probleme care se rezolvĂ cu ajutorul ecuaȚiei de … · adică punerea problemelor in ecuație...
Post on 07-Aug-2020
73 Views
Preview:
TRANSCRIPT
PROBLEME CARE SE REZOLVĂ CU AJUTORUL
ECUAȚIEI DE GRADUL I
prof. Diaconescu Armășescu Claudia
Liceul de Arte ”Victor Giuleanu” Rm. Vâlcea
1.1. Ecuația de gradul I cu o necunoscută . Definire. Forma generală
DEFINITIE:O ecuație de forma
𝒂𝒙 + 𝒃 = 𝟎, unde 𝑎 ∈ ℝ∗ , 𝑏 ∈ ℝ, 𝑥 ∈ 𝐷 ⊆ ℝ
se numește ecuație de gradul I cu o necunoscută.
Numerele: a și bse numesc coeficienți(numărul a este coeficientul necunoscutei iar
numărul b se numește și termen liber)
xse numește necunoscutăsauvariabilă
D se numește domeniu de variație sau domeniu de definiție și poate fi una
din mulțimile ℕ, ℤ, ℚ,au ℝ, in funcție de caz.
Se numește soluție a ecuației 𝒂𝒙 + 𝒃 = 𝟎, 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ, 𝑎 ≠ 0, un număr 𝒙𝟎 ∈ ℝpentru care
propoziția 𝒂𝒙𝟎 + 𝒃 = 𝟎 este adevărată.
A rezolva o ecuație înseamnă a determina toate soluțiile sale. Aceste soluții formează
mulțimea soluțiilor ecuației date și se notează, de regulă, cu S
S = { x ℝ ax + b = 0 , a , b ℝ , a 0 }
Dacă după o ecuație urmează o precizare de forma 𝒙 ∈ 𝑫, aceasta indică mulțimea în care
ia valori necunoscuta. Se spune că ecuația dată este definită pe mulțimea D (sau că se rezolvă in
mulțimea D). Dacă nu se face nicio precizare, se consideră D =ℝ
EXEMPLE:
1. Ecuația2𝑥 − 6 = 0 are soluția 𝑥0 = 3 , deoarece 2 ∙ 3 − 6 = 0 ș𝑖 3 ∈ ℝ
2. Ecuația3𝑥 + 9 = 0, 𝑥 ∈ ℕ, nu are soluții, deoarece propoziția 3𝑥0 + 9 = 0 este adevărată
doar dacă 𝑥0 = −3, iar −3 ∉ ℕ.
Se observa că ecuația3𝑥 + 9 = 0, 𝑥 ∈ ℤ, are soluția 𝑥0 = −3 deoarece −3 ∉ ℤ
DEFINIŢIE:Două ecuații se numesc echivalente dacă sunt definite pe aceeași mulțime și au
aceleași soluții.
Pentru a rezolva o ecuație, adică pentru a afla soluțiile sale, putem folosi proprietățile
relației de egalitate, obținând egalități echivalente.
Proprietatea 1.Adunând la (sau scăzând din) ambii membri ai unei ecuații același număr real,
obținem o altă ecuație, echivalentă cu prima.
Conform acestei proprietăți, putem trece termenii dintr-un membru în altul schimbându-le
semnul.
Proprietatea 2. Înmulțind (sau împărțind) ambii membrii ai unei ecuații cu același număr real,
diferit de zero, obținem o altă ecuație, echivalentă cu prima„
1.2. Rezolvarea ecuației de gradul I:
Rezolvarea unei ecuații înseamnă determinarea tuturor soluțiilor sale.
