probleme de hidrodinamică, rețele de conducte, canale și
Post on 23-Dec-2016
269 Views
Preview:
TRANSCRIPT
-
Ilare BORDEAU Eugen DOBND Cornel VELESCU
Cezar Dorin GALERIU Ionel Doru BACIU Adriana MANEA
Liliana SUCITU Rodica BDRU Constantin FLORESCU
PROBLEME DE HIDRODINAMIC, REELE DE
CONDUCTE, CANALE I MAINI HIDRAULICE
- EDIIA A DOUA REVIZUIT I COMPLETAT -
TIMISOARA
2013
-
Prefa
Lucrarea constitue o revizuire a primei editii NOIUNI TEORETICE I POBLEME DE HIDRODINAMIC, CONDUCTE, CANALE I MAINI
HIDRAULICE, cu modificarile si completarile de rigoare.
Modul n care sunt prezentate noiunile teoretice i rezolvate problemele poate
facilita abordarea i rezolvarea unui caz mai complex, practic, de sistem hidraulic ;i
alimentari cu apa.
In cadrul acestei lucrri s-a urmrit tratarea de la simplu spre complex n
scopul facilitrii nelegerii mai rapide a modului de aplicare a relaiilor specifice i de
creare a unei gandiri inginereti, caracteristic domeniului mecanicii fluidelor i
mainilor hidraulice.
Pentru o mai uoar nelegere, fiecare capitol debuteaz cu notaiile utilizate i
elementele teoretice necesare rezolvrii problemelor. Excepie face ultimul capitol care
constitue o mbinare a tipurilor de probleme abordate anterior n aceast carte
combinate i cu elemente de hidrostatic.
La baza conceperii problemelor au stat fenomenele din practic, dar i ideile
izvorte din exerciiile de seminar, din proiectele de an i diplom i din concursurile
profesionale organizate att la nivel local ct i naional.
De asemenea, problemele rezolvate i propuse spre rezolvare sunt de un real
folos studenilor care parcurg disciplinele de mecanica fluideor, instalatii pentru
alimentari, canale si masini hidraulice, pentru pregtirea concursurilor profesionale, dar
i inginerilor ce lucreaz in doemnii cu specific hidraulic.
Distribuia capitolelor este urmtoarea:
Capitolul 1 Asist.dr.ing. Rodica BDRU,
Capitolul 2 S.L.dr.ing. Cezar Dorin GALERIU,
Capitolul 3 Ing. Liliana SUCITU, S.L.dr.ing. Constantin FLORESCU
Capitolul 4 S.L.dr.ing. Adriana MANEA, S.L.dr.ing. Constantin FLORESCU,
Capitolul 5 Prof.univ.dr.ing. Ilare BORDEAU, Asist.dr.ing. Ionel Doru BACIU,
Capitolul 6 S.L.dr.ing. Cornel VELESCU,
Capitolul 7 S.L.dr.ing. Eugen DOBND,
Capitolul 8 Prof.univ.dr.ing. Ilare BORDEAU, S.L.dr.ing. Constantin FLORESCU.
Coordonarea lucrrii a fost fcut de ctre Prof. univ. dr. ing. Ilare
BORDEAU.
Orice sugestie de mbuntire a unei viitoare ediii este bine venit, apreciat
i va primi recunotiina i mulumirile autorilor.
Autorii
-
7
C U P R I N S
PREFATA 5
CAPITOLUL 1 Analiza dimensional i similitudinea hidrodinamic 9
1.1 Introducere................................... 10
1.2 Noiuni teoretice..... 10
1.3 Aplicaii............... 15
1.3.1 Probleme rezolvate...... 15
1.3.2 Probleme propuse spre rezolvare..... 34
CAPITOLUL 2 Calculul i msurarea debitului fluidelor
incompresibile n micare permanent ...............
35
2.1 Introducere.......................................... 35
2.2 Noiuni teoretice .................................... 36
2.3 Aplicaii...................... 38
2.3.1 Probleme rezolvate............. 38
2.3.2 Probleme propuse spre rezolvare..... 49
CAPITOLUL 3 Curgerea lichidelor prin conducte................................ 55
3.1 Introducere............ 55
3.2 Noiuni teoretice ....... 55
3.3 Aplicaii.............. 59
3.3.1 Probleme rezolvate...... 59
3.3.2 Probleme propuse spre rezolvare..... 72
CAPITOLUL 4 Reele de conducte........................................................ 77
4.1 Introducere.................... 77
4.2 Noiuni teoretice ....... 77
4.3 Aplicaii.......................... 79
4.3.1 Probleme rezolvate........................... 79
4.3.2 Probleme propuse spre rezolvare................ 90
CAPITOLUL 5 Teoremele impulsulu .......................... 93
5.1 Introducere........................ 94
5.2 Noiuni teoretice ........................... 94
5.3 Aplicaii......................... 96
5.3.1 Probleme rezolvate........................ 96
5.3.2 Probleme propuse spre rezolvare................... 113
CAPITOLUL 6 Curgerea lichidelor prin canale i conducte cu
suprafa liber..............................................................
117
6.1 Introducere........................ 118
6.2 Noiuni teoretice .............. 118
6.3 Aplicaii........................ 131
6.3.1 Probleme rezolvate....................... 131
6.5.3.2 Probleme propuse spre rezolvare....... 147
-
8
CAPITOLUL 7 Maini hidraulice.......................................... 149
7.1 Introducere........................ 149
7.2 Noiuni teoretice .......................... 150
7.3 Aplicaii......................... 159
7.3.1 Probleme rezolvate........................ 159
7.3.2 Probleme propuse spre rezolvare............ 165
CAPITOLUL 8 Probleme propuse la concursurile profesionale ....... 167
8.1 Introducere....................... 167
8.2 Noiuni teoretice ............................. 167
8.3 Aplicaii.......................... 167
8.3.1 Probleme rezolvate.......... 167
8.3.2 Probleme propuse spre rezolvare..... 196
BIBLIOGRAFIE ........ 207
-
CAPITOLUL 1
ANALIZA DIMENSIONAL I
SIMILITUDINEA HIDRODIMAMIC
NOTAII I SEMNIFICAII FIZICE
p-presiunea, n N/m2
v-viteza, n m/s2
-densitatea mediului lichid, n kg/m3
m-masa, n kg
V-volumul, n m3
S-aria suprafeei, n m2
F-fora, n N
G-greutatea, n N
g=9,80665 m/s2 acceleraia gravitaional
-greutatea specific, n N/m3
-coeficientul cinematic de viscozitate, n m2/s
-coeficientul dinamic de viscozitate, n Ns/m2 sau Pas
-tensiunea superficial, n N/m
E-modul de elasticitate, n N/m2
Q-debit volumic, n m3/s
l-lungime, n m
d-diametrul conductei, n m
lo-scara lungimilor
So-scara suprafeelor
Vo-scara volumelor
to-scara timpilor
vo-scara vitezelor
ao-scara acceleraiilor
Fo-scara forelor
mo-scara maselor
Fr-numrul Froude
Sh-numrul Strouhal
Eu-numrul Euler
Re-numrul Reynolds
Ma-numrul Mach
Ga-numrul Galilei
We-numrul Weber
Ne-numrul Newton
-
Noiuni teoretice i probleme de hidrodinamic
10
1.1. INTRODUCERE
Este practic imposibil de a rezolva toate problemele curgerii unui fluid dat
numai pe cale teoretic. La stadiul actual al cunotinelor n domeniu, cercetarea
experimental ocup un loc important. Teoria matematic i datele experimentale au
furnizat soluii practice pentru mai multe probleme de hidraulic. Aplicaiile analizei
dimensionale i ale similitudinii hidraulice permit inginerului organizarea i
simplificarea experimentelor i analizarea rezultatelor obinute.
n acest capitol se vor prezenta principiul ce st la baza analizei dimensionale
i cteva aplicaii ce servesc la nelegerea modului de utilizare a analizei
dimensionale n stabilirea formulelor pentru anumite mrimi fizice, specifice mecanicii
fluidelor. De asemenea, se vor prezenta relaiile de similitudine cu aplicaii specifice.
1.2. NOIUNI TEORETICE
Problemele de mecanica fluidelor pot fi abordate pe calea analizei
dimensionale, care este n esen o procedur matematic care studiaz n exclusivitate
dimensiunile mrimilor fizice. n cadrul ei se pornete de la nelegerea fenomenelor
curgerii pentru a stabili parametrii care o influeneaz i se ajunge la gruparea acestor
parametrii n combinaii dimensionale, la o mai bun cunoatere i explicare a
fenomenelor. Analiza dimensional este de un real folos n studiile experimentale
pentru c poate indica mrimile sau parametrii ce influeneaz cu adevrat desfurarea
fenomenelor fizice.
Conform principiului omogenitii dimensionale toate relaiile matematice,
care exprim fenomene fizice, trebuie s fie omogene din punct de vedere dimensional
(toi termenii ecuaiei trebuie s aib aceleai dimensiuni).
Dac termenii unei ecuaii omogene din punct de vedere dimensional se mpart
cu o cantitate care se exprim n aceleai dimensiuni va rezulta o adimensionare a
termenilor, ecuaia devenind o relaie adimensional ntre grupuri de numere i de o
form mai simpl. n acest mod se procedeaz n cadrul unei analize dimensionale,
grupndu-se toate variabilele implicate ntr-o ecuaie care conine grupuri de numere
adimensionale, evitnd cercetarea experimental, grupurile adimensionale fiind n
numr mult mai redus dect variabilele.
Aplicaiile analizei dimensionale constau n:
- transformarea dintr-un sistem de uniti n altul; - stabilirea ecuaiilor; - reducerea numrului de variabile necesare la un program experimental; - stabilirea principiilor de concepere a unui model. Teorema Pi (Teorema lui Buckingham)
Aceast teorem reprezint o generalizare a metodei analizei dimensionale avnd o
larg utilizare n prezent. Teorema Pi are principalul avantaj c reduce numrul de
variabile la grupuri de mrimi adimensionale.
-
1- Analiz dimensional i similitudine hidrodinamic
11
Dac x1, x2, , xn reprezint n variabile dimensionale care sunt implicate n
desfurarea unui fenomen fizic i ntre ele exist o legtur implicit de forma:
0x,...,x,xf n21 atunci se poate exprima aceast legtur sub forma unei dependene:
0,...,, kn21 unde i reprezint combinaii adimensionale ale variabilelor xi .
Aplicarea teoremei Pi presupune parcurgerea a apte etape:
Prima etap
- Se evideniaz fenomenului fizic i factorii care l pot influena, cu stabilirea celor n variabile.
A doua etap
- Dimensiunile mrimilor fizice sunt exprimate n SI n combinaia de uniti
fundamentale mas lungime timp (MLT), sau n combinaia for lungime timp
(FLT). Se alege n Sistemul Internaional SI unul din modurile de exprimare (MLT sau
FLT) i se stabilesc dimensiunile fiecrei variabile, gsindu-se i numrul m al
dimensiunilor fundamentale ale variabilelor.
