝑉3 = 𝜋𝑎
2
2
∗ 𝑎 = 0.785𝑎3
𝑍1 = ℎ +4(𝑏 2 )
3𝜋= 2𝑏 +
4𝑏
6𝜋= 2.212𝑏
𝑍1 =ℎ
2=2𝑏
2= 𝑏 𝑍1 = ℎ = 2𝑏
En (1)
1.5𝑏 =0.393𝑎𝑏2 2.212𝑏 + 2𝑎𝑏2 𝑏 + 0.765𝑎3(2𝑏)
0.393𝑎𝑏2 + 2𝑎𝑏2 + 0.765𝑎3
1.5𝑏 =0.869𝑎𝑏3 + 2𝑎𝑏3 + 1.57𝑎3𝑏
0.393𝑎𝑏2 + 0.785𝑎3
3.589 𝑎𝑏3 + 1.1775𝑎3𝑏 = 0.869𝑎𝑏3 + 2𝑎𝑏3 + 1.57𝑎3𝑏
3.589 𝑎𝑏3 − 0.869𝑎𝑏3 − 2𝑎𝑏3 + 1.1775𝑎3𝑏 − 1.57𝑎3𝑏 = 0
0.72𝑎𝑏3 − 0.392𝑎𝑏3 = 0
0.392𝑎𝑏3 = 0.72𝑎𝑏3 𝑎2 = 1.836𝑏2 𝑎 = 1.354𝑏
1.- Para la viga sometida a las distribuciones lineales de carga, calcular las reacciones en los apoyos A y B.
2.- Una viga soporta una serie de cargas uniformemente distribuidas y variables, como se muestra en la figura. Calcular las reacciones en los apoyos de la viga.
Una porción de la placa cuadrada esta cargada por la carga uniformemente distribuida 𝑝 = 20 𝑙𝑏 𝑝𝑖𝑒2 . Encuentre las coordenadas del punto en el plano
xy a través del cual pasa la resultante.
La carga de presión sobre la placa es descrita por la función
𝑝 = −240
𝑥+1+ 340 Pa. Determine la magnitud de la fuerza resultante y las
coordenadas (x,y) del punto en que la línea de acción de la fuerza interseca a la placa.
𝑋0 = 𝑥𝑃𝑑𝐴
𝑃𝑑𝐴
𝑥𝑃𝑑𝐴 = 6𝑃𝑥𝑑𝑥5
0
= 6 −240
𝑥 + 1+ 340 𝑥𝑑𝑥
5
0
𝑥𝑃𝑑𝐴 = 6 − 240
𝑥+1
5
0𝑑𝑥 + 340
5
0𝑑𝑥
𝑥𝑃𝑑𝐴 = 6 −240 𝑥 − ln 𝑥 + 1 + 340𝑥2
2= 20880.18
𝐹 = 𝑃𝑑𝐴 𝑑𝐴 = 6𝑑𝑥 𝐹 = 6 −240
𝑥+1+ 340 𝑑𝑥
5
0
𝐹 = 6 − 240
𝑥 + 1
5
0
𝑑𝑥 + 3405
0
𝑑𝑥
𝐹 = −240 ln 𝑥 + 1 + 340𝑥 = 7619.88
𝑋0 =20880.18
7619.88= 𝟐. 𝟕𝟒 m.
𝑌0 = 𝑦𝑃𝑑𝐴
𝑃𝑑𝐴= 𝟑 m.
C
𝐿1 = 𝐿2=2𝜋6
4= 3𝜋 𝐿3 = 𝐿4=2𝜋
2
2= 2𝜋
𝑌1 =(2)(𝑟)
𝜋=12
𝜋= 𝑌2 𝑌3= 2 −
4
𝜋+ 4 =
6𝜋 − 4
𝜋= 𝑌4
𝑌𝐶 =𝐿1𝑌1 + 𝐿2𝑌2 + 𝐿3𝑌3 + 𝐿4𝑌4
𝐿1 + 𝐿2 + 𝐿3 + 𝐿4
𝑌𝐶 =3𝜋
12𝜋+ 3𝜋
12𝜋+ 2𝜋
6𝜋 − 4𝜋
+ 2𝜋6𝜋 − 4𝜋
10𝜋
𝑌𝐶 =72 + 4 6𝜋 − 4
10𝜋
𝐴 = 𝜃 𝑌𝐶𝐿 = 2𝜋 ∗ 4.18 ∗ 10𝜋 = 𝟖𝟐𝟓. 𝟎𝟗𝒑𝒖𝒍𝒈
𝟐
2.- Calcule la tensión en cada una de las sogas que soportan la placa de acero uniforme con peso de 0.284 lb pulg3 .
Cada uno de los costales de arena apilados sobre la viga uniforme de 250 lb pesa 12 lb. Determinar las reacciones en los soportes en A y en C.
Determine las cargas en los ejes (fuerzas normales en a, b y c) del recogedor de mineral cuando está estacionado sobre un camino horizontal con sus frenos no aplicados. Las de la cabina y remolque son de 4000 kg y 6000 kg, respectivamente, con centros de gravedad en D y E. Supóngase que la conexión en F es equivalente a la de un pasador liso.
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