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PROBLEMAS DE ESTADO DE EQUILÍBRIO LIMITE NOS SOLOS:
SEU ESTUDO E SUA PROGRAMAÇÃO.
MARCIO MIRANDA SOARES
TESE SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DA COORDENAÇÃO DOS PROGRAMAS
DE PÔS-GRADUAÇÃO DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO
RIO DE JA~EIRO, COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÃRIOS PARA A
OBTENÇÃO DO GRAU "MESTRE EM CifNCIA" (M.Sc.).
APROVADA POR:
Presidente
RIO DE JANEIRO
ESTADO DA GUANABARA - BRASIL
NOVEMBRO DE 1971
PROBLEMAS DO ESTADO DE EQUILfBRIO
LIMITE NOS SOLOS: SEU ESTUDO E SUA
PROGRAMAÇÃO
Márcio Miranda Soares
Agosto 1972 N9 1. 72
i.
; .. 1
A meus pais
A minha noiva
ii.
AGRADECIMENTOS
Ao Professor DIRCEU DE ALENCAR VELLOSO, profissiS!_
nal brilhante, pela contribuição valiosa na orientação dêste
trabalho.
Ao Professor JACQUES DE MEDINA, digno responsável
pela área de Mecânica dos Solos na COPPE, pelo seu estímulo
e dedicação.
Ao Diretor, Professor ALBERTO LUIZ COIMBRA e ao Co
ordenador do Programa de Engenharia Civil Professor FERNANDO
LUIZ LÕBO B. CARNEIRO e a todos os Professôres da COPPE, os
meus sinceros reconhecimentos, pela responsabilidade com a
qual incentivam os estudos de Pós-Graduação.
à CAPES, pelo apôio financeiro prestado.
A todos os colegas e .funcionários da COPPE que, di
reta ou indiretamente, contribuiram para o êxito dêste tra
balho.
iii.
S U M Ã R I O
O trabalho apresenta inicialmente uma discussão da
aplicabilidade, aos solos, da Teoria da Plasticidade baseada
no critério de ruptura de Mohr-Coulomb.
Examina em seguida, o problema do equilíbrio limite
dos meios granulares, à luz da teoria de Sokolovskii, tratan
do, em especial, da determinação da capacidade de carga.
Apresenta um programa automático, em linguagem FOR
TRAN para cálculo da distribuição de pressões no maciço em
estado de equilíbrio limite. tsse programa é aplicado a
determinação da capacidade de carga e ao estudo da estabili
dade de taludes.
iv.
ABSTRACT
A discussion on the applicability to soils of the
theory of plasticity based on the Mohr-Coulomb failure
criterium.
Follows the study of the limit equilibrium for
granular media, according to Sokolovskii's theory, specially
the bearing capacity problem.
Finally a computer program in FORTRAN LANGUAGE to
calculate the stress distribution at limit equilibrium of the
soil mass. This program is applied to bearing capacity and
to slope stability studies.
v.
Í N D I C E
Capítulos Páginas
I DISTRIBUIÇÃO DE TENSÕES NOS SOLOS
1.1 - INTRODUÇÃO . . . . . • • • • • . • . • • • • • • • • . . . . • 1
1.2 - DISTRIBUIÇÃO DE TENSÕES DE ACÔRDO COM
A TEORIA DA ELASTICIDADE............ 2
1.3 - DISTRIBUIÇÃO DE TENSÕES NO ESTADO DE
EQUILfBRIO LIMITE••••••••••••••••••• 3
1.3.1 - Generalidades............... 3
1.3.2 - Critérios de Ruptura........ 4
1.3.3 - Critério de Mohr-Coulomb .•.. 12
II EQUILÍBRIO LIMITE DOS MEIOS GRANULARES
2.1 - CONDIÇÕES LIMITES................... 28
2.1.1 - Generalidades............... 28
2.1.2 - Condições de Equilíbrio Limi
te . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 O
2.2 - EQUILfBRIO LIMITE A DUAS DIMENSÕES.. 35
2.2.1 - Generalidades .••••.......... 35
2.2.2 - Equações do Equilíbrio a Duas
Dimensões . • • • . . • . • • . . . . • • • • . 39
2.3 - TEORIA DE SOKOLOVSKII
2.3.1 - Generalidades
2. 3. 2. - Equações Básicas e Desenvol v.!_
41
41
menta • . • • . . . • • • . . • . • • • • . . . • • 44
Capítulos
III
vi.
Páginas
2.3.3 - Determinação das Variáveis na
Fronteira................... 56
2.3.4 - Determinação das Variáveis no
Maciço . . . . • . . . • . • • • • • • • • • • • • 6 2
2.3.5 - Problema de Capacidade de Ca~
ga • . . . • • . • • . . . . • • • • . • . . . • . . . 6 8
2.3.6 - Outros Problemas............ 81
PROGRAMA AUTOMÁTICO EM LINGUAGEM FORTRAN,
PARA CALCULAR A DISTRIBUIÇÃO DE PRESSÕES
COM BASE NA TEORIA DE SOKOLOVSKII
3.1 - DESCRIÇÃO GERAL ..................... 90
3.2 - LISTA DAS PRINCIPAIS VARIÁVEIS QUE
SÃO UTILIZADAS • . . . . . • • • . . . • • . . . • • . • • 91
3.3 - ENTRADA DOS DADOS••••••••••••••••••• 93
3.4 - CÁLCULO DAS VARIÁVEIS NAS FRONTEIRAS
A.101 e 0102 ••••. .•••••••••••• ••••••• 95
3.5 - CÁLCULO DAS VARIÁVEIS NO INTERIOR DO
MACIÇO . • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • . . • • • • • • . 97
3.6 - CÁLCULO DAS VARIÁVEIS NA FRONTEIRA EX
TERNA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7 - SAÍDA DOS RESULTADOS
3.8 - LISTAGEM DO PROGRAMA
98
98
100
vii.
Capítulos Páginas
IV EXEMPLOS DOS DIVERSOS PROBLEMAS PRÁTICOS
E CONSIDERAÇÕES SÕBRE OS RESULTADOS
V
4.1 - CAPACIDADE DE CARGA................. 109
4.1.1 - Generalidades............... 109
4 .1. 2 - Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
4.1.3 - Comparação Entre Valores Obt!
dos e Valores Experimentais. 119
4.2 - ESTABILIDADE DE TALUDES............. 124
CONCLUSÕES GERAIS E LIMITAÇÕES 126
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS......................... 128
1.
CAPITULO 1
DISTRIBUIÇÃO DE TENSÕES NOS SOLOS
1,1 - INTRODUÇÃO
Nêste capítulo introduziremos as bases físicas e ma
temáticas do nosso trabalho, apresentando as pesquisas já
feitas sôbre o assunto e que permitem justificar a aplic~
ção aos solos da teoria desenvolvida, desde que os
tros intervenientes sejam criteriosamente escolhidos.
param~
Antes de mais nada é preciso ressaltar que os solos
nao são contínuos, mas sim agregados de partículas sólidas
separadas por vazios cheios de água e ar. Seu comportame!!_
to macroscópico aquêle que nos interessa depende da
natureza dos contatos entre as partículas, e das deforma
ções e movimentos que dêles decorrem. Por outro lado, na
maioria dos casos, os solos sao materiais heterogêneos, com
as propriedades características variando de ponto para po!!_
to ou segundo a direção que se considera (anisotropia).
Constitue um importante capítulo da Mecânica dos So
los o estudo da distribuição de tensões e deformações nos
2.
maciços terrosos submetidos às mais diversas condições de
carregamento. Para êsse estudo impõe-se a criação de um
modêlo ao qual se possa dar um tratamento matemático que
conduza a resultados, de aplicação relativamente simples
aos casos da prática e que traduza a realidade dentro da
aproximação desejável. Nessa linha de pensamento,
atribuído aos solos dois modêlos distintos, cada um
tem-se
aplic~
vela determinada classe de problemas: o modêlo elástico e
o modêlo plástico. O trabalho que estamos apresentando es
tá relacionado fundamentalmente a êsse segundo modêlo. Fa
remos, no entanto, urna breve apreciação sôbre a aplicação
dos resultados da Teoria da Elasticidade aos solos.
1.2 - DISTRIBUIÇÃO DE TENSÕES DE ACÔRDO COM A TEORIA
ELASTICIDADE.
DA
Pretendemos, apenas, nêste ítem, apresentar alguns
comentários à aplicação da Teoria da Elasticidade aos pr~
blemas de tensões e deformações nos solos.
Sabe-se, por exemplo, que a distribuição de tensões
e deformações verticais calculada pela referida Teoria for
nece resultados satisfatórios quanto às necessidades da pr~
tica, o mesmo não acontecendo com a distribuição das ten
3.
soes horizontais. (KO e SCOTT) 23,
Por outro lado, na teoria elástica convencional, é
admitido que apenas as tensões normais contribuem para a de
formação volumétrica de um elemento, não tendo qualquer e
feito sôbre essa deformação as tensões cisalhantes octaédri
cas. Entretanto, mostra a experiência que um dos fatores
mais significativos do comportamento dos solos é sua varia
ção de volume no processo de cisalhamento: dilatáncia. A
dilatância de um solo afeta não só a tensão necessária a
ruptura no estado sêco, como também tem uma influência ex
tremamente importante no estado de tensões desenvolvido no
solo quando saturado (SCOTT, 1963) 2'.
1.3 - DISTRIBUIÇÃO DE TENSÕES NO ESTADO DE EQUILIBRIO LI
MITE.
1.3.1 - Generalidades.
A determinação da distribuição de tensões em um
tínuo é um problema hiperestático. Com efeito, as
ções de equilíbrio da estática aplicadas a um elemento
volume fornece um número de equações sempre menor que o
con
equ~
de
nú
mero de incógnitas. Assim, por exemplo, nos problemas de
4.
elasticidade plana, temos duas equaçoes:
dCJ dT X'+~= X (1.1)
ax ay
a-rx:y + ~ = Y (1. 2) ax ay
e três incógnitas
Na Teoria da Elasticidade, a indeterminação é le
vantada pela introdução da lei de Hooke, enquanto que na Te
cria da Plasticidade, impondo-se que as componentes das te~
soes satisfaçam a uma dada condição de escoamento ou rupt~
ra.
1.3.2 - Critérios de Ruptura
IQ - Teo~ia da Máxima Ten~ão.
A mais antiga teoria de ruptura, conhecida como
Teoria de Rankine postula que a tensão principal máxima no
material determina a ruptura sem considerar as grandezas e
5.
sentidos das outras duas tensões principais. O escoamento
começa quando o valor absoluto da tensão máxima atinge a
tensão de escoamento do material na tração ou compressao,
simples(o ).A representação desta teoria, no espaço das ten eóC. .·
soes principais é um cubo como mostra a Figura 1.3.1.
+º ' l
o -- 3
tº1 'o 1 e<1c
1 ' 1
-o . 1 o e.1.c. _____________ ,
! 0 e<1c
1
1
FIGURA 1.3.1.
Essa teoria nao explica o fato de os corpos, em g~
ral, suportarem estados hidrostáticos de tensões extremame~
te elevadas, sem entrarem em ruptura ou escoamento.
Para os solos esta teoria nao se aplica, pois que,
um solo homogêneo quando submetido a um ensaio de compre~
são simples, apresenta ruptura em planos inclinados nos
6.
quais nem a tensão de compressao e nem a tensão de tração é
um máximo. Esta teoria tem algum mérito quando se conside
ra a resistência de materiais anisotrópicos ou para expl!
cara clivagem dos cristais, mas, exceto para casos como ês
tes, não encontra mais aplicação.
2Q - Teo4la da Ve6o4maçio Mixlma.
A teoria da deformação máxima, atribuída a Saint
-Venant, supõe que um material começa a escoar quando qua!
quer deformação fôr igual à deformação no escoamento na tra
ção ou compressão simples. No espaço das tensões princ!
pais, a superfície de escoamento, correspondente a esta teo
ria, consiste de duas pirâmides triangulares retas, com ba
ses coincidentes e tendo triângulos equiláteros como sec
ções normais ao eixo hidrostático. A Figura 1.3.2 é a re
presentação desta teoria em um plano de duas tensões princ!
pais.
Esta teoria nao tem muita aplicação na prática e
por ela também existem estados hidrostáticos de tensão que
provocam escoamento.
7.
o ' e<1e 1 ;
1 ' 1 ------·---·-
' ' o =-o +µo
3 e<1 e 1 o 3 = o e<1 e+ µoi
µ = coeficiente de Poisson
FIGURA 1. 3. 2
3Q - Teo~~a da Ene~g~a de VeOo~mação Mâx~ma.
Por esta teoria ocorrerá escoamento quando a ener
gia total de deformação por unidade de volume fôr igual a
energia total de deformação por unidade de volume no escoa
mente na tração ou compressão simples.
A representação dêste critêrio para o estado plano
é uma elipse no plano das tensões principais, como mostra a
Figura 1.3.3. Pode ser notado que pode ocorrer escoamento
para um estado hidrostático de tensões elevadas.
oria é atribuída a Beltrami.
Esta te
8 •
. ---.a 3
o 2 +1P-2µo o =o 2
1 3 1 3 ea e
µ~coeficiente de Poisson
FIGURA 1. 3. 3
49 - Teo~la da Tenaio Claalhante Mixlma . . :-::.
A teoria da tensão cisalhante máxima nos diz que o
escoamento começa quando a tensão cisalhante máxima no mate
rial atinge a tensão cisalhante máxima, no ponto de
mento, na compressão ou na tração, simples. Esta
escoa
teoria
foi desenvolvida por Tresca no período de 1865 a 1870, d'on
de ser conhecida por Teoria ou Critério de Tresca. A re
presentação dêste critério no espaço das tensões principais
é um prisma hexagonal regular cujo eixo coincide com o eixo
hidrostático das tensões e as secções perpendiculares ao ei
xo hidrostático são hexágon'os regulares. A Figura
mostra a secçao do prisma em um plano de tensões
pais.
1. 3. 4
princi-
9.
1 '
cr3 = - cre.t,c.+cr1 ! 1 ;
1 r
·--------+---- ---·
cr = -cr +cr 1 e.ó e. 3
FIGURA 1. 3. 4
A condição de ruptura, na sua forma mais geral, P2.
de ser expressa pelas seis equações:
cr 1
cr 3
= ± o e.ó e. ' cr i - cr z = ± cr e.ó e. ' cr z cr 3
= ±
(1. 3)
nas quais cre.óc. é o valor absoluto da tensão de escoamento
na tração ou compressão simples e cr, cr e cr sao as trés 1 2 3
tensões principais. Pode-se verificar que os planos onde
ocorre o início do escoamento são inclinados de 45º com rela
çao às direções das tensões principais, isto é, coincidentes
com a direção da tensão cisalhante máxima.