A treia etap
- Se va gsi numrul k (care de obicei este egal cu m, niciodat mai mare i rareori mai mic).
A patra etap
Se determin numrul grupurilor adimensionale kn,i i se poate scrie:
0,...,, kn21 A cincea etap
Din numrul total de variabile se selecteaz un numr de k, denumite variabile
primare. Acestea trebuie s conin toate cele m dimensiuni fundamentale i nu trebuie
s formeze grupuri ntre ele. Se formeaz grupurile prin nmulirea variabilelor primare ntre ele, fiecare cu un exponent necunoscut.
A asea etap
Pentru satisfacerea omogenitii dimensionale se formeaz un sistem de ecuaii
care are la baz egalitatea exponenilor variabilelor primare din ambele pri ale
ecuaiilor, deoarece i nu au dimensiuni pot fi nlocuii cu MoL
oT
o. Se verific
adimensionalizarea factorilor i .
A aptea etap
Se rearanjeaz grupurile i dup dorin. Teorema Pi arat c grupurile i
sunt legate ntre ele:
kn3211 ,...,,f
Analiza dimensional nu ofer o rezolvare complet a problemei, ci numai o
soluie parial, iar reuita depinde de cele mai multe ori de abilitatea n selectarea
parametrilor i mrimilor.
-
Noiuni teoretice i probleme de hidrodinamic
12
n multe situaii dezvoltarea experimentului are loc n laborator pe instalaii
care difer constructiv de cele industriale, dar permit o desfurare identic sau
similar a fenomenelor studiate. Pentru a utiliza rezultatele de laborator la instalaiile
industriale, s-au stabilit relaii matematice cunoscute sub denumirea de legi de
similitudine. Acestea permit desfurarea experimentului cu un fluid convenabil pentru
utilizare i aplicarea rezultatelor la un fluid mai puin convenabil pentru utilizare
experimental. Aceste legi sunt deosebit de utile pentru c se pot utiliza pe o instalaie
sau main mai simpl i de dimensiuni reduse (modelul), fiind posibil reducerea
substanial a costurilor de cercetare i permit transpunerea rezultatelor de la model la
instalaia sau maina n mrime natural (prototip). Pentru ca rezultatele stabilite pe
modele s poat fi utilizate la instalaia n natur, trebuie respectate condiiile de
similitudine.
Dou micri sunt asemenea cnd traiectoriile lor sunt geometric asemenea i
cnd exist raporturi determinante ntre mrimile cinematice i dinamice ale celor dou
fenomene n dou puncte omoloage.
Pentru a realiza similitudinea dinamic a dou fenomene nu este suficient ca
raportul dimensiunilor liniare s fie constant. Trebuie ca i rapoartele mrimilor
cinematice i dinamice s fie constante.
Similitudinea geometric se realizeaz atunci cnd raportul dintre dimensiunile
liniare de pe prototip i cele de pe model este constant. Raportul:
m
p
ol
ll
se numete scara lungimilor sau scar geometric. Se poate stabili i scara
suprafeelor :
2
o
m
p
o lS
SS
i scara volumelor:
3
o
m
p
o lV
VV
Similitudinea cinematic implic, n punte omoloage, similitudinea geometric
a cmpului hidrodinamic i raport constant al mrimilor cinematice de acelai tip
(viteze, acceleraii). Odat stabilit scara lungimilor, rezult un raport constant al
timpului n care se desfoar fenomenul pe prototip i timpul n care se desfoar
fenomenul pe model, adic scara timpului:
m
p
ot
tt
-
1- Analiz dimensional i similitudine hidrodinamic
13
Cu acestea se pot determina scrile tuturor mrimilor cinematice n funcie de
lo i to. Astfel avem scara vitezelor:
1
oo
m
p
o tlv
vv
i scara acceleraiilor:
2
oo
m
p
o tla
aa
Similitudinea dinamic impune ca raportul tuturor forelor din natur, de pe
prototip i de pe model, s fie constant. Rezult, astfel, scara forelor:
m
p
oF
FF
Din similitudinea mecanic se poate defini i o scar a maselor, i anume:
m
p
om
mm
Numrul Froude:
lg
vFr
2
Numrul Strouhal:
l
tvSh
Numrul Euler:
2v
pEu
Numrul Reynolds:
lvRe
Numrul Mach:
sv
vMa
unde vs este viteza sunetului n mediu considerat.
Numr Weber:
2vlWe
-
Noiuni teoretice i probleme de hidrodinamic
14
Numrul Galilei:
2
3lgGa
Numrul Newton:
vS
FNe
Aceste mrimi se mai numesc i criterii de similitudine.
Teorema lui Newton afirm c ntr-un grup de fenomene asemenea, fiecare
criteriu de similitudine are cte o valoare unic pentru toate fenomenele grupului.
Respectarea simultan a tuturor acestor criterii ne conduce la o similitudine
complet. Dar n realitate respectarea simultan a acestor criterii nu este posibil
practic. Similitudinea nu se va realiza dup toate criteriile, ci numai dup anumite
criterii, care sunt determinante n desfurarea unui fenomen. Astfel se realizeaz o
similitudine incomplet.
Transpunerea rezultatelor de pe un model la prototip va fi din aceast cauz
afectat de erori, iar influena parametrilor neglijai apare n aa numitul efect de scar.
Vom prezenta unde se utilizeaz fiecare din criteriile de similitudine ca i
criteriu determinant.
Similitudinea Strouhal se utilizeaz n cazul micrilor nepermanente
periodice. Acestea apar cnd vrtejurile formate se desprind alternativ de pe o parte sau
alta n spatele unui corp, cnd fluidul se afl ntr-o micare de val i cnd un corp situat
n fluid are o micare periodic. Deoarece n tehnic cele mai multe micri
nepermanente ale fluidelor sunt micri periodice, criteriul lui Strouhal este considerat
de obicei drept criteriul de similitudine al micrilor periodice ale fluidelor. n multe
cazuri odat cu criteriul Strouhal trebuie asigurat i criteriul Reynolds.
Similitudinea Froude se utilizeaz n cazul n care n timpul micrii elementul
determinant este greutatea. Aceasta apare ca element predominant la curgerea apei
peste deversoare, la micarea valurilor, la determinarea componentei de val a
rezistenei la naintare a navelor de suprafa. Apare n general cnd micrile au suprafee libere care nu sunt plane orizontale, deoarece la aceste micri efectul
greutii proprii este determinant pentru forma suprafeei libere. n cazul micrii
lichidelor peste deversoare sau n cazul micrii valurilor, efectul vscozitii i efectul
capilaritii sunt neglijate n raport cu efectul greutii proprii a lichidului. Alteori, ns,
pe lng efectul greutii proprii a lichidelor, trebuie luate n considerare i alte efecte. Astfel, n micarea lichidelor n canale, pe lng efectul greutii proprii trebuie luat n
considerare i efectul vscozitii, iar la deversoarele avnd o lam deversant foarte
subire i la valurile de dimensiuni mici, pe lng efectul greutii proprii trebuie luat n
considerare i efectul capilaritii.
Similitudinea Reynolds trebuie asigurat dac frecarea vscoas are un rol
predominant. Cu ct numrul Reynolds este mai mic cu att influena vscozitii
asupra micrii fluidului este mai mare. Se aplic la curgerea lichidelor n conducte sub
presiune, la curgerea n mainile hidraulice i la curgeri n tunele aerodinamice la
-
1- Analiz dimensional i similitudine hidrodinamic
15
viteze la care se poate neglija compresibilitatea fluidului. n general, ca lungime de
referin se alege diametrul conductei, grosimea unui strat de fluid, coarda unui profil
aerodinamic.
Criteriul Euler este satisfcut automat dac sunt ndeplinite simultan criteriile
Strouhal, Froude i Reynolds. Apare n studiul fenomenului de cavitaie.
Criteriul de similitudine Mach se aplic n cazul n care viteza curentului este
mare i compresibilitatea fluidului datorit vitezei curentului nu poate fi neglijat (la
micarea cu viteze foarte mari a unui gaz, n cazul loviturii de berbec).
Criteriul de similitudine de tip Weber se respect n cazul micrilor la care
sunt determinante forele de tensiune superficiale (picturi, deci la pulverizarea
lichidelor, valuri de dimensiuni mici, la studiul curgerii lichidelor n tuburi capilare sau
n canale cu adncime foarte mic). n aplicaiile curente, forele de tensiune
superficial sunt ns cu totul neglijabile, n raport cu celelalte tipuri de fore.
Criteriul Galilei intervine la micarea liber a lichidelor. Acest numr este de
fapt o combinaie a criteriilor de similitudine.
Fr
ReGa
2
Criteriul Newton se utilizeaz la modelarea fenomenelor hidrodinamice la care
forele de inerie joac un rol important, adic la studiul pe model al curgerii n jurul
corpurilor (studiul rezistenelor la naintare, studiul aciunii curentului asupra profilelor
hidrodinamice utilizate n mainile hidraulice, n aviaie).
1.3. APLICAII
1.3.1 Probleme rezolvate
1.1 S se exprime dimensiunile mrimilor fizice folosite n hidraulic n funcie
de masa M, lungimea L i timpul T.
REZOLVARE
Mrimile fizice ce le folosim n hidraulic, respectiv dimensiunea lor n funcie
de MLT se pot deduce n funcie de relaiile de definiie ale acestor mrimi, i le
trecem direct n tabelul urmtor. Pentru toate aceste mrimi se pot gsi similar
dimensiunile n funcie de FLT.
-
Noiuni teoretice i probleme de hidrodinamic
16
Nr.
crt.
Mrimea fizic Simbol Uniti de
msur
Dimensiunea
(Relaia n MLT)
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25
Masa
Lungimea
Timp
Aria
Volumul
Viteza
Acceleraia
Acceleraia gravitaional
Viteza unghiular
Fora
Greutatea
Moment
Puterea
Densitatea masic
Greutate specific
Presiunea
Tensiunea
Tensiunea superficial
Vscozitatea dinamic
Vscozitatea cinematic
Modul de elasticitate
Coeficient de
compresibilitate
Debit volumic
Debit masic
m
l
t
A
V
V
a
g
F
G
M
P
p
E
Q
m
Kg
m
s
m2
m3
m/s
m/s2
m/s2
rad/s
N=kg m /s2
N
Nm
W
kg/m3
kg/(m2s
2)
Pa=N/m2
N/m2
N/m
Pa s
m2/s
N/m2
m2/N
m3/s
kg/s
M
L
T
L2
L3
LT-1
LT-2
LT-2
T-1
MLT-2
MLT-2
ML2T
-2
ML2T
-3
ML-3
ML-2
T-2
ML-1
T-2
ML-1
T-2
MT-2
ML-1
T-1
L2T
-1
ML-1
T-2
ML-1
T-2
L3T
-1
MT-1
1.2 S se arate prin analiz dimensional relaia dintre numrul Reynolds i densitatea , vscozitatea cinematic , viteza v a unui fluid i o lungime
caracteristic l.
