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Func oesLimites
ContinuidadeDerivada
Aplicac oes da DerivadaIntegrais
Aplicac oes da IntegralEquac oes Diferenciais
Semana da Matematica Integrada: FUNCOES
Profa. Elaine C. C. Poletti
DMBC/FT/UNICAMP
26 de fevereiro de 2015
Semana da Matem atica Integrada
Func oesLimites
ContinuidadeDerivada
Aplicac oes da DerivadaIntegrais
Aplicac oes da IntegralEquac oes Diferenciais
Como surgem as func oes?Definic aoRepresentac ao de func aoExercıciosMais sobre Func oesOperac oes entre Func oesTipos de Func oesFunc ao InversaFunc ao Par e Impar
Funcoes
As funcoes surgem essencialmente quando uma quantidade depende deoutra.
E uma relacao de dependencia entre elementos de dois conjuntos quaisquer.
Semana da Matem atica Integrada
Func oesLimites
ContinuidadeDerivada
Aplicac oes da DerivadaIntegrais
Aplicac oes da IntegralEquac oes Diferenciais
Como surgem as func oes?Definic aoRepresentac ao de func aoExercıciosMais sobre Func oesOperac oes entre Func oesTipos de Func oesFunc ao InversaFunc ao Par e Impar
Que tipo de relacao se estabelece como funcao?
Definic ao
Uma funcao matematica e uma relacao (entre dois conjuntos) que associa, acada elemento de partida, denominado domınio , um unico elemento de umconjunto de chegada, denominado contra-domınio .
Os elementos do conjunto contra-domınio que sao imagem de algumelemento do domınio constituem o conjunto imagem da funcao.
Semana da Matem atica Integrada
Func oesLimites
ContinuidadeDerivada
Aplicac oes da DerivadaIntegrais
Aplicac oes da IntegralEquac oes Diferenciais
Como surgem as func oes?Definic aoRepresentac ao de func aoExercıciosMais sobre Func oesOperac oes entre Func oesTipos de Func oesFunc ao InversaFunc ao Par e Impar
Exemplos de Funcoes
1 O volume V de uma esfera depende de seu raio r . A lei que representaesta relacao e dada por:
V = V (r) =43π.r 3
.Ou seja, para cada raio r > 0, existe um unico volume de esfera Vassociado. Dizemos que V e funcao de r ;
2 O Custo C de enviar uma carta pelo correio depende de seu peso w .Embora nao haja uma formula simples conectando w a C, o correiotem uma formula que permite calcular o custo, tendo o peso dacorrespondencia, Desta forma o custo C e dado por:
C = C(w)
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Aplicac oes da DerivadaIntegrais
Aplicac oes da IntegralEquac oes Diferenciais
Como surgem as func oes?Definic aoRepresentac ao de func aoExercıciosMais sobre Func oesOperac oes entre Func oesTipos de Func oesFunc ao InversaFunc ao Par e Impar
Exemplos de Funcoes
1 O volume V de uma esfera depende de seu raio r . A lei que representaesta relacao e dada por:
V = V (r) =43π.r 3
.Ou seja, para cada raio r > 0, existe um unico volume de esfera Vassociado. Dizemos que V e funcao de r ;
2 O Custo C de enviar uma carta pelo correio depende de seu peso w .Embora nao haja uma formula simples conectando w a C, o correiotem uma formula que permite calcular o custo, tendo o peso dacorrespondencia, Desta forma o custo C e dado por:
C = C(w)
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ContinuidadeDerivada
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Aplicac oes da IntegralEquac oes Diferenciais
Como surgem as func oes?Definic aoRepresentac ao de func aoExercıciosMais sobre Func oesOperac oes entre Func oesTipos de Func oesFunc ao InversaFunc ao Par e Impar
Exemplos de Funcoes
Sabendo que a populacao mundial depende do tempo t , observamosna tabela abaixo que P(1940) = 2.300.000.000 e ainda, a medida quepassa o tempo, muda a populacao mundial.
Ano Pop. (milhoes)
1900 16501920 18601940 23001960 30201980 4450
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Como surgem as func oes?Definic aoRepresentac ao de func aoExercıciosMais sobre Func oesOperac oes entre Func oesTipos de Func oesFunc ao InversaFunc ao Par e Impar
Exemplos de Funcoes
A quantidade de poluente num rio depende de varios fatores, dentreeles o tempo e o espaco. Em domınio regular, um exemplo deconcentracao de poluentes c(x , y , t) e representada por:
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Aplicac oes da IntegralEquac oes Diferenciais
Como surgem as func oes?Definic aoRepresentac ao de func aoExercıciosMais sobre Func oesOperac oes entre Func oesTipos de Func oesFunc ao InversaFunc ao Par e Impar
Exemplos de Funcoes
A disseminacao de um vırus ou uma doenca tambem pode ser, muitasvezes representada por uma funcao. Segue exemplo de dispersao daDengue na cidade de Campinas.
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Como surgem as func oes?Definic aoRepresentac ao de func aoExercıciosMais sobre Func oesOperac oes entre Func oesTipos de Func oesFunc ao InversaFunc ao Par e Impar
Importante
Funcao × Relacao
Nem toda relacao entre conjuntos e uma funcao.
Nao pode sobrar elementos do domınio de f . Ex: os numeros Inteiros Z
nao pode ser domınio de um fenomeno que se desenvolve em funcaodo tempo.
Um elemento do domınio de f nao pode ter duas ou mais imagens(teste da vertical). Ex: Um corpo nao ocupa duas posicoes ao mesmotempo;
Entretanto, varios elementos do domınio de f podem ter a mesmaimagem. Ex: funcao constante.
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Importante
Funcao × Relacao
Nem toda relacao entre conjuntos e uma funcao.
Nao pode sobrar elementos do domınio de f . Ex: os numeros Inteiros Z
nao pode ser domınio de um fenomeno que se desenvolve em funcaodo tempo.
Um elemento do domınio de f nao pode ter duas ou mais imagens(teste da vertical). Ex: Um corpo nao ocupa duas posicoes ao mesmotempo;
Entretanto, varios elementos do domınio de f podem ter a mesmaimagem. Ex: funcao constante.
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Importante
Funcao × Relacao
Nem toda relacao entre conjuntos e uma funcao.
Nao pode sobrar elementos do domınio de f . Ex: os numeros Inteiros Z
nao pode ser domınio de um fenomeno que se desenvolve em funcaodo tempo.
Um elemento do domınio de f nao pode ter duas ou mais imagens(teste da vertical). Ex: Um corpo nao ocupa duas posicoes ao mesmotempo;
Entretanto, varios elementos do domınio de f podem ter a mesmaimagem. Ex: funcao constante.
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Diagramas
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Formas de representar uma funcao
Uma funcao pode ser representada de varias formas: diagramas,expressoes matematicas, graficos, expressoes verbais, dentre outras.
A expressao matematica e o grafico sao as formas mais utilizadas no estudomatematico.
A notacao matematica para uma funcao de domınio A e contradomınio B edada por:
f : A → B
y = f (x)
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Funcoes
Exemplo: Em f : A → B dada pelo diagrama.
O conjunto em amarelo A e o domınio de f ; o conjunto em laranja B e ocontradomınio de f e em conjunto azul e o conjunto imagem de f .
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Funcoes
Exemplo: Em f : A → B dada por f (x) = x2 − 2x + 1.
O eixo-x e o domınio de f . O eixo-y o contradomınio de f e o semi eixopositivo de y e o conjunto imagem de f .
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O domınio da funcao
Qual a importancia do domınio de uma funcao?
Reconhecer para quais valores de x a funcao faz sentido.
1 No calculo de volume de uma esfera V = 43πr 3, o raio e a variavel
independente que deve ser, necessariamente, positiva. Nao temsentido uma esfera de raio (e consequentemente volume) negativo.Neste caso, dizemos que DV = R
+.