10.
5g - Teo4ia da Ene4gia de Vi~to4ção Máxima.
Esta teoria é também conhecida como a teoria da ten
sao octaédrica máxima e é atribuída a Huber, Hencky e Von
Mises.
O início do escoamento se dá quando a ener·gia de
distorção atinge a energia de distorção no início do escoa
mente na tração ou compressao simples.
As tensões de escoamento na tração e compressao sim
ples sao supostas iguais, como acontece, também, no critério
de Tresca.
O critério de Von Mises, então, estabelece que o es
coamento se dará quando a equação:
fôr satisfeita.
das anteriormente.
(1. 4)
As variáveis usadas sao as mesmas defini
A superfície de escoamento definida p~
la equação (4) é um cilindro circular reto cujo eixo coinci
de com o eixo hidrostático (cr = cr = cr ). Mostramos na Fi l 2 3
gura 1.3.5, a re~resentação em um plano de tensões
pais (a = 0), que é uma elipse. 2
ºlt 1
1
1
FIGURA 1.3.5
11.
princ.!_
Na Figura 1.3.6 mostramos a representação dos crité
rios anteriores em um plano de tensões principais (cr = O). 2
J
e B -·,: -#~,
I ----- /,// í __,,,.,. .-. / ,, / 1 .,. .
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I/~~----·-· K - -~ I E
L.-----· f G
FIGURA 1.3.6
12.
= TEORIA VA TENSÃO MÁXIMA ACEGA
HIJKH -.-.-.-.-.-.- = TEORIA VA VEFORMAÇÃO MÁXIMA
ABVEFNA (Jte.to) - •• - •• - •• = CRITtRIO VE TRESCA
LBVMFNL = CRITtRIO VE BELTRAMI
ABVEFNA (~uJtvo) ----------- = CRITtRIO VE VON MISES.
1.3.3 - Critério de Mohr-Coulomb.
Pela importância que o critério de Mohr-Coulomb tem
no nosso trabalho, discutí-lo-emos pormenorizadamente.
A teoria de Mohr-estabelece uma relação funcional
entre a tensão normal (crn) e a tensão cisalhante (Tl no pl~
no de ruptura, isto é,
(1. 5)
Esta equaçao (1.5), representada no plano T-cr, é
mostrada na Figura 1.3.7.
13.
T
FIGURA 1. 3. 7
Desde que uma mudança no sinal de T, simplesmente inverte o
sentido da ruptura, a curva é necessàriamente simétrica com
relação ao eixo
tória de ruptura
cr • n
de
A curva assim obtida, denominada envo!
Mohr, representa o lugar geométrico de
todos os pontos que correspondem a estados de ruptura. Essa
envoltória reflete uma propriedade do material que é indepe~
dente das tensões .. impostas e por isto é própria para ser usa
da no estudo da resistência ao cisalhamento de solos.
As envoltórias de ruptura de Mohr sao, em geral,
curvas contudo, para solos, a curvatura não é usualmente
grande e nao se erra muito em considerá-la uma reta num in
tervalo limitado de pressões. A equação da reta no plano
14.
a - ~ que se aproxima da envoltória de Mohr e a equaçao de n
Coulomb
Os parâmetros C e~, na equaçao (1.6),
a coesao e o ângulo de atrito interno do solo.
(1. 6)
representam
Estes pai!.ª-
me:tll.o.6 de 11.e.1i,i.6:tê.nc.-<.a ao C.-<..6alhamen:to têm sido o objeto de
muitas pesquisas e estâ, agora, bem claro, que êles nao sao
constantes do. material, mas variam com o índice de vazios,
umidade, tipo de ensaio e o método de investigação dos resu!
tados. As razões fundamentais para sua variação estão rel~
cionadas com a estrutura e textura do solo, história das te~
sões, contato entre as partículas e forças de superfície.
A hipótese de Mohr estabelece que a ruptura depende
das tensões nos planos de deslizamento e ocorrerá quando a
obliquidade da tensão resultante atinge um valor máximo.
A representação de Mohr das tensões atuando em um
ponto é mostrada na Figura 1.3.8 juntamente com a envoltória
de Coulomb. Nós denominamos de c.1t-<.:té11.io de Moh1t-Coulomb o
uso da equação de Coulomb para representar a envoltória de
Mohr.
T
y 1
• •
FIGURA 1.3.8
Em têrmos das tensões principais
critério de Mohr-Coulomb ê escrito:
15.
À
1
a > a > a , o 1 2 3
(1.7)
Notamos que a tensão principal intermediária (a), pode ter 2
qualquer valor não influindo na condição de escoamento ex.
pressa acima.
16.
·A teoria de Mohr-Coulomb expressa na sua forma mais
geral, isto é, para uma variação independente das
principais, toma a forma da equação:
{ ( (J - (J j2 - [2.C.c.0<1<1> + ( (J + CJ 2 ) • <I en<j>] 2 } 1 2 1
'. { ( (J - (J ) 2 - [2.C.c.0<1<1> + '(J + cr3) .<1e11<1>]2 } 1 3 1
. { (o - o )2 - [2.C.c.0<1<1> + ( (J + (J ) <1e11<1>] 2
} 2 3 2 3
tensões
= o.
(1. 8)
A superfície de ruptura definida pela equaçao (1.8),
no espaço das tensões principais, é uma pirâmide hexagonal
reta tendo como eixo o eixo hidrostático. As secções nor
mais ao eixo hidrostático são hexágonos irregulares com la
dos iguais (Figura 1.3.9). Para referéncia o circulo ·e o
hexágono regular descritos pelo critério de Mises e Tresca
sao também representados. Os trés critérios sao coinciden
tes para ensaios de compressão (Ponto A), mas a resistência
no ensaio de extensão (CJ =cr >cr Ponto B) é menor para o cri 1 2 3
tério de Mohr-Coulomb.
.,,,---....,_ Mises
-·-·-·- Tresca
Mohr-Coulomb (J 3
FIGURA 1.3.9
17 •
A Figura 1.3.10 mostra a secçao da pirâmide hexag~
nal, com"vértice no ponto o =a =a - C co~ ~ pelo 1 2 3 • g 't''
plano
a =O. 2
18.
FIGURA 1. 3 .10
B Apl~~ab~l~dade.
19 - EM SOLOS NÃO COESIVOS.
Um grande número de pesquisadores, procurou verifi
cara validade da aplicação dos vários critérios através de
ensaios sofisticados. As seguintes observações experime!:!_
tais são, agora, firmemente estabelecidas como comportamento
típico (BARDEN 1 e KHAYATT, 1966)~
1) As resistências à compressao e a extensão triaxial sao
iguais para igual porosidade na ruptura.
19.
2) A resistência na deformação plana é maior do que a resis
tência triaxial para areias compactas, e são bastante
próximas para areias fÔfas.
3) A envoltória da resistência ao cisalhamento é curva, da~
do valores do ângulo de atrito que decrescem com o aumen
to da tensão principal média.
Para os solos nao coesivos está estabelecido que a
superfície de ruptura no espaço das tensões principais, de
pende linearmente da tensão principal média em intervalos
normais de pressão. (BISHOP 2 , 1966). ·Para pressoes muito
baixas e muito altas, a superfície de ruptura torna-se con
cava em relação ao eixo hidrostático (de BEER 8 , 1965; BI
SHOP 2 , 1966; VESIC 33 e CLOUGH, 1968). Assim sendo, o an
gulo de atrito efetivo, em pressoes baixas é consideràvelmen
te maior que os valores usados pela teoria de Mohr-Coulomb.
O ângulo de atrito de uma areia a altas pressões é menor que
o obtido em pressões normais; isto é atribuído ao esmagame~
to dos grãos, o que elimina o efeito do índice de vazios ini
cial do material, de acôrdo com Vesic e Clough.
Com os modernos equipamentos que permitem uma varia
çao independente das três tensões principais, foram realiza
dos ensaios com solos não coesivos a fim de verificar a vali
20.
dade do critério de Mohr-Coulomb. Os resultados de todos
os ensaios não estão de pleno acôrdo, mas, na maioria dêles,
os resultados estão bem próximos daqueles previstos pelo cri
tério de Moh-Coulomb.
sultados e conclusões.
Para exemplificar daremos alguns re
Os valores observados por CORNFORTH6 (1961), com a
mostras de "Brasted Sand", em diversas porosidades e os val9.
res previstos por alguns dos critérios estão representados
na Figura 1.3.11 para areias fôfas e na Figura 1.3.12 para
as areias compactas. Verifica-se que os resultados estão
em pleno acôrdo com os previstos pelo critério de Mohr-Cou
lomb e sõmente·no ensaio de deformação plana e para areias
compactas o valor observado se aproxima mais do critério de
Tresca ..
~ o 1
, l - Ensaio de 6 O
l--- / ,j ~ ,~S- -. .... s o
~ 1~ ~ )
compressao.
2 - Ensaio de de 40
/ -~ cou LOM l , 3
formação pl~ 3 O na.
2 o 3 - Ensaio de ex
1.0
:E) V LO ES OB'. ER~ ~vo; tensão.
()" ' - ()" ' 2 3
0.1 0.2 0-3 0-4 0,5 0-6 0.1 o.a 0.9 1.0 ()" ' - ()" ' 1 3
FIGURA 1.3.11 - Valores previstos e observados em três
ensaios Areia fôfa.
21.
4i 1
9 0
J J 80 / . v
'<,?/ - Ensaio de 70 [7 " / . e compressao .
. "'<, / ,y V ~
2 - Ensaio de de 6 0
5 0
i . ..,,., _... ~ co LO B
formação pl~ 3 na.
30 3 - Ensaio de
tensão. 20
1 0 (!) 1 ALO RES OB ER ÁV s cr' - CJ 1
2 3
0.1 0,2 0.3 0., 0.5 0.6 0,7 0,8 0.9 1.0 CJ 1 - CJ 1 l 3
FIGURA 1.3.12 - Valores previstos e observados em três
ensaios Areia compacta.
W,M. KIRCKPATRICK (1954) obteve o título de Ph.D.
na u.niversidade de Glasgow com a tese: "O comportamento das
areias submetidas a sistemas de tensões especiais". Os re
sultados desta sua pesquisa com areias e em equipamento deno
minado cilindro ôco de paredes espessas, mostram que a teo
ria de Mohr-Coulornb é bastante significativa na previsão da
ruptura em areias sob condições de completa drenagem e que
para um sistema de tensão onde
subestima a resistência.
cr = (cr + cr ) /2 2 l 3
a teoria
Na Figura 1.3.13 os valores experimentais e os pr~
ex
22.
vistos pela teoria de Mohr-Coulomb sao representados, inclu
sive com a superfície proposta pelo pesquisador.
1 , , I
1/
/ /
/ /
/
,, / ,,
FIGURA 1.3.13
RESULTADOS DE KIRCKPATRICK
ª1
--
' '
--
' '
--
' ' ' ' '
. ..,,,..--
1 1 1
1.
1
-,,,.--:-
VALORES EXPERIMENTAIS MOHR-COULOMB SUPERF!CIE EXPERIMENTAL
As divergências na escolha da superfície de ruptura
no plano hidrostático (cr + a + a = eon~t.), no espaço das. 1 2 3
tensões efetivas, são mostradas na Figura 1.3.14.
1 1 1
' :
:;1 ' I ,., t ,1 ,.
FIGURA 1.3.14
..... ..... '
G
23.
ª3
Curva a:-··-··Curva b:---
•• A curva a passa pelos pontos E e F do diagr,ama de
Mohr-Coulomb que são respectivamente estados de compressão e
extensão axial e corresponde as opiniões de Barden e Khayatt,
e Kirkpatrick.
A curva b representa um maior ângulo de atrito na
24.
extensão. do que na compressao. e passa pelo ponto H, como mos
tra a figura. Esta curva b está de acôrdo com os resulta
dos de LOMIZE 18 e KRYZHANOVSKY (1967), e KO e SCOTT 23
Os resultados de GREEN 12 e BISHOP pertencem a uma
curva compreendida entre a e b representadas.
Todos os pesquisadores estão de acôrdo que o ponto
G na superfície de Von Mises e de Tresca, representa um esta
do de tensão impossível para os solos e que, além do mais,·
os critérios de ruptura de Von Mises e de Tresca sao inacei
tãveis para solos em estados gerais de tensão.
GEUZE 1 0 (1961) também admite a validade do critério
de Mohr-Coulomb para materiais arenosos medianamente com
pactos a compactos. Sua conclusão foi baseada no fato de
que os materiais granulares sõmente manifestam a propriedade
física do atrito interno do material (ângulo de atrito inter
no) no processo de cisalhamento_.
29 - EM SOLOS COESIVOS.
A determinação da superfície de ruptura para os so
los coesivos não tem sido o objeto de muitas pesquisas devi
25.
do à grande heterogeneidade dêstes solos.
SHIBATA e K,\RUBE 24 (1965) executaram uma série de
ensaios triaxiais C.U. e ensaios com variação da tensão pri~
cipal intermediária em argilas normalmente adensadas. ~les
estudaram as deformações, as poro-pressoes e a ruptura em vá
rios estados de tensão.
foram os seguintes:
Os principais resultados
1) A forma da curva tensão-deformação é influenciada
obtidos
pelo
valor relativo da tensão principal intermediária, e a de
formação axial, para o máximo (cr - cr) decresce com va 1 3
1
lores crescentes de (cr - cr ). 2 3
2) A variação da pressao neutra decorrente da variação das
tensões principais pode ser adequadamente expressa como
uma função de ªm' 6cr e T :t' onde cr é a tensão princ_i m oc. m
pal média e Toc.:t é a tensão cisalhante octaédrica.
3) Os valores do ângulo de atrito interno efetivo sao i
guais em ensaios de extensão e compressão mas valores li
geiramente superiores são encontrados em estados interme
diários de pressoes.
4) A superfície de ruptura de Mohr-Coulomb representa os li
26.
mites inferiores da resistência ao cisalhamento e a su
perfície de ruptura obtida para as argilas normalmente,
adensadas é uma lin,.ha. curva no plano octaêdrico que
circunscreve o hexágono de Mohr-Coulomb (curva a Figura
1.3.14).