REZOLVARE
Folosind analiza dimensional pentru stabilirea relaiei dintre numrul
Reynolds i mrimile enumerate pornim de la faptul c numrul Reynolds este n
funcie de mrimile , , v i l, adic:
l,v,,fRe Analiza dimensional se bazeaz pe faptul c o relaie ntre mrimile fizice
trebuie s fie omogen dimensional. Utilizm metoda Rayleigh care presupune c
mrimea rezultant, n cazul nostru numrul Re, se poate scrie ca fiind proporional cu
un produs de puteri al mrimilor care o determin, adic: dcba lvkRe
-
1- Analiz dimensional i similitudine hidrodinamic
17
unde k este coeficientul de proporionalitate. Puterile a,b,c,d se gsesc impunnd
condiia ca aceast relaie s fie omogen dimensional:
dc1b12a3ooo LLTTLMLkTLM cbdcb2a3aooo TLMkTLM
adic s avem urmtoarele egaliti:
cb0
dcb2a30
a0
Rezolvnd acest sistem de ecuaii obinem:
bd
bc
0a
adic: b
bbbo lvklvkRe
OBSERVAIE: Valorile lui k i b se determin prin analiz experimental. n
condiiile noastre 1k i 1b i atunci pentru numrul Re se obine relaia cunoscut:
lvRe
1.3 Pentru un lichid ideal s se exprime debitul Q care trece printr-un orificiu mic n funcie de densitatea lichidului , diferena de presiune i diametrul
orificiului.
REZOLVARE
Folosind analiza dimensional pentru stabilirea relaiei:
d,p,fQ
cba dpkQ
cb21a313 LTMLMLkTL
-
Noiuni teoretice i probleme de hidrodinamic
18
Adic avem sistemul:
b21
cba33
ba0
i rezult:
2c2
1b
2
1a
i obinem relaia:
pdkdpkQ 222/12/1
OBSERVAIE: Din experimente i considernd c pentru un orificiu situat pe
o parte a unui rezervor la adncimea H avem relaia Hgp se constat c avem
42k
, deci:
Hg2d4
1Hgd
42Q 22
1.4 Folosind analiza dimensional s se determine presiunea unui fluid incompresibil asupra unui obiect imersat admind c presiunea este funcie de
densitate i de vitez.
REZOLVARE
Cutm o dependen de forma:
v,fp
ba vkp
b1a321 LTMLkTML
bba3a21 TLMkTML
-
1- Analiz dimensional i similitudine hidrodinamic
19
adic obinem sistemul:
b2
ba31
a1
2b
1a
Obinem: 2vkp
1.5 Admind c puterea furnizat de o pomp este funcie de greutatea specific a lichidului , de debit Q i de nlimea de pompare H, stabilii o ecuaie prin
analiz dimensional.
REZOLVARE
H,Q,fP cba HQkP
cb13a2232 LTLTMLkTML b2a2cb3a2a32 TLMkTML
Avem deci sistemul:
ba23
cb3a22
a1
care rezolvat d soluia:
1c
1b
1a
Obinem astfel pentru putere relaia:
HQkP
Pentru 1k i innd cont c g obinem relaia cunoscut:
HQgP
-
Noiuni teoretice i probleme de hidrodinamic
20
1.6 S se stabileasc relaia de calcul pentru puterea furnizat de o pomp prin analiz dimensional tiind c aceasta se va exprima n funcie de densitatea
lichidului vehiculat, acceleraia gravitaional, debitul Q i nlimea de pompare H.
REZOLVARE
Aceast problem este asemntoare cu problema anterioar, ea va ajunge
practic la acelai rezultat. Se pornete deci de la legtura dintre mrimile fizice
precizate n enun.
H,Q,g,fP dcba HQgkP
adic:
dc13b2a332 LTLLTMLkTML cb2dc3ba3a32 TLMkTML
i se ajunge la sistemul:
cb23
dc3ba32
a1
3cb2
5dc3b
1a
Pentru rezolvarea sistemului se observ c avem 3 ecuaii i 4 necunoscute. De
aceea ne folosim de faptul c rezolvnd problema anterioar am obinut c 1b i pentru acest caz avem:
1d
1c
1b
1a
adic:
HQgP
deci am obinut i n acest caz rezultatul problemei anterioare.
1.7 Admind c fora cu care acioneaz un fluid n micare asupra unui corp este funcie de densitate, vscozitatea dinamic, viteza fluidului i o lungime
caracteristic a corpului stabilii ecuaia general a forei.
REZOLVARE
Folosind tot analiza dimensional pentru for avem:
l,v,,fF
-
1- Analiz dimensional i similitudine hidrodinamic
21
dcba lvkF
dc1b11a32 LLTTMLMLkMLT cbdcba3ba2 TLMkMLT
adic:
cb2
dcba31
ba1
b2d
b2c
b1a
Adic: b2b2bb1 lvkF
nmulim i mprim cu 2 i punem expresia sub forma:
2
vl
lvk2F
22
b
OBSERVAIE: Recunoatem n parantez numrul Reynolds i tiind c l2
este o arie obinem:
2
vARek2F
2b
sau echivalent cu o relaie cunoscut:
2
vACF
2
p
1.8 S se stabileasc o expresie a tensiunii tangeniale vscoase a unui fluid care curge printr-o conduct admind c aceasta depinde de diametrul conductei,
rugozitatea relativ a peretelui, de densitatea fluidului, de viscozitate i viteza fluidului.
REZOLVARE
Vrem s stabilim o legtur ntre tensiunea tangenial i diametrul d,
rugozitatea relativ a peretelui k, densitatea , vscozitatea dinamic i viteza
fluidului v.
v,,,k,df
edcba vkdC
i am notat cu C coeficientul de proporionalitate.
Rugozitatea relativ a peretelui este o mrime adimensional.
-
Noiuni teoretice i probleme de hidrodinamic
22
e1d11c3b
a21 LTTMLMLL
LLCTML
eddcedc3a21 TMLCTML
Relaia trebuie s fie omogen dimensional, deci avem:
ed2
edc3a1
dc1
Rezolvnd sistemul n funcie de d avem:
d2e
d1c
da
Deci am obinut o relaie de forma: d2dd1bd vkdC
Grupm termenii i obinem:
2b
d
vkdv
C
Se observ n parantez c avem numrul Reynolds. 2bd vkReC
OBSERVAIE: Am pus astfel n eviden o relaie de legtur ntre i
numrul Re i rugozitatea relativ a pereilor, de aici fiind necesare i corelrile ce se
pot face cu rezultatele experimentale.
1.9 S se stabileasc expresia cderii de presiune p ce apare ntr-o conduct de diametru d, lungime l, rugozitatea relativ a peretelui k, ce transport un
fluid cu densitatea i vscozitatea dinamic cu viteza medie pe seciune v folosind
analiza dimensional.
REZOLVARE
Avnd date mrimile de care depinde cderea de presiune p putem considera:
v,,,k,l,dfp sau:
fedcba vkldCp
-
1- Analiz dimensional i similitudine hidrodinamic
23
unde k este rugozitatea relativ a peretelui d
k
, adic este o mrime adimensional,
raportul dintre nlimea asperitilor superficiale i diametrul d al conductei.
v,,k,l,dfp fedcba vkldCp
f1e11d3c
ba21 LTTMLMLL
LLLCTML
fefed3baed21 TLMCTML
fe2
fed3ba1
ed1
Considerm 1b . Obinem:
f2e
1fd
1b
3fa
ff21fc3f vkldCp
mprim cu g
ff21f
c2f
vkld
d
g
1C
g
p
2c
2f
2f2f2f
vkd
lvd
g
1C
g
p
g
vdvk
d
l
2
2C
g
p 22f
c
g
v
d
lk
dvC2
g
p 2c2f
Se observ n parantez numrul
dvRe
g
v
d
lConst
g
p 2
adic s-a ajuns la relaia lui Darcy.
-
Noiuni teoretice i probleme de hidrodinamic
24
OBSERVAIE: Se observ c metoda Rayleigh se folosete uor cnd
numrul mrimilor studiate este mai mic dect cinci sau ase. Astfel se obine un
sistem de ecuaii cu mult mai multe necunoscute i chiar dac se mai fac anumite
ipoteze simplificatoare cazul este mai complicat matematic. n acest caz este de
preferat s se aplice Teorema Pi. Aceeai problem este rezolvat mai jos n problema
urmtoare folosindu-se Teorema Pi.
1.10 S se stabileasc expresia cderii de presiune p ce apare ntr-o conduct de diametru d, lungime l, rugozitatea relativ a peretelui k, ce transport un
fluid cu densitatea i vscozitatea dinamic cu viteza medie pe seciune v folosind
teorema Pi n cadrul analizei dimensionale.
REZOLVARE
Vrem s stabilim urmtoarea dependen:
v,,,k,l,dfp Teorema Pi sau teorema Vaschy-Buckingham arat c orice relaie ce conine n
mrimi fizice din care p mrimi primare i s mrimi secundare, poate fi pus
sub forma unei relaii ntre s produse adimensionale.
Se aleg mrimile primare dintre mrimile ce guverneaz fenomenul astfel nct
s ndeplineasc urmtoarele cerine:
- s fie independente adimensional; - s permit exprimarea tuturor unitilor fundamentale. Mrimile care apar n relaie se scriu ntr-o matrice dimensional ce conine
exponenii mrimilor fundamentale L, M, T astfel:
Dimensiune/Mrime p d l k v
M 1 0 0 0 1 1 0
L -1 1 1 0 -3 -1 1
T -2 0 0 0 0 -1 -1
S-a inut cont de observaia fcut i n problema anterioar i anume c k este
rugozitatea relativ a peretelui d
k
, adic este o mrime adimensional.
n aceast matrice mrimile primare ce trebuie alese trebuie s asigure un
detzerminant diferit de zero.
Dac se aleg mrimile d, , v avem ndeplinite cele dou cerine pentru mrimi
primare, iar determinantul:
01
100
131
010
-
1- Analiz dimensional i similitudine hidrodinamic
25
Avem deci trei mrimi primare(d, , v) din cele apte, i deci celelalte patru sunt
mrimi secundare i se pot forma patru produse adimensionale.