2 Para f (x) = 1x , temos que x nao pode ser zero. Entao dizemos que
Df = R∗ ou Df = {x ∈ R|x 6= 0}
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Grafico de FuncoesO grafico e a forma mais comum de representacao, analise e visualizacao deum comportamento de funcao.Se f : A → B e uma funcao. Seu grafico e o conjunto de pares ordenados{(x , f (x)) |x ∈ A}.
Ou seja, grafico e um conjunto de pontos (x , y) do plano de coordenadastais que y = f (x), com x no domınio.
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Grafico de Funcoes
Nem todo grafico, e grafico de funcao. Para tanto existe o teste da vertical.
Se o grafico representa uma funcao, entao uma reta vertical atraves dequalquer ponto do eixo horizontal pode ser interceptar o grafico somenteuma vez.
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Exercıcios - Funcoes
Exercıcio 1.
O grafico abaixo representa o numero de pessoas infectadas por um virusem funcao do tempo (horas). Determine aproximadamente f (100) e f (500),determine o domınio e a variacao de f .
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Exercıcios - Funcoes
Exercıcio 2.
Esboce o grafico das funcoes f e g e encontre o domınio e a variacao decada uma: f (x) = 2x − 1 e g(x) = x2
Exercıcio 3.
Esboce o grafico da temperatura T (graus Celsius) em funcao do tempo t(horas) sendo conhecida a tabela:
t 0 2 4 6 8 10T 58 56 54 52 50 48
Assumindo um comportamento uniforme, estime a temperatura das 9 horas.
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Funcoes Definidas por Partes
Exercıcio 4.
Calcule f (0), f (1) e f (2) e esboce o grafico de:
f (x) ={
1 − x se x ≤ 1x2 se x > 1
Exercıcio 5.
Esboce o grafico de f (x) = |x |
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Funcoes Definidas por Partes
Exercıcio 6.
Encontre uma formula para a funcao f cujo grafico e dado por:
Dica: Equacao da reta y − y0 = m(x − x0) onde m = y1−y0x1−x0
.
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Operacoes entre Funcoes
Operacoes entre Funcoes
Sendo fe g funcoes definimos:
1 (f + g) (x) = f (x) + g(x), domınio A ∩ B
2 (f − g) (x) = f (x)− g(x), domınio A ∩ B
3 (f .g) (x) = f (x).g(x), domınio A ∩ B
4(
fg
)
(x) = f (x)g(x) , domınio x ∈ A ∩ B com g(x) 6= 0
5 (f ◦ g) (x) = f (g(x))
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Operacoes entre Funcoes
Exercıcio 7.
Se f (x) =√
5 − x e g(x) =√
x − 3 desenvolva e discuta o domınio:
1 (f + g) (x)
2 (f − g) (x)
3 (f .g) (x)
4(
fg
)
(x)
5 (f ◦ g) (x)
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Tipos de Funcoes
Funcao linear
Uma funcao dita linear e do tipo f (x) = mx + b, onde m e a inclinacao dareta e b e o intercepto do eixo-y.
Exercıcio 8.
A medida que o ar seco move-se para cima, ele se expande e esfria. Se atemperatura do solo e de 20oC e a temperatura a uma altura de 1km for de10oC. Expresse a temperatura como uma funcao da altura. Faca um graficoda funcao e determine a temperatura a 2, 5km de altura.
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Tipos de Funcoes
Funcao Polinomial
Uma funcao dita polinomial e do tipo f (x) = anxn + an−1xn−1 + . . .+ a1x + a0
onde n e um inteiro nao negativo e os valores ai sao constantes chamadascoeficientes do polinomio.
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Tipos de Funcoes
Exemplos de Funcoes Polinomiais
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Tipos de Funcoes
Funcoes Potencias
Uma funcao da forma f (x) = xa, com a constante, e chamada funcaopotencia.
Exercıcio 9.
Esboce no mesmo eixo os graficos de f (x) = x , g(x) = x2, h(x) = x3,r(x) = x4, m(x) = x5.
Exercıcio 10.
Esboce no mesmo eixo os graficos de f (x) =√
x e g(x) = 3√
x .
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Tipos de Funcoes
Funcoes Racionais
Uma funcao racional f e expressa em termos de:
f (x) =P(x)Q(x)
onde P e Q sao polinomios e o domınio de f consiste nos valores tais queQ(x) 6= 0.
Exemplo f (x) = 2x4−x2+1x2−4
onde x 6= {2,−2}.
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Tipos de Funcoes
Funcoes Algebricas
Uma funcao algebrica f e dada pela mistura de operacoes algebricas.
Exemplo f (x) =√
x−1x2−1
com x 6= {1,−1}.
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Tipos de Funcoes
Funcoes Trigonometricas
Exemplo f (x) = sen(x) e g(x) = cos(x)
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Tipos de Funcoes
Funcoes Exponenciais
Se f : R → R+ tal que f (x) = ax . Se 0 < a < 1, f e decrescente, se a = 1, f
e constante e se a > 1, f e crescente.Exemplo: f (x) = 2x
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Propriedades de Exponenciais
Propriedades Exponenciais
Se a, b > 0 e x , y ∈ R, temos.
1 ax+y = ax .ay
2 ax−y = ax
ay
3 (ax)y = axy
4 (ab)x = ax bx
5 a−n = 1an
6 apq = q
√ap
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Tipos de Funcoes
Funcoes Logarıtmicas
Se a > 0 e a 6= 1, a funcao exponencial f (x) = ax possui inversa. Suainversa e chamada funcao logarıtmica com base a. Logo f : R+ → R tal quef (x) = loga(x).
Exemplo: f (x) = log(x)
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Propriedades de Logarıtmo
Propriedades Logarıtmicas
Se a > 0 e a 6= 1, loga(x) = y ⇔ ay = x .
1 loga(ax) = x
2 aloga(x) = x
3 loga(xy) = loga(x) + loga(y)
4 loga
(xy
)
= loga(x)− loga(y)
5 loga(x r ) = r .loga(x)
6 loge(x) = ln(x)
7 ln(x) = y ⇔ ey = x
8 ln(ex) = x e eln(x) = x
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Funcao Inversa
Observacao.
Sera que todas as funcoes tem inversas?
Nao!!!
Toda funcao Bijetora tem inversa!
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Funcao Inversa
Observacao.
Sera que todas as funcoes tem inversas?
Nao!!!
Toda funcao Bijetora tem inversa!
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Funcao Inversa
Observacao.
Sera que todas as funcoes tem inversas?
Nao!!!
Toda funcao Bijetora tem inversa!
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Funcao Inversa
Funcao Bijetora.
Uma funcao e dita bijetora se ela for injetora e sobrejetora ao mesmo tempo;
f : A → B e injetora se x1 6= x2 ⇒ f (x1) 6= f (x2), ∀x1, x2 ∈ A.
f : A → B e sobrejetora se ∀y ∈ B, ∃! x ∈ A tal que f (x) = y .
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Funcao Inversa
Funcao Bijetora.
Uma funcao e dita bijetora se ela for injetora e sobrejetora ao mesmo tempo;
f : A → B e injetora se x1 6= x2 ⇒ f (x1) 6= f (x2), ∀x1, x2 ∈ A.
f : A → B e sobrejetora se ∀y ∈ B, ∃! x ∈ A tal que f (x) = y .
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Funcao Inversa
Funcao Bijetora.
Uma funcao e dita bijetora se ela for injetora e sobrejetora ao mesmo tempo;
f : A → B e injetora se x1 6= x2 ⇒ f (x1) 6= f (x2), ∀x1, x2 ∈ A.
f : A → B e sobrejetora se ∀y ∈ B, ∃! x ∈ A tal que f (x) = y .
Semana da Matem atica Integrada
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Funcao Inversa
Exemplo.