Em ensaios similares, YONG e McKYES 34 (1967) obti
veram resultados que estão de pleno acôrdo com os obtidos
por Shibata e Karube e também propuseram a mesma curva a, ci
tada acima, para definir o escoamento nas argilas por êles
ensaiadas.
Contràriamente as idéias dos pesquisadores citados,
GEUZE 1 º (1961) invalida a aplicação dêsse critério aos solos
coesivos, face à natureza dos contatos entre as partículas e
os efeitos da pressão no fluido intersticial.
Pelo que acabamos de expor e pelo sucesso que o em
prego do critério de Mohr-Coulomb tem conduzido na resolução
de inúmeros problemas da Mecânica dos Solos, cremos poder
afirmar que êle constitui um modo plenamente satisfatório de
27.
encarar o problema de ruptura dos solos. Além disso, sua
aplicação é relativamente bem simples, já que a resistência
do solo fica definida pelo conhecimento de apenas dois par~
metros. Não há dúvida de que êsses parâmetros devem ser
escolhidos com bastante critério considerando, principalme~
te, o intervalo de pressões no qual se irâ trabalhar, pois a
reta de Coulomb não exprime com exatidão a resisténcia ao ci
salhamento do solo em todos estados físicos e em todos esta
dos de tensão.
Acresce que tanto para os solos coesivos como para
os solos nao coesivos, a resistência prevista pela teoria de
Mohr-Coulomb subestima a resistência disponível do solo, se~
do para nós um fator de segurança adicional, a utilização
dos valores previstos por essa teoria.
28.
CAP!TULO 2
EQUILfBRIO LIMITE DOS MEIOS GRANULARES
2.1 CONDIÇÕES LIMITES
2.1.1 Generalidades.
Tendo em vista a exposição feita no Capítulo 1 será
admitido que o critério de Mohr-Coulomb explique satisfarõ
riamente os fenômenos de ruptura dos solos.
Isto posto, recordemos algumas consequências do cri
tério de Mohr-Coulomb expresso pela relação
T = (2.1)
onde:
T = tensão cisalhante atuante no plano de ruptura
ªn = tensão normal nêste mesmo plano
C ~. parâmetros que definem a resistência ao cisalhamen
to do solo.
29.
Um ponto no interior do solo permanecerá em equilf
brio se as relações
, ~e+ a .t ~ / n g
forem válidas em qualquer faceta passando por êste
Introduzindo o coeficiente
podemos reescrever as relações acima na forma
a > - H n "
Dizemos que um ponto está no e~tado de
limite quando a desigualdade
(2. 2)
(2. 3)
ponto.
(2. 4)
(2. 2a)
( 2 • 3a)
equillbtt.io
(2. 5)
30.
se verifica em todos os elementos de area, passando pelo po~
to, exceto em algum elemento de área onde a igualdade
( 2. 6 l
é satisfeita. fste elemento de área é denominado plano de
de.t,Li.zamento. Nós mostraremos que por todo ponto no estado
de equilíbrio limite passam dois planos de deslizamento e
êles contêm um dos eixos principais e são igualmente inclina
dos em relação aos outros dois.
Se todos os pontos de uma zona estão no estado limi
te, nos diremos que essa zona está no estado de equilíbrio
limite ou é uma zona limite. Em uma zona limite será possf
vel construir superfícies que, em cada ponto, o plano tange~
te é .. um plano de de.1,lizam ento. Tais superfícies são denomi
nadas .6upe~6Zcie.6 de de.1,lizamento e formam na zona limite um
sistema de duas famílias curvilíneas isogonais.
2. 1.2 Condições de Equilíbrio Limite.
O estado de tensões em um ponto pode ser represent~
do pelo diagrama de Mohr, representado na Figura 2 .1.1. Nês
31.
te diagrama pode ser representada a reta (2.1) definida por
Coulomb.
T
o
FIGURA 2.1.1
Por intermédio desta representação podem ser deter
minadas as componentes normal e cisalhante em qualquer plano
passando pelo ponto cujas tensões principais sao o, o e o, l 2 3
representadas pelas abscissas dos pontos P, P e P. As ex l 2 3
tremidades do vetor tensão total em qualquer plano pertence
ao triângulo curvilíneo (lúnula) representado. Cada um dos
lados dêste triângulo que são semi-círculos, é o lugar geom~
trico das extremidades do vetor tensão resultante em planos
32.
que passam por um dos eixos principais.
Para que o ponto considerado esteja em um estado de
equilíbrio limite e necessário que a reta definida por Cou
lomb tangencie o triângulo curvilíneo.
Essa reta limite tangenciará o circulo das tensões
principais extremas. Sendo êste circulo o lugar geométrico
das extremidades dos vetores tensão que atuam em planos que
passam pelo eixo da tensão principal intermediária, conclui
mos que os planos de deslizamento contêm o eixo da tensão
principal intermediária.
A equaçao do circulo que passa pelos pontos que de
finem as tensões principais extremas é dada por
(2. 7)
onde para cr ~ cr ~ cr, ~ e z assumem os valores 3 2 1
cr. .+ cr ~ = .l 3 (2. 8)
2
t =
nulo.
33.
a - a 1 3 (2. 9)
2
Ao longo dêste círculo um dos cosenos diretores ê
Chamando de À o ângulo da normal do elemento de área
com a direção de cr, podemos escrever as relações abaixo ba 1
seando~nos no diagrama de Mohr:
(2 .10)
(2.11)
Derivando as expressoes (2.10) e (2.11) teremos:
dT da n
Mas no plano de deslizamento (2.6)
(2 .12)
34.
logo,
(2.13)
Chamando deµ o ângulo À dos planos de deslizamento
temos:
ou =114-<P (2.14) 4 2
LÕgicamente, o ângulo E dos planos de deslizamentos
com a direção da tensão principal máxima será o complemento
deµ ou
(2 .15)
Estas relações estabelecem as posições dos dois pl~
nos de deslizamento que passam através do eixo da tensão
principal intermediária, inclinados de ângulos E em relação
ao eixo da tensão principal máxima e se interceptando segu~
35.
do um ângulo 2 e.
Se por todo ponto em uma zona limite passam dois
planos de deslizamento nós podemos afirmar que também existi
rao duas famílias de superfícies isogonais, nesta zona limi
te, cujos planos tangentes são os planos de deslizamento.
Podemos passar a estudar o equilíbrio limite no pl~
no das tensões principais extremas pois, como vimos, o esta
do de equilíbrio limite é caracterizado nêste plano.
2.2 EQUILÍBRIO LIMITE A DUAS DIMENSÕES.
2.2.l Generalidades.
Definimos equ~llb~~o l~m~te a dua-0 d~men-0Õe-0, como.
sendo o equilíbrio de um corpo cilíndrico ou pr~smático, com
uma dimensão infinita, sob a ação de forças perpendiculares
às geratrizes e distribuídas uniformemente na direção destas
geratrizes. Usaremos o eixo y paralelo às geratrizes.
O estado definido corresponde ao estado plano de
deformação no qual,
X
36.
= o (2 .16)
e ªx , cr 2 e Txz sao independentes de y.
As componentes da tensão serao positivas quando ti
verem os sentidos indicados na Figura 2.2.l.
! ªz T xz
t (J
X
zx
z FIGURA 2.2.l
Para o estado plano definido temos:
(J 1
ªx + ªz = ---- +
2 (2.17)
37.
(2.18)
a = (2.19) 3 2
Nestas condições, a e a sao as tensões·principais extremas.~ l 3
No caso do equilíbrio plano é suficiente considerar
mos a distribuição de tensões no plano xz, -
As componentes vertical e tangencial da tensão em um
ponto no estado de equilíbrio limite plano podem ser repr~
sentadas no diagrama de Mohr Figura 2.2.2.
R\ 't 1 n 1
1
\ \ 1 1
--- 1
--- 1
------1 ,., 1 ..,., 1
---..., 03
2 E/ ª1
Í I
I I
/
FIGURA 2.2.2
ªn
38.
As extremidades do vetor tensão em um ponto perte~
cem ao círculo definido por:
(2.20)
onde
a + ·a 1 3
(2.21) 2
t = (2. 22) 2
Se o ponto está no estado de equilíbrio limite o
círculo representativo do estado de tensões tangencia a re
ta limite de Coulomb nos pontos R e R. 1 2
As facetas nas
quais as componentes da tensão são representadas pelos po~
tos R e R são as facetas de deslizamento. Estas duas fa 1 2
cetas são anàlogamente inclinadas de ângulos ±E em relação
ao eixo da tensão principal máxima e se interceptam segundo
um ângulo de 2E,
As superfícies de deslizamento no equilíbrio limite
39.
plano serao superfícies cilíndricas com as geratrizes paral~
las ao eixo y. As linhas de intersecção destas superfícies
como o plano xz serão denominadas de l~nha-0 de de-0l~zamento.
Elas formam um sistema de duas famílias de curvas isogonais
pois se interceptam sempre segundo um ângulo igual a 2e.
2.2.2 Equações do Equilíbr:Lo Limite Plano.
Estabeleceremos nêste item as equaçoes básicas do
nosso desenvolvimento, que é a determinação da distribuição
de tensões em um meio no estado de equilíbrio limite plano.
Sabemos que as equaçoes de equilíbrio em um
contínuo no estado plano são:
meio
= X (2.23)
= z (2.24)
onde x e Z sao as componentes das forças de volume, que atu
OM ON PM
40.
amem um elemento infinitesimal, em relação aos eixos x e z.
Estas duas equações não são suficientes pois contêm três in
cógnitas ªx' cr 2 e 'xz· O estado de equilíbrio U,mite plano,
baseado no critêrio de Mohr-Coulomb, permite-nos levantar e~
ta indeterminação através da condição de resistência. Pela
representação do estado de tensão em um ponto, no estado de
equilíbrio limite, podemos obter esta relação.
•
Considerando o triângulo retângulo
2 . 2 .;; 3) temos :
tiMPQ (Figura
1 (cr - cr 12
+ 4 X Z
---- --
~ H
= cr X-
= cr z = 'xz
(2.25)
1 1
1 -- --11, \ __ ...- /
>--- / 1 ----- 1 / 1
-- \_ / 1 1
N
/ /
/ /
/
\ / 1 1
/Q M
QRI = QP
X
41.
Com a equaçao (2.25) pode-se integrar o sistema e
determinar ºx' o2
e 'xz em qualquer ponto, desde que se co
nheçam as condições de fronteira.
2.3 TEORIA DE SOKOLOVSKII
2.3.l Generalidades.
SOKOLOVSKII 27'
28 procurou resolver o problema fund~
mental de estabilidade plana em solos, isto e, a determina
ção da relação funcional entre carregamentos e propriedades
do solo em um estado de equilíbrio limite plano.
A Figura 2.3.l representa um maciço limitado por d~
as fronteiras submetidas a carregamentos p(x) e q(x). Soko
lovskii procurou a relação entre p(xl e q(x) para um estado
iminente de ruptura .
. {e ~ola ~
z
FIGURA 2.3.l
42.
Notamos que os três problemas fundamentais de esta
bilidade em solos são casos particulares do problema referi
do.
O problema de capacidade de carga (Figura 2.3.2a) é
caracterizado para a=Oº e S=180°, no problema de estabilid~
de de taludes (Figura 2.3.2b) é nulo o valor de p(x) enqua~
to que no problema de estabilidade de muros de arrimo (Fig~
ra 2.3.2c) o carregamento q(x) é inclinado em relação a nor
mal a fronteira de um ângulo igual ao coeficiente de atrito
entre o muro e o solo.
q(x)
p(x)
z
FIGURA 2.3.2a a- PROBLEMA 0E.CAPAC1VAVE VE CARGA - a=O e S=180
J(
FIGURA 2.3.2b
~olo {~
FIGURA 2.3.2c
43.
ti:{ x.)
b- PROBLEMA VE ESTABILIVAVE VE TALUVES p(x)=
/ l z
I I
/
e- PROBLEMA VE ESTABILIVAVE VE MUROS VE ARRI
•
44.
2.3.2 Equações Básicas e Desenvolvimento
As equaçoes básicas da teoria de Sokolovskii sao as
equaçoes do equilíbrio limite plano (Ítem 2.2.2), que se es
crevem:
ª·ªx ª'xz + ax az
ax az
= X
= z
1 (a - a 1 2
+ X Z 4
= 2
<1en <jl
4
(2.23)
(2.24)
(2. 2 5)
Para resolver êsse sistema matemàticamente determi
nado, conhecidas as condições de fronteira, Sokolovskii def!
niu duas variáveis que simplificaram bastante a análise. Es
tas variáveis estão representadas na Figura 2.3.3. A variá
vela é denominada tensão fictícia média em um ponto no esta
do de equilíbrio limite e, e e o ângulo que a direção da ten
são principal máxima faz com o eixo dos x nas mesmas condi
45.
çoes.
X e
T / n /
/
/ ª1 z
ON = cr x· OM = ªz PM = 'xz
( a)
FIGURA 2.3.3
Pela Figura 2.3.3a podemos obter:
ªx. = cr{ 7 + -<1en,P. eo-6 29) - H (2.26)
cr 2
= a (7 - -6 en<j,. eo-<1 2 a ) - H (2.27)
(2.28)
A solução do sistema de equaçoes básicas
em se determinar a distribuição espacial das três
46.
consiste
compone!!_
tes da tensão. As equações (2.26), (2.27) e (2.28), que
sao relações válidas no estado de equilibrio limite, substi
tuem a equação (2.25) e transfere-se a solução para a deter
minação espacial das variáveis o e a no maciço.
Calculando as derivadas parciais das componentes da
tensão pelas equações (2.26), (2.27) e (2.28) e substituindo
nas condições de equilibrio (2.23) e (2.24) teremos, após al
gumas transformações algébricas, o seguinte:
ao - 2cr :t q> -ª! + ax 9 ax
sendo:
A=_ X -0en(B-E) - Y C0-0(8-E)
C0-0(/>. C0-0 (S+E)
(2.29)
(2. 30)
(2.31)
B = X 4en(8+E) - Y C04(8+E)
C04cj>. C04 (8-E)
E=1T .P_
4 2
47.