Vom grupa mrimile primare la sfritul relaiei:
v,,d,,k,lfp Matricea dimensional se reduce la:
Dimensiunea Exponent
dimensional
A1
p
A2
l
A3
k
A4
A5
d
A6
A7
v
M
i
1 0 0 1 0 1 0
L i
-1 1 0 -1 1 -3 1
T i -2 0 0 -1 0 0 -1
Produsele adimensionale care se formeaz sunt de forma:
oooKKKK
7
K
6
K
5
K
4
K
3
K
2
K
1 TLMTLMAAAAAAAiiii1i7654321
unde i , i , i sunt exponenii dimensiunilor M, L, T pentru fiecare mrime Ai i
care rezult din matrice. Produsul este adimensional, deci exponenii dimensionali ai
produsului sunt nuli i avem:
0KKK2K
0KK3KKKKK
0KKKK
741ii
765421ii
641i
Avem format un sistem de trei ecuaii cu ase necunoscute (K3 nu apare n sistem).
0KKK2
0KK3KKKK
0KKK
741
765421
641
de unde rezult:
425
417
416
KKK
KK2K
KKK
n matricea soluiilor se va da succesiv valoarea 1 uneia din mrimile K1, K2, K3,
K4 i celelalte se iau zero. i calculm valorile lui K5, K6, K7 n funcie de primele pe
baza relaiilor stabilite mai sus.
-
Noiuni teoretice i probleme de hidrodinamic
26
Deci s-au format urmtoarele produse adimensionale:
2
21
1v
pvp
D
ldl 12
k3
vdvd 1114
Aceste produse adimensionale exprim de fapt mrimile secundare cnd s-au
stabilit cele primare. Atunci avem obinut relaia:
v
v,,
d
d,
vd,k,
d
lf
v
p2
adic o dependen de forma:
vd,k,
d
lf
v
p12
OBSERVAIE: tiind c p este direct proporional cu lungimea conductei,
deci i cu l/d se mai poate scrie:
vd,kf
d
l
v
p22
i innd cont de criteriile de similitudine, avem:
Re,kfd
lEu 2
sau
2
v
d
lkRe,
2
v
d
lRe,kf2vRe,kf
d
l
2
2p
22
2
2
2
p
K1
l
K2
k
K3
K4
d
K5
K6
v
K7
1 1 0 0 0 0 -1 -2
2 0 1 0 0 -1 0 0
3 0 0 1 0 0 0 0
4 0 0 0 1 -1 -1 -1
-
1- Analiz dimensional i similitudine hidrodinamic
27
adic relaia lui Darcy. Funcia se determin fie experimental, fie din considerente
teoretice. Deci prin analiz dimensional s-au stabilit doar parametrii adimensionali ce
guverneaz fenomenul.
1.11 S se determine folosind teorema Pi formula debitului peste un deversor triunghiular dac acesta depinde de nlimea lamei deversante h, unghiul la
vrf , densitatea lichidului , vscozitatea cinematic a lichidului , tensiunea
superficial i acceleraia gravitaional g.
REZOLVARE
Dorim s gsim o dependen de forma:
g,,,,,hfQ Considernd explicaiile fcute pe larg la problema anterioar putem scrie:
Q h g
M 0 0 0 1 0 1 0
L 3 1 0 -3 2 0 1
T -1 0 0 0 -1 -2 -2
Dac alegem h, , g mrimile primare avem determinantul:
02
200
131
010
Deci avem mrimile primare h, , g i avem patru mrimi secundare, deci patru
produse adimensionale.
Procednd ca la problema anterioar se va ajunge la urmtoarea dependen:
g
g,
hg,
hgh,,,
h
hf
hgh
Q22
Ca exemplificare considerm:
ooo322 TLMLMTLLTMgh Adic se obine:
022
03
01
1
1
2
Deci ca s exprimm termenul adimensional care-l conin pe am obinut:
2hg
-
Noiuni teoretice i probleme de hidrodinamic
28
Analog se procedeaz i pentru i pentru . Se ajunge la dependena mai simpl:
212 hg
,hgh
,fhgh
Q
Deci avem: 2/12/5
1
2
1 ghfhghfQ
1.12 Pentru studiul unui deversor s-a construit un model avnd dimensiunile de 20 de ori mai mici dect ale prototipului. S se stabileasc scrile pentru viteze i
debite. Considernd debitul deversorului Qp=250 m3/s s se determine debitul necesar
pe model.
REZOLVARE
n cadrul unui deversor criteriul determinant n realizarea similitudinii este criteriul
Froude:
lg
vFr
2
Conform teoremei lui Newton pentru fenomene ce formeaz un grup de
similitudine, criteriile de similitudine de acelai nume au valori unice pentru toate
fenomenele grupului. Aceasta nseamn n cazul nostru c numrul Froude pentru
prototip i pe model are aceeai valoare.
mp FrFr
mm
2
m
pp
2
p
lg
v
lg
v
Dar acceleraia cmpului gravitaional terestru este practic constant, deci
mp gg
i se obine:
m
p
2
m
2
p
l
l
v
v
De unde scara corespunztoare vitezelor, adic raportul dintre viteza de pe prototip
i cea de pe model, rezult c este:
472,420l
l
v
vv
m
p
m
p
o
Scara debitelor se calculeaz innd cont de ecuaia de continuitate SvQ
-
1- Analiz dimensional i similitudine hidrodinamic
29
854,178820ll
l
l
l
l
l
l
l
v
v
Sv
Sv
Q
QQ 2/52/5o
5,2
m
p
2
m
p
m
p
2
m
2
p
m
p
mm
pp
m
p
o
Debitul necesar pe model va fi:
1397,020
250
Q
QQ
2/5
o
p
m m3/s
1.13 ntr-o conduct cu diametrul 250 mm curge ap la 15C cu viteza de 5 m/s. Cu ce vitez trebuie s curg un combustibil la temperatura de 32C (c=2,9710
-6
m2/s) ntr-o conduct de 150 mm pentru ca cele dou curgeri s fie din punct de vedere
dinamic asemenea?
REZOLVARE
n cazul micrii n conduct efectul vscozitii nu poate fi neglijat i de aceea
trebuie respectat criteriul de similitudine de tip Reynolds. nseamn c pentru a avea o
similitudine hidrodinamic ntre cele dou fenomene trebuie ca cele dou numere
Reynolds pentru cele dou curgeri s fie egale.
lcombustibiapa ReRe
c
cc
a
aa dvdv
unde indicele a este pentru ap i indicele c corespunde combustibilului. Vscozitatea apei la 15 se determin cu formula lui Poiseuille:
2
6
t00022,0t0337,01
1078,1
[m2/s]
t fiind temperatura apei n [C].
Pentru ap la 15C se obine vscozitatea cinematic:
6
2
6
a 101447,11500022,0150337,01
1078,1
m2/s
Rezult n final:
621,21101447,1
1097,2
150
2505
d
dvv
6
6
a
c
c
a
ac
m/s
1.14 Pentru golirea modelului unui rezervor sunt necesare 6 minute prin deschiderea ventilului de evacuare. S se determine timpul necesar golirii unui rezervor
de 225 de ori mai mare dect modelul.
-
Noiuni teoretice i probleme de hidrodinamic
30
REZOLVARE
n acest caz greutatea este fora dominant i deci criteriul de similitudine care
trebuie respectat este cel al lui Froude. Aceasta nseamn c pentru model i prototip
avem:
pm FrFr
pp
2
p
mm
2
m
lg
v
lg
v
Dar pm gg
i avem n continuare:
p
m
2
n
2
m
l
l
v
v o
p
m
p
m ll
l
v
v
Adic oo lv sau:
o
1
oo ltl
oo lt
Adic:
15225lt
to
m
p
Timpul necesar golirii prototipului este:
9015615tt mp minute
1.15 n cazul unui ajutaj Venturi ce funcioneaz cu ap la temperatura de 20C se dorete o vitez n seciunea contractat de 450 mm de 5 m/s. Se construiete
un model de 4 ori mai mic dect prototipul care va funciona cu ap la 40C. S se
determine care este debitul necesar pentru model.
REZOLVARE
Criteriul de similitudine n acest caz care trebuie respectat este:
pm ReRe
p
pp
m
mmdvdv
Din relaia lui Poiseuille se determin vscozitatea cinematic a apei la cele dou
temperaturi (20C i 40C). 6
20p1001,1o
m2/s
6
40m1066,0o
m2/s
-
1- Analiz dimensional i similitudine hidrodinamic
31
07,131001,1
1066,045
d
dvv
6
6
p
m
m
p
pm
m/s
1299,04
4
450,0
07,134
dvSvQ
2
2
mmmmm
m3/s
1.16 ntr-un prototip se va folosi ulei cu vscozitatea cinematic p=4,7010
-5 m
2/s. Considernd c dominante n prototip sunt fora de greutate i
forele de frecare vscoase se dorete s se construiasc un model la scara 1/10. Care
va fi vscozitatea lichidului necesar pentru model?
REZOLVARE
innd cont c dominante sunt fora de greutate i forele de frecare vscoas
nseamn c att numrul Froude ct i numrul Reynolds trebuie s fie acelai pentru
model i prototip. Aceasta nseamn c avem:
mp FrFr adic mm
2
m
pp
2
p
lg
v
lg
v
i mp gg
Rezult c avem m
p
2
m
2
p
l
l
v
v
Aceast relaie dac o scriem considernd scara lungimilor m
p
ol
ll i scara
vitezelor m
p
ov
vv devine: o
2
o lv oo lv
A doua condiie care trebuie ndeplinit este:
mp ReRe adic m
mm
p
pp dvdv
de unde:
2/3
o
p
oo
p
oo
p
p
m
p
mpm
ll
1
l
1
l
1
v
1
d
d
v
v
Fcnd nlocuirile obinem:
6
2/3
5
2/3
o
mm 10486,1
10
1070,4
l
m2/s
-
Noiuni teoretice i probleme de hidrodinamic
32
1.17 Se consider un prototip ajutaj convergent ce se dorete s se foloseasc pentru un debit Qp=80 l/s de ap cu viteza vp=50 m/s. S-a construit i
ncercat un model cu diametru la ieire dm=40 mm la o diferen de presiune pm=3 bar
tot cu ap i s-a obinut un debit Qm=20 l/s i viteza medie pe seciunea contractat a
ajutajului vm=25 m/s. S se determine pentru prototip care este diferena de presiune i
diametrul seciunii de ieire din ajutaj.
REZOLVARE
Criteriul de similitudine care trebuie luat n considerare innd cont c avem cdere
de presiune este Euler. Astfel putem scrie pentru model i prototip:
pm EuEu
adic:
2
pp
p
2
mm
m
v
p
v
p
Pentru c att modelul ct i prototipul sunt ncercate cu acelai lichid (apa) avem
pm i rezult:
2
m
p
m
p
v
v
p
p
Astfel obinem:
bar12Pa101225
50103
v
vpp 5
2
5
2
m
p
mp
Cunoscnd debitele pentru prototip i model putem considera i raportul:
2
o
m
p2
o
m
p
mm
pp
m
pl
p
pl
v
v
Sv
Sv
Q
Q
i rezult scara lungimilor:
4142,1250
25
20
80
v
v
Q
Q
p
p
Q
Ql
p
m
m
p
p
m
m
p
o
Dar scara lungimilor nseamn:
2d
dl
m
p
o mm57,56m05657,02040,02dd mp
-
1- Analiz dimensional i similitudine hidrodinamic
33
1.18 La etalonarea unei diafragme avnd D=250 mm i d=150mm pentru msurat aerul se folosete apa. S-a determinat debitul minim de ap de la care
coeficientul de debit rmne constant Qmin=19 l/s la o diferen de presiune pm=65
mm col Hg. Care este debitul minim de aer i diferena de presiune n mm col Hg
pentru Q minim de aer. Se dau apa=1,0110-6
m2/s, aer=18,1810
-6 Pas,
aer=1,17 kg/m3.