A funcao constante f (x) = 2 nao e injetora , pois se tomarmos x1 6= x2 talcomo x1 = 0 e x2 = 1 teremos f (x1) = f (0) = 2 e f (x2) = f (1) = 2 ou sejaNAO atentemos a definicao que x1 6= x2 ⇒ f (x1) 6= f (x2).
Exemplo.
A funcao f (x) = x2 nao e sobrejetora , pois se tomarmos y = 4 veremos queeste valor e imagem de x = 2 e x = −2, ou seja, NAO atendemos adefinicao que exige que existe um unico valor de x com a imagem indicada.
Semana da Matem atica Integrada
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Funcao Inversa
Exemplo.
A funcao constante f (x) = 2 nao e injetora , pois se tomarmos x1 6= x2 talcomo x1 = 0 e x2 = 1 teremos f (x1) = f (0) = 2 e f (x2) = f (1) = 2 ou sejaNAO atentemos a definicao que x1 6= x2 ⇒ f (x1) 6= f (x2).
Exemplo.
A funcao f (x) = x2 nao e sobrejetora , pois se tomarmos y = 4 veremos queeste valor e imagem de x = 2 e x = −2, ou seja, NAO atendemos adefinicao que exige que existe um unico valor de x com a imagem indicada.
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ContinuidadeDerivada
Aplicac oes da DerivadaIntegrais
Aplicac oes da IntegralEquac oes Diferenciais
Como surgem as func oes?Definic aoRepresentac ao de func aoExercıciosMais sobre Func oesOperac oes entre Func oesTipos de Func oesFunc ao InversaFunc ao Par e Impar
Funcao Inversa
Exercıcio 11.
Verifique se as funcoes abaixo sao: Injetora, Sobrejetora, Bijetora ou nemInjetora nem Sobrejetora.
1 f : Z → Z tal que:f (x) = 4x − 1
2 f : R → B tal que:
f (x) ={
1 + x se x ≥ 12 se x < 1
3 f : N → N que associa a cada numero seu sucessor.
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Func oesLimites
ContinuidadeDerivada
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Aplicac oes da IntegralEquac oes Diferenciais
Como surgem as func oes?Definic aoRepresentac ao de func aoExercıciosMais sobre Func oesOperac oes entre Func oesTipos de Func oesFunc ao InversaFunc ao Par e Impar
Funcao Inversa
Definicao.
Seja f : A → B uma funcao. Se para cada y ∈ B, existir um x ∈ A tal quey = f (x), entao podemos definir f−1 : B → A tal que x = f−1(y) e tal funcaof−1 e denominada funcao inversa de f .
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Func oesLimites
ContinuidadeDerivada
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Aplicac oes da IntegralEquac oes Diferenciais
Como surgem as func oes?Definic aoRepresentac ao de func aoExercıciosMais sobre Func oesOperac oes entre Func oesTipos de Func oesFunc ao InversaFunc ao Par e Impar
Funcao Inversa
Graficamente
Uma funcao possui inversa se qualquer reta pararela ao eixo-x interceptar ografico em apenas um ponto.
Importante: O grafico de f−1 e simetrico ao grafico de f , em relacao aoeixo-x.
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Func oesLimites
ContinuidadeDerivada
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Aplicac oes da IntegralEquac oes Diferenciais
Como surgem as func oes?Definic aoRepresentac ao de func aoExercıciosMais sobre Func oesOperac oes entre Func oesTipos de Func oesFunc ao InversaFunc ao Par e Impar
Funcao Inversa
Exemplo 1.
Se f : R → R e dada por y = 2x − 5 tem por funcao inversa f−1 : R → R afuncao f−1(y) = y+5
2
Exemplo 2.
Se f : R− 3 → R−−1 e dada por y = x−13−x admite funcao inversa f−1.
Entao: f−1R−−1 → R− 3 de modo que f−1(y) = 1+3y
y+1
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ContinuidadeDerivada
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Funcao Inversa
Exemplo 1.
Se f : R → R e dada por y = 2x − 5 tem por funcao inversa f−1 : R → R afuncao f−1(y) = y+5
2
Exemplo 2.
Se f : R− 3 → R−−1 e dada por y = x−13−x admite funcao inversa f−1.
Entao: f−1R−−1 → R− 3 de modo que f−1(y) = 1+3y
y+1
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Funcao Par e Impar
Definicao.
Dizemos que uma funcao f e par se f (−x) = f (x). Graficamente ografico de f e simetrico em relacao ao eixo-y.
Dizemos que uma funcao f e ımpar se f (−x) = −f (x). Graficamente ografico de f e simetrico em relacao a origem.
Algumas funcoes sao ditas nao par nem ımpar.
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Aplicac oes da IntegralEquac oes Diferenciais
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Funcao Par e Impar
Exercıcio 12.
Verifique se as funcoes abaixo sao: Par, Impar ou nem Par nem Impar.
1 f (x) = cos(x)
2 f (x) = sen(x)
3 f (x) = ex
4 f (x) = x3 + 1
5 f9x) = (x + 1)2
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Func oesLimites
ContinuidadeDerivada
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Limites FundamentaisRegra de L’Hospital
Limites
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Limites FundamentaisRegra de L’Hospital
Limites Fundamentais
Alguns limites sao conhecidos como limites fundamentais. Sao eles:
limx→0sen(x)
x= 1
limx→±∞
(
1 +1x
)x
= e
limx→0ax − 1
x= ln(a); a > 0
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Aplicac oes da IntegralEquac oes Diferenciais
Limites FundamentaisRegra de L’Hospital
Teorema do Sanduiche - teorema do Confronto
Teorema do Sanduiche
Pelo teorema sabemos que se f , g e h sao funcoes de A ⊆ R → R tais quef (x) ≤ g(x) ≤ h(x) e limx→af (x) = b = limx→ah(x) entao limx→ag(x) = b.Desta forma: consideremos o limx→0
sen(x)x .
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Limites FundamentaisRegra de L’Hospital
Primeiro Limite Fundamental
limx→0sen(x)
x
Considere um cırculo unitario e um angulo x com 0 ≤ x ≤ π
2 .
A area do triangulo AOC e 1.sen(x)2 . A area do triangulo AOB e 1.tg(x)
2 . A areado setor circular e de uma proporcao x
2π radianos da area da circunferenciaπr 2 = π12 = π. Logo x
2π = x2 .
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ContinuidadeDerivada
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Limites FundamentaisRegra de L’Hospital
Primeiro Limite Fundamental
limx→0sen(x)
x
Desta forma temos:sen(x)
2≤ x
2≤ tg(x)
2Multiplicando tudo por dois, temos:
sen(x) ≤ x ≤ tg(x)
Dividindo tudo por sen(x), fica:
1 ≤ xsen(x)
≤ tg(x)sen(x)
= 1 ≤ xsen(x)
≤ 1cos(x)
Daı:
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ContinuidadeDerivada
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Limites FundamentaisRegra de L’Hospital
Primeiro Limite Fundamental
limx→0sen(x)
x
Tomando o inverso desta inequacao, temos:
1 ≥ sen(x)x
≥ cos(x) ⇒ cos(x) ≤ sen(x)x
≤ 1
Quando x → 0, temos: limx→0cos(x) ≤ limx→0sen(x)
x ≤ limx→01.Pelo teorema do confronto limx→0
sen(x)x = 1
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Limites FundamentaisRegra de L’Hospital
Primeiro Limite Fundamental
Exercıcios.
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Limites FundamentaisRegra de L’Hospital
Segundo Limite Fundamental
limx→±∞(1 + 1
x
)x
Para o entendimento deste limite sao necessarios conceitos de seriesnumericas, portanto a demosntracao deste limite podera ser abordadooportunamente e
limx→±∞
(
1 +1x
)x
= e
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Limites FundamentaisRegra de L’Hospital
Segundo Limite Fundamental
Exercıcios.