(2.32)
(2.33)
Com a finalidade de simplificarmos o sistema de e
quaçoes em derivadas parciais (2.29) e (2.30) façamos a se
guinte mudança de variáveis, sendo K = con4tante:
cj> lnª
K
Nestas condições, teremos:
acr ax = 2a t
9 cj>.
ax ax
(2.34)
(2.35)
(2.36)
Substituindo õs valores obtidos no sistema anterior,
48.
temos:
ax + ~ + [ ax + ~] :t (S+El = ax ax az az 9
A = a (2.37)
ae +[ªx _ ~]:t (S-EJ = ax az az 9
B = b (2. 38)
Fazendo finalmente a mudança:
E; - X + e (2.39)
n = x - e (2. 4 O)
temos:
a t:; + ~ :t ( 8+ E) = a (2.41) ax az g
II
an an b (2.42) + - :t (8-E) =
ax az 9
49.
O sistema II obtido é um sistema de equaçoes dife
renciais parciais de 2a. ordem quase-linear, composto de du
as equações simultâneas, e a sua solução consiste em determi
narmos a distribuição ~(x,z) e n!x,z) no domínio procurado.
Procuremos esta solução ao longo de urna curva z=z(x)
do domínio. Ao longo desta curva nós podemos escrever:
d~= à~ dx + a~ dz (2.43) ax az
dn = an dx + an dz (2.44) ax az
Nestas condições, o sistema de equaçoes (2.41)
(2.44) permite-nos determinar os valores das derivadas
e
a
Colocando êste sistema em urna forma matricial te
mos:
50.
.tg(e+EJ o o a~ a.
ª" dx dx o o ··~
d~ az
=
o o 1 .tg ( 8-E) an b
ª" o o dx dz an dn
a z
(2.45)
Os valores das derivadas serao dados pelas relações:
~ = adz - d~ . .tg(8+E) ax dz - dx . .tg(8+E)
25. ., dç; - a.dx az dz - dx . .tg(e+El
an = bdz - dn .tg(8-E) ax dz - dx .tg(e-El
(2.46)
(2. 4 7)
(2. 48)
51.
~ dn - bdx (2.49)
az dz - dx. tg{e-~)
Sabemos, do estudo das equaçoes diferenciais pare!
ais 7
(COURANT-HILBERT, Vol. II), que os valores das deriva
das serao únicos se os denominadores das equações acima nao
forem nulos, e que existirá uma infinidade de soluções qua~
do os numeradores se anularem simultâneamente com os denomi
nadores.
Devido à impossibilidade de determinarmos ,(x,z) e
n(x,z) ao longo de uma curva qualquer nós procuraremos es
tas funções ao longo de curvas tais que os denominadores das
relações acima se anulem. tste método é denominado mêtodo
da~ ea~aete~Z~tiea~ e as curvas ao longo das quais nós proc~
ramos as soluções são as curvas características.
Se nos impusermos a condição de os denominadores se
anularem, nós teremos que anular simultâneamente os numerado
res para que existam os valores das derivadas. E assim, t~
remos ao longo de cada curva característica as relações váli
das das variáveis, e n.
Chegamos, desta forma, as equaçoes:
52.
Primeiramente
dz tg (e+e:l (a) d!; a d!; (b) = = ou = a
dx dz tg (e+e:l dx
(2. 50)
e
dz tg (e-e: l (a) dn b dn b (b] = = ou =
dx dz tg (e-e: l dx
(2.51)
As equaçoes (2.50) e (2.51) indicam que a infinida
de de soluções constituem duas famílias distintas de curvas
características. Adotando a notação usual da teoria das e ,
quações diferenciais temos que:
A família de características I; e definida por
dz dx
=tgle+e:l e d!; dx
= a
e a família de características n por
dz = tg I e- e: l
dx e dn = b
dx
(2. 52)
(2.53)
53.
Notamos que as curvas características no plano xz
sao inclinadas dos mesmos ângulos que as linhas de desliza
menta. Isto mostra que no equilíbrio limite as caracterís
ticas e as linhas de deslizamento coincidem. Então, nota
mos que no processo de mapeamento a região considerada no
plano ~n tem sua imagem no plano xz representada por um con
junto de curvas características ou linhas de deslizamento
que em todos os pontos se interceptarão segundo um ângulo de
2 e:.
As expressoes d~= a dx
e dn = b dx
sao as equaçoes
diferenciais ordinárias expressando a variação de~ e n ao
longo das características que serão bastante usadas para a
determinação de ~ e n em um ponto qualquer.
Substituindo os valores de~ e n e calculando as
expressões dos têrmos a e b para x=O e Z=y (caso mais fre
quente) chegaremos a duas equações, sendo a primeira·:
da+ 2a zg$ de= y(dz + dx zg$) , (2. 54)
válida ao longo de uma característica~ ou dz = zg (e+ e: l ,
dx
54.
e a segunda: _
da - 2a tg4> da = y(dz - dx tg4>J , (2.55)
que exprime a variação de a(x,z) e 8(x,z) ao longo de uma ca
racterística n ou dz = tg(8-e:). dx
Para y=O (desprezando o peso próprio do solo) tere
mos:
Ao longo de dz dx
= tg (8+e:)
da+ 2a tg4> da= o
Ao longo de dz = tg ( 8- e:)
dx
da - 2a tg4> da= o .
j
j
dl; = o dx
dn = 0 dx
ou
ou
c.on-1,t e
(2.54a)
n = c.on-1,;t e
(2. 55a)
55.
Por outro lado, se nas expressoes (2.46) a (2. 49)
tivermos sõmente denominadores nulos, estas expressões terão
valores infinitos que acarretarão descontinuidades em~ e n,
as quais corresponderão descontinuidades em cr{x,z) e 6{x,z).
As curvas nas quais isto acontece são as linhas de desconti
nuidade e constituem o limite de validade dêste nosso siste
ma. Estas condições são expressas pelas equaçoes:
dz = tg {6+F;)
dx
dz = ,tg(6-E) dx
(2. 56)
(2.57)
As equaçoes (2.56) e (2.57) nos dizem que a linha
de descontinuidade no plano xz e uma linha de deslizamento ou
uma envolvente destas linhas. Estas curvas definem no cam
po físico (plano xz do maciço) as linhas de ruptura do siste
ma. Reiteramos que uma linha de descontinuidade (linha de
ruptura) restringe o domínio de validade das equações de e
quilíbrio e da equação de resistência e é nêste domínio lim!
tado pela linha de ruptura que, nós procuraremos os valores
das variáveis em causa (~ e n).
56.
Relembramos que a solução procurada é a variação
das componentes da tensão ao longo do maciço no estado de
equilíbrio limite. Como por todo ponto de um maciço em es
tado de equilíbrio limite passam duas curvas características
nós procuraremos estas componentes ao longo das caracter is
ticas. Ainda mais, as variáveis o e 0 definem as compone~
tes da tensão e também constituem a solução, da mesma forma,
que as variáveis~ e n.
2.3.3 - Determinação das Variáveis nas Fronteiras
fste item permitirá determinar a distribuição de
o(x,z) e 0(x,z) nas fronteiras em função das tensões atuante
e inversamente.
Tomemos um ponto P em algum elemento de área na
fronteira, e suponhamos que êste elemento esteja submetido a
uma tensão p' (te.núio Ji.e.al) , formando um ângulo o ' com a nor
mal ao elemento de área (Figura 2.3.4). As componentes nor
mal e· cisalhante .de .p' .são ºn e 'n respectivamente. Com a
finalidade de determinarmos o e e nós consideraremos que o
elemento de área esteja submetido a uma te.núio e.qu.lvale.nte. p,
formando um ângulo o com a mesma normal e tendo componentes
normal e cisalhante respectivamente crn+H e 'n·
Estados Correspondentes, CAQUOT 5 ).
·[--~--
57.
(Teorema dos
FIGURA 2.3.4
Podemos representar estas tensões no estado de equ!
líbrio limite no diagrama de Mohr (Figura 2.3.5).
FIGURA 2.3.5
58.
Considerando a Figura 2.3.4 podemos obter as rela
çoes:
cr + H - p.eo6ô Yl
(2.58)
(2. 5 9)
ou (2.60)
Nas condições limi t_es temos (Figura 2. 3. 5) :
ªn = crU - 6e.ncp. eo6 2e) - H (2.61)
(2.62)
Substituindo estas expressoes em (2.60) temos:
6e.n(2e + ô) = (2.63)
59.
Fazendo
(2.64)
Jen(2e + ôl = Jen8 (2.65)
Lembrando que dois arcos têm o mesmo seno quando
sua soma fôr um número ímpar de TI ou sua diferença um número
par de TI podemos escrever:
(28+ô)+8=(2k +1)TI 1
(28 - ó) - 8 = 2k .TI 2
com k e k numeros inteiros. 1 2
(2.66)
(2.67)
Após transformações convenientes podemos exprimir o
valor de e na forma proposta por Sokolovskii que engloba os
dois estados de equilíbrio limites possíveis em um ponto,quais
sejam, o estado ativo e o estado passivo.
'n
POLO
1'NDICES {: SK =
SK =
ª- ---.i .. l
a +
- 1
+ 1
(ESTADO (ESTADO
---- -------POLO +
ATIVO) 2+
PASSIVO) "' o .
FIGURA 2.3.6
61.
6 = (1 - SK) 11 + (SK.t. - ô) + m.1r 4 2
(2.68)
onde SK = ± 1 representa as duas possibilidades de circu
los passando por P serem tangentes à reta limite (Figura 2.
.3.6). Pode o valor de m ser qualquer número inteiro, mas,
geralmente, tomamos m = O.
Determinado o valor de e, o de cr poderá. ser determ,!_
nado fàcilmente, pela equação (2.62), e será dado por:
CJ = p. (2.69) <1 en ( t. - S K. ô l
Para o caso particular de ô=O (carregamentos verti
cais), teremos uma indeterminação no valor de cr pela equaçao
(2.69), mas os valores de cr e 8 podem ser calculados por:
6 = (1 - SK) 1T + m1r 4
CJ = p
(2.70)
(2. 71)
62.
2.3.4 Deteminação das Variáveis no Maciço.
Lembrando que todo ponto, em uma zona limite, pode
ser considerado como a intersecção de duas curvas particul~
res distintas pertencentes a cada uma das duas familias de
linhas de deslizamento, e considerando as relações válidas
em cada familia (2.52) e (2.53), podemos, através de uma in
tegração numérica, deteminar as variáveis em um ponto, a
partir de valores conhecidos em dois pontos vizinhos. Esta
integração numérica aproximada é possível expressando em di
ferenças finitas as relações das variáveis ao longo das ca
racteristicas.
Conhecendo os valores de x, z, o e e em dois pontos
P e P, como mostra a Figura 2.3.7, podemos determinar es 1 2
tas mesmas variáveis em um ponto P próximo, da seguinte ma
neira:
x---..---"<"""---------------,-"".1.---------,
P2lx2, 2 2, 0 2, 8 2l
f; 1
z
FIGURA 2.3.7
63.
Escrevamos o sistema de equaçoes (2.54) e (2.55) em
diferenças finitas. Nestas condições podemos escrever
longo da caracterlstica t Jdz/dx = tg(9+c) J l
z - z = tg(a +c).(x - x l l l l
(2.72)
cr-cr + 2.cr .tg4>(e-e l = y[{Z-2 l + tg4>. (x-x !] (2.73) l l l 'l 1
e, ao longo da caracterlstica n1
[dz/dx = tg (0-c)]
2 - Z • tg ( 0 - E) ( X - X ) 2 2 2
(2.74)
cr- cr - 2 cr . tg 4> ( e- e l = y [ ( z - z l - tg 4> ( x - x l ] 2 2 2 2 2
(2. 7 5)
ao
Resolvendo êste sistema de quatro equaçoes simultâ
neas, obtemos os valores das variáveis x, Z, cr e e no ponto P.
A solução do sistema anterior e o caminho a seguir
para determinarmos os valores das ,-variaveis em todos os Pº!!
tos do maciço sera função dos dados na fronteira. Três ca
SOS podem ocorrer.
ij. 2 J-
64.
1 q CASO P~oblema de Cauchy.
Suponhamos que se conheç~m x, Z, o e e ao longo de
uma curva T no plano xz e que a função F(o,8) seja diferenci
ável ao longo de T. Suponhamos, também, que em todos os PC!!_
tos desta curva existam duas características reais distintas
te n (Figura 2.3.8).
x----------------------------, T
n. ·2 j+
FIGURA 2.3.8 z
Para determinarmos as variáveis no ponto P, próximo
da curva Te intersecção das características ti e nj que PªE
tem respectivamente de P e P bastará resolvermos o sistema 1 2
das equaç6es (2.72) a (2.75).
65.
Podemos metodizar êste problema pela Tabela 2.3.9
onde nas colunas i representamos a distribuição das variá
veis ao longo das características ~i' e nas linhas j a dis
tribuição das variáveis ao longo das caracaterísticas n., ten j -
do desta maneira os valores das variáveis em cada intersec
ção de duas características no retângulo correspondente à co
luna i e à linha j.
}l i R t-!: • i+t n • • • {: ... 'L
',v "' )
.,, i V . '
y
--· .;, > ~'X' ~
./\ Ã Y V
z ~
~ X X ~ ~ .
X
X ~
• ~~ K .1\.
Y• ,~1 > ~.,,,.... ~ V'>
. "· .. IX' X "·,,·1 • z;i, ,-1., _J >ç,, ,
'"-<;;:J/ ~ ;<, ..,,,..(.J t
6:<.1.
/rf 3<)~~ )y )C )
> ) V X X
Y_/'
V li "I, li y X
y • . ~') >'
Ã, V) X y
n ~ '\,!'ll'VA
TABELA 2.3.9
Os quadros hachuriados significam que os
das variáveis são conhecidos ao longo da curva T.
66.
valores
Os valo
res no ponto P(~,j) serão determinados se, e sõmente se, os
valores nos pontos P (~,j-7) e P (~-7,j) forem conhecidos. 1 2
Concluímos que podemos determinar os valores das v~
riáveis na região limitada pelas características extremas,
seguindo as direções das setas a partir dos valores na fron
teira Te desta maneira preencher os quadros da Tabela 2.3.9.
2g CASO P4oblema de Gou4~at
Nêste caso tôdas as variáveis sao consideradas co
nhecidas ao longo de duas características e procura-se deteE
minar estas variáveis na zona compreendida por estas caracte
rísticas (Figura 2.3.10).
tste problema ê resolvido da mesma forma que o pr~
cedente, necessitando sõmente iniciar os cálculos das variá
veis em P.
67.
x---------------------------;--
nj n2 z FIGURA 2.3.10
Representando êste problema como na Tabela 2.3.9 te
mos a seguinte configuração (Tabela 2.3. 11):
. . .
·~ @~ ~--~
~><.l)Ç X
X X ,..., ~ .
