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PROBABILIDADE
Prof. Adriano Mendonça Souza, Dr.
Departamento de Estatística
- PPGEMQ / PPGEP - UFSM -
“O intelecto faz pouco na estrada que leva àdescoberta, acontece um salto na consciência, chame-
o de INTUIÇÃO ou do que quiser; e a solução lhe ocorre, ê você não sabe como, nem por quê.”
Albert Einstein
O problema fundamental da probabilidade consiste em
atribuir um número a cada evento E, o qual avaliará as
chances de ocorrência de E.
OrigemCorrespondência entre dois matemáticos franceses, Blaise
Pascal (1623-1662) e Pierre Fermat (1601-1665), em 1654,
a respeito de dois problemas formulados por um jogador
compulsivo, Chevalier de Méré.
UsosPrevisão da demanda; safras agrícolas; avaliação dos impactos dos
aumentos dos impostos sobre a inflação;
Avaliar as chances de alunos serem aprovados;
Médicos determinam se (e quando) determinado doente deveria estar recuperado;
Estabelecer as chances de determinada categoria entrar em greve;
O governo determine até quando será capaz de manter os preços congelados ou tabelados;
Avaliação de estratégias de ação;
Experimento, espaço amostral e eventos
Experimento(E): É todo o fenômeno que acontece ou toda ação que será feita.
Da análise dos experimentos verifica-se o seguinte:
Cada experimento poderá ser repetido sob as mesmascondições indefinidamente;
O resultado particular de cada experimento aparecerá aoacaso, mas pode-se descrever todas os possíveis resultados;
Quando o experimento se repetir um grande número devezes aparece uma regularidade;
Espaço amostral (S): É o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento (E);
E = jogar um dado e observar a face de cima
S = {1,2,3,4,5,6}
Cada resultado do espaço amostralé considerado um ponto amostral.
Evento: É qualquer subconjunto do espaço amostral (S), é o acontecimento ou realização do espaço amostral e deve ser sempre representado por letras maiúsculas do alfabeto (A,B,C,...).
E: lançar um dado e observar o número de pontos na face voltada para cima.
S: { 1,2,3,4,5,6 } , espaço amostral finito.
A: ocorrer resultado maior do que 4 A: { 5,6 }
Tipos de eventosEvento simples: É aquele formado por um único elemento do
espaço amostral.
No lançamento de uma moeda, temos 2 eventos simples:
E1= {k} E2 = {c}
Evento Composto: É aquele formado por dois ou mais elementos do espaço o amostral.
No lançamento de um dado podemos considerar, entre outros, os seguintes eventos:
E1 = {2, 4} E2 = {1, 3, 5} E3 = {2, 4, 6, 5}
Evento certo: É aquele que ocorre sempre, isto é, em todas as realizações da experiência. O evento representado pelo próprio conjunto que define o espaço amostral.
E = Lançamento de um dado
S = {1,2,3,4,5,6}
A = sair qualquer das faces de 1 a 6 no lançamento de um dado
A = S P(A) = 1
Evento impossível: São os eventos que não possuem elementos no espaço amostral, ou seja, nunca ocorrem.
A = Ocorrer o número 7 na face de um dado.Este evento é impossível pois o número 7 não figura no
espaço amostral dos números possíveis na face de um dado, logo evento A = e P() = 0.
A probabilidade de ocorrer um evento impossível é semprenula, mas, sendo a probabilidade de ocorrer um evento igual
a zero, nem sempre o evento será impossível
Evento soma (ou união): É o evento que consiste na realização de pelo menos um dos eventos.
E1 e E2 (E1 + E2) = (E1 E2)
Retirada uma carta de um baralho, quer-se que ocorra uma carta de ouro ou uma carta de Ás. O evento soma é um evento composto, e se constitui de elementos comuns aos dois eventos e de elementos não comuns a ambos.
Evento Produto (ou intersecção): É o evento que consiste na realização de ambos (um e outro) os eventos E1 e E2, isto é, eles devem ocorrer simultaneamente .
(E1 . E2) = (E1 E2)
Na retirada de uma carta de um baralho, quer-se que ocorra uma carta Ás de ouro.
Evento condicionado: É o evento que consiste na realização do evento E1 sob a condições de ter-se realizado o evento E2, isto é, com a informação adicional de que o evento E2 já ocorreu (E1/E2). São aqueles em que o acontecimento de um estácondicionado ao acontecimento de outro (acontece um se o outro já aconteceu).
Retirar um Ás de um baralho completo e um REI sem reposição. Neste caso não poderei retirar a carta REI se jáhouve retirado do baralho a carta de ÁS.
Evento mutuamente exclusivos: Dois eventos E1 e E2 são mutuamente exclusivos, se eles não puderem ocorrer simultaneamente (é um ou o outro), ou seja a ocorrência de um exclui a ocorrência do outro.
E1 E2 = ; logo P(E1 E2) = 0
E = jogar um dado e observar o resultado
S = {1,2,3,4,5,6}
Eventos:
A = Ocorrer o número par
B = Ocorrer o número ímpar
A = {2,4,6} e B = {1,3,5} logo A B =
Evento complementar: São os eventos que se completam em relação ao espaço amostral. O evento complementar A, associado a uma experiência aleatória e denotado por , só ocorre se A deixar de ocorrer, isto é, é o evento formado por todos os elementos do espaço amostral que não pertencem a A.