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Limites FundamentaisRegra de L’Hospital
Terceiro Limite Fundamental
limx→0ax−1
x , a ∈ R, a 6= 1
Suponha t = ax − 1 ⇒ ax = t + 1. Aplicando o logaritmo neperiano deambos os lados, temos:
ln(ax) = ln(t + 1) ⇒ xln(a) = ln(t + 1) ⇒ x =ln(t + 1)
ln(a)
Daı, verifica-se que se x → 0, x 6= 0, entao t → 0, t 6= 0. Entao:
limx→0ax − 1
x= limt→0
tln(t+1)
ln(a)
= ln(a)
(
limt→01
ln(t+1)t
)
= ln(a)
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ContinuidadeDerivada
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Limites FundamentaisRegra de L’Hospital
Terceiro Limite Fundamental
Exercıcios.
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Limites FundamentaisRegra de L’Hospital
Regra de L’Hospital
Regra de L’Hospital
Utilizamos a regra de L’Hospital para a determinacao de limites comindeterminacao matematica da forma 0
0 e ∞∞ .
Teorema. Regras de L’Hospital Se limx→af (x)g(x) tem uma forma
indeterminada 00 ou ∞
∞ entao:
limx→af (x)g(x)
= limx→af ′(x)g′(x)
caso este ultimo limite exista.O mesmo vale se a for substituıdo por a+ ou a−, ou ainda, se a = ∞ oua = −∞.
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Limites FundamentaisRegra de L’Hospital
Regra de L’Hospital
Exercıcios.
Determine
1 limx→0sen(x)
x
2 limx→0ax−1
x
3 limx→03x2−2x
x
4 limx→0x−sen(x)
x3
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ContinuidadeDerivada
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Aplicac oes da IntegralEquac oes Diferenciais
Continuidade
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Func oesLimites
ContinuidadeDerivada
Aplicac oes da DerivadaIntegrais
Aplicac oes da IntegralEquac oes Diferenciais
Derivada
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Func oesLimites
ContinuidadeDerivada
Aplicac oes da DerivadaIntegrais
Aplicac oes da IntegralEquac oes Diferenciais
Derivada
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Func oesLimites
ContinuidadeDerivada
Aplicac oes da DerivadaIntegrais
Aplicac oes da IntegralEquac oes Diferenciais
Aplicacoes da Derivada
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Aplicac oes da IntegralEquac oes Diferenciais
Aplicacoes da Derivada
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Integrais
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Integrais
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Aplicacoes da Integral
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Aplicacoes da Integral
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Noc oes PreliminaresSoluc ao de Uma EDOResoluc ao de Equac oes DiferenciaisEquac oes Diferenciais Linear de Primeira OrdemEquac oes Diferenciais de Segunda OrdemS.L.H.E.D. de Primeira Ordem com Coeficientes Constantes
Nocoes Preliminares
Definicao.
Uma equacao dita diferencial e uma equacao matematica que envolvederivadas de uma funcao desconhecida y(t).
O objetivo de se resolver a equacao diferencial e descobrir esta funcao.
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Noc oes PreliminaresSoluc ao de Uma EDOResoluc ao de Equac oes DiferenciaisEquac oes Diferenciais Linear de Primeira OrdemEquac oes Diferenciais de Segunda OrdemS.L.H.E.D. de Primeira Ordem com Coeficientes Constantes
Nocoes Preliminares
Exemplos.
1 y ′ = 2t + 1, ou seja, dydt = 2t + 1
2 y ′′ + y ′ = t , ou seja, d2ydt2 + dy
dt = t
3 3(
y [4])2
+ 53 y = ty ′, ou seja, 3
(d4ydt4
)2+ 5
3 y = t dydt
Observac ao. Em cada exemplo a funcao procurada e y(t); logo t e avariavel independente e y(t), a incognita, a variavel dependente.
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Noc oes PreliminaresSoluc ao de Uma EDOResoluc ao de Equac oes DiferenciaisEquac oes Diferenciais Linear de Primeira OrdemEquac oes Diferenciais de Segunda OrdemS.L.H.E.D. de Primeira Ordem com Coeficientes Constantes
Nocoes Preliminares
Exemplos.
1 y ′ = 2t + 1, ou seja, dydt = 2t + 1
2 y ′′ + y ′ = t , ou seja, d2ydt2 + dy
dt = t
3 3(
y [4])2
+ 53 y = ty ′, ou seja, 3
(d4ydt4
)2+ 5
3 y = t dydt
Observac ao. Em cada exemplo a funcao procurada e y(t); logo t e avariavel independente e y(t), a incognita, a variavel dependente.
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Nocoes Preliminares
Exemplos.
1 y ′ = 2t + 1, ou seja, dydt = 2t + 1
2 y ′′ + y ′ = t , ou seja, d2ydt2 + dy
dt = t
3 3(
y [4])2
+ 53 y = ty ′, ou seja, 3
(d4ydt4
)2+ 5
3 y = t dydt
Observac ao. Em cada exemplo a funcao procurada e y(t); logo t e avariavel independente e y(t), a incognita, a variavel dependente.
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Nocoes Preliminares
Exemplos.
1 y ′ = 2t + 1, ou seja, dydt = 2t + 1
2 y ′′ + y ′ = t , ou seja, d2ydt2 + dy
dt = t
3 3(
y [4])2
+ 53 y = ty ′, ou seja, 3
(d4ydt4
)2+ 5
3 y = t dydt
Observac ao. Em cada exemplo a funcao procurada e y(t); logo t e avariavel independente e y(t), a incognita, a variavel dependente.
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Nocoes Preliminares
Informacoes importantes
Quando estudamos uma equacao diferencial, algumas informacoes saoimportantes:
sua classificacao: EDO ou EDP
sua ordem, ordem 1, ordem 2, etc
seu grau, grau 1, grau 2, etc, e
sua solucao.
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Nocoes Preliminares
Classificacao
Uma equac ao diferencial e chamada ordin aria (E.D.O.) se as variaveisdependentes forem funcao de uma unica variavel livre (como porexemplo:y(t), f (x), etc). Caso contrario, a equac ao diferencial e chamadaparcial (E. D. P.) (como por exemplo y(x , t), f (x , y , z), etc).
Ordem
E determinada pela mais alta derivada da equacap. Portanto, nos exemplos:1) e de grau 1; 2) e de grau 2 e 3) e de grau 4.
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Nocoes Preliminares
Classificacao
Uma equac ao diferencial e chamada ordin aria (E.D.O.) se as variaveisdependentes forem funcao de uma unica variavel livre (como porexemplo:y(t), f (x), etc). Caso contrario, a equac ao diferencial e chamadaparcial (E. D. P.) (como por exemplo y(x , t), f (x , y , z), etc).
Ordem
E determinada pela mais alta derivada da equacap. Portanto, nos exemplos:1) e de grau 1; 2) e de grau 2 e 3) e de grau 4.
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Nocoes Preliminares
Grau
E o maior expoente (potencia) da derivada de maior ordem. Nos exemplos 1)e 2) sao de primeiro grau, ja 3) e do segundo grau.
Solucao
E qualquer funcao y(t) que satisfaca as condicoes da equacao dada.
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Nocoes Preliminares
Grau
E o maior expoente (potencia) da derivada de maior ordem. Nos exemplos 1)e 2) sao de primeiro grau, ja 3) e do segundo grau.
Solucao
E qualquer funcao y(t) que satisfaca as condicoes da equacao dada.
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Solucao de Uma EDO
Exemplo. y(t) = 5e−2t e solucao de y ′ + 2y = 0.
Se y = 5e−2t , derivando temos: y ′ = −10e−2t . Entao, substituindo y e y ′
conforme equacao dada y ′ + 2y = 0, temos:
y ′ + 2y = 0 ⇒−10e−2t + 2 ∗ 5e−2t = 0 ⇒−10e−2t + 10e−2t = 0 ⇒
0 = 0
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Solucao de Uma EDO
Exemplo. y(t) = 5e−2t e solucao de y ′ + 2y = 0.