Fie ecuația 𝒂𝒙 + 𝒃 = 𝟎, unde 𝑎 ∈ ℝ∗ , 𝑏 ∈ ℝ, 𝑥 ∈ 𝐷 ⊆ ℝ
𝒂𝒙 + 𝒃 = 𝟎 ⇔ 𝒂𝒙 = −𝒃 ⃒ : a
𝒙 = −𝒃
𝒂
Caz 1. 𝑎 ≠ 0 ⟹ 𝒙 = −𝒃
𝒂 𝒔𝒐𝒍𝒖ț𝒊𝒂 𝒖𝒏𝒊𝒄ă 𝒂 𝒆𝒄𝒖𝒂ț𝒊𝒆𝒊
Caz 2. 𝑎 = 0 ⟹ 𝑖) 𝑏 = 0 ⟹ 0 = 0 ⟹ 𝒙 ∈ ℝ 𝑴𝒖𝒍ț𝒊𝒎𝒆𝒂 𝒔𝒐𝒍𝒖ț𝒊𝒊𝒍𝒐𝒓 𝒆𝒔𝒕𝒆 𝑺 = ℝ
(Spunem ca ecuația are o infinitate de soluții)
ii) 𝑏 ≠ 0 ⟹ 0 = 𝑏 ⟹ 𝒙 ∈ Ø ⟹ 𝐒 = Ø (Spunem că ecuația nu are soluții)
Exemple:1). 7𝑥 + 80 = 10 =>
1° Separăm termenii care conțin necunoscuta: 7𝑥 = 10 − 80
2° Reducem termenii asemenea: 7𝑥 = − 70
3° Împărțim prin coeficientul lui x și obținem: 𝑥 = −10
și atunci mulțimea soluțiilor este 𝑆 = −10 - soluție unică
2).5𝑥 − 3 = 7 + 5𝑥
1° Separăm termenii care conțin necunoscuta: 5𝑥 − 5𝑥 = 7 + 3
2° Reducem termenii asemenea și obținem : 0x = 10, de unde 0 = 10 (fals)
Concluzia imediată este că nu există nici o valoare a lui x pentru care enunțul ecuației date să
fie adevărat.
Spunem că ecuația nu are nicio soluție și putem nota: S = Ø.
3) 6𝑥 − 1 = 4(1,5𝑥 − 0,25)
1 ° Desfacem parantezele: 6𝑥 − 1 = 6𝑥 − 1
2° Separăm termenii care conțin necunoscuta: 6𝑥 − 6𝑥 = 1 − 1
3° Reducem termenii asemenea: 0𝑥 = 0.
Orice număr real verifică ecuația 0x = 0.
Spunem atunci că orice număr real este soluție a ecuației date și putem nota S = R.
1.3. Probleme care se rezolvă cu ajutorul ecuațiilor de gradul I
Rezolvarea problemelor cu ajutorul ecuațiilor este un capitol esențial al domeniului
,,Ecuații” , dat fiind impactul problemelor asupra elevului, întâlnit pe tot parcursul școlar,
începând din clasa a V-a, când elevul face cunoștință cu noțiunea de ecuație și până în clasele
superioare de liceu când elevul se întâlnește cu ecuații matriciale , logaritmice sau diferențiale.
Important este modul în care trebuie făcuta ,,traducerea” din limbajul uzual în ecuații,
adică punerea problemelor in ecuație .In acest fel, rezolvarea problemei se reduce la rezolvarea
unei ecuații. Activitatea de rezolvare a ecuațiilor, respectiv a problemelor cu ajutorul ecuațiilor,
constituiefără îndoială, o importantă cale de ușurare și aprofundare a diverselor domenii ale
matematicii.
In rezolvarea unei problem cu ajutorul unei ecuații trebuie avute în vedere câteva etape:
1. Stabilirea necunoscutei și notarea acesteia cu o literă, eventual x
2. Alcătuirea ecuației corespunzătoare enunțului
3. Rezolvarea ecuației
4. Verificarea soluției
5. Redactarea răspunsului
1.3.1. Etape în rezolvarea problemelor cu ajutorul ecuațiilor
Cum gândim?
Pasul 1
Observ şi înţeleg
Aleg
necunoscuta
Citesc enunţul cu atenţie.
Îmi imaginez situaţia descrisă cât mai exact posibil.
Separ ceea ce se dă de ceea ce se cere.