REZOLVARE
Pentru cele dou fenomene putem scrie:
pm ReRe
p
pp
m
mmdvdv
Fiind vorba de aceeai diafragm avem pm dd .
Astfel obinem:
p
m
p
m
v
v
Raportul debitelor se poate scrie:
p
m
p
m
2
p
m
p
m
p
m
v
v
d
d
v
v
Q
Q
i obinem:
2923,01001,1
17,1
1018,18
019,0QQ6
6
m
p
mp
m3/s
Cderea de presiune apare n criteriul Euler i putem scrie pentru model i prototip
egalitatea:
pm EuEu
2
pp
p
2
mm
m
v
p
v
p
2
6
6
2
m
p
m
p
m
2
m
p
m
p
mp1001,1
17,1
1018,18
1000
17,165p
v
vpp
= 18 mm Hg
-
Noiuni teoretice i probleme de hidrodinamic
34
1.3.2 Probleme propuse spre rezolvare
1.19 S se stabileasc relaia dintre numrul Reynolds i densitatea , vscozitatea dinamic , viteza v a fluidului i o lungime caracteristic l folosindu-se
analiza dimensional.
R:
lvRe
1.20 S se determine dependena dintre rezistena la naintare a unui corp ntr-un fluid, tiind c depinde de viteza v, o dimensiune caracteristic a corpului l,
rugozitatea suprafeei acesteia k, densitatea fluidului , vscozitatea dinamic i
modulul de compresibilitate E.
R:
MaRe,,
l
k
lv
F22
1.21. S se determine viteza ntr-un punct al unui deversor, dac s-a construit
un model al deversorului funcionnd n condiii similare, fiind de 30 de ori mai mic i
corespunztor a dou puncte omoloage de pe model i prototip, n punctul
corespunztor modelului viteza este v=0,5 m/s.
R: vp=2,739 m/s
1.22. Printr-o conduct avnd diametrul de 100 mm curge ap cu viteza de 1,5
m/s la 20C (apa 20oC=1,0110
-6 m
2/s). Cu ce vitez va curge petrolul (p=410
-6 m
2/s)
prin aceeai conduct considernd cele dou curgeri similare.
R: vp=5,94 m/s
1.23 Printr-o conduct cu diametrul de 500 mm se transport aer cu o vitez de
2,5 m/s. Pentru a asigura o similitudine dinamic care trebuie s fie dimensiunile unei
conducte care transport ap la 15C cu o vitez de 1,5 m/s? (aer=1,4910-5
m2/s i
apa=1,1410-6
m2/s).
R: dapa=63,76 mm
-
CAPITOLUL 2
CALCULUL I MSURAREA DEBITULUI FLUIDELOR
INCOMPRESIBILE N MICARE PERMANENT
NOTAII I SEMNIFICAII FIZICE Q-debitul volumic n (m
3/s)
s-seciune de flux
S-aria seciunii s n (m2)
V-volum de lichid n (m3)
t-timpul n (s)
V -vectorul vitez ntr-un punct al seciunii s
V-modulul vectorului V n (m/s) Vs=Q/S-viteza medie n seciunea s n (m/s)
-densitatea fluidului n (Kg/m3)
M-debitul masic n (Kg/s)
z-cota fa de un plan de referin epicentric n (m)
p-presiunea n (N/m2)
pd-presiunea dinamic n (N/m2)
-coeficientul de etalonare al sondei Pitot-Prandtl
- coeficientul Coriolis de neuniformitate a distribuiei vitezei
hp-pierderea de energie hidraulic n (metri coloan de lichid)
Z, Z*, -cota suprafeei libere real sau ipotetic n (m)
H, H*, y-diferen de nivel
PM-presiunea (relativ) indicat de manometru n ( N/m2)
CC-coeficient de contracie
CV- coeficient de vitez
CQ- coeficieent de debit
D- diametrul (hidraulic)n (m)
Re-numrul Reynolds
h- nlimea lamei deversante n (m)
2.1 INTRODUCERE
Debitul este un parametru esenial n ingineria fluidelor prin intermediul cruia
se poate face o analz cantittativ, dar i al eficienei din punct de vedere energetic a
proceselor de transport i transfer.
-
Noiuni teoretice i probleme de hidrodinamic
36
2.2.NOIUNI TEORETICE
Pentru micarea permanent a fluidelor incompresibile debitul (volumic) Q, se
definete prin intermediul fluxului vitezei ca o msur scalar asociat unei seciuni
de curgerea (de flux) s:
s
danVQ (2.1)
sau dac n seciunea s micarea are loc n lungul unor drepte paralele, VnV :
s
VdaQ (2.2)
Fig. 2
n aplicaiile tehnice debitul se exprima prin intermediul vitezei medii. Mrime
fr semnificaie fizic viteza medie Vs:
S
QVs (2.3)
-
2 - Calculul i msurarea debitului fluidelor
37
caracterizeaz situaia ipotetic corespunztoare unei distribuii uniforme a vitezei n
seciunea s:
s
ss SVdaVVdaQ (2.4)
i intervine n expresiile ecuaiilor de transfer -ale: masei, ETM, i energiei mecanice
ETEM -aplicate volumului de control standard [1]
ETM 2211 SQSVQ (2.5)
ETEM 21p
2
22
22
2
11
11 h
g2
V
g
pz
g2
V
g
pz
(7.6)
n conformitate cu definiia (2.2) pentru lichide debitul se exprim ,fig.2, i
prin volumul vehiculat prin seciunea respectiv n unitatea de timp:
t
VQ (2.7)
sau sub form diferenial:
QdtdV (2.8)
Relaiile de mai sus stau la baza metodelor directe (fr introducerea unor
mrimi auxiliare) de msurare a debitului n instalaiile sub presiune (conducte) sau la
curgerile cu suprafa liber (canale)
Observaie: pentru fluidele incompresibile ( = ct), debitul masic rezult din
M=Q (2.9)
Calculul debitului, conform definiiei (2.1), presupune cunoaterea cmpului
de viteze n seciunea de flux i posibilitatea evalurii integralei de suprafa.. Aceste
deziderate imposibil de ndeplinit reclam:
acceptarea unor ipoteze simplificatoare privind: distribuia (cmpul) i,
metode experimentale sau relaii de calcul pentru determinarea vitezelor.
-
Noiuni teoretice i probleme de hidrodinamic
38
2.3 APLICATII
2.3.1. Probleme rezolvate
2.1. S se stabileasc ecuaiile pentru micarea laminar a unui fluid vscos printr-o conduct circular de seciune constant s, fig.2.1, n ipoteza micrii axial
simetrice:
REZOLVARE Se pleaca de la ecuatia:
pV ,
=0
innd cont de legea de distribuie a vitezei:
2
max 1R
rVrV
debitul Q are expresia:
2
s
R
0
2
RV2
rdr2R
r1VVdaQ
maxmax
i cu aceasta viteza medie:
2
V
S
QVs
max
Fig.2.1
-
2 - Calculul i msurarea debitului fluidelor
39
Observaie.
Ipoteza micrii axial simetrice este acceptat i n cazul curgerilor turbulente
n conducte .n aceste cazuri este necesar explorarea cmpului cu ajutorul unor
instrumente de msurare a vitezei cel mai accesibil fiind sonda Pitot-Prandtl. ntr-un
punct viteza sesizat de sond se obine din relaia:
din
p2V (2.10 )
Pentru ca ipoteza micrii axial simetrice s fie viabil, este necesar
msurarea vitezei n (ct) mai multe puncte situate la aceeai raz r. iar viteza
presupus constant conform ipotezei, este media aritmetic Vmed(r) = ct( r ) a celor
msurate. Cu acestea, n seciunea transversal a conductei n care s-au fcut
msurtorile s, conform definiiei, debitul Q rezult din:
2R
0
med
R
0
med
s
rdrVdrrrV2VdasQ
prin soluionarea numeric (grafic) a integralelor.
Pentru regimurile turbulente de curgere n general, nu se cunosc distribuiile de
viteze n seciunile de flux i ca atare pentru calcul, n aplicaii,in general, se accept o
distribuie uniform echivalent unei viteze medii. n aceast situaie debitul poate fi
calculat apelnd la ecuaiile de transfer (2.5) i (2.6) n care implicit:
1daV
V
S
1
sm
.
2.2 S se calculeze debitul de ap ( H2O=1000Kg/m3 ) vehiculat printr-o
conducta orizontal de seciune circular constituit din dou tronsoane cu diametrele.
D1=0.025m, D2=0.05m fig.2.2, dac denivelarea indicat de piezometrul diferenial
indirect cu mercur (Hg=13600Kg/m3) conectat la extremitile conductei este
h=0.03m, iar pierderile (locale i longitudinale) pe conduct au fost estimate la
hp(1-2)=0.2m coloan ap.
-
Noiuni teoretice i probleme de hidrodinamic
40
Fig.2.2
REZOLVARE
21phh1
O2
H
Hgg2
1
4
1D
2D
1
21ph
go2
H
1p
2p
g2
1
4
1D
2D
12
V
2
1D
2D
1V
2V
Q2=V2S2=0.0169m3/s
-
2 - Calculul i msurarea debitului fluidelor
41
Analog, prin identificarea unor seciuni n care distribuia de viteze poate fi
acceptat ca uniform i asociat unei viteze medii, se procedeaz n cazul :
Orificiilor -inecate sau nu- practicate n, sau ajutajelor cilindrice(tronsoane
scurte de conduct) ataate la, peretele unui rezervor de cot constant fig. 2.2.a, sau
instrumentelor de msur a debitului n sistemele sub presiune (conducte)diafragma,
ajutajul, tubul Venturi, fig.2.2.b.
Fig.7.2a
-
Noiuni teoretice i probleme de hidrodinamic
42
diafragm
ajutaj
Tub Venturi
Fig. 2.2b
Observaii:
Pentru situaiile menionate, fig. 2.2a, ,fig. 2.2b, expresia debitului este
structural aceiai:
C0Q
Q
Q
pp2SC
gH2SC
gH2SC
Q (2.11)
cu:
S
SC CC (2.12)
c0 ssp
Vh1
1C
(2.13)
VCQ CCC (2.14)
-
2 - Calculul i msurarea debitului fluidelor
43
Coeficienii de debit CQ. de vitez CV, i de contracie CC, se determin
experimental i depind de tipul seciunii s de dimensiunea (relativ n raport cu sarcina
H sau diametrul conductei ) i calitatea suprafeei (rugozitatea) acesteia i, de regimul
de curgere (numrul Reynolds
VD
Re ).
n seciunea contractat sC (asemenea geometric cu s) micarea se desfoar n
lungul unor drepte paralele iar fenomenul de contracie se explic prin faptul c liniile
de curent au direcii convergente, convergen care se continu i dup seciunea s.