Se y = 5e−2t , derivando temos: y ′ = −10e−2t . Entao, substituindo y e y ′
conforme equacao dada y ′ + 2y = 0, temos:
y ′ + 2y = 0 ⇒−10e−2t + 2 ∗ 5e−2t = 0 ⇒−10e−2t + 10e−2t = 0 ⇒
0 = 0
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Solucao de Uma EDO
Exemplo. y(t) = 5e−2t e solucao de y ′ + 2y = 0.
Se y = 5e−2t , derivando temos: y ′ = −10e−2t . Entao, substituindo y e y ′
conforme equacao dada y ′ + 2y = 0, temos:
y ′ + 2y = 0 ⇒−10e−2t + 2 ∗ 5e−2t = 0 ⇒−10e−2t + 10e−2t = 0 ⇒
0 = 0
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Solucao de Uma EDO
Exemplo. y(t) = 5e−2t e solucao de y ′ + 2y = 0.
Se y = 5e−2t , derivando temos: y ′ = −10e−2t . Entao, substituindo y e y ′
conforme equacao dada y ′ + 2y = 0, temos:
y ′ + 2y = 0 ⇒−10e−2t + 2 ∗ 5e−2t = 0 ⇒−10e−2t + 10e−2t = 0 ⇒
0 = 0
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Solucao de Uma EDO
Exemplo. y(t) = 5e−2t e solucao de y ′ + 2y = 0.
Se y = 5e−2t , derivando temos: y ′ = −10e−2t . Entao, substituindo y e y ′
conforme equacao dada y ′ + 2y = 0, temos:
y ′ + 2y = 0 ⇒−10e−2t + 2 ∗ 5e−2t = 0 ⇒−10e−2t + 10e−2t = 0 ⇒
0 = 0
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Solucao de Uma EDO
Exemplo. y(t) = 5e−2t e solucao de y ′ + 2y = 0.
Se y = 5e−2t , derivando temos: y ′ = −10e−2t . Entao, substituindo y e y ′
conforme equacao dada y ′ + 2y = 0, temos:
y ′ + 2y = 0 ⇒−10e−2t + 2 ∗ 5e−2t = 0 ⇒−10e−2t + 10e−2t = 0 ⇒
0 = 0
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Solucao de Uma EDO
Ou seja, tendo a equacao diferencial e a suposta solucao, devemos fazer asdevidas substituicoes na equacao de y e/ou suas respectivas derivadas: y ′,
y ′′, etc, conforme necessario.
Semana da Matem atica Integrada
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ContinuidadeDerivada
Aplicac oes da DerivadaIntegrais
Aplicac oes da IntegralEquac oes Diferenciais
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Solucao de Uma EDO
Exemplo. Mostre que y(t) = 19 t + sen(3t) e solucao de y ′′ + 9y = t .
Se y = 19 t + sen(3t), temos que y ′ = 1
9 + 3cos(3t) e y ′′ = −9sen(3t). Daısubstituindo, temos:
y ′′ + 9y = t ⇒−9sen(3t) + 9 ∗
(19 t + sen(3t)
)= t ⇒
−9sen(3t) + t + 9sen(3t) = t ⇒t = t
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Noc oes PreliminaresSoluc ao de Uma EDOResoluc ao de Equac oes DiferenciaisEquac oes Diferenciais Linear de Primeira OrdemEquac oes Diferenciais de Segunda OrdemS.L.H.E.D. de Primeira Ordem com Coeficientes Constantes
Solucao de Uma EDO
Exemplo. Mostre que y(t) = 19 t + sen(3t) e solucao de y ′′ + 9y = t .
Se y = 19 t + sen(3t), temos que y ′ = 1
9 + 3cos(3t) e y ′′ = −9sen(3t). Daısubstituindo, temos:
y ′′ + 9y = t ⇒−9sen(3t) + 9 ∗
(19 t + sen(3t)
)= t ⇒
−9sen(3t) + t + 9sen(3t) = t ⇒t = t
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Solucao de Uma EDO
Exemplo. Mostre que y(t) = 19 t + sen(3t) e solucao de y ′′ + 9y = t .
Se y = 19 t + sen(3t), temos que y ′ = 1
9 + 3cos(3t) e y ′′ = −9sen(3t). Daısubstituindo, temos:
y ′′ + 9y = t ⇒−9sen(3t) + 9 ∗
(19 t + sen(3t)
)= t ⇒
−9sen(3t) + t + 9sen(3t) = t ⇒t = t
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Solucao de Uma EDO
Exemplo. Mostre que y(t) = 19 t + sen(3t) e solucao de y ′′ + 9y = t .
Se y = 19 t + sen(3t), temos que y ′ = 1
9 + 3cos(3t) e y ′′ = −9sen(3t). Daısubstituindo, temos:
y ′′ + 9y = t ⇒−9sen(3t) + 9 ∗
(19 t + sen(3t)
)= t ⇒
−9sen(3t) + t + 9sen(3t) = t ⇒t = t
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Exemplo. Mostre que y(t) = 19 t + sen(3t) e solucao de y ′′ + 9y = t .
Se y = 19 t + sen(3t), temos que y ′ = 1
9 + 3cos(3t) e y ′′ = −9sen(3t). Daısubstituindo, temos:
y ′′ + 9y = t ⇒−9sen(3t) + 9 ∗
(19 t + sen(3t)
)= t ⇒
−9sen(3t) + t + 9sen(3t) = t ⇒t = t
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Exemplo. Mostre que y(t) = 19 t + sen(3t) e solucao de y ′′ + 9y = t .
Se y = 19 t + sen(3t), temos que y ′ = 1
9 + 3cos(3t) e y ′′ = −9sen(3t). Daısubstituindo, temos:
y ′′ + 9y = t ⇒−9sen(3t) + 9 ∗
(19 t + sen(3t)
)= t ⇒
−9sen(3t) + t + 9sen(3t) = t ⇒t = t
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Exemplo. Mostre que y(t) = 19 t + sen(3t) e solucao de y ′′ + 9y = t .
Se y = 19 t + sen(3t), temos que y ′ = 1
9 + 3cos(3t) e y ′′ = −9sen(3t). Daısubstituindo, temos:
y ′′ + 9y = t ⇒−9sen(3t) + 9 ∗
(19 t + sen(3t)
)= t ⇒
−9sen(3t) + t + 9sen(3t) = t ⇒t = t
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Solucao de Uma EDO
Exercıcios.
Mostre que a funcao y(t) e solucao da equacao dada.
1 y = e2t e y ′′ − 5y ′ + 6y = 0
2 y = e3t e y ′′ − 5y ′ + 6y = 0
3 y = C1e2t + C2e3t e y ′′ − 5y ′ + 6y = 0
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Resolucao de Equacoes Diferenciais
Solucao Geral de Equacao Diferencial.
O processo de determinar as solucoes de uma equacao diferencial simplesnos remete a um processo de antiderivacao.
Exemplo.
Se y ′ = 3t2 − 4 ⇒∫
y ′(t) dt =∫
3t2 − 4 dt ⇒ y(t) = t3 − 4t + c, onde c euma constante.A funcao y(t) = t3 − 4t + c e denominada soluc ao geral da equacao dada.
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Resolucao de Equacoes Diferenciais
Solucao Geral de Equacao Diferencial.
O processo de determinar as solucoes de uma equacao diferencial simplesnos remete a um processo de antiderivacao.
Exemplo.
Se y ′ = 3t2 − 4 ⇒∫
y ′(t) dt =∫
3t2 − 4 dt ⇒ y(t) = t3 − 4t + c, onde c euma constante.A funcao y(t) = t3 − 4t + c e denominada soluc ao geral da equacao dada.
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Resolucao de Equacoes Diferenciais
Solucao Particular de Equacao Diferencial.
Para se obter a soluc ao particular de uma equacao diferencial, devemosdeterminar o valor da constante c. Para isso, devemos ter uma condic aoinicial , conforme o exemplo.