A e ( é o complementar, lê-se não A)
A = S P(A) = P(S) = 1
Seja S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
A = números maiores ou igual a 4
= números menores que 4
A = {4,5,6,7} e = {1,2,3} A = S P(S) = 1
A
A
A
A
Evento independente: São aqueles que podem ocorrer ao mesmo
tempo, acontece um e acontece o outro simultaneamente (um e
o outro), a ocorrência de um não depende da ocorrência do
outro
P(E1/E2) = P(E1) e P(E1/E2) = P(E2)
logo E1 E2 ; P(E1E2) = P(E1) . P(E2)
Supomos que duas pessoas atiram numa caça; os eventos que
consistem em que cada uma das pessoas acerte são
independentes, pois o fato da primeira pessoa acertar em nada
influencia no fato da outra também acertar.
representa a soma, sendo representado pelo sinal +, ou pela palavra “ou”
representa a multiplicação, sendo representado pelo sinal “x”, ou pela palavra “e”
A B é o evento que ocorre se A ocorrer ou B ocorrer ou ambos ocorrerem
A B É evento que ocorre se A e B ocorrerem; É evento que ocorre se A não ocorrer
Nn Fornece o número total de eventos do SN é o número de casos favoráveisn é o número de elementos
A
Conceitos e definições de probabilidade
A probabilidade raciocina da população (supostamente conhecida) para a amostra (desconhecida), enquanto que
a estatística atua de modo inverso
Quando as condições físicas (ambientais, trajetórias, emoções) não são possíveis de serem mantidas teremos um
experimento aleatório.
Espaços amostrais equiprovávies
A probabilidade que ocorra um evento é igual ao quociente de um numero favorável de casos sobre o numero total de casos possíveis do experimento, desde que as chances de ocorrência de cada elemento do espaço amostral sejam iguais.
Definição Freqüêncial
Definição Clássica
Definição Axiomática
O enfoque dado ao estudo das probabilidades depende da área em que ele será aplicado. O estatístico puro prefere tratar o assunto a partir do ponto de vista axiomático, no qual algumas demonstrações são aceitas sem demonstração.
Seja E um experimento e S um espaço amostral associado a E. A cada evento A associamos um número real representado por P(A) e denominado probabilidade de A, que satisfaça aos seguintes axiomas:
A probabilidade P(E) é freqüentemente enunciado por:
sendo válida para os espaços amostrais finitos, seguindoos axiomas A1, A2, A3.
possíveiscasosdenúmero
Edefavoráveiscasosdenúmero)E(P
Axiomas
A1) 0 P(E) 1
A2) P(S) = 1
A3) P (E1 E2) = P(E1) + P(E2);
Se E1 e E2 forem eventos mutuamente excludentes
(A B = )
P(E) = P(E1) + P(E2) +...+ P(En);
Se E1, E2 ,..., En, forem dois a dois eventos mutuamenteexcludentes
Exemplos
Um dado é lançado e todos os eventos se supõem igualmente prováveis. O evento A ocorre se, e somente se, um número maior do que 4 apareça.
Escolhendo-se uma carta ao acaso de um baralho de 52 cartas, qual a probabilidade de correr:
a) um Às ou um Rei.
b) Ouros ou Espadas.
c) carta vermelha ou preta
Alguns teoremas fundamentais
T. 1) Se é conjunto vazio, então P() = 0.
T. 2) Se é o complemento do evento A, P(A) = 1 - P( ).
T. 3)Se A B, então P(A) P(B).
T.4) Se A e B são dois eventos quaisquer, então:
P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B)
A
De 15 fichas numeradas. Retirando-se uma ficha ao acaso, qual a probabilidade de que seu número seja múltiplo de 2 ou 3.
Se A, B, C, forem eventos quaisquer então:P(A B C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A B) - P(A C) - P(B C) + P(A B C)
Se A e B forem eventos independentes, teremos que:P(A B) = P(A) . P(B)
Retiradas com reposição
Retira-se o primeiro elemento examina-se, recoloca-se na urna, retira-se o segundo elemento examina-se
e recoloca-se na urna e assim sucessivamente, desta maneirao numero de elementos do espaço amostral será
conservado.
Retiradas sem reposição
Retira-se um elemento após o outro ou juntamenteda urna sem que este retorne a urna, ficando o
espaço amostral reduzido do numero de elementossubtraídos dele.
Probabilidade condicional e independência de eventos
Dados dois eventos A e B, denotaremos P(A/B) a probabilidade condicionada do evento A, quando B tiver ocorrido, esta definição pode ser entendida a partir do seguinte diagrama:
A partir da definição de probabilidade condicional, obtemos a chamada regra do produto de probabilidades de larga utilização
P(A B) = P(B) . P(A/B)
0)(;)(
)()/
BP
BP
BAPBPA
Dois eventos A e B são denominados independentes, se a ocorrência de um deles não interfere na ocorrência do outro. Neste caso:
P(A B) = P(B) . P(A/ B) = P(A) . P(B/A) = P(A) . P(B)
É freqüente, aqui, adotar-mos P(A B) = P(AB)
Se El, E2, ... En, são eventos de um espaço amostral S,então tais eventos são mutuamente independentes se:
P(E1 E2, E3 ... En) = P(E1 ) . P(E2 ) . P(E3 ) . … P(En )
Teorema de Bayes
Sejam os eventos B1, B2 , B3 , ,Bn eventos mutuamente exclusivos dos quais conhecemos as probabilidades P(Bi) e sendo A um evento para o qual também conhecemos todas as probabilidades P(A/Bi). então teremos:
n
iii
iii
BAPBP
BAPBPA
BP
1
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