2 ... l-i • t
X X X
XJ< ~ X
X
i+! X X X
X X X X
)< X ~
. ..
---------- -- - -- -- --~- --- ----
-.,~ x X L...:..h~x~xx~~a __ _j ___ L __ l_ __ J. __ _jL __ L __ J_
TABELA 2.3.11
68.
Yl CASO Pito blema Mi~to
Nêste problema tôdas as variáveis ao longo de urna
caracnerística são conhecidas e ao longo de uma curva não c~
racterística conhecemos algumas variáveis ou condições que
nos permitem resolver convenientemente o sistema das equ~
ções (2.58) a (2.61) e obter tôdas as variáveis na região
compreendida entre estas duas curvas.
2.3.5 Problema de Capacidade de Carga.
Entendemos por capacidade de carga de um solo o car
regamente que é capaz de levá-lo a um estado de equilíbrio
limite e a denominaremos "Capac.,i.dade de Ca1tga TeÕ1t,i.c.a do So
lo".
Se urna carga "real" p(xl atua ao longo de um inteE_
valo do eixo positivo dos x (Figura 2.3.12) nós podemos estu
dar a estabilidade do maciço de duas formas.
Primeiramente nos obteríamos a estabilidade se apl~
cássemos um carregamento q (x) que impedisse a 2
sob p ( x l •
subsidência
q 'l()
. 1-SUBSIVl:NCIA
z
FIGURA 2.3.12
Poderíamos ainda assegurar a estabilidade se
cássemos um carregamento q (x) tal que a tendência do 1
menta acarretasse o levantamento de p(l().
69.
apl!
movi
tstes dois carregamentos, que, por assim dizer, g~
neralizam o problema de capacidade de carga, delimitam os car
regamentos possíveis de equilíbrio face à aplicação de p(l().
Nós procuraremos êstes dois carregamentos limites.
No primeiro caso caracterizaríamos um estado de e
quilíbrio limite ativo em uma zona sob p(l() enquanto que,
sob q (l(I (l(<O) onde o solo tenderá a resistir ao movimento, 2
teremos um estado de ruptura passiva. Notamos ainda, que
dependendo do valor de p(") e dos parâmetros do solo o carre
gamento q ("I poderia ser nulo ou mesmo negativo, o que si~ 2
70.
nificaria que com o carregamento p(xl seria impossível gerar
um estado de equilíbrio limite [p(xl menor do que a capac!
dade de carga do solo] .
No segundo caso, que representamos na Figura 2.3.13,
caracterizamos um estado de ruptura passiva em uma zona sob
p(xl e um estado de ruptura ativa em uma zona sob q (x). In 1
terligando estas duas zonas temos uma zona de transição.
ZONA I PASSIVA
ZONA II TRANSIÇÃO
FIGURA 2.3.13
z
ZONA III ATIVA
Além das três zonas delimitadas, esquematizamos a
71.
linha de ruptura A A A3
A,_ l 2 •
que é a linha limite de vali
dade da teoria exposta e onde ocorrem descontinuidades fini
tas nas componentes da t"ensão. Procuraremos as tensões em
qualquer ponto acima da linha de ruptura e, em particular,na
fronteira OA • 4
Procuraremos um carregamento vertical q1
(x)
cuja estabilidade, no estado de equilíbrio limite, é asseg_l:!_
rada por um carregamento vertical crescente monotônicamente
p(x), conforme mostra a Figura 2.3.14.
Para que possamos representar no plano f.n o domínio
que nos interessa, de uma maneira real, e, posteriormente,f2
zermos o mapeamento no plano xz, desprezaremos inicialmente
o pêso prôprio do solo. Nestas condições _as relações váli
das ao longo das duas famílias de características são as e
quações (2.54a) e (2.55a) que transcrevemos abaixo.
Primeira família de características:
dz = -tg (a+e:l
dx e f, = c.on-6.tante. (2.54a)
Segunda família de características:
dz dx
= -tg ( a - e: l e n = e.o n-6-tante. (2. 55a)
p(x)
ZONA 1 PASSIVA
ZONA 11 TRANSIÇÁO
FIGURA 2.3.14
z
ZONA 111 ATIVA
72.
q (X)
Podemos inicialmente determinar as variávies a e 9
na fronteira OA (item 2.3.3) e, pelas relações de recorren 1
eia, determinamos I; e n nesta mesma fro.nteira.
Na fronteira OA temos um estado de ruptura passiva 1
(SK = + 1), e, o carregamento p(x) sendo vertical, ter-se-á
para x > O.
a (x,O) = p(x) e e(x,O)=O (2. 76)
1 - <1 encf,
73.
As variáveis, e n serao determinadas pelas rela
çoes:
, - n = 2e
' + n = 2x onde X= c.otg$ ln 2
alx,O) K
(2. 77)
Notamos, então, que a fronteira OA no plano xz ma 1
peará segundo a reta ,=n no plano ;n e que ;A> ; 0 1 1 pois,
ªA > ªo • 1 1
(Figura 2.3.15).
B 2
n i:-· --,IC....---------1'. o / o / 02
1 / /
/
FIGURA- 2. 3 .15
74.
Nêste ponto já podemos calcular~ e nem qualquer
ponto da fronteira OA1
assim como a e e, e ªx' ªz e Txz atra
vés das relações de recorrência.
Passaremos agora a estudar o ponto O (Figura 2.3.14).
Notamos que nêste ponto existe uma descontinuidade nas ten
sões e consequentemente poderemos considerá-lo como uma ca
racterística no que se reduziu a um ponto no plano xz. To
roemos um entôrno de O com 01
a esquerda e 02
a direita. Em
01
são válidas as relações (2.76).
para x < O:
Se p(x=O) = p0 teremos
= e = o (2. 7 8)
Na fronteira OA1
(Figura 2.3.14) poderemos da mesma
forma, determinar a e e lembrando que SK = - 1 (estado ativo)
e ô=a =O (q(x) é vertical).
alx,O) = q (X)
e
Para x > O.
1T e(x,O) =
2 (2. 79)
(2.80)
75.
Como o ponto 02
pertence a esta fronteira, temos:
CI 0 2
= 1 + <1 en<jl
e = .:rr. 2
onde
Determinemos a variação de cr em 010
2•
sabemos que n0 = n0 = n0 l 2
no = Xo - e o . cr O
= ê.ôtgp ln i
l l 1
= c.o.tg</> ln cr - e no 2 K
2 K
De (2.82) e (2.83), obtemos:
2 e.t9 <1>
cr = CIO • l
l
' 1r .tg </>
CI 0 = CI 0 . l e I; o > I; o 2 1 2 1
qO = q (>:=O)
(2.81)
(2. 82)
(2. 8 3)
(2.84)
(2.85)
=
76.
26.tg4> (J =<J .l
o 1
a) Va~iação de a em O. b) Va~iação de cr em O.
FIGURA 2.3.16
Concluímos de (2.85) que cr0
é sempre maior do que 2
cr 0 ou q0 > p0• Podemos determinar os valores de quaisquer 1
das variáveis no entôrno de O conhecendo o valor de a, por
meio da equação (2.84). Para completar a representação no
plano ~n do domínio que nos interessa fazemos a intersecção
das características que definem cada ponto. Assim, a repr~
sentação do ponto A~ será ol:,tida lem!:,rando que A4
pertence
à reta ~ - n = 1r, e nA 4
= nA •
Em seguida para que possamos fazer uma análise aut~
mática dêste problema, executaríamos uma malha da Figura 2 •
. 3.15 e calcularíamos as variáveis na intersecção dos pontos
da malha projetada (Figura 2.3.17), do seguinte modo:
77.
FIGURA 2.3.17
Na região A1 0 1 A2 (ZONA I) poderemos determinar
~ e nem qualquer ponto da malha resolvendo o problema de
Cauchy pois os valores na fronteira 0 1 A 1 já foram obtidos.
No retângulo 0 1 A2 A3 02 , que corresponde à ZONA II, no pl~
no xz, poderemos obter as variáveis~ e nem qualquer ponto
da malha resolvendo o problema de Goursat, pois que, na ca
racterística 0 1 A2 , os valores foram obtidos pelo problema
de Cauchy, e na característica 0 1 A2 nós os determinamos p~
la equaçao (2.84) e relações de recorrência (2.77), conside
rando que em cada divisão do segmento 0 1 0 2 o valor de e ê
a interpolação linear entre os valores extremos. (Figura
2.3.16a.).
Finalmente, em 0 2 A3 A, (ZONA III) a solução e obti
78.
da resolvendo o problema misto, pois que em 0 2 A4 l;-n=Tr, e
na característica 02
A3 os valores foram obtidos anteriormen
te pelo problema de Goursat.
Terminada a determinação das variáveis no plano l;n
nos poderemos mapear a Figura 2.3.17 no plano xz e obter as
linhas de deslizamento (curvas correspondentes a I; ou n con~
tantes no plano l;n). Se tivermos uma curva n8
=con-0t. (Fig~
ra 2.3.15) no plano l;n, teremos no plano xz uma curva da fa
dz mília das características = tg(8-&) que é uma linha de dx
deslizamento.
Os valores das componentes da tensão em um ponto
correspondente a P (Figura 2.3.17) poderão ser determinadas
usando as fórmulas de recorrência (2.77) e as coordenadas de
Notamos que do ponto O partirá um feixe de ca
racterísticas I; = con-0tante.
A fim de generalizarmos o problema e torná-lo mais
real, isto é, determinarmos a distribuição das variáveis ao
longo do domínio sem desprezar o pêso próprio do solo, e p~
ra qualquer distribuição e inclinação de p(x), não poderemos
mais representar o domínio no plano l;n fàcilmente, pois que
as linhas de deslizamento não mais se mapearão em linhas p~
ralelas aos eixos coordenados I; e n, já que a e b nao serao
79.
nulos nas equaçoes (2.54) e (2.55). O que faremos será u
saro mesmo desenvolvimento anterior, mas determinando dire
tamente cr(x,z) e 9(x,z) através das equações (2.54) e (2.55)
expressas em diferenças finitas. A marcha é a seguinte:
1 - Dividiremos o comprimento de aplicação de p(x),
(OA 1 ), em um numero de partes iguais (N) e consideraremos as
características que partem dêstes pontos de divisão, denomi
nando-as características n de~ e as características~ por j
enumeradas conforme a Figura 2.3.18.
J=N+1 FIGURA 2.3.18
Desta maneira, todos os pontos do maciço, inclusive
os das fronteiras, terão coordenadas,
80.
X •• ,<_j
z .. ,l.j
p a ..
,l.j
e .. ,l.j
2 Baseando-nos no Item 2.3.3, na distribuição de p(x),
e no número de divisões consideradas, podemos determinar as
coordenadas de todos os pontos da fronteira AO e 1
represe!!
tar os valores obtidos conforme a Tabela 2.3.9.
3 Em seguida resolvemos o problema de Cauchy e obte
mos os valores de tôdas as variáveis nos pontos de intersec
çao das características (ZONA I).
4 Dividiríamos o segmento 01
02
em um número de
tes (KBETA) e calcularíamos o valor de e em todos os pontos,
como a interpolação linear entre os valores extremos. Ova
lorde a em cada ponto seria obtido pela equação (2.85). Nês
te segmento os valores de x e z são nulos.
5 Conhecendo os valores de tôdas as variáveis nas ca
81.
racterísticas 01
02
e 01
A2
resolvemos o problema de Goursat
e obtemos os valores destas variáveis na zona de transição
(ZONA II).
6 Finalmente, os valores da ZONA III sao obtidos re
solvendo o problema misto a partir dos valores conhecidos na
característica 02
A3
e sabendo que na fronteira 0A4
os valo
res de e são conhecidos (ítem 2.3.3) e z .. = O. -<.j
Tendo determinado os valores de X .. , Z .. , a . . e a .. -<.j -<.j -<.j -<.j
podemos determinar as componentes da tensão em qualquer po~
to e, inclusive, traçar a rêde de linhas de deslizamento. A
Figura 2.3.19 é a representação desta rêde traçada automàti
camente pelo "PLOTTER" e na Tabela 2.3.20 estão os valores
de X •. , Z •. , a . . e a .. nos pontos de intersecção da rêde de -<.j -<.j -<.j -<.j
vido à aplicação de p(x) = O na fronteira 0A. Em função l
dos valores de a .. e a .. na fronteira 0A 4 , podemos -<.j -<.j
determi
nar as componentes da tensão, que estão representadas na Ta
bela 2.3.21 sendo os mesmos valores determinados pelo progr~
ma (C ;,-1,0 ton/m 2 - ~ = 30º.:. y = 1,5 ton/m 3 ).
2.3.6 Outros Problemas.
A teoria exposta nos permite resolver tambêm o pr~
ll•
.~ -:- ' r~ . ;.- .. ,,
REFRt:!INT ACAD DAS LJt,J,AS [I [ELIZA!JENTD PARA A OISTRIBJICAO [[ TEfilS I{] ESTADJ [I EUJILiffiIO LIMITE ·CA9J PASSIVO
TE~ MAKLIO M, :DARES- DJff -lJRJ
10- ,. pl<I • o
,.
C -= 1, o :tontm2
4' • 30°
-y • ,·,s ton/m3 .
,. 6· 5·
31, 87
•· l· ,. !•
FIGUPA 2.3.19
O·
~z"
~-
146, 3
·J·
' ' ,--~--- . ..-- .... -·.,·, .. :- -...- ,-·.·- .- __ ,...,.. _. . ..,,. ... --·.-,,: .... _ ...... ...., ,- ----··. ~-------~,--,,··- .- ....... -~.... ·._i
ex, . "' .
. . ·.
' ·-
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------COESAO E/o' TGN/~2---------,.- 1.cco ANE~LO CE ATRITO EM GRAUS-3C.C00 PESC ESPECIFICO E~ TON/M3- l.5CO
hU"'E~O OE CA~REGA~ENTOS------ 2
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------l ~1 •••••••••••••••••••••••••••••~••••••• 1 CARREGA~ENTO••••••••·••••••••••••••!•••••••••••~•••••
1 j
1
'i
CARGA PARA X:C. e, TCN/~2 c.-000 CARCA PARA X:L E'°' TCN/,..2 O.COO CO/o'PRl~ENTG OE APLICACAG DA CARGA E/o' ~ETRCS 10.000
----------GUTROS OETALI-ES----------
r,.,\J/o'ERC CE 1-sun1rn oe PARAl'F.TRC NU/o'ERG CE PA~A/o'.ETRC
LINHAS CE CESLIZA,ENíC------------------- 10 APRCXl/o'ACCES PARA CACA PONTO------------- 5 CE SOKCLCVSKII--------------------------- 1. OIVISOES DQ IINGULO NA zor-.:.11 DE TRANSICAC-- 10 NI--------------------------------------- O
ANGULO /1,XGULO ANGULO
DE INCLINACAC DC CARREGA~E~rc CADC------ o.ao OE INCLINACAC DG CIIRREGA/o'ENlC PROCURACO- o.ao. QUE DEFINE O ~AC!CC------~--------------180.00
1 ~~··········(·········~······················································································ M[S~LTADCS th CETERP!NACAO Ch DISTRIAUIC~O DE TENSCFS AC LCNGO DAS CARACTERISTICAS--CASU PASSIVO
1,·
:~••••••••1••··················,······························································*············ 1;- J / 1 * * * 4 • 5 • 6 * 7 • • 'J * 10 * 11 * ! ------------------------------------------------------------------------------------------------------------! ~ ' i
o.eco• c.aoo• C. COO* o.coo• o.eco• o.ccc• o.coo• o.coo• O.COO* C.OOil* 10.COIJ•
o.ccc• o .r:oc * e .cr;o~ o .eco• O.CCC* c.ccc• O.OCC* C.OCO* º·ººº* o .oo:, ,e. o.con• o.coo• o.ccc• o.oco• C.CCO* o.ccc• e.eco• º·ººº* o.oco• º·ººº* O.COO* J. '16',. o .coo• C .CCO* Q.CCC* o.coo• O.COC* o. e cc • º·ººº* o.coo• º·ººº* e.COO* O.COC*
C .CüO• o.coo• C .CCC* e.eco• o.coe• o.ccc• o.occ• c.ooot OoOOC-• e.cor;• o.coo* 1 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------1 ' e.eco• o .coe• e.eco• e.coo• o.ccc• e.eco• Q.QOC* C.OOO* o.oco• Q.OOC* 9.5CC.*
' e.coo• O.COC* e .eco* e.coo• o.ccc• O.COO* o. e oc • o.oco• o.coo.:i ü.CCO* o.2ee* • O. CCC* o.coo• c.ccc• o.coo• o. ceai:- O.CCO* Q.OUO* o.coo• o.coe• J. '•6'•* '1.·,:rn•
u. e e o• O.COC* C,CCG• e.eco• O.CCO* C.CCC* o.ccc• 0.000• 0,0CC* O. CúO ct -C.COO*
r;. eco o O .COC* o .ar.o• e.coo• o.ccc• o.coo• o.oco• º·ººº* o.oco• o.OCO* -0.000*
------------------------------------------------------------- ·----------------------------------------------O,CQQt e .cr;o • O .CCGt C. CCO* o.ccc• c.ccoce- O. CCC'- º·ººº* a.coo:c. f!,'H,O* 'l.OQOo
f). CGO* C.Cf:G* n .CCC* r..or.o• o.coe• C.CGC* 0.000,;, º·ººº* 0.000• o.n1n* Q.'>7 '* 3 e.coo~ C, CCC,:, C,CCC* c.ccc• O.CCC* C. CCC* O. O CC * o .ooc * 3. ,, 6 1, * 4. )30* 5.1•)6*
(; ·ººº* o ,r,oc • C- .CCO* C .CC0>1< o.ccc,r., C.CCC* C. CCC* 0.000• º·ººº* -0.000* -O .flOO*
0. ecoº e. çr:r; ~ G .cr:O" o. eco• o.ecoo o.CCi.:* o.ouo,:, º·ººº* º·ººº* -e.COO* -O.COO*
------------------------------------------------------------------------------------------------------------íl .cco• o.coe.e, C.CCC* l/".CQQ4 Q.CúC* O.CCC* o.ooc• 7.COC* 7.500* 7 ~ •)<J<).;,. e.sou• O.CCC* C. CCC* C.CCCt c.·ccc• e.coe• C. CCC' r..ccc• o.OCO* 0.288• C • '5 7 I * C,fl66.t:
4 o.coo• o.ccs~. o.occ• C .CCO* O ,CCI:'."* e. rco..:- o.cooit- ).464* ,, , 110* 'j, l'H,"-' 6. f1 ú2*
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-·------.----------------------------------------------------------------------------------------------------C .CCO-Qo e. e e e,:, c.c_cp _c".cco• . o·.ccc* ·, ·ººº* ., • ., cu,:,. 7 .9')9*.
1
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o.eco• o.coo• º·ººº* O.CCO* o.oco•
e.coo• o.coo• o.eco• e.oco• o.coo•
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O.COC* e.coo• o.ccu O .COi'1*
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O. Cf.!'1' e. cr;r,-,
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o.coo• o. c c a• C .COO* e.COO* e.coe•
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o.eco• o.ccce. Q.CCC* o.eco• e. eco•
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62. 76'),C, l, 5 l 7 •
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-2.1950 o.occ•
66,386* l.570•
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1. : __ :: ___ j ___ ~;~~~~---~;~~~1 ___ ~;~~~! ___ ~;~1~I ___ i;~~~~---~;~~~~---~;~~~~---~;~~~~---~;~~~~--;~;~~~~--;i;~~~~
o.oco• o.ccc• e.coo• e.eco• o.eco• o.coo• o.oco• 0.000• o.oou• o.cooc -1,q10• \ • o.coo• e.eco• e.oco• o.coo• o.oco* o.ccc* 0.000• o.coo.. 0.000• c.cv~• 0.000•
.1 ... • 3t o.oco• c.ooc• e.eco• o.eco• o.eco• c.ccc• o.occ• o.oco• 0.000• e.eco• q7,536$
a.coo• o.coe• o.coo• o.eco• o.ooc• e.eco• o.oco• 0.000• o.oco• o.oco• 1.s1a• • o.coo• e.oco• o.c~c* o.coo* o.coa• o.ccc* o.oco• o.coo• o.oco• u.OO(J* qo.occ•
. ! ------------------------------------------------------------------------------------------------------------
1 VALCRES CA CCCR0ENACA X E CAS ca~P0~ENTES DA TENSAG E~ CADA PCNTC CA F~GNTEIRA EXTERNA SIG~AX-SlGMAl-TAL
• 1 I J • . l I 21• 2 I 22• 3 I ,,. 4 I 24• 5 I ,.. • I 26• 1 I 21' • /· 28 • 9 I 20, 10 I JO• •) 1 I , J l • 0.000• -o.nti• -0,622• -o.ge·o -1.310• -1,175• -2.195• -2,626* -3.0670 -3.515• •SIGj,1O • 10.623* 14,<g}o 17,gf!Z* 21.110• 25,521• 2'1. 344• 3),lqJ• 37.063* 40,951* 44,fl':iJ• •SlGj,IU • "JL,871• 42.1!81• 53.q47• t.:5.1g1• 1bSO• ee.c32• (l<J,580• 111-190• 122,853• 134. 55'-l_O. • T ALXZ • o.coo• o.eco• c.cce• o.ccc .. o.eco• e.oco• º·ººº* o.coo .. 0.000• o.oco•
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i. .cc .. -;:.
·~•••••• .............. ••••• .. •• .. ••••o.••*••*••••• .. U•!• .. ••••••••• .. •••* .. •••••••••••• .................................................. **••~•*••• . TABELA 2.3.21 .
' / ·• '""""!"- . -. ' '
-~---.---·--·--·~-~-----~--
i
1
1 ! ' 1
co
"'
X
87.
blema de estabilidade de taludes e o problema de estabilida
de de muros de arrimo.
No problema de estabilidade de taludes o ângulo que
define as fronteiras (Sl é sempre menor do que 180° e o car
regamente p[x) é nulo (Figura 2.3.22).
ZONA I PASSIVA
FIGURA 2.3.22
q [x)
''" { !
Caracterizamos uma zona passiva sob p[x) e uma zona
ativa sob q (xi.
Podemos seguir o mesmo roteiro anterior, correspo~
dente ao problema de capacidade de carga, mas lembramos que
as equações (2.54) e (2.55) não são válidas. Nêste caso as
fôrças volumétricas por unidade de comprimento serao X=yJena
88.
e Z=y.co.õa e as equaçoes (2.52) e (2.53) assumirão as formas:
Ao longo da característica dz
E;. = .tg ! a+e:l (a) dx
(2.86)
da+ 2a .tg4, da = Y [-0en[a+4')dx + co.õ [a+4,)dz] (b) C0.64'
Ao longo da característica dz n. = .tg ! a-e:l (a) dx
(2.87)
da - 2a .tg4, da = Y [-0en(a-4') dx + co.õ [a-4,l dz] (b) C0.64'
Notamos que para a=O retornamos às relações (2.54 e (2.55).
Na fronteira OA1
os valores sao idênticos aos calcu
lados anteriormente e na fronteira OA as variáveis a e a se • rão dadas por:
a = [ 7 - SK) 7T + l [ SKt:, - ô) - a + m1T (2.88) 4 2
a = q [x) .õenll
onde = (2.89) .õen(ll - SK.ôl
89.
Desta forma as variáveis o(x,z) e e(x,z) poderão
ser determinadas seguindo o mesmo roteiro do problema de ca
pacidade de carga e obedecendo às relações (2.86) a (2.89).
No problema de estabilidade de muros de arrimo tere
mos que considerar sõmente a fronteira OA~ e a variação de e
(Figura 2.2.23), e no mais, é idêntico ao
blema de capacidade de carga.
p(x)
ZONA 1
ATIVA
FIGURA 2.3.23
ZONA 111
pr~
90.
CAPÍTULO 3
PROGRAMA AUTOMÂTICO, EM LINGUAGEM "FORTRAN", PARA
CALCULAR A DISTRIBUIÇÃO DE PRESSÕES COM BASE NA
TEORIA DE SOKOLOVSKII
3.1 DESCRIÇÃO GERAL.
O programa é bastante complexo mas bàsicamente con~
ta da automatização do cálculo da distribuição de pressoes
em.cada ponto do maciço a partir de tensões conhecidas em al
guma das fronteiras. Conforme foi mencionado, conseguimos
englobar em um único programa a resolução dos três problemas
principais de estabilidade na Mecânica dos Solos.
Em síntese, tal programa consta das seguintes pa~
tes:
1 CARTÕES DE CONTRÕLE l
1 ENTRADA DOS DADOS.DO SOLO 1
1 ENTRADA DOS DADOS DOS CARREGAMENTOS l
91.
1
1 ENTRADA DE OUTROS PARÂMETROS 1
1 CÃLCULO DE CONSTANTES 1
1 CÃLCULO DAS VARIÃVEIS NA FRONTEIRA A1
0 1 1
1 CÃLCULO DAS VARIÃVEIS NA FRONTEIRA 0 1 0 2 1
1 CÃLCULO DAS VARIÃVEIS NO INTERIOR DO SOLO 1
1 CÃLCULO DAS VARIÃVEIS. NA FRONTEIRA EXTERNA 1
1 SAIDA DOS RESULTADOS 1
3.2 LISTA DAS PRINCIPAIS VARIÃVEIS QUE SÃO UTILIZADAS
NS ••••••••••••• Número de solos nos quais se irá
algum problema.
C •••••••••••••• Coesão do solo em ton/m2 .
resolver
FI e FIRAV ••••• Ângulo de atrito interno do solo em graus e
radianos, respectivamente.
GAMA Pêso específico do solo em ton/m3 .
NC ............. Número de problemas a se resolver em
solo.
ICA ............ Parâmetro que define a maneira de
do carregamento dado.
92.
cada
entrada
P1
, P2
e XL .... Variáveis que definem o carregamento real.
2 Conforme a Figura 3.2.1, em ton/m em, res
pectivamente.
XL
e ! z Solo F.l
Gama
FIGURA 3.2.1
KAP • ••••••••••• Número de aproximações em cada ponto
o câlculo das variáveis.
para
SK •.••.•••••••• Parâmetro de Sokolovskii que define o esta
do de ruptura na zona de aplicação do carre
gamento dado (ZONA I).
93.
NI .......••.•.• Parâmetro m Jequação (2.68) 1 para câlculo
de 0 na fronteira.
KBETA .......... Número de divisões a serem feitas no segme~
to OI
O 2
N •••••••••••••• Número de divisões a serem feitas na
teira A1
O
fron
BETA e BETAR ... Ângulo~ que define as fronteiras do maciço
em graus e radianos, respectivamente.
VELT e VELTR ... Ângulo de inclinação do carregamento
em graus e radianos.
dado
ELT e ELTR ..... Ângulo de inclinação do carregamento proc~
rado em graus e radianos.
X {I,J)
Z {I,JI Coordenadas que definem a posição e as ten
SIG{I,J) sões de um ponto de intersecção das caracte
TET(I,J) rísticas I e J.
3.3 ENTRADA DOS DADOS
A ordem de entrada das variáveis que definem os da
dos e seus respectivos formatos de leitura pode ser obtida
através da listagem do programa (item 3.8). As unidades
94.
das variáveis de entrada terão de ser fornecidas no sistema
* A -MT Se os angulos serao lidos em graus.
A variável ICA define o carregamento dado. Se ICA>
>O, o carregamento será fornecido através das variáveis que
definem o carregamento real P1
, P2
e XL. Nêste caso, os v~
lores de cr e e na fronteira serao calculados automáticamente,
conforme ítem 2.3.3, considerando uma variação linear de P1
a P no comprimento XL. 2
se ICA<0 os valores de x, z, cr e e
na fronteira OA serao fornecidos. l
Desta maneira teremos
uma maior generalidade pois a distribuição do carregamento
poderá ser qualquer. O valor de e em cada fronteira é cons
tante, acarretando com isto, ângulos de inclinação dos car
regamentos em cada fronteira constante (1JELT = c.on.6.t e ,,.ELT=
= e.o n..1.tan.te) •
A variável ICR define a saída dos resultados. Se
ICR>0, serão impressos como resultados sõmente os valores
das componentes da tensão na fronteira externa (OA4). Se
ICR=0 será impresso o correspondente a ICR>0 e também adis
tribuição de cr e e no maciço.
tribuição de cr e e no maciço.
Se ICR<0 será impresso adis
Recomendamos valores de N<20
devido à facilidade de impressão dos resultados.
esclarecimentos serão fornecidos nos exemplos.
Maiores
95.
3.4 CÁLCULO DAS VARIÁVEIS NAS FRONTEIRAS A10
1 e 0
10
2•
O cálculo das variáveis na fronteira A10
1 será rea
lizado conforme Item 2.3.3. Como já foi dito, nós trabalh~
remos sõmente com as variáveis o e a que definem o estado de
tensão em qualquer ponto do maciço em estado de equilíbrio
limite. Devido a importância destas fórmulas nós as repet!
remos a seguir.