Exemplo. Obtenha a solucao de y ′ = 3t2 − 4 com y(0) = 5.
Se y ′ = 3t2 − 4, y(t) = t3 − 4t + c. Como y(0) = 5, temos que:
y(t) = t3 − 4t + c ⇒ 5 = y(0) = 03 − 4 ∗ 0 + c ⇒c = 5 ⇒ y(t) = t3 − 4t + 5
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Resolucao de Equacoes Diferenciais
Solucao Particular de Equacao Diferencial.
Para se obter a soluc ao particular de uma equacao diferencial, devemosdeterminar o valor da constante c. Para isso, devemos ter uma condic aoinicial , conforme o exemplo.
Exemplo. Obtenha a solucao de y ′ = 3t2 − 4 com y(0) = 5.
Se y ′ = 3t2 − 4, y(t) = t3 − 4t + c. Como y(0) = 5, temos que:
y(t) = t3 − 4t + c ⇒ 5 = y(0) = 03 − 4 ∗ 0 + c ⇒c = 5 ⇒ y(t) = t3 − 4t + 5
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Resolucao de Equacoes Diferenciais
Solucao Particular de Equacao Diferencial.
Quando uma equacao diferencial vem acompanhada de uma (ou mais)condicao especial, temos o chamado Problema de Valor Inicial (PVI).Exemplo.
1 x2y ′ = y − xy , com y(−1) = −1
2 y ′′ − 3y ′ + 2y = 0, com y(1) = 0 e y ′(1) = 1
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Equacoes Diferenciais Linear de Primeira Ordem
Equacoes Diferenciais Linear de Primeira Ordem.
Uma equacao diferencial linear de primeira ordem pode ser colocada, se afuncao y depender apenas da variavel t , na seguinte forma:
y ′ + a(t)y = b(t)
onde a(t) e b(t) sao funcoes contınuas num intervalo I. Se b(t) = 0 dizemos
que a equacao diferencial e homog enea. Caso contrario e dita naohomog enea.
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Equacoes Diferenciais Linear de Primeira Ordem
Equacoes Diferenciais Linear de Primeira Ordem.
Trabalharemos com dois metodos para resolver as equacoes lineares deprimeira ordem:
Equacoes Separaveis
Metodo do Fator Integrante
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Equacoes Separaveis
Metodo das Equacoes Separaveis.
As equacoes diferenciais lineares de primeira ordem sao da forma:
y ′ = ay + b
onde a e b sao constantes podem ser resolvidas via equacoes separaveis.Para resolvermos uma equacao diferencial, via equacoes separaveis,devemos separar a variaveis, isto e, deveremos deixar o coeficiente dadiferencial dt como sendo uma funcao exclusiva da variavel t e o coeficienteda diferencial dy como sendo uma funcao exclusiva da variavel y , e entaointegrarmos cada diferencial.
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Equacoes Separaveis
Exemplo. Resolva a equacao diferencial y ′ = 2y .
Se y ′ = 2y , entao dydt = 2y , logo dy
y = 2dt . Aplicando a integral de ambos oslados, temos:
∫ dyy =
∫2dt ⇒ lny = 2t + c ⇒
exp (lny) = exp (2t + c) ⇒y = e2t+c ⇒ y = e2t ∗ ec
y = Ke2t
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Equacoes Separaveis
Exemplo. Resolva a equacao diferencial y ′ = 3ycos(x).
Se y ′ = 3ycos(x), entao dydx = 3ycos(x), logo dy
y = 3cos(x)dx . Aplicando aintegral de ambos os lados, temos:
∫ dyy =
∫3cos(x)dx ⇒ lny = 3sen(x) + c ⇒
exp (lny) = exp (3sen(x) + c) ⇒y = e3sen(x)+c ⇒ y = e3sen(x) ∗ ec
y = Ke3sen(x)
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Equacoes Separaveis
Exercıcios.
1 y ′ = 3x − 1
2 ydt − tdy = 0
3 dydx = sen(5x)
4 dt + e3tdy = 0
5 xy ′ = 4y
6 y ′ = 3y .cos(x), com y(0) = 5
7 y ′ = 2y , com y(1) = 3
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Metodo do Fator Integrante
Metodo do Fator Integrante.
O metodo do fator integrante conta com uma funcao auxiliar
µ(t) = e∫
a(t) dt
, denominada fator integrante , para resolver as equacoes diferenciais daforma y ′ + a(t)y = b(t).
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Metodo do Fator Integrante
Metodo do Fator Integrante consiste em:
identificar a funcao a(t);
calcular a funcao µ(t);
multiplicar ambos os membros da equacao diferencial pela funcao µ(t);
identificar no primeiro membro da equacao a derivada de um produto;
aplicar a integral nos dois membros da equacao e resolve-las
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Metodo do Fator Integrante
Exemplo: Resolva a equacao diferencial y ′ + 2ty = t
a(t) = 2t ⇒ µ(t) = e∫
a(t)dt = e∫
2tdt = et2
et2(y ′ + 2ty) = tet2
⇒ y ′et2+ y2tet2
)︸ ︷︷ ︸
u′v+uv′
= tet2⇒
(
yet2)′
= tet2⇒
∫ (
yet2)′
dt =∫
tet2dt ⇒
(
yet2)
=12
et2+ c ⇒ y(t) =
12+ ce−t2
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Metodo do Fator Integrante
Exemplo: Resolva a equacao diferencial y ′ + 2ty = t
a(t) = 2t ⇒ µ(t) = e∫
a(t)dt = e∫
2tdt = et2
et2(y ′ + 2ty) = tet2
⇒ y ′et2+ y2tet2
)︸ ︷︷ ︸
u′v+uv′
= tet2⇒
(
yet2)′
= tet2⇒
∫ (
yet2)′
dt =∫
tet2dt ⇒
(
yet2)
=12
et2+ c ⇒ y(t) =
12+ ce−t2
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Noc oes PreliminaresSoluc ao de Uma EDOResoluc ao de Equac oes DiferenciaisEquac oes Diferenciais Linear de Primeira OrdemEquac oes Diferenciais de Segunda OrdemS.L.H.E.D. de Primeira Ordem com Coeficientes Constantes
Metodo do Fator Integrante
Exemplo: Resolva a equacao diferencial y ′ + 2ty = t
a(t) = 2t ⇒ µ(t) = e∫
a(t)dt = e∫
2tdt = et2
et2(y ′ + 2ty) = tet2
⇒ y ′et2+ y2tet2
)︸ ︷︷ ︸
u′v+uv′
= tet2⇒
(
yet2)′
= tet2⇒
∫ (
yet2)′
dt =∫
tet2dt ⇒
(
yet2)
=12
et2+ c ⇒ y(t) =
12+ ce−t2
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Metodo do Fator Integrante
Exemplo: Resolva a equacao diferencial y ′ + 2ty = t
a(t) = 2t ⇒ µ(t) = e∫
a(t)dt = e∫
2tdt = et2
et2(y ′ + 2ty) = tet2
⇒ y ′et2+ y2tet2
)︸ ︷︷ ︸
u′v+uv′
= tet2⇒
(
yet2)′
= tet2⇒
∫ (
yet2)′
dt =∫
tet2dt ⇒
(
yet2)
=12
et2+ c ⇒ y(t) =
12+ ce−t2
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Noc oes PreliminaresSoluc ao de Uma EDOResoluc ao de Equac oes DiferenciaisEquac oes Diferenciais Linear de Primeira OrdemEquac oes Diferenciais de Segunda OrdemS.L.H.E.D. de Primeira Ordem com Coeficientes Constantes
Metodo do Fator Integrante
Exemplo: Resolva a equacao diferencial y ′ − 3t2y = t2
a(t) = −3t2 ⇒ µ(t) = e∫−3t2dt = e−t3
e−t3(y ′ − 3t2y) = t2e−t3
⇒ y ′e−t3− y3t2e−t3
)︸ ︷︷ ︸
u′v+uv′
= t2e−t3⇒
(
ye−t3)′
= t2e−t3⇒
∫ (
ye−t3)′
dt =∫
t2e−t3dt ⇒
(
ye−t3)
= −13
e−t3+ c ⇒ y(t) = −1
3+ cet3
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Metodo do Fator Integrante
Exemplo: Resolva a equacao diferencial y ′ − 3t2y = t2
a(t) = −3t2 ⇒ µ(t) = e∫−3t2dt = e−t3
e−t3(y ′ − 3t2y) = t2e−t3
⇒ y ′e−t3− y3t2e−t3
)︸ ︷︷ ︸
u′v+uv′
= t2e−t3⇒
(
ye−t3)′
= t2e−t3⇒
∫ (
ye−t3)′
dt =∫
t2e−t3dt ⇒
(
ye−t3)
= −13
e−t3+ c ⇒ y(t) = −1
3+ cet3
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Metodo do Fator Integrante
Exemplo: Resolva a equacao diferencial y ′ − 3t2y = t2
a(t) = −3t2 ⇒ µ(t) = e∫−3t2dt = e−t3
e−t3(y ′ − 3t2y) = t2e−t3
⇒ y ′e−t3− y3t2e−t3
)︸ ︷︷ ︸
u′v+uv′
= t2e−t3⇒
(
ye−t3)′
= t2e−t3⇒
∫ (
ye−t3)′
dt =∫
t2e−t3dt ⇒
(
ye−t3)
= −13
e−t3+ c ⇒ y(t) = −1
3+ cet3
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Metodo do Fator Integrante
Exemplo: Resolva a equacao diferencial y ′ − 3t2y = t2
a(t) = −3t2 ⇒ µ(t) = e∫−3t2dt = e−t3
e−t3(y ′ − 3t2y) = t2e−t3
⇒ y ′e−t3− y3t2e−t3
)︸ ︷︷ ︸
u′v+uv′
= t2e−t3⇒
(
ye−t3)′
= t2e−t3⇒
∫ (
ye−t3)′
dt =∫
t2e−t3dt ⇒
(
ye−t3)
= −13
e−t3+ c ⇒ y(t) = −1
3+ cet3
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Metodo do Fator Integrante
Exercıcios.