Sunt situaii n care, prin forma i dimensiunile (relative) seciunii de flux
procesul de contracie este atenuat, i / sau nu se poate identifica o seciune contractat
asemenea geometric n care este acceptabil ipoteza unei distribuii uniforme a vitezei.
n unele din aceste cazuri este posibil estimarea debitului dac:
a) se presupune c, n seciunea de flux, viteza este constant pentru orice plan
orizontal situat la cota Z fa de planul real sau ipotetic al suprafeei libere Z*, i are
respectiv expresiile:
gZ2zzg2V 0 (2.15)
gZ2zz
g
pg2V 0
M (2.16)
obinute pentru un fluid ideal din ecuaia lui Bernoulli.(EB):
(EB) ctg2
V
g
pz
2
(2.17).
b) se poate soluiona integrala de suprafa (2.1)
n cazul utilizrii ca instrumente de msur sau pentru o evaluare ct mai
exact expresiile rezultate trebuiesc corectate cu un coeficient de debit stabilit pe cale
experimental.
2. 3 n peretele lateral al rezervorului cu ap ( H2O=1000Kg/m3 ), din fig.2.3,
este practicat un orificiu de seciune dreptunghiular h=2m, b=4m. Rezervorul de cot
constant, a=4m, este nchis iar presiunea n perna de aer este msurat cu ajutorul
unui manometru plasat pe capac care indic 1,962 bar. S se calculeze debitul Q
vehiculat prin orificiu i s se compare cu cel obinut dac rezervorul este deschis.
-
Noiuni teoretice i probleme de hidrodinamic
44
Fig.2.3
REZOLVARE
n conformitate cu Fig.2.3 conform definiiei (2.1) din (2.16) rezult:
s/m154,117ag
pha
g
pg2b
3
2
dZbgZ2VdaQ
32
3
M2
3
M
*
s
hag
p
ag
p
*
M
M
i respectiv:
s/m3,82ahag2b3
2bdZgZ2VdaQ 32
3
2
3
s
ha
a
0pM
-
2 - Calculul i msurarea debitului fluidelor
45
2. 4 S se stabileasc n funcie de nlimea lamei deversante h expresia
debitului unui deversor triunghiular avnd unghiul la vrf 2 (fig.2.4).
Fig.2.4
REZOLVARE
Cu relaia (2.15) i notaiile din fig.2.4, rezult:
25
s
h
0
htgg215
8dztgzh2gZ2VdaQ
Observaie
Pentru cazul considerat-deversor triunghiular cu muchii ascuite i 2=900,
debitul real, se obine nmulind expresia de mai sus cu un coeficient de debit
CQ=0.5926 determinat experimental. Pentru alte variante constructive-cu seciune
dreptunghiular, circular, parabolic, cu profil gros, cu prag lat, .a - coeficienii de
debit au valori distincte dar metodologia de determinare a expresiei debitului este
aceiai.
Relatiile (2.8 ), (2.11) sunt aplicate i la tratarea unor probleme de golire sau
de transvazare a lichidelor dintr-un rezervor n altul- cazuri particulare de curgeri
nepermanente .n aceste cazuri se consider c variaia parametrilor definitorii a
micrii este lent i micarea poate fi tratat ca o succesiune temporal de curgeri
staionare.
2. 5 Un vas de form oarecare, fig.2.5, alimentat cu debitul constant Qa este prevzut cu un orificiu de golire avnd coeficientul de debit CQ. S se determine legea
de variaie n timp a cotei Z a suprafeei libere fa de planul orificiului. Pentru cazul
particular al unui rezervor paralelipipedic de seciune ptrat L=2m, dac Qa=0, i
orificiul circular d=0.1m are coeficientul de debit CQ=0.6 s se determine timpul de
golire al rezervorului tG dac la momentul iniial t=0,cota suprafeei libere H= 10m.
-
Noiuni teoretice i probleme de hidrodinamic
46
Fig. 2.5
REZOLVARE
Considernd momentul iniial t=0, Z=H. La acest moment debitul asociat
seciunii s a orificiului este gH2d4
CQ 2Q0
. Dac Q a< Q 0 nivelul suprafeei
libere va cobor n aceast situaie la un moment de timp t cu relaia (2.8) se scrie:
dZt,ZSdtQgZ2d4
C a2
Q
unde S(Z,t) este aria suprafeei s(Z,t) i dVol=S(Z,t)dZ cu dZ
-
2 - Calculul i msurarea debitului fluidelor
47
Din momentul t k curgerea devine permanent deoarece nivelul suprafeei
libere se menine la cota k ,debitul de alimentare fiind egal cu cel evacuat prin orificiu.
Dac seciunea transversal a rezervorului este constant i deci S(Z, t)= S = ct, se
obine:
kZ
kHlogHZk
g2d4
C
St
2
Q
,
din care rezult evident, c prezumtiva cot k nu este atins niciodat t . Pentru rezervorul de seciune ptrat (S = L
2) nealimentat (Qa = 0 k = 0 )
prin particularizarea relaiilor precedente sau direct cu (2.8) din:
g2d4
C
HL2
Z
SdZ
g2d4
C
1t
2
Q
20
H2
Q
G
rezult timpul de golire t G =300s.
2. 6 Un rezervor paralelipipedic este divizat de un perete vertical n dou
compartimente avnd seciunile transversale s i s*
de arie constant, respectiv
S=10 m2 i S
*=12 m
2. n peretele despritor, fig.2.6, este practicat un orificiu
circular s0 avnd diametrul d=0.2 m i coeficientul de debit CQ =0.6 Dac la un
moment dat, considerat iniial t=0, diferena de nivel ntre suprafeele libere din
cele dou rezervoare este H=10 m, s se determine timpul tG necesar egalizrii
celor dou nivele.
Fig.2.8
-
Noiuni teoretice i probleme de hidrodinamic
48
REZOLVARE
La un moment dat t, diferena de nivel a lichidului n cele dou compartimente
este:
ZZy
i, debitul transvazat prin orificiu (necat), are expresia:
gy2d4
Ct,sQ 2Q
La momentul t (arbitrar) considerat, pentru cele dou compartimente n
conformitate cu (2.8) i (2.11) se scriu relaiile.
)0dZ(umplere..........dZSdtgy2d4
C
)0dZ(golire............SdZdtgy2d4
C
2
Q
2
Q
i cu: dZdZdy
rezult:
gy2d4
C
dy
SS
S.Sdt
2
Q
din care:
s80
g2d4
C
H
SS
S.S2dtt
2Q
0
H
G
2.3.2. Probleme propuse spre rezolvare.
2.7. Doua rezervoare de sectiune patrata cu laturile L1=2.4m respectiv
L2=1.2m, au un perete despartitor prevazut cu un orificiu de arie s=230 cm2. La
momentul initial, cotele suprafetelor libere, fata de axa orificiului, erau,in cele
doua rezervaoare H1=3m, respectiv H2=0.9m. Sa se determine timpul necesar
pentru egalizarea nivelelor daca coeficientul de debit al orificiului este Cq=0.8.
R: t=41.8s
-
2 - Calculul i msurarea debitului fluidelor
49
2.8. Printr-o conduct de diametru D = 0,2 m circul ulei (u = 800 kg/m3),
fig.2.8. Considernd curgerea laminar i axial simetric s se determine debitul
vehiculat dac la raza r = 0,05 m viteza a fost msurat cu o sond Pitot-Prandtl
conectat la un piezometru diferenial indirect cu mercur (Hg = 13600 kg/m3). Se
cunoate coeficientul de etalonare (corecie) al sondei = 0,98 i denivelarea
L = 0,01m indicat de piezometru. B.
Fig.2.8
R: Q0,114 m3/s
2.9. n peretele lateral plan vertical al unui rezervor de cot constant H = 4,5
m este plasat un orificiu de diametru D = 0,05m. Viteza real din zona contractat a
jetului este de 8,4 m/s. S se determine pentru debitul Q = 11,4 m3/s, valorile
coeficienilor de contracie i de debit.
R: CC=0,690 C=0,627
2.10. Un rezervor cilindric.deschis, cu ulei (ulei=750kg/m3), cu diametru
D=1.2m, este prevzut cu un ajutaj cilindric de golire, dispus pe capacul inferior, cu
diametrul d=0.075m i coeficientul de debit CQ=0.85. Ct timp este necesar ca nivelul
apei n rezervor s scad de la 1.8m la 1.2m.
R: tg=136s
2.11. S se stabileasc expresia debitului pentru un deversor dreptunghiular i s se calculeze debitul msurat pentru o nlime a lamei deversante h = 0,2 m, dac
limea deversorului este b = 0,2m i coeficientul de debit are valoarea CQ = 0,42.
R: Q=2/5CQb(g)1/2(h)5/2 Q=0.00188m3/s
-
Noiuni teoretice i probleme de hidrodinamic
50
2.12. S se calculeze debitul evacuat prin orificiul cu muchii ascuite, de
diametru d = 0,120m, practicat n peretele terminal al unei conducte de diametru
D = 0,2m, dac indicaia manometrului M, plasat pe conduct n amonte de orificiu
situat la cota h = 1,5 m fa de axa conductei este pM = 0,981 bar, fig.2.12. Care este
debitul vehiculat Q1 dac la orificiu se ataeaz o conduct scurt. Se cunoate
coeficientul de pierderi hidraulice (locale) la trecerea fluidului prin orificiu = 0,04 i
coeficicntul de contracie al vnei provenite din orificiu este CC = 0,62.
Fig.2.12
R: Q=0,115 m3/s ; Q1=0,155 m
3/s
2.13.Pe o conduct dreapt orizontal de diametru D = 0,3m, fig.2.13, este
plasat ca instrument de msur un tub Venturi avnd diametrul seciunii minime d =
0,15 m. S se determine debitul de ap vehiculat ( = 1000 kg/m3) dac se cunoate
coeficientul de debit al venturimetrului CQ = 0,9 i denivelarea h = 1 m citit la
piezometrul diferenial indirect cu toluen ( 1 = 1250 kg/m 3) conectat la instrument.
Fig.2.13
R: Q=0,0352 m3
/s
-
2 - Calculul i msurarea debitului fluidelor
51
2.14. n peretele lateral vertical al unui rezervor nchis de cot constant, fig.2.14, cu ulei (ulei = 750 kg/m
3), este practicat un orificiu de descrcare avnd
d = 0,075 m, CV = 0,950 CC = 0,650. Care este presiunea n perna de aer citit la
manometrul montat pe capacul superior al rezervorului dac puterea jetului provenit
din orificiu P = gQH = 6 kW. Axa orificiului este situat fa de planul suprafeei
libere la adncimea H = 2,7m.