19 CASO - Quando o carregamento dado nao fôr vertical.
(inclinado de O com a vertical, constante).
e = ( l - s K) 1I. + ( s K. ti - o l + m1r • 4 2
p(x)<1ent, a = onde
<1 enô =
<1en(ti - SK.ô) -0 en</>
{' Equ.,i.R.Zb1t,i_o l,i_m,i_,te, pa.-0 <\,<.V O SK =
1 Equ.,i.lZb1t,i_o R.,i_m,i_,te, a.;t,i.vo
m = qualquer numero inteiro, para facilidade m = O(NI=O).
96.
29 CASO - Quando o carregamento dado fôr vertical (ô=0).
9=(1-SK) 1T
+ mrr 4
p(x) ª' ·= ------
1 - SK. 6 encj,
Definidas as variáveis a e 9 as componentes da tensão serao:
ªx = {J + 6encj, c.06 29) - H
a 2
= ( 1 - 6 encj, e.o 6 2 9) - H
T = a.6encj,.6en 29 xz
Para calcularmos as variáveis na fronteira 010
2 nos
usaremos as fôrmulas deduzidas no item 2.3.4. Para o caso
desta fronte ira coincidir com uma característica ··n, temos:
97.
O valor de e será .calculado em cada divisão de O 1 O
2,
considerando uma variação linear entre os valores extremos
de e em 01
e 02
calculados pelas fórmulas anteriores.
3.5 CÁLCULO DAS VARIÃVEIS NO INTERIOR DO MACIÇO.
Automatizamos o cálculo de tal maneira que, se um
ponto nodal (ponto intersecção de uma característica n com
uma característica~) pertence ao interior do maciço, basta
rá resolver o problema de Cauchy. O equacionamento e a"fer
ramenta" obtida poderá ser notada pela listagem.
Como a determinação das variáveis em um ponto inter
no é feita em função dos seus valores em pontos vizinhos, ex
pressando em diferenças finitas as relações válidas ao longo
das características, necessitamos recalcular estas variáveis
para obtermos valores mais próximos dos reais. Isto nos
foi possível usando o procedimento numérico iterativo suger!
do por Sokolovskii e, usado por GRAHAM 1 1 • o número de i te
raçoes para cada ponto é igual ao valor da variável KAP que
deverá ser fornecida. Aconselhamos tomar KAP=5, pois que
valores superiores a êste fornecem o mesmo resultado.
98.
3.6 CÁLCULO DAS VARIÁVEIS NA FRONTEIRA EXTERNA
A fim de obter as variáveis em um ponto da fronteira
externa basta-nos resolver o sistema, considerando que cada
ponto pertence a uma das famflias de caracterfsticas e à pr2
pria fronteira (Ver, HARR13 ). Como êste sistema, de mesma
forma, ê expresso em diferenças finitas, teremos que
as mesmas iterações para que a solução se aproxime o
possfvel da verdadeira.
3.7 SAÍDA DOS RESULTADOS
fazer
mais
Como se poderá comprovar pela listagem (Item 3.8),
mandamos imprimir as caracterfsticas do solo e do carregame~
to e outros detalhes que caracterizam o problema a resolver.
Os resultados, prôpriamente ditos, serao fornecidos
conforme o valor de ICR. Mas, podemos dizer que, na maio
ria dos problemas, o que necessitamos são os valores das ten
soes na fronteira externa. Êstes valores serão fornecidos
para ICR > O e em todos os pontos de intersecção das cur
vas características, da famflia da qual pertence a linha de
ruptura, com a fronteira externa. Em cada ponto são forne
99.
cidos os valores da abscissa e das componentes da tensão nor
mal na direção X e na direção Z, e a tensão cisalhante.
3.8
100.
LISTAGEM DO PROGRAMA
--------- ·-,--------.--------. --i·, . . . ·. - , ,.. -~ -,, . -~-. ,r
1
i I .JOB
l.•~f; DRIVE
ºªºº 0001
A 63
A 63 ,~:.~,o~;~,::ji . ,,
-,
It~=-~+· [)X"' 1 4. / ' -DY=l'W l X~,
DY=36. "•5 l WRITE!5, ,~~
10 FORM4T12Fl0,51 IF(DX-DYl265,265,270
265 UC:DX GO TU 275
i70 UC.,,DY 2:15 EXl=Xt (N,'H,l )-2*SINI ALFA)
EYl :Y l l NMl, l 1 +2*COSI ALFJ\ 1 IE2=Yl!NM1,LSDl-1 W~ITEC5,l51 IE2 EX2:JE2 IE2=1ARSIIE21 WRJTE{5,151 IE2
15 FORMAT(2151 CALL ~C~LFIUC,UC,O.,EX21 CALL FGRI011,0,,EX2,1.,IE21 CALL FPLOT12,EX1,EY11 CALL FPLOTl-3,0.,0,t CALL FPLOT4-2,Xll2,~l,Yl12,N)l LN:NMl+l ,,,~· LL::,,,::H +l<BET A DO 290 1-=2,NMl Nll:LN-1 NJ2:LL+ 1-1 OU 2'"10 J=Nll,,~12 CALL FPLQT(2,Xll!,J1,YllI,Jll !F( 1-:-u,q 12ao,zgo,2go
_2RO tF<J-ri121zgo,2as,2go
: . ~;"_
~--:~:: .. :.-1· ,, ,e,,,·
i !, ·'.'.'.7/t._".
t' C 15, 40), N ,NMl, l T2 i AHI ,GIi.MA';·,;__· '·'."fc{ '2,CDSF,Xll15,401,Yll15,4ül; .
02 --SUBROUTINE. CTRhL'. ··
] ,:;._/,~;:2:::_;,\;1;'-2':F-
".
185 CALL FPLUTf3,XllI+l,Nil-ll,Ylll+l,Nll-lll t''JO COiH I NUE
CALL FPL01(3 1 XllN,21,YllN,2l1 00 301 J:2,N NI J=N+2-J OU 295 l=NI3,NMl CALL FPLOT12,XlCI,Jl,Yl(l,Jll
2<J5 tn-nwuc C,\Ll FPLOTI 3,X.11~13-1,J+l l ,YllN13-1,J+l l)
30 l CQ;H t NUE -•t·· -00 310.J=NMl,LL 00 305 ·1=1,NMl
. '
101.
--···'---·--~---·· ----- ,,·-~- .... , .. __ ,_,~----·•;, ____ _._. _______ . pt\Gl: 2 ' ó)
C~Ll FPLOTl2,Xlll,JJ,Ylll,J_l_l ____ ~ 305 cu:H ! 'UE •
CALL PLOT. HO CO:'H 1 'UE
HS
320
325
CI\LL PLOT! N 14=L LSP=L DO 32 N 1 ?=J on 31
GU TO '.:.15 WKITF:17,3't01
.. ~.
, , r \ -~ •, .-;C7'.'\ l
IZAMENTO PARA A Otst:IBÜÍ~'!L ;-i IMITE-CASO ATIVO") --:">"f'-:~-::-
340 f(JRMt, r \ • REPRESENT AO0 OhS l lNHI\S !JE DESL I lAMENTO PARA A OIS TR JBUIC lAíl_DF. TENSOES NO EST/\00 DE EOUILIIJRIO LIMtTE-CASO_PASSlV(?'I:; .' .... {-s(s°--:t:'-·;-
345 EXl:-1-EXl CALL FCHARlEXl,EYl,0,1,0.2,-1~571 .-..,: HRl TEt7,350)
350 FQRMAT! 1 TESE RETURN
MARCIO MJRANOa SOAREs--..:coPPE-UFRJ''J
END
F~ATURES SUPPORTED i-,,~E WORD l N H:GERS
C';~E REUUIREMENTS FOR CPPl • Cü/~MUN 7230 VAH.IABLES 3ft . PROGR~("I
q~L~TIVE E~TRY POJNT AODRESS 1s·oocA IHEX)-, -
~ir OF COMPILATION
// l)UP
*DELE.TE CPPl !. \RT líl OOFf D[l AOOR 2E73 DA CNT 003C
i:;ruRE \iS UA CPPl CARJ iD OOFF DH ADDR 2ECA 08 CNT 003C
944
il FOR U•U"ARCID Mll{ANOA SOARES*~•PROGRAMA 02 *l rs T SGURCt PROr,RAM
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1,J-11 l+GAMl\*( "l-Bl l l/f 2HANF*l SIGJ+SIGI 1) SlGl l ,JJ o:S!Gt l-1,J )-7.•S JGJ*TI\NFOI TET( 1,J 1-TEH 1-1 ,JI l+GAMA*Al IF!KK-KAP132,32,100
j2 TETI=ITETCl,J-ll+TF.T(J,Jll*0.5 Tf:TJ=lTETCl-1,Jl+TETII,J})~O.5 SIGI=ISIGll,J-ll+SIGll,Jl)~O.5 SJGJ=lSIGll-1,Jl+SIGtt,Jll*0.5 GO TO 31
CALCULO DAS VARIAVEIS NA FRONTEIRA ll~ITE --CASO PASSIVO .·--'-'«· ~-..
,,. .. ) '.-, ...
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J\NGULO OE HlCLINACAO on CARREGAMHJTO.OADO------ o.ao J\NGULO bE tNCLrNACAO DO CAAREG~MErJJO PRílClJRADD- º·ºº ANGUlfl OUE DEFINE O MACICO--------------:-------lflQ.00
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4.1 --
CAPÍTULO 4
EXEMPLOS DOS DIVERSOS PROBLEMAS PRÁTICOS
E CONSIDERAÇÕES DOS RESULTADOS
CAPACIDADE DE CARGA
4.1.l Generalidades
Antes de apresentarmos os resultados obtidos
109.
pela
teoria exposta, faremos algumas considerações sôbre as diver
sas teorias existentes.
A maioria das teorias que tratam do problema de ca
pacidade de carga admitem superfícies de ruptura que via de
regra sao cinemàticamente impossíveis. Os valores forneci
dos pelas diversas teorias diferem consideràvelmente entre
si, já que são diferentes as hipóteses nas quais se baseiam.
K. TERZAGHI 30 (1943) propôs a seguinte equaçao para
determinação da capacidade de carga de uma fundação corrida
carregada verticalmente.
110.
( 4 .1)
onde C= coesao do solo, B= largura da fundação, v6= profund!
dade da fundação, y= pêso específico do solo e Nc, Nq e Ny
sao os fatores de capacidade de carga de Terzaghi, que depe~
dem exclusivamente do ângulo de atrito interno do solo. Pa
ra que possamos, posteriormente, fazer alguns comentários,
daremos o significado da capacidade de carga segundo Terza
ghi. Na.Figura 4.1.1, q6
será a carga máxima uniformemente
distribuída que poderá ser aplicada ao solo atraves da
ta de largura B, de maneira que não ocorra ruptura do
Caso haja uma camada de solo com espessura v6
acima da
sap~
solo.
base
da fundação, qó será a carga máxima que poderá ser aplicada
de maneira que a carga y.v 6 possa impedir a ruptura, havendo,
portanto, uma dependência entre q6 e v6 (ou yV 6).
BRINCH HANSEN 4 (1952 a 1960) estendeu a equaçao de
Terzaghi introduzindo o fator de forma~, o fator de prof~
didade d e o fator de inclinação i, de maneira que, a capac!
dade de carga seria dada pela equação:
( 4. 2)
111.
Os valores de todos os fatores que definem a capacidade de
carga podem ser encontrados, por exemplo, em BOWLES 3 (1969).
BALLA (1962) determinou a seguinte equaçao geral
para a capacidade de carga considerando uma figura de rupt~
ra mecânicamente possível.
qÓ = C. (.tg4,+óF ) + y.VL. (l+óF ) + 0,5 yBó(óF +F .tg4>) 6 O 5 4 5
( 4. 3)
na qual os coeficientes F sao sõmente funções de 4> (ângulo
de atrito interno do solo), enquanto que o parâmetro ó é fun
ção do mesmo 4> e das relações adimensionais VÓ/(B/2) e C(B/
/ 2) Y· Em outras palavras, Balla verificou que os fatores
de capacidade de carga fornecidos por Terzaghi nao eram so
mente funções de 4> mas também de v6, B, C e y.
A teoria de Sokolovskii também nos permite determi
nar a capacidade de carga de uma maneira indireta, baseando
-nos na definição da capacidade de carga de um solo. Nós
procuraremos o valor do carregamento q(x) que poderâ ser a
plicado ao longo do semi-eixo negativo dos x de maneira que
o carregamento p ( x) , impeça o movimento de deslizamento. Prâ
112.
ticamente, o carregamento p(x) é o valor da carga equivale~
te à camada de solo superior à base da fundação (Figura 4.1 .
• 1) •
z
' q 6 = c.on!>t q = y ºn
l L l l l , TERZAGHI "'rr.:;://:=// ~, «.:::- // ~ // :::://
z
q(xl-=?
p (X) =
SOKOLOVSKII .:::-//
z
FIGURA 4.1.1
113.
Para resolvermos êste problema nós teremos que del~
mitar o comprimento do carregamento p(x) de maneira a têrmos
a superfície de ruptura passando por M (pràticamente, êste
comprimento é cêrca de 4 a 5 vêzes a largura B da fundação).
Fornecidos os valores que definem o solo (C, ~, y), o carre
gamento (P, P e XL) e as características do problema - es l 2
tado passivo na zona de aplicação de p(x)
regamente q(x) procurado seguindo o roteiro
discutido.
4.1.2 Exemplos.
obtemos o car
anteriormente
Procuremos o valor da capacidade de carga de um so
lo definido pelos paràmetros C = 1,0 t/m2, ~ = 30° e y =
= 1,5 t/m 3 , pela teoria de Sokolovskii, fazendo as diversas
hipóteses possíveis.
19) Supondo, primeiramente, que iremos projetar uma sapata
contínua na superfície do solo (VÓ = O).
a) Inicialmente, desprezaremos o peso próprio do solo.
Nêste caso entraremos com os valores dos parâmetros
114.
do solo definindo o pêso específico do solo como sendo nulo.
Como a sapata é superficial o carregamento real é nulo (P = l
= P = O) e tomaríamos o comprimento de aplicação XL próx! 2
mo a 5 vêzes a largura da sapata. As outras característi
casque definem o problema e que permitem uma aproximação
maior nos resultados, também serão fornecidos. O número de
divisões (N) no comprimento de aplicação de p(x), do qual
também dependerá a aproximação dos resultados deve ser toma
do menor do que 20,face a dificuldades na impressão dos re
sultados.