1 y ′ = ycos(t) com y(0) = 1
2 y ′ + 2t y = t3
3 ty ′ + y = t com y(10) = 20
4 dydt + 2y = 3
5 dydt + 1
2 y = 2 + t
6 y ′ − 2y = 4 − t
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Algumas Aplicacoes - Fısica
Suponha que uma barra de aco quente seja mergulhada em um banho deagua fria a 10oC. De acordo com a Lei de Newton para resfriamento, a taxade variacao de T (t) e proporcional a diferenca entre a temperatura atual docorpo T (t) e a temperatura constante do meio ambiente. Encontre e resolvaa equacao diferencial que descreve esta lei fısica.
Seja T (t) a temperatura da barra no instante t , desta forma as temperaturassao 10o e T (t). Daı:
T ′(t) = k [T (t)− 10]
.
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Noc oes PreliminaresSoluc ao de Uma EDOResoluc ao de Equac oes DiferenciaisEquac oes Diferenciais Linear de Primeira OrdemEquac oes Diferenciais de Segunda OrdemS.L.H.E.D. de Primeira Ordem com Coeficientes Constantes
Algumas Aplicacoes - Fısica
O cafe esta a 90oC logo depois de coado e, um minuto depois, passa para85oC, em uma cozinha a 25oC. Vamos determinar a temperatura do cafe emfuncao do tempo e o tempo que levara para o cafa chegar a 60oC.
Seja T (t) a temperatura do cafe no instante t , desta forma:
T ′(t) = k [T (t)− 25]
comT (0) = 90oC e T (1) = 85oC
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Algumas Aplicacoes - Economia
Uma conta de poupanca acumula 6% de juros por ano, compostoscontinuamente. Saques contınuos sao efetuados a uma taxa de R$900 porano. Escreva uma equacao diferencial que seja satisfeita pelo saldo S(t) daconta no tempo t . Primeiramente, ignorando os saques, o saldo da conta
cresce a um taxa proporcional ao saldo na forma: S′(t) = 0, 06S(t)Consideramos os saques, o saldo da conta varia em funcao da taxa de jurosque sao adicionados e da taxa com que os saques sao efetuados. Daı:
S′(t) = 0, 06S(t)− 900
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Algumas Aplicacoes - Economia
Vamos supor que uma aplicacao renda juros de 1% ao mes (continuamente).Vamos encontrar o saldo como funcaao do tempo e o saldo apos 12 mesesse o saldo inicial e de R$100, 00.
Podemos descrever o problema de encontrar S(t) como o problema de valorinicial:
S′(t) = 0, 01S(t)
com S(0) = 100 e determinando S(12).
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Algumas Aplicacoes - Biologia
Sabe-se que uma cultura de bacterias cresce proporcionalmente aquantidade de bacterias presente em qualquer instante. Ao fim de uma horaobservam-se 1000 bacterias na cultura e apos 4h ha 3000 bacterias.Determine o numero de bacterias em qualquer instante assim como onumero inicial de bacterias na cultura.
Seja P(t) o numero de bacterias. Desta forma P′(t) = kP(t). Sabe-se queP(1) = 1000 e P(4) = 3000.
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Equacoes Diferenciais de Segunda Ordem
Equacoes Diferenciais de Segunda Ordem.
Uma equacao diferencial de segunda ordem tem a seguinte forma:
y ′′ + p(t)y ′ + q(t)y = g(t)
Se g(t) = 0 dizemos que a equacao diferencial e homog enea. Casocontrario e dita nao homog enea.
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Equacoes Diferenciais Homogeneas de SegundaOrdem com Coeficientes Constantes
Equacoes Diferenciais Homogeneas de Segunda Ordem com CoeficientesConstantes.
Uma equacao diferencial homogenea de segunda ordem com coeficientesconstantes tem a forma:
ay ′′ + by ′ + cy = 0
onde a, b e c sao constantes dadas.
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Equacoes Diferenciais Homogeneas de SegundaOrdem com Coeficientes Constantes
Exemplo: Resolva a equacao diferencial y ′′ − y = 0
Se y ′′ − y = 0 entao y ′′ = y . Logo
y1(t) = et ou y2(t) = e−t
Note que c1y1(t) = c1et e c2y2(t) = c2e−t tambem e solucao. E ainda acombinac ao linear y(t) = c1et + c2e−t dessas solucoes tambem e solucao.
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Exemplo: Resolva a equacao diferencial y ′′ − y = 0
Se y ′′ − y = 0 entao y ′′ = y . Logo
y1(t) = et ou y2(t) = e−t
Note que c1y1(t) = c1et e c2y2(t) = c2e−t tambem e solucao. E ainda acombinac ao linear y(t) = c1et + c2e−t dessas solucoes tambem e solucao.
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Exemplo: Resolva a equacao diferencial y ′′ − y = 0
Se y ′′ − y = 0 entao y ′′ = y . Logo
y1(t) = et ou y2(t) = e−t
Note que c1y1(t) = c1et e c2y2(t) = c2e−t tambem e solucao. E ainda acombinac ao linear y(t) = c1et + c2e−t dessas solucoes tambem e solucao.
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Exemplo: Resolva a equacao diferencial y ′′ − y = 0
Se y ′′ − y = 0 entao y ′′ = y . Logo
y1(t) = et ou y2(t) = e−t
Note que c1y1(t) = c1et e c2y2(t) = c2e−t tambem e solucao. E ainda acombinac ao linear y(t) = c1et + c2e−t dessas solucoes tambem e solucao.
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Voltando a expressao:ay ′′ + by ′ + cy = 0
Procuramos por solucoes que tenham a forma y(t) = ert , onde r e umaparametros a ser determinado.Assim y ′ = rert e y ′′ = r 2ert .