Identific mărimile necunoscute.
Analizez enunţul şi caut mărimea necunoscută cea mai
potrivită pentru a fi notată cu o literă.
Atenţie! Activitatea principală este stabilirea necunoscutei.
Pasul 2
Cercetez şi planific
Pun problema
în ecuaţie
Caut să exprim cât mai simplu legăturile dintre date şi cerinţe.
Stabilesc un plan de acţiune.
Atenţie! Activitatea principală este punerea problemei în ecuaţie.
Pasul 3
Organizez şi
redactez
Rezolv ecuaţia
Scriu răspunsul
problemei
Găsesc o cale prin care se ajunge de la datele problemei la
rezultatul final.
Redactez soluţia găsită astfel încât să se înţeleagă clar cum am
gândit.
Atenţie! Activitatea principală este rezolvarea ecuaţiei.
Pasul 4
Verific şi dezvolt
Interpretez
rezultatul
Evaluez soluţia, formulând răspunsuri la întrebările:
- Rezultatul obţinut este plauzibil?
- Am folosit toate datele?
- Verifică rezultatele obţinute toate condiţiile din enunţ?
- Există o soluţie mai bună?
- Pot găsi o problemă mai generală care se rezolvă
asemănător?
Atenţie! Activitatea principală este interpretarea rezultatelor.
1.3.2. Tipuri de probleme care se rezolvă cu ajutorul ecuațiilor de gradul I
cu o necunoscută
Rezolvarea problemelor de matematică folosind metoda algebrică, a ecuațiilor, se începe
încă din clasele primare, apoi din clasa aV-a elevii învață propriu zis ce este o ecuație și implicit,
să rezolve probleme cu ajutorul ecuațiilor în mulțimea numerelor naturale(N). În clasa a VI-a se
reia rezolvarea de ecuații și probleme care se rezolvă cu ajutorul ecuațiilor în mulțimea ℤ a
numerelor întregi urmând ca în clasa a VII-a, aceeași temă să fie abordată în mulțimea numerelor
raționale ℚ iar în clasa a VIII-a , în mulțimea numerelor reale ℝ.
În continuare propun câteva tipuri de probleme ce se rezolvă folosind metoda algebrică a
ecuațiilor:
1) Scrieți și apoi rezolvați ecuația ilustrată de figură.
Soluție
=> 2,5 + x + x + x = 17,8 => 3x =17,8 – 2,5 => 3x =15,3 =>x = 15,3 : 3 =>x = 5,1.
2) Ce valoare are a?
Soluție
=> a + a + a + a = (a+4) + 20 => 4a = a + 24 => 4a – a = 24 => 3a = 24 => a = 24 : 3 =>
=> a = 8.
2,5m
17,8m
3) După ce a fost dublată cantitatea de marfă, s-a constatat că mai lipseau 5 t până la a
asigura cantitatea maximă de 20 t pe care o poate transporta camionul. Aflați cantitatea de marfă
ce se afla la început în camion.
Soluție
Notăm cu x cantitatea inițială de marfă.
.5,72:1515252022052 txtxtxttxttx
La început au fost în camion 7,5 tone de marfă.
4) Câți litri trebuie turnați, din vasul mic în vasul mare, pentru ca în vasul mare să fie o
cantitate dublă de lichid față de vasul mic?
Soluție
Notăm cu x nr. de litri ce trebuie turnați din vasul mic în vasul mare.
În vasul mic sunt acum: 16 –x litri de lichid.
În vasul mare sunt acum: 20 + x litri de lichid.
În vasul mare să fie o cantitate dublă de lichid față de vasul mic:
.43:121232032223220)16(220 xxxxxxxxx
Trebuie turnați 4 litri de lichid.
În clasa a VI-a putem rezolva probleme de geometria triunghiului cu ajutorul
ecuațiilor sau probleme cu procente.
5) Într-un triunghi, ∆ABC, masura unghiului B este dublul masurii unghiului A iar
masura unghiului C este cu 25% mai mica decât măsura unghiului B. Aflați măsurile unghiurilor
triunghiului ABC.