Fig-2.14
R: pM=1,122 bar
2.15.Un rezervor cu ap ( = 1000 kg/m3) de cot constant, fig.2.15, este prevzut cu un ajutaj de descrcare cu diametru d=0.1m avnd coeficientul de
contracie CC = 0,62. S se determine:
1) debitul evacuat dac nivelul suprafeei libere este situat deasupra axei ajutajului la cota H = 9 m
2) indicaia manovacuumetrului conectat la seciunea contractat a vnei n ajutaj
3) cota H maxim pentru care la eirea din ajutaj, vna are diametru d.
Fig.2.15
R: Q=0,0855 m3/s , pN= -0,35 bar, H=12,15 m
2.16. n pereii laterali, plani, verticali, opui, ai unui rezervor cu ap, de cot constant (ap= 1000 kg/m
3), sunt practicate dou orificii coaxiale, fig.2.16, unul
circular de diametru d = 0,2 m, CQ1 = 0,603, respectiv unul ptrat de latur a = 0,2 m,
CQ2 = 0,489. Cunoscnd debitul de alimentare Q = 0,2 m3/s care asigur pentru H = 4
m, un regim permanent de curgere s se determine debitele asociate celor dou orificii.
-
Noiuni teoretice i probleme de hidrodinamic
52
Fig.2.16
R: Q2=0,1016m3/s ; Q1=0,0984m
3/s
2.17. Care este coeficientul de debit CQ al unui deversor semicircular de raz
R = 0,5 m, fig.2.17, dac pentru o nlime h1 = 0,5 m debitul msurat a fost
Q = 0,48 m3/s .
Fig.2.17
R: CQ = 0,6
2.18. n peretele lateral al unui rezervor de cot constant H, fig.2.18, este practicat un orificiu circular cu diametru D (HD/2 ; HD ). S se determine neglijnd
pierderile expresia debitului Q evacuat prin orificiu i s se particularizeze pentru
:H=1m, a=1m, D=2m. (orificiul este tangent la suprafaa liber)
-
2 - Calculul i msurarea debitului fluidelor
53
Fig.2.18
R: Q=4,3m3/s
2.19. Un rezervor vertical, fig.2.19, este constituit din dou compartimente .n
peretele despritor i n cel exterior al celui de al doilea compartiment snt practicate
dou orificii circulare cu diametrele d1=0.2m, d2=0.1m. S se determine coeficientul de
debit al orificiului din cel de al doilea compartiment i debitul de alimentare Q necesar
pentru ca nivelul lichidului n cele dou compartimente s se menin la cotele
H=0.36m respectiv H1=4m . Coeficientul de debit al primului orificiu este CQ1=0.58
Fig.2.19
R:CQ2=0.696 ; Q=0,484 m3/s
2.20. Un rezervor semisferic de raz R, fig.2.20, este prevzut cu dou orificii identice de diametru d dispuse n axa vertical ce trece prin centrul sferei.. Dac
rezervorul este umplut, s se stabileasc raportul dintre timpii de golire ai rezervorului,
prin cele dou orificii.
Fig.2.20
R: tg1/tg2=12/7
-
Noiuni teoretice i probleme de hidrodinamic
54
2.21. Un rezervor tronconic este prevzut cu un orificiu de golire cu perei subiri, fig.2.21. S se determine diametrul orificiului dac pentru: H=3m, D1=2.4m,
D2=1.2m, se impune ca timpul de golire s fie de 6 minute. Se accept pentru
coeficientul de debit al orificiului valoarea CQ=0.8.
Fig.2.21
R: d=0,0987 m
-
CAPITOLUL 3
CURGEREA LICHIDELOR PRIN CONDUCTE
Notaii i semnificaii fizice densitatea mediului lichid, n kg/m
3
vscozitatea cinematic, n m2/s
vscozitatea absolut, n Pa.s
v viteza medie de curgere, n m/s
Re numrul Reynolds
d diametrul conductei, n m
l lungimea conductei, n m
coeficientul de pierdere hidraulic longitudinal
coeficientul de pierdere hidraulic local
p presiunea, n Pa
tensiunea tangenial, n N/m2
g = 9,81 m/s2 acceleraia gravitaional
Q debitul volumic, n m3/s
coeficient de neuniformitate a vitezei pe seciune
hp pierderea hidraulic, n m
3.1. INTRODUCERE
n diverse ramuri ale practicii inginereti, problemele curgerii lichidelor prin
conducte se rezolv utiliznd ecuaia de transfer a energiei mecanice i ecuaia de
continuitate (prezentate n capitolul 2). Curgerea stabil a fluidelor reale trebuie luat
n considerare i rezolvat n contextul metodelor experimentale i semi-empirice. Ea
este de dou tipuri, laminar i turbulent, fiecare tip de curgere fiind guvernat de legi
diferite.
3.2. NOIUNI TEORETICE
Curgerea laminar este micarea n care nu exist schimb de substan ntre
straturile adiacente. Criteriul pentru caracterizarea naturii regimului de micare ntr-o
conduct a fost introdus de O.Reynolds prin:
-
Noiuni teoretice i probleme de hidrodinamic
56
Redvdv
(3.1)
unde Re poart numele de criteriu sau numr Reynolds.
Pentru condiiile de seciune circular s-au stabilit experimental valorile pentru
numerele Reynolds critice corespunztoare tranziiei laminar-turbulente.
2300dv
Re .inf.cr.inf.cr
(3.2)
4000dv
Re.sup.cr
sup.cr
(3.3)
Cnd Re
-
3 - Curgerea lichidelor prin conducte
57
4
R
l
pv
2
max
(3.7)
reprezint viteza maxim n axa conductei.
Viteza medie pe seciunea transversal a conductei va fi:
2
vv maxmed (3.8)
Tensiunea tangenial se determin din Legea de frecare Newton ca avnd o
variaie liniar n raport cu raza:
dr
dv
dn
dv (3.9)
innd cont i de relaiile (3.6) i (3.7) rezult:
l2
rp
(3.10)
2
med
R
vl8p
(3.11)
Se poate determina coeficientul pentru micarea laminar conform relaiei lui Hagen-Pouiseuille:
Re
64 (3.12)
Curgerea turbulent este micarea caracterizat de un puternic schimb de
substan ntre straturile adiacente de fluid.
n domeniul micrii trurbulente coeficientul de pierderi hidraulice ia valori diferite n funcie de regimul de curgere, dup cum urmeaz:
-regim de conduct hidraulic neted CHN: cnd nu depinde de rugozitatea relativ a conductei ci doar de numrul Re = (Re); -regim de conduct hidraulic semi-rugoas CHSR: cnd = (Re,k/d); -regim de conduct hidraulic rugoas CHR: cnd depinde exclusiv de rugozitatea relativ i are o valoare constant = (k/d)=const. Una i aceeai conduct poate fi hidraulic neted sau hidraulic rugoas n
funcie de valoarea lui Re i a raportului k/d. Pentru determinarea regimului
coeficientul se calculeaz astfel: se admite la nceput o valoare de iniializare a
-
Noiuni teoretice i probleme de hidrodinamic
58
calculului pentru n intervalul 0,02...0,04. Se stabilete valoarea criteriului lui
Moody, d
kReCrit , dup cum urmeaz:
a). Pentru CHN: Crit
-
3 - Curgerea lichidelor prin conducte
59
3.3 APLICAII
3.3.1 Probleme rezolvate
3.1 S se determine viteza critic de curgere laminar ntr-o conduct avnd
diametrul d=20 mm pentru:
a). Ap la t=200C (=1,0110
-6 m
2/s);
b). Ulei avnd densitatea masei =920 kg/m3 i vscozitatea dinamic =10
-2
Pas.
REZOLVARE
a). n cazul unei curgeri laminare, numarul Reynolds critic este Rec=2300
dvRe de unde rezult:
116,0d
Rev cc
m/s
b). Se calculeaz vscozitatea cinematic a uleiului:
510087,1
m
2/s
25,1vc m/s
3.2. S se dimensioneze o conduct prin care trebuie s curg, n condiii de micare laminar, un debit de 2,308 l/s iei la temperatura de 15
0C (=2,8410
-5 m
2/s).
REZOLVARE Din ecuaia de continuitate rezult:
2d
Q4
S
Qv
Q4
dRe
v
Red
dvRe
2
-
Noiuni teoretice i probleme de hidrodinamic
60
De aici determinm diametrul ca fiind:
0449,023001084,2
10308,24d
Re
Q4d
5
3
m
3.3. Apa curge printr-o conduct avnd un diametru d=200 mm. Pierderea
hidraulic pe o lungime L=150 m este de 10 m, fig.3.3. S se determine:
a). Tensiunea tangenial la peretele conductei;
b). Viteza medie n conduct pentru un coeficient de pierdere prin frecare
=0,04;
c). Tensiunea tangenial la 40 mm fa de axa conductei?
Fig. 3. 3
REZOLVARE a). n ipoteza unei curgeri staionare, se scrie echilibrul forelor dup direcia x a
curgerii:
0ASpSp 21 sau
0Lr2rprp 222
1
Rezult:
L2
rp
L2
rppL2rpp d2121
La perete r=d/2=R. Prin urmare,
L4
dpd0
-
3 - Curgerea lichidelor prin conducte
61
Dar pierderile hidraulice uniform distribuite pot fi scrise astfel:
pd hgp
nlocuind in relaia lui 0 obinem:
L4
hdg p0
7,321504
102,081,910000
N
b). Pierderile hidraulice uniform distribuite se exprim conform (3.5):
g2
v
d
Lh
2
p
De aici rezult viteza ca fiind: L
hdg2v
p
.
nlocuind,
557,215004,0
102,081,92v
m/s
Sau, innd cont de cderea de presiune d
L4
r
L2p 0d
,
g2
v
d
L
dg
L4
g
ph
2
0dp
Rezult pentru vitez:
557,2100004,0
7,3288v 0
m/s.
c).
d
r2
L4
dhg
L2
rhg
L2
rp ppd
Deci R
r
d
r200
, iar numeric, 08,13
100
407,32 N.
-
Noiuni teoretice i probleme de hidrodinamic
62
3.4. Ce debit de pcur de densitate =918 kg/m3 trece printr-o conduct
orizontal avnd lungimea L=100 m i diametrul d=150 mm? Se cunosc presiunile la
capetele conductei pA=1 bar i respectiv pB=0,035 bar, iar vscozitatea cinematic
=412,510
-6 m
2/s.
REZOLVARE
4
2dvSvQ
Pentru aflarea debitului avem nevoie de vitez. Aceasta se determin din
expresia cderii de presiune, dup cum urmeaz:
55BAd 10965,010035,01ppp Pa. Dar:
2
d
52
5
2
242
2
d QL8pdd
QL8
g2
1
d
Q16
d
Lgp
Rezult: L8
pdQ d
52
Presupunem 0=0,03. Atunci
0573,010091803,08
10965,015,0Q
552
m3/s. De aici rezult viteza:
242,315,0
0573,04
d
Q4v
22
m/s. Verificm natura regimului de curgere n
conduct:
1179
105,412
15,0242,3dvRe
6micare laminar. Corecia pentru se
face utiliznd formula Hagen-Pouiseuille: 054,01179
64
Re
64 . Cu aceast valoare
se corecteaz valoarea debitului, rezultnd n final Q=0,043 m3/s.
3.5. Apa curge printr-o conduct de 2 km cu un debit Q=45 l/s. Diametrul
conductei este d=300 mm, iar vscozitatea apei =1,0110-6
m2/s. tiind c rugozitatea
pereilor conductei este k=1 mm, s se determine:
a).Cderea de presiune pe cei 2 km de conduct;
b). Natura regimului de curgere n conduct;
c). Ce valoare are coeficientul de pierdere longitudinal ?
-
3 - Curgerea lichidelor prin conducte
63
REZOLVARE
a). Cderea de presiune se scrie ca: g2
v
d
Lghgp
2
pd .
Pentru determinarea vitezei apelm la ecuaia de continuitate: 4
dvsvQ
2
De unde 637,0d
Q4v
2
m/s. Atunci cderea de presiune va fi:
52
2
42
2
d
QL8
g2
1
d
Q16
d
Lgp
deci 528,40p kPa.
b). Se calculeaz numrul Reynolds:
1890951001,1
3,0637,0dvRe
6
>4000, deci micarea n conduct este
turbulent. Mai mult, din criteriul lui Moody:
17,109300
103,0189095
d
kRe valoare aflat n intervalul 9,4...200;
rezult deci o conduct hidraulic semirugoas.
c). Coeficientul se calculeaz utiliznd formula Colebrook-White. Se admite
valoarea la care, pentru dou iteraii succesive, eroarea este mai mic de 10-6
.
d71,3
k
Re
51,2lg2
1
1nn
Presupunnd 0=0,03 rezult:
0276027,0
0276027,0
027603,0
027576,0
4
3
2
1
Deci =0,0276027
-
Noiuni teoretice i probleme de hidrodinamic
64
3.6. Printr-o conduct orizontal de lungime L=500 m i diametru d=40 mm este
pompat ap de mare avnd densitatea masei =1025 kg/m3. Cunoscnd cderea de
presiune la capetele conductei ca fiind pd=200 kPa i vscozitatea absolut a apei de
mare =1,02510-3
Pas, s se determine debitul de ap de mare ce trece prin conduct.
Se dau 0=0,03 i rugozitatea peretelui interior al conductei k=1,5 mm.
REZOLVARE
Conform ecuaiei de continuitate, 4
dvSvQ
2
Cderea de presiune la capetele conductei poate fi exprimata astfel:
g2
v
d
Lghgp
2
pd d
De aici rezult expresia pentru viteza medie n conduct:
020.150003,01025
1020004,02
L
pd2v
3
0
d
m/s 28.1Q l/s.
Aceast valoare este aproximativ i se cere corectarea ei innd cont de regimul
de curgere n conduct. Pentru aceasta calculm valoarea criteriului Reynolds:
40004080510025,1
102504.002,1dvdvRe
3
deci micarea este turbulent. Se calculeaz valoarea criteriului lui Moody:
26540
5,103,040805
d
kRe >200, ceea ce indic o conduct hidraulic
rugoas. Relaia de calcul pentru coeficientul de pierderi este dat de Prandtl:
14,1k
dlg2
1
de unde rezult =0,0627.
Cu aceast valoare se corecteaz viteza i n final se determin valoarea
debitului de ap de mare. Rezult:
s
l886,0Q
s
m705,0v corcor .
-
3 - Curgerea lichidelor prin conducte
65
3.7. Printr-o conduct nou de oel se transport aer la temperatura de 20oC.
Conducta are dimensiunile d=40 mm i l=100 m, iar rugozitatea peretelui interior
k=0,07 mm. S se determine ce debit de aer este transportat n condiiile n care aerul
intr cu o presiune absolut de 3 bar i la captul conductei cderea de presiune este de
0,015 bar.
REZOLVARE
Densitatea aerului la 20oC i la presiunea atmosferic de101325 Pa este:
204,1C20aer o kg/m
3. Vscozitatea cinematic este =14,8610-6 m2/s.
innd cont de ecuaia de stare, la 3 bar densitatea aerului devine:
565,315,293287
103
TR
p 5
aer
kg/m
3 , iar =14,8610-6 /3 =4,95310-6 m2/s.
Considernd aerul incompresibil, rezult:
21 ppp l
d
g
p
g2
v
g2
v
d
l
g
p 22
l
pd2
lg
dpg2v
Pentru 0=0,03 rezult:
349,310003,0565,3
10015,004,02v
5
m/s. Rezult Q=4,208 l/s.
Pentru corectarea valorii coeficientului calculm criteriul Reynolds:
7,2704910953,4
04,0349,3dvRe
6
aadar avem o micare turbulent.
199,840
07,003,07,27049
d
kRe
-
Noiuni teoretice i probleme de hidrodinamic
66
694,3100024658,0565,3
10015,004,02v
5
cor
m/s.
32
cor 10462,44
04,0694,3Q
m3/s.
3.8. S se determine coeficientul de frecare pe o poriune a unei conducte
prin care curge ap, fig.3.8, lung de 150 m, avnd d=200 mm, tiind c indicaia
piezometrului diferenial cu mercur conectat la capete este h=1,2 m, la un debit al apei
de 175 l/s. Se dau densitile masice ale apei =1000 kg/m3 i mercurului, Hg=13600
kg/m3.
0 Fig. 3.8
REZOLVARE Coeficientul de pierderi se determin din relaia de transfer a energiei
mecanice scris ntre seciunile 1 i 2. Dac se noteaz diferena de presiune pe aceast
poriune cu p, nseamn c:
g2
v
d
l
g
p 2
unde v este viteza medie n conduct i se determin din:
570,52,0
175,04
d
Q4v
22
m/s. Dar HgHg hgp Rezult:
-
3 - Curgerea lichidelor prin conducte
67
2
HgHg
2 vl
dg2
g
hg
vl
dg2
g
p
013761,01000
13600
57,5150
2,12,081,92
vl
hdg22
Hg
2
3.9. Printr-o conduct de oel avnd d=400 mm se pompeaz benzin n
rezervorul R, cu ajutorul unei pompe centrifuge, fig.3.9. Un manometru plasat la
intrarea n pomp indic presiunea pi=0,14 kgf/cm2, la un debit Q=0,2 m
3/s. S se
determine:
a). Ce putere furnizeaz pompa benzinei? b). Ce presiune trebuie meninut la ieirea din pomp?
c). Desenai linia piezometric .
Se dau = 0,6510-6
m2/s; k = 1,5 mm; = 725 kg/m
3.
Fig. 3.9
REZOLVARE
a). Puterea furnizat de pomp benzinei este de fapt puterea util a pompei,
care se poate scrie ca: pHQgP . nlimea de pompare Hp se determin din
ecuaia de transfer a energiei mecanice scris de la seciunea de intrare n pomp pn
la rezervorul R: Rip
2
RRRRP
2
iiii h
g2
v
g
pzH
g2
v
g
pz
Considernd nivelul energetic zero la 1 m, i1, R1 energiile specifice de presiune i
cinetic la suprafaa liber a rezervorului ca fiind nule, rezult:
g2
v
g2
v
d
l00zH
g2
v
g
p0
2
i
2
iRP
2
ii
-
Noiuni teoretice i probleme de hidrodinamic
68
g2
v
d
l
g
pz
g
p
g2
v
g2
v
g2
v
d
lzH
2
iR
i
222
RP
Viteza se calculeaz din ecuaia de continuitate: 592,14,0
2,04v
2
m/s.
Se stabilete regimul de curgere n conduct:
979692
1065,0
4,0592,1dvRe
6micare turbulent. Presupunem o valoare
iniial 0=0,03. Criteriul lui Moody are valoarea:
3,636400
5,103,0979692
d
kRe 0 >200, deci conducta este hidraulic
rugoas.
Se aplic relaia lui Karman Nikuradse pentru calculul lui :
02785,014,1k
dlg2
1
. nlocuind n expresia nlimii de pompare:
258,3981,92
592,1
4,0
180002785,0
81,9725
1081,914,025H
24
P
m.
Atunci puterea util rezult: 842,55258,392,081,9725 P kW.
b). Pentru determinarea presiunii la ieire din pomp se scrie ecuaia transferului de
energie mecanic ntre seciunea de la ieirea din pomp i rezervorul R:
g2
v
d
l
g2
v
g
pz
g2
v
g
pz
22
RRRR
2
eeee
Cum i1, R1, ze=0, pR=0 (rezervorul este deschis, la suprafaa liber a apei
presiunea fiind egal cu presiunea atmosferic) i componenta cinetic la suprafaa
liber neglijabil, rezult:
189,4181,92
592,1
4,0
180002785,025
g2
v
d
lz
g
p 22
e
e
m
Atunci 946,292189,4181,9725 ep kPa.
-
3 - Curgerea lichidelor prin conducte
69
c). Cele trei seciuni remarcabile prezint urmtoarele valori ale energiei specifice
poteniale:
931,2zg
pi
i
m; 189,42zg
pe
e
m; 25g
pR
m
Linia piezometric este reprezentat n figura 3.9.1.
Fig. 3.9.1
3.10. S se determine energiile specifice de presiune n cele dou conducte ce
unesc rezervorul A cu rezervorul B, n seciunea contractat C (fig. 3.10). Se cunosc:
H1=27 m, H2=20 m, H3=18 m. Dimensiunile conductei ce ias din rezervorul A sunt
d1=200 mm, l1=20 m, 1=0,02 iar a conductei ce intr n B, d2=100 mm, l2=10 m,
2=0,015. Coeficientul de pierdere local pentru un cot de 900 este c=0,5 iar pentru
contracia brusc con=0,75.
-
Noiuni teoretice i probleme de hidrodinamic
70
REZOLVARE Energiile specifice de presiune n cele dou conducte de dimensiuni diferite n
dreptul seciunii contractate se calculeaz utiliznd ecuaia transferului de energie
mecanic i ecuaia de continuitate. Pentru nceput studiem transferul de energie ntre
seciunile A i C:
C
A
p
2
CCCC
2
AAAA h
g2
v
g
pz
g2
v
g
pz .
Fig. 3.10
Explicitnd pierderile longitudinale pe conducta de diametru d1, i locale n
cele dou coturi, avem:
g2
v2
g2
v
d
l
g2
v
g
pH00H
2
C1c
2
1
top related