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Voltando a expressao:ay ′′ + by ′ + cy = 0
Procuramos por solucoes que tenham a forma y(t) = ert , onde r e umaparametros a ser determinado.Assim y ′ = rert e y ′′ = r 2ert .
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Substituindo y = ert , y ′ = rert e y ′′ = r 2ert na equacao ay ′′ + by ′ + cy = 0,fica:
(ar 2 + br + c)ert = 0
Como ert 6= 0 fica que (ar 2 + br + c) = 0 que e a chamada equac aocaracterıstica da equacao diferencial.
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Substituindo y = ert , y ′ = rert e y ′′ = r 2ert na equacao ay ′′ + by ′ + cy = 0,fica:
(ar 2 + br + c)ert = 0
Como ert 6= 0 fica que (ar 2 + br + c) = 0 que e a chamada equac aocaracterıstica da equacao diferencial.
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A equac ao caracterıstica (ar 2 + br + c) = 0 possibilita a determinacao de rque satisfaz y = ert solucao procurada.
Como a equacao caracterıstica e uma equacao de segundo grau, comcoeficientes constantes, possui duas raizes: reais distintas, reais iguais oucomplexas conjugadas.
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A equac ao caracterıstica (ar 2 + br + c) = 0 possibilita a determinacao de rque satisfaz y = ert solucao procurada.
Como a equacao caracterıstica e uma equacao de segundo grau, comcoeficientes constantes, possui duas raizes: reais distintas, reais iguais oucomplexas conjugadas.
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Solucao de EDO Segunda Ordem com CoeficientesConstantes
Solucao de EDO Segunda Ordem com Coeficientes Constantes
Se as raızes da equac ao caracterıstica forem:
raızes reais distintas r1 6= r2 entao: y(t) = c1er1t + c2er2 t
raızes reais iguais r1 = r2 entao: y(t) = c1ter1t + c2er1 t
raızes complexas conjugadas r1 = λ+ iµ e r2 = λ− iµ entao:y(t) = c1eλtcos(µt) + c2eλtsen(µt)
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EDO Segunda Ordem
Exercıcios.
1 y ′′ + 5y ′ + 6y com y(0) = 2 e y ′(0) = 3
2 4y ′′ − 8y ′ + 3y = 0 com y(0) = 2 e y ′(0) = 12
3 y ′′ + 4y ′ + 3y = 0
4 4y ′′ − y = 0
5 y ′′ + 9y = 0
6 16y ′′ − 8y ′ + 145y = 0 com y(0) = −2 e y ′(0) = 1
7 y ′′ + 4y ′ + 4y = 0
8 y ′′ − y ′ + 14 y = 0 com y(0) = 2 e y ′(0) = 1
3
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Sistemas Lineares Homogeneos de EquacoesDiferenciais de Primeira Ordem com CoeficientesConstantes
Sistemas Lineares Homogeneos de Equacoes Diferenciais de PrimeiraOrdem com Coeficientes Constantes.
Um sistema de equacao lineares homogeneas com coeficientes constantestem a seguinte forma:
x′ = Ax
Onde A e uma matriz n × n de numeros reais.
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Sistemas Lineras de EDO
Sistemas Lineras de EDO.
Se n = 1 A = [a] e x ′ = ax = dxdt = ax
Se n = 2 A =
[a bc d
]
e x′ =
[a bc d
]
x
Se n = 3 A =
a b cd e fg h i
e x′ =
a b cd e fg h i
x
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Se n = 1 A = [a] e x ′ = ax = dxdt = ax
Se n = 2 A =
[a bc d
]
e x′ =
[a bc d
]
x
Se n = 3 A =
a b cd e fg h i
e x′ =
a b cd e fg h i
x
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Se n = 1 A = [a] e x ′ = ax = dxdt = ax
Se n = 2 A =
[a bc d
]
e x′ =
[a bc d
]
x
Se n = 3 A =
a b cd e fg h i
e x′ =
a b cd e fg h i
x
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Sistemas Lineras de EDO.
Em:
x′ =
[a bc d
]
x
Temos que x′ e x sao vetores dados respectivamente por:
x′ = x′(t) =[
x ′1(t)
x ′2(t)
]
e x = x(t) =[
x1(t)x2(t)
]
A incognita e o vetor x, onde busca-se: x1(t) e x2(t)
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O sistema:
x′(t) =[
a bc d
]
x
Pode ser reescrito da seguinte forma:
x′(t) =[
x ′1(t)
x ′2(t)
]
=
[a bc d
] [x1(t)x2(t)
]
Ou seja:
x′(t) ={
x ′1(t) = ax1(t) + bx2(t)
x ′2(t) = cx1(t) + dx2(t).
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Sistemas Lineras de EDO.
Quando tomamos n = 1, temos a equacao de primeira ordem dxdt = ax cuja
solucao e x(t) = ceat .
Quando n = 2, temos o sistema x′(t) =[
a bc d
]
x e procuraremos por
solucoes com a forma x(t) = ξert , onde teremos que determinar ocoeficiente r e o vetor ξ.
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Quando tomamos n = 1, temos a equacao de primeira ordem dxdt = ax cuja
solucao e x(t) = ceat .
Quando n = 2, temos o sistema x′(t) =[
a bc d
]
x e procuraremos por
solucoes com a forma x(t) = ξert , onde teremos que determinar ocoeficiente r e o vetor ξ.
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Quando tomamos n = 1, temos a equacao de primeira ordem dxdt = ax cuja
solucao e x(t) = ceat .
Quando n = 2, temos o sistema x′(t) =[
a bc d
]
x e procuraremos por
solucoes com a forma x(t) = ξert , onde teremos que determinar ocoeficiente r e o vetor ξ.
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Sistemas Lineras de EDO.
Substituindo x(t) no sistema x′(t) = Ax , obtemos: rξert = Aξert .
Desta forma: Aξert − rξert = 0
Daı: ξert (A − r I) = 0. Como ert 6= 0, temos ξ (A − r I) = 0
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Substituindo x(t) no sistema x′(t) = Ax , obtemos: rξert = Aξert .
Desta forma: Aξert − rξert = 0
Daı: ξert (A − r I) = 0. Como ert 6= 0, temos ξ (A − r I) = 0
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Substituindo x(t) no sistema x′(t) = Ax , obtemos: rξert = Aξert .
Desta forma: Aξert − rξert = 0
Daı: ξert (A − r I) = 0. Como ert 6= 0, temos ξ (A − r I) = 0
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Para encontrarmos, entao, solucoes do sistema x′(t) = Ax , devemosdeterminar os autovalores e autovetores de A.
Os autovalores r1 e r2 sao as raızes da equacao: det (A − r I) = 0
Se r1 6= r2 ∈ R, entao existe um autovetor ξ(1) associado a r1 e outroautovetor ξ(2) associado a r2.
E a solucao geral procurada sera: x = c1ξ(1)er1 t + c2ξ
(2)er2 t
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Para encontrarmos, entao, solucoes do sistema x′(t) = Ax , devemosdeterminar os autovalores e autovetores de A.
Os autovalores r1 e r2 sao as raızes da equacao: det (A − r I) = 0
Se r1 6= r2 ∈ R, entao existe um autovetor ξ(1) associado a r1 e outroautovetor ξ(2) associado a r2.
E a solucao geral procurada sera: x = c1ξ(1)er1 t + c2ξ
(2)er2 t
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Para encontrarmos, entao, solucoes do sistema x′(t) = Ax , devemosdeterminar os autovalores e autovetores de A.
Os autovalores r1 e r2 sao as raızes da equacao: det (A − r I) = 0
Se r1 6= r2 ∈ R, entao existe um autovetor ξ(1) associado a r1 e outroautovetor ξ(2) associado a r2.
E a solucao geral procurada sera: x = c1ξ(1)er1 t + c2ξ
(2)er2 t
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Para encontrarmos, entao, solucoes do sistema x′(t) = Ax , devemosