problemas de relojes
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8/3/2019 Problemas de relojes
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I N T R O l J U C C H 1 N :Un relojero medip' extravagante fabricaun reloj que funcionaba a la perfecci6n,pero sus manecillas eran del mismo ta-mario.
Medir el tiempo que transcurre significautilizar muchos conceptos, como son: lo ssegundos, los minutos, las horas, los dias,las semanas, los meses, los arios, .... etc.Relacionando convenientemente dichosconceptos, y de acuerdo a los insfrumen-tos y forrnas utilizadas para dichas rnedi-ciones, es que desarrollaremos el capitu-la, agrupando a los problemas en 4 par-tes principalmante.
I.. P R O B L E M A S S O B R E C A M P A N A SEn este grupa de problemasse veran lascasas en las cuales invalucran a relajesque sefialan las horas mediante carnpa-nadas.
Vearnos elsiguiente esquema:
Se observa que entre campanada ycampanada hay un intervalo de tiem-po ( t ) constante.
Segiin el grafica:# de campanadas =4# de intervalas = 3
Esquema:4 t a . c a m p a n a l i aibk=b~
~ t ie rnpo total : 3t
C o n c l u s i o r r e s :de intervalas = # camp - 1r [ Tiempa} [ # de ] [ ' ~ : : n d e l ] li . total = intervalos x l n t e r v a l o II . . . . . . . : : J
~ 326
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8/3/2019 Problemas de relojes
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E iemp (o 01Un carnpanario emplea 6 segundas paratocar 4 eampanadas. 2.Cuimta tiempaernpleara para tocar 8 eampanadas?a) 125d) 165
b) 145'e ) 10 s
e) 20 s
Resoluci6n:Analizando en un grafieo tenemos:
~ 6"
t = 7(2") = 14seg .
Empleara 14 scqundos . lClave: bIOBSERVACION.Aparentemente la respucsta iba a ser 12segundos pero no fue asi ya que el nu-mero de carnpanadas y eltiempaen darcampanadas no son magnitudes directa-, mente proporcionales; es decir no pode-mas indicar que si un carnpanario toea 4carnpanades en 6 segundas, el doble, 8campanadas tocara en 12 segundas.En cambia el tiempo empleado y el nu-mero de intervalos sf son magnitudes di-rectamente proporcionales, entanees po-
demos indicar el siguiente metoda practi-ca.
=>x=~=143Emplcara 14 segundos.
Eiem plo 02Si un campanario toea 10 campanadasen 27 segundos. 2.Cuantas campanadastocara en un minute?a) 20d) 19
b) 18e ) 21
c ) 22 ~
Resoluci6n:Aplicando el metod o p ractice .
= > x-I = 9 ; ~ Ox-I = 20
x = 21Tocara 21 campanadas. c ' . . . . . . _ . _ _ . - . - . . ,
!Clave: e i\ . , , , , , , , . . _ . , " _ ~ _ _ , i .
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fiemplo 03Un reloj seriala la hora con igual numcrode carnpanadas, si para indicar las 12:00dernoro 22 segundos. GCuim to demeraraen indicar la s 4 :00?a) 7seg.d) 9 seg.
b) 6 seg. c)4 seg.e) 12 seg.
Resolucio:
3x 22 - 6x=-l1=" :. Demerara 6 segundos.
(Clave: b JE ie m p lo 0 4
_-Un reloj sefiala la -hora .con el trip le decampanadas con que senalana un reloj
- n ormal. S i en indicar las 4:00 am . demo-r o44 segundos. G Cuantodemorara enlndicar la s 21 :00?a) 108seg. b) 231 seg. c) 250 s-eg.d) 104seg. e) 110 seg.Resoluci6n:
. = > x = 26rl44 = 104.. Demerara 104 segundo s. .;---'"iC lave: d!~-,~~I I . R E L A C I O N D E TIEMPOSEn este grupo de problemas dcsarrolla-remos aquellos casos en los que se invo-lu cra n e l tran sc urrir d el tiempo y par con-siguiente tambien al tiempo que faltatranscurrir, ya sea en un dfa,una serna-na,una hora, etc.E s q u e m a
E ie m p lo 0 5S i son mas de las 3 , pero aun no son las5 y lo s minutes t ranscurr idos desde las 3es la cuarta parte de los minutos que fal-tan p ara la s 5, G que hora es?a) 3 :20d) 3 :24
b) 4:24e ) 3:36
c ) 3:44
Resoluci6n:Del enunc iado:
~ 328120 '
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Planteando: .x+4x=120
5x = 120x =24S on las 3 :00 + 24 ' = 3:24
(Clave: d jEiemp(o 0 6S abiendo que el tiem po transcurrido deldia es excedido en 8 horas por e l tiempoqu e fa lta transcurrir, 2,Q ue hora sera den-tro de 3 horas?. a ) 11 :00 pm .c ) 10 :00 am .e ) 9:00 am .
b) 8:00 am .d) 11:00 am .