Soluție:
1. Identificam necunoscuta principala, aceasta fiind măsura unghiului A.
Notam x = măsura unghiului A.
2. A doua necunoscută, este măsura unghiului B, care fiind dublul măsurii lui A,
va fi 2x.
3. A treia necunoscută, este măsura unghiului C, care este cu 25% mai mică decât măsura lui B,
adică este 75% din măsura lui B. Aceasta va fi 75% din 2x adică0,75 × 2𝑥 = 1,5𝑥.
16 l 20 l
4. Suma celor trei unghiuri este egală cu 1800.
5. Avem realizată ecuația: 𝑥 + 2𝑥 + 1,5𝑥 = 1800
6. Rezolvarea ecuației:
4,5𝑥 = 1800
𝑥 = 1800: 4,5
𝑥 = 400
7. Concluzia: -măsura unghiului A este egala cu 400.
-măsura unghiului B este egala cu 800.
-măsura unghiului C este egala cu 600
6)Din dublul unui număr necunoscut se scade 0,(3). Diferența se împarte la 1,4(6) și se
obține rezultatul 0,(45). Determinați numărul necunoscut.
Soluție
Notăm cu x numărul necunoscut.
Obținemecuația: )45(,0)6(4,1:)3(,02 x
.5,02
1
6
336216
22
10
22
)16(5
11
5
22
15
3
16
11
5
90
132:
3
12
99
45
90
14146:
9
32
xxxxx
xxxx
7) Andrei și Cristina i-au cumpărat un cadou fratelui lor. Andrei a contribuit cu 60% din
prețul cadoului, iar Cristina cu restul de 80 de lei. Aflați prețul cadoului.
Soluție
Notăm cu x= prețul cadoului.
Obținemecuația: 60% x + 80 = x
.200
4:8004,0:80804,0806,0806,080100
60
x
xxxxxxxxx
8) Raportul dintre prețul unui creion și prețul unui stilou este de 0,(1). Dacă un creion
costă cu 16 lei mai puțin decât un stilou, atunci aflați cât costă un stilou.
Soluție
Notăm cu x prețul stiloului.
Un creion costă: x– 16
Raportul dintre prețul creionului șiprețul stiloului este: x
x 16
Obținemecuația: )1(,016
x
x
.188:144
144814491449)16(99
116
xx
xxxxxxxx
x
Un stilou costă 18 lei.
9)Maria a citit în cinci zile o carte care are 230 de pagini. În fiecare zi, începând cu a
doua, Maria a citit cu trei pagini mai mult decât în ziua precedentă. În a câta zi numărul total de
pagini citite în ziua respectivă este un număr prim?
Soluție
Notăm cu x= numărul de pagini citite in prima zi.
.402005230305230)12()9()6()3( xxxxxxxx
=> 43 = număr prim =>În a doua zi.
10) Gabriel are o sumă S de bani. În prima zi el cheltuiește 30% din suma S, a doua zi
cheltuiește5
2din suma S, iar în a treia zi cheltuiește 0,25din suma S. După cele trei zile, lui
Gabriel îi rămân 100 lei. Aflați valoarea sumei S.
Soluție
I II III IV V
x x + 3 x + 6 x + 9 x + 12
I II III IV V
40 43 46 49 52
.20002010010020
1
100100
5100
100
95100100
100
95100
100
95
100100
25
100
40
100
3010025,0
5
230 0
0
leiSSS
SSSSSS
SSSSSSSS
11) Trei membri ai unei familii de iepuri au mâncat împreună 73 de morcovi. Tatăl a
mâncat cu 5 morcovi mai mult decât mama. Fiul lor, Bunny, a mâncat cu 16 morcovi mai puțin
decât mama. Câți morcovi a mâncat mama?
Soluție
Notăm cu x numărul de morcovi mâncați de mamă.