Em resumo, fornecendo em cartões perfurados na or
dem abaixo e nos formatos correspondentes à listagem.
NS = 1
e = 1. FI = 3 O. GAMA = o. NC = 1
ICA = 1 ICR =
PI = o. P2 = o. XL = 1 O.
N = 1 O KAP = 5 SK = 1 . KBETA = 1 O NI=O
VELT = o. ELT = o BETA =180.
obtemos os resultados que nos permitem traçar a Figura 4'.1.2,
115.
na qual temos os valores das tensões a na fronteira externa z ..
(x < O) que e o valor da capacidade de carga.
Refazendo os cálculos, alterando apenas o número de
aproximações KAP e fazendo-o variar de 5 a 15, nós verifica
mos que o resultado para todos os casos é o mesmo e igual a
31,s8· t/m 2 •.
p (x) = O
TERZAGHI -·--·--·--··--· --·--·--
z
FIGURA·4.l.2
SOK LOV KII 2
q(,)=3 ,8 c/m
Determinando a capacidade de carga fornecida pela
equaçao de Terzaghi (4.1) encontramos o valor qá = 37,2 t/m 2•
De acôrdo com as teorias de Sokolovskii e de Terza
ghi, observamos que, ao desprezarmos o pêso próprio do solo,
a capacidade de carga independe da largura da fundação e o
116.
valor dado pela primeira teoria é menor que o fornecido pela
segunda.
b) Agora, consideraremos o peso próprio do solo, e os
dados a fornecer serao os mesmos vistos anteriormente, só al
terando o cartão que define o solo, que sera:
e = 1 • FI = 30, GAMA= 1.5
Nestas condições, obteremos os resultados que sao os forneci
dos na Tabela 2.3.20 e que nos permite traçar a Figura 4.1.3.
x-=~'77'==1/"==S'""?;~--------+---'--'------'----'-----'-,7"';=-:,=,-,,,;,:: O ·, .N, - 1 • O - 2 • O - 3 • O - 4. O
z
FIGURA 4.1.3
1) CAPACIVAVE VE CARGA TEÕRICA: q(x) ~ 31,8 - 28,93x. 2) TEORIA VE TERZAGHI: · q6 = 37,2 - 14,75x.
117.
Da mesma forma, refazendo os cálculos e alterando,
sõmente, a variável que define o número de iterações para ca
da ponto e fazendo-o variar de 5 a 15 nós verificamos que os
resultados nao se alteram e que o
{ 1 . / 2 finido por q x=O - 31,8 :t m e
carregamento e linear e de
q(x;4,0) = 146,0 :t/m 2•
Resolvendo êste problema pela teoria de Terzaghi
obtemos:
qá = 37,2 + 14,75.B ou q6 = 37,2 - 14,75 x ( 4. 4)
o que corresponde à reta traçada na Figura 4.1.3, e que, p~
ra x = O, q(O) = 37,2 :tJm 2, e para x = -4, q(-4) = 96,20
:t/m2.
Verificamos que os valores obtidos pela teoria de
Sokolovskii são inferiores aquêles obtidos pela teoria de
Terzaghi no intervalo X< ON (Figura 4.1.3). ll:ste fato
nos permite concluir que ao longo dêste intervalo, os valo
res fornecidos pela teoria de Terzaghi geram um estado de
tensão impossível nos solos. Mas, o que é mais importante,
ê o fato de que, pela teoria de Terzaghi, qá e uniformemente
distribuída sôbre a largura B; assim sendo, o valor de qá
118.
para B = 2,0m, nêste problema, seria 66,70 ;t/m 2, o que cer
tamente provocaria uma ruptura localizada numa largura sup~
r-ior a 1,0m; como podemos notar pela Figura 4.1.3.
29) Suponhamos que iremos projetar uma sapata continua a
uma profundidade v6
= 0,50m.
Para êste solo os valores obtidos pela teoria de
Sokolovskii e pela teoria de Terzaghi estão representados na
Figura 4.1.4. A Figura 4.l.4a representa os valores da ca
pacidade de carga desprezando-se o pêso próprio do material
(y=O), e na Figura 4.l.4b considerando-se o pêso próprio.
Com respeito aos resultados poderíamos fazer a mesma consid~
ração anteriormente apresentada. , TERZAGHI q6_= 44,1 t/m 2
X /. ~
a)
p(x) _ = o, 75 ;t/mz
<1olo e 4> y=O
------· - -----·-·-SOKOLOVSKII q(x) = 3,94 t/m2
z
----·--44 ,---·
-1. -2. -3. -4. x~ . ..,1/'"'==-/,"==-----------+-----'--.;._ _ __..__-'----'-----.... SOKOLOVSKII q(x) = 44-33.x(t/m 2 ) e TERZAGHI q
6 = 44-14,75x(t/m 2 ) b) <1olo 4>
y
z
FIGURA 4.1.4
119.
4.1.3 Comparação Entre Valores Obtidos e Va-
!ores Experimentais.
Após termos feito a comparaçao entre os valores for
necidos pela teoria exposta e os valores calculados pela teo
ria de Terzaghi façamos a comparação entre os valores calcu
lados pelas diversas teorias e os valores experimentais obt!
dos nos ensaios de campo executados por MUHS (1959 a 1961)
-e MILOVIc 20 (1963) em sapatas retangulares e quadradas.
tstes testes estão representados a seguir, com os
valores obtidos pelas diversas teorias, inclusive, os valo
res da capacidade de carga teórica, e os resultados exper!
mentais acima referidos. Para efeito de comparação conside
raremos que a capacidade de carga, dada pela teoria de Soko
lovskii é o valor da ordenada da capacidade de.carga teórica
correspondente a menor largura da sapata.
TESTE I
2. O
-9. 7 O
li
CAPAC. DE CARGA TEaRICA
,,,,fl 111"·' li* J J X
z
1
'
'
NOMER( VALOR
DO
TESTE
I o.
i
MÉTODO
DE
CÁLCULO
TERZAGHI MEYERHOF
120.
VALOR DA
CAPACIDADE DE
CARGA (Kg/em 2)
7.62
6. 6 8
CAQUOT e KÉRISEL 5. 7 9
BRINCH HANSEN
BALLA
1 C=0,65 :t/m2: MLJHS 1
6. 2 3
1 O. 34
1 O. 8 O
9. 1 O ; 4>=37º ! SOKOLOVSKII : 3 ! , y=l ,6 :t/m ' Í p(x)=O
! 1
1
j II 0.5 1
i i C=0,40 :tJm 2
4> = 3 5° 3 O'
y=l ,67 :t/m3
p(x)=yD 6
TERZAGHI MEYERHOF
CAQUOT e KÉRISEL
BRINCH HANSEN
BALLA
MLJHS
SOKOLOVSKII
.
7.80
1 6. 8 4
7. 1 8
8. 8 O
14. 11
12. O
1 O. O
CAPAC. DE CARGA TEaRIC~
TESTE III
-----------" 16. O p(x) ..:::r:-:r·j_i___L_L.i. ____ _ X r
NÚMERO VALOR
VO VE
TESTE VÓ(m)
III 0.5
C=0,80 :t:./m 2
ij,=38° 30'
y=1,4:t:./m 3
z
CAPAC. VE CARGA
p(x)=yVÓ
TEÕRICA
TESTE IV
p(x)
X
z
1. O
1 • O
. 2 2. 2
CAPAC. VE CARGA TEÚRICA
IV 0.5
C=0,80 :t:.fm2
4>=38° 30 1
y=1,4 :t:./m 3
p(x)=yVÓ
121.
VALOR MÊTOVO
VE
CÁLCULO
VA CAPACIVAVE VE .CARGA (Kg/ c.m2)
TERZAGHI 1 5. 2 3
MEYERHOF 34. 86
CAQ_UOT e KÊRISEL 1 3. 7 O
BRINCH HANSEN 1 7. 5 3
BALLA 2 5. 1 8
MUHS 24.20
SOKOLOVSKII 16. O O
TERZAGHI 1 8. 5 5
MEYERHOF 46. 9 6
CAQ_UOT e KÊRISEL 14. 4 7
BRINCH HANSEN 22. 52
BALLA 3 2. 5 O
MUHS 3 3. O
SOKOLOVSKII 2 2. 2 O
TESTE V NÜMERO VALOR VO VE
TESTEV6
(m)
9•:;~1/ · -_ ~~MliiJS/, I
6 -~,J-,}=J/c,,J 111
1 o. 71 ' 1i1
O. 71
1!1 V 0.4 1,1 '
---- c = 1 , 3 :t/m2
3. 8 cj,= 2 2 ° 1 1
X z
y=l,8 :t/m 3
,p(x)=yVn
CAPAC. VE CARGA TEÔRICA
TESTE IV
O. 71 VI O. 5
e= 1, o :t/m 2
1 --4> = 2 5° L----
5.6 y=1,8 :t/m3
p(xl p(x)=yVá
X
z CAPAC. VE CARGA TEÔRICA
MÊTOVO VE
CALCULO
TERZAGHI MEYERHOF
122.
VALOR VA
CAPACIVAVE VE CARGA (Kg/em2)
4.47
6.58
CAQ_UOT e. KtRISEL 3. O 3
BALLA 6. 7 4
BRINCH HANSEN 3. 9 8 -
MILOVIC 4. 1
SOKOLOVSKI I 3. 8
TERZAGHI 5. 7 7
MEYERHOF 8. 8 4 CAQ_UOT e. KtRISEL 4. O 8
BALLA 1 O. 1 8
BRINCH HANSEN 5.74 -MILOVIC 5. 5 O
SOKOLOVSKII 5.60
TESTE VII
O. 71
O. 71
2. 1 8 p(x)
X z
CAPAC. VE CARGA TEÔRICA
O. 71
P ( x) . -X
O. 71
--.----
z
2.54
NÜMER! VALOR VO VE
TESTE v6
(m)
MÊTOVO VE
CÃLCULO
TERZAGHI MEYERHOF
123.
VALOR VA
CAPACIVAVE VE CARGA (Kg/c.m 2 )
2. 51 2. 51
CAQUOT e KÊRISEL 1.65 VII o.o· BALLA 2. 9 3
1 • 9 8
2. 2 O
2. 1 8
1C=1,0 :t/m 2
! *=20º
y=l,74 :t/m 3
p(x)=O
BRICH HANSEN -MILOVIC
SOKOLOVSKII
TERZAGHI MEYERHOF
VIII CAQUOT e KÊRISEL
0.3 BALLA
2. 9 O
4. 1 O
2. O
4.40
BRINCH HANSEN 2.57
C=1.0:t/m 2
~=20º
y=1.74:t/m 3
p(x)=yV 6
MILOVIC SOKOLOVSKII
2. 7 O
2. 54
CAPAC. VE CARGA TEÔRICA
124.
4.2 ESTABILIDADE DE TALUDES
Em uma das conferências proferidas recentemente na
COPPE, o Professor NORBERT MORGENSTERN salientou a aplicação
da teoria de Sokolovskii aos problemas de estabilidade de ta
ludes em solos e, inclusive, apresentou resultados comparat~
vos entre esta teoria e as demais teorias existentes.
Nêste item nao daremos um desenvolvimento completo
dêste problema, o qual pretendemos juntamente com a resolu
ção de outros problemas mais complexos apresentar em traba
lhos futuros. Limitar-nos-emos a apresentar os resultados
obtidos para um caso particular, os quais constam da Tabela
4.2.1 e Figura 4.2.2.
O carregamento representado na Figura 4.2.2 é o car
regamento máximo em ton/m2 que poderá ser colocado nêste ta
lude sem provocar ruptura do mesmo.
6. 7 8 12.96 t/m 2
e = 0,4t/m 2
~ = 35° 3 O '
y = 1,67t/m3
z FIGURA 4.2.2
• li)
N ..-i
J
I
X(I,J)
SIGMAX(I,J)
SIGMAZ(I,J)
TALXZ (I ,J)
1 / 2 1
O.DO
1 • 3 8
6.78
º·ºº
2/22 3/23 · 4 / 24
- O. 2 7 -0.39 -0.54
1 . 8 8 2. 7 9 2.42
8.64 9. 8 3 1 O. 7 O
o. o o o. o o o. o o
' 5/25 6/26 7 / 27 8/28 9/29 10/30 11 / 31
- O. 6 9 - O. 81 -0,93 - 1 • O 3 - 1 • 1 3 - 1 • 2 7 - 1 . 2 8
2. 6 O 2. 7 4 2.84 2. 9 2 2. 9 7 3. O 1 3. O 2
11 • 3 7 11 , 8 8 7 2. 2 7 7 2. 5 6 7 2. 7 7 7 2. 9 O 7 2. 9 6
o. o o o. o o o. o o o. o o o. o o o. o o o. o o
TABELA 4.2.l
126.
CAPÍTULO 5
CONCLUSÕES GERAIS E LIMITAÇÕES
Lembramos aqui que a teoria de Sokolovskii desenvo!
vida para um estado de equilíbrio limite plano, considera
que tôda a massa de solo envolvida no processo de ruptura a
presente tensões cisalhantes correspondentes ao valor máximo
(ou resistência ao cisalhamento).
to, com relações tensão-deformação.
Não se preocupa, porta~
A concordância da aplicação da teoria com a prática,
seria, a priori, tanto mais válida quanto menores fôssem os
recalques na ruptura.
Em razao da excelente aproximação entre os resulta
dos obtidos pela teoria exposta e os resultados experime~
tais, podemos aceitar a aplicação desta teoria a problemas
práticos de capacidade de carga de fundações rasas em solos,
em que pese não corresponder o carregamento, nos testes exp~
rimentais, à condição de estado de equilíbrio limite plano
adotado pela teoria.
127.
Ressaltaremos aqui as limitações que se apresentam
na aplicação do programa de computação desenvolvido.
lQ) A solução, na forma em que foi desenvolvida, nao se a
plica a solos puramente coesivos, devido a formulação
deduzida tornar-se imprópria a cálculos computacionais.
Entretanto, poder-se-á, num desenvolvimento análogo ao
que fizermos, atender a êste caso particular.
2Q) Para solos puramente granulares o carregamento dado de
ve ser diferente de zero ou seja, o carregamento equiv~
lente não pode ser nulo.
39) O carregamento dado nao pode ser descontínuo. Esta con
sideração carece de desenvolvimento teórico.
128.
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