Resoluci6n:,
24h= > x+(x+8)=24
2x = = 16,x=8
.. S on las 8:00 am . y dentro de 3 horasseran las 11:00 am .
(Clave: d )
Ejemp (o 0 7Hace 20 minutos, el tiempo que faltabapara las 4 pm . era el trip le de 1 0 que fa lta -ra para dicha hora pero dentro de 10 mi-n uto s. 2 ,Queh ora e s?
b) 3 :35e ) 3:32
a ) 3:30d ) 3:55
c ) 3:45
Resoluci6n:
4 p.m .3x'
= > 20 + 10 + x = 3xx =15
.. Hora exacta : 4pm - (10 ' + 15')3 :35 pm .
Ejemp lo 0 8,-GQue hora es?; para saberlo , basta consum ar la m itad ~el tiem po que falta paralas doce del medio dfa, mas los 2/3 deltiem po transcurrido des de las doce de lanoche.a) 7:12 a.m.c) 9:1 0 a.m .e ) 7:2 0 a.m .
b) 5:3 0 a.m .d ) 10:30 a.m.
[ @ 3 2 9
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Resoluci6n:Del enunc iado:
~~xh . 0 (12- x)h,~~~
12 de fanoche 12 delmediodfa
12hPlanteando:12 -x 2X=-.-2-+'3(X)
6x = 36-3x+4x5x=36
X = 36 h5 0 = 7h12min 00S on las 7:12 a.m .
(Clave: a J
I I I . P R O B L E M A S 8 0 B R EADEUNT0 8 Y ATRAS0 8
En esta parte veremos aquellos proble-mas que involucren relojes que por unmal fu nc io namie nto se a de la nta n 0 atra-san.
atraso 0 adelanto~g~
S i un relojesta atrasado.Hora = [Hora] _ atrasoindicada '.reali
'. S i un reloj esteadelantado:
E je m p lo 0 9U n reloj se adelan ta 1 m i'nuto cada 900segundos. S i ahora m arca las '4 :20 y hace8 horas que se adelanta; ccual es la horacorrecta?
b) 4:12e ) 3:30
a ) 3:42d ) 3:48
c ) 3:16
Resoluci6n:Calculemos e l ade lanto :Adelanto en1 m inx 15 min.~~~~~J
X .480 m in. ____"';8h i~ ,48 0 min 32 .= > X=-lS-= min
Hora corr ec ta = 4 :20 - 32 '= 3:48r Clave: d )
------------'_muDPara que un relo j defectuoso que sufreadelantos 0 atrasos, vuelva a m arcar lahora correcta, es necesario que acu-mule un adelanto 0 atraso total de:
12 h < > 720 min.
~ 330
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Consideraciones: La circunferencia de un reloj esta di-vidida en 12 espacios iguales separa-
fiemp(o II dos par las marcas horarias.Un reloj que se adelanta 7 min. "cada > _ El espacio comprendido entre doshora y otro que se atrasa3 min:'cada' marcas horarias csta dividido en 5 es-hora se sincroni~arr~ iqslO:OOam. Wen- pacios que corresponden a los minu-trode cuantotiernpo como rninirno mar- tos.caran juntos la misrna hera?
reloj que se atrasa 5 minutos en cadahora, es sincronizado hoy at medio dia(12m). GQue tiempo, como minimo, de-bera transcurrir para que vuelva a marcarla hera correcta?a) 6 diasd) 8 dias
b) 9 diase) 10 dias
c) 7 dias
Resoluci6n:Aplicando regIa de tres simple:
Atrasa en5min.x... ' 1h.720 min. . x
= > x = 72~xl = 144h= () d fas
Debe transcurrir como minimo 6 dfas,
(Clave: a Jf Para que dos re~;:,~efectuow" (quel! se adelantan 0 atrasan) vue1van a IImarcar la misma hora es necesario queI exista una diferencia entre 1 0 que mar-l can de: ."t 12 h < > 720 min. )
b) 3 diase) 6 dias
c) 4 dias)2 diasd) 5 dias
I Resoluci6n:Note amigo que en una hora habra10min. de diferencia entre 1 0 que mar-can:@f .~ ~0,07,0q~o~p~/ se atrasa ""-2/ se adelanta " '~
Aplicando regia de tres:Diferencia en
10' X. 1h720' x
Dentro de 3 d fas.