Atunci, împreună au mâncat: x+ (x + 5) + ( x– 16) = 73
.283:848431173373113731653 xxxxxx
Mama a mâncat 28 de morcovi.
12)Cele 428 de scaune dintr-o sală de spectacole sunt așezate pe 20 de rânduri, fiecare
rând având 21 sau 22 de scaune. Aflați numărul de rânduri din sală care au câte 22 de scaune.
Soluție
Notăm cu x numărul de rânduri din sală care au câte 22 de scaune.
Numărul de rânduri din sală care au câte 21 de scaune: 20 – x.
Numărul de scaune: )20(2122 xx
I zi a II-a zi a III-a zi a IV-a zi
30% S S5
2 S25,0 100 lei
Mama Tata Bunny
x morcovi x + 5 morcovi x– 16 morcovi
Obținemecuația: 428)20(2122 xx
84204284282142022 xxxx
8 rânduri din sală care au câte 22 de scaune.
13)Mai mulți copii vor să cumpere o minge. Dacă fiecare copil dă câte 2,5 lei nu ajung 5
lei, iar dacă fiecare copil dă câte 3,5 lei sunt în plus 4 lei. Aflați câți copii sunt și cât costă
mingea.
Soluție
Notăm cu x numărul de copii.
Dacă fiecare copil pune câte 2,5 lei, atunci se strâng 2,5xlei.
Mai trebuie 5 lei, deci prețul = 2,5x + 5
Dacă fiecare copil pune câte 3,5 lei, atunci se strâng 3,5xlei.
Sunt în plus 4 lei, deci prețul = 3,5x– 4
Egalăm preturile și obținem ecuația: 45,355,2 xx
99545,35,2 xxxx 9 copii vor să cumpere mingea.
Prețul = 5,27595,2 (lei)
Probleme cu procente care se rezolvă cu ajutorul ecuațiilor de gradul I cu o
necunoscută
14) Într-o ciocolată alunele reprezintă 20 % , adică 16 g. Aflați câte grame are ciocolata.
Soluție
Notăm cu x masa ciocolatei.
20% x = 16 .805165
1:1616
5
116
100
20 xxxxx
Ciocolata are 80 de grame.
15) Un oraș avea 30 000 de locuitori și acum are 31 200 de locuitori. Aflați cu ce procent
a crescut populația acestui oraș.
Soluție
Notăm cu p procentul căutat.
Populația a crescut cu 31200 –30000 locuitori.
Obținemecuația: 30000312003000000 p
.43:121200300120030000100
pppp
Populația a crescut cu 4 %.
16) Prețul unei cărți se reduce cu 8% și ajunge să coste 46 de lei. Aflați prețul inițial al
cărții.
Soluție
Notăm cu x prețul inițial al cărții.
Prețul după reducere: 100% x – 8% x = 92% x.
Obținemecuația: 92% x = 46
.5092:460092
10046
100
92:4646
100
92 xxxxx
Prețul inițial al cărții este de 50 lei.
17) Prețul unui telefon s-a mărit cu 10%, iar peste o lună s-a redus cu 10% din noul preț.
După aceste două modificări telefonul costă 198 lei. Calculați prețul inițial al telefonului.
Soluție
Notăm cu x prețul inițial al telefonului.
Prețul după prima modificare: (100% + 10%) din prețul inițial = 110% x.
Prețul după a doua modificare: (100% – 10%) din prețul după scumpire = 90% (110% x).
Obținemecuația: 90% (110% x) = 1980
.20099
100198
100
99:198198
100
99198
100
110
100
90 xxxxx
Prețul inițial al telefonului: 200 lei.
18) După ce a cheltuit 55% din suma pe care o avea, Andrei a rămas cu 144 lei. Ce sumă
a avut Andrei la început?
Soluție
Notăm cu Suma pe care o avea Andrei la început.
Andrei a cheltuit: 55% S
Obținem ecuația: S– 55% S = 144
.3202016
9
20144
20
9:144144
20
9144
100
45144
100
55100
SS
SSSSS
Andrei a avut la început 320 lei.