III. M A N E C I L L A S D E L R E L O J
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3
6m a r c aJ
d e l a s 6 :0 0
Aho ra h allemos la re1aci6 n en tre e1 tiem-po y e1 anqulo barrido para cada m aneci-lla.En una hora el horario debera avanzardesde la rnarca de las 4 hasta la marcade las 5, es decir 30 y el m in utero d ebe-ra dar una vuelta c omp l e t e es decir 3 6 0.
S e observa que e! angu!o que barreelhorarioes l'a m itad de! tiem po en m inutosy e! rninutero barre un anqulo igua! a.6veces e! tiem po en m inutes.E ie m p (o 1 2C alculeel angulo que form an las m aniU asdel re!oj a las 1:18.
Resolucion:En un grM ico ten emos:(1:18) C o m o d e s d e l a 1h a n p a s a d o 18 m i n .e n to n c c s e l h o r a r i oh a b a r r i d o l a m i t a d 9
11
4
6entonces: a = 21 + 30 + 18 = 6 9
Form an un anqulo de 6 9.)'---:----......",
i C lave: b I,,----~E ie m p !o 1 32.Cua.1 s el m en or anqulo que form an lasrnaneoillas del relo j a las 8:24?a) 72
.. d ) 118b) 128e ) 108
Resoluci6n:Como desde las 8:00hasta las 8:24 hanpasado 24 m in., en este tiem po e1 horarioha barrido 12 (la m itad).
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El menor an gu lo es 108.
F O R M U lA P A R A H A L L A R E L A N G U L OENTRE LAS MANECILLAS .
o Cuando el horatio adelanta al m inute-ra.
12' I H:M I. G > [ ~ ~ 3 0 H - M I6 '
o Cuanda el rninutero adelanta al hora-rio,12 ., H:MIM"------'11 . I'v'a= , M - 3 0 H6 '
De los ejemplos anteriores:a) [1:18) H= 1 M= 1802. = > a=VM-30H .. ,( .... 3 a = V(18)-30(1)a = 696e l m in ute ro a de la nta
milDS610 cuando sean las 12:xH=O;M=x
b) [8:24)(;), 6
el horatio adetanta
E ie m p lo 1 4
b) 96e ) 99
M=24
= > a = 30H-llM2a = 30\8)- ll(24)a = 108
Resolut ion:[12:48 )
, l \ . - l . 3We l m in ute ro a de la nta .
6Cual es el menor angulo que forman lasmanecillas del reloja las 12:48?
c ) 98
H=O M=48a =M -30Ha= V(48)-30(0)a = 264
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El menor anqulo es:360 - 264 =960
(Clave: b )E J e m p lo 1 , 5S egun elgr~fico, ~que hora es exacta-mente? 12
9 3
6a) 7:24 b) 7:22d ) 7:219/11
c ) 7:229/4e ) 7:23
Resolucion:Del grafico son las ~. = > H = 7 ; M =x ; a = = 90
Aplicando la form ula:a =30H - M90 = 30 (7 ) - 1 2 1 (x)
24 0 1 1 122 2120
11~
I I x = 120x = 24011x = 2111
Son las 7:21;1
E ie m p (o 1 6~Que hora indica el grafico?
a ) 2:51d ) 2:54
b) 2:52e ) 2:55
c ) 2:53
Resolucion:S onlas ~y como desde las2 :00 han pasado xm in uto s, e nto nc esel horario ha ba-rrido ( x / 2 ) O y elminutero 6xo.De l g ra fic o:Para el horario: I+a=30 ..... ;.: . (1)p ara el m inutero:
6x+ 2a = 3303x + a::; 1650 (2)
Restando: (2) - (1)3x+ J = 1 6 ) _f+ J =303x-f =1356x-x = 2705x = 270x=54
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8/3/2019 Problemas de relojes
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S on las 2:54 ,r--,llave: d I_ ____JE je m p (o 1 'lGQue hora in dica el relo j d e la fig ura?
12
3
a ) 2h 331c ) 2h34te ) 2h 35f
b) '2h 34l.7d)2h 331-
Resoluci6n:Del gra fico :
9
= > a +t= 30 (1)= > 6x = 180 +2a
3x = 90 +a (2)
Sumando (1) y (2):
t+3x cd20x+6x '" 240
.. S on las 2:341
iRAZONE! II """" IU n vendedor de refrescos tiene seis re~1cipientes con capacidades de 15, 16 , I .18, 19, 20 y 3 1 litros respectivamente. IU no de dichos recip ientes se !lena to- italmente solo con juga de naranja y II cada uno de los otros cinco se llcna to- Italrnente solo con chicha morada 0 Icon " lim onacla. D e esta m anera el ven- II dedor tiene el doble de chicha m orada I .I que de limonada. leual esel volumen, I
! en litros, del recip iente que contiene el II juga de naranja? " I. Ii II I I- I
Ia ) 18d ) 31
b) 16e ) 20
c ) 15
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8/3/2019 Problemas de relojes
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' ~ ~ EMm tE I campana rio de un relojda tantascarnpanadas como el doble dclnurnerode horas que indica si la hora es par; y sila hera es impar ind ica la hora con igualnumero de campanadas. S i para indicarlas 7 :00demor6 30 segundos ccuantodemerara para indicar las 10 :007a) 45 seg . b) 95 seg . c) 100 segd) 100 seg . e) 90 seg .Reso luc i6n:Aplicandorcqla de tres simple, pero concampanadas ,
7:0010:00-r=-~2U
19 x30x =-. -6-= 95 seg .D em era ra 9 5seg un do s.. . I Clave: b I
t~1{gl~~Ml9~~U n campanario tarda 18 segundos en to-car (4n- 1) campanadas. S i en tre cam -panada ycam p1mada tarde tantos.se-gundos.como la m itadde un numeroquees uno menos que el numero de carnpa-nadas que dio . ~Cuanto tardara en tocarn 2 campanadas, s iel tiempo entre cam -panada y cam panada se dup licara?
b) 15 seg .e) 18seg .
c) 9seg .) 17seg.d) 16 seg .Reso luc i6n:H aciendo un esque~a:
411-2 411-12 3
211-1 2n-1211-1~~~(4n- 2 1 in tervalos
18 s eg .
De l g ra fic o: (4n - 2)(2n -1 ) = 18(2n -1 )(2n -1) = 9
2n-1 = 3n=2
iM uy bien! . .. ahora hallemos cuantodemerara en tocar n2 campanadas :
1 2 r( ( - = 2 06 seg 6 se9' 6 seg~~~
4
18 s eg .Tardara 18 segundos
~ 336
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~ f M ' ~ ~ M A . ; 2 l 1 1S on mas de las 3 sin ser las 4 de la ma-nana; si hubiera pasado 25 minutos m as,faltarfan para las 5:00 los mism os rninu-tos que pasaron desde las 3 :00 am .hastahace 15 m inutos. 2.Q ue h ora es?a) 3 .55 am . b) 3 :36 am. c) 3 :42 am}d) 3 :45 am . e) 3 :52 am.Resolution:Haciendoun e squema:
x IS ' 025' x '~~~~3 5
120 '. x + 15+ 25 + x = 120
2x=80x=40
.. S on la s: 3 :00+ 40 ' + 15' = 3 :55 am .1 _ c ! ! ~ ~ ! J
/J , . , , , , . - , " " , ! i .\ t l l } ! P ~ B ~ ~ l \ t l t Q i I ~ ! tGCada cuan to tiernp o el m in utero y el se-gundero form an un anqulo recto?a ) 30 ~seg. b ) 3029 59 seg.c ) 3q~seg. d ) 30~~seg.e ) 303159 seg.
Resolution:
segundos se volvera a formar 900.Hallemosx.
Del grafico: 6 x = 90 + 0 , 1 x + 905,9x = 180
x = l~~O =30 ~~
.. Cada 30 ~~ segundos se forma unangu lo re cto .
{ B 1 f g ~ : [ t l ' t l ~ 1 1 & .S i en este instan te el reloj digital indica lahora exa cta :
IK~~pn lpero se adelanta 10 segundos cada hora.GDentro de cuanto tiem po volvera a m ar-car la hora exacta?a) 150 dU na de las horas en que dichas agujas d) 36 0 d
form an 900 es las 12:15:00 y luego de xb) 180 de) 90 d.
c) 200 d
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