19) Într-o clasă de 27 de elevi, numărul băieților reprezintă 80% din numărul fetelor. Să
se afle numărul de fete din clasă.
Soluție
Notăm cu f numărul fetelor. f N.
În clasă sunt 27 de elevi => numărul băieților este: 27 –f.
Numărul băieților reprezintă 80% din numărul fetelor => numărul băieților este: 80% f.
Obținem ecuația: 80% f = 27 –f
.9:13513591355451354275
427
100
80 fffffff
fff
În clasă sunt 15 fete.
20)Un autocar parcurge un traseu în patru zile. În prima zi a parcurs 30% din drum, în a
doua zi 20% din drum, în a treia zi 35% din drum și în a patra zi ultimii 300 km. Aflați lungimea
drumului parcurs de autocar în cele patru zile.
Soluție
Notăm cu x lungimea
drumului.
Obținem ecuația:
xxxx 300352030 00
00
00
I II III IV
30% x 20% x 35% x 300
.20003
20300300
20
3300
100
15300
100
85100
300100
85300
100
85300
100
35
100
20
100
30
xxxxx
xxxxxxxx
Drumul parcurs are 2000 km.
21)Un autocar parcurge un traseu în trei zile. În prima zi a parcurs 20% din drum, în a
doua zi 30% din rest și în a treia zi ultimii 560 km. Aflați lungimea drumului parcurs de autocar
în cele trei zile.
Soluție
Notăm cu x lungimea drumului.
În prima zi 20% din drum =>20% x
Au rămas100% x – 20% x = 80% x
În a doua zi 30% din rest= 30% din 80% x
Îna treia zi ultimii 560 km.
Obținemecuația:20% x + 30% 80% x + 560 = x
.100056000561005600044
560100
44560
100
24
100
20560
100
80
100
30
100
20
xxxx
xxxxxxxx
Drumul parcurs are 1000 km.
Probleme propuse:
1. Vârstele a trei copii sunt reprezentate prin 3 numere naturale consecutive. Cei trei copii
au împreună 33 de ani. Aflați care este vârsta fiecărui copil.
2. Trei copii au împreună 120 lei. Știind ca al doilea are cu 20 de lei mai mult decât primul
iar al treilea cat primul și al doilea la un loc, aflați ce suma de bani are fiecare copil.
3. Preturile unui caiet, unei cărți și unui stilou sunt numere direct proporționale cu 2, 10 și 7.
Știind ca un elev plătește pentru toate trei suma de 19 lei, aflați care este prețul fiecărui
obiect.
4. Într-un bloc sunt 20 de apartamente cu 2 și 3 camere. Știind ca in total blocul are 55 de
camere, aflați cate apartamente cu 2 camere, respectiv 3 camere sunt in bloc.
5. Un camion parcurge distanta de 184 km in 4 ore. O parte din drum o parcurge cu viteza
de 42km/h, iar a doua parte din drum cu o viteza de 50 km/h. ce distanta a parcurs cu
prima viteza și ce distanta cu a doua viteza?
6. Într-o curte sunt găini și capre. Daca in total sunt 17 capete și 48 de picioare, care este
numărul găinilor și care este numărul caprelor din curte?
7. Prețul unui stilou se majorează cu 15% și ajunge să coste 23 de lei. Aflați prețul inițial al
stiloului.
8. Un televizor s-a scumpit cu 10% din prețul pe care l-a avut inițial. După un timp
televizorul s-a scumpit din nou cu 10% din noul preț, ajungând astfel să coste 1331 lei.
Calculați prețul inițial al televizorului.
9. După ce oferă nepotului 180 de timbre, bunicul rămâne cu 60% din numărul total de
timbre pe care le avea. Ce număr de timbre avea inițial bunicul?
10. Andrei și Cristina i-au cumpărat un cadou fratelui lor. Andrei a contribuit cu 60% din
prețul cadoului, iar Cristina cu restul de 80 de lei. Aflați prețul cadoului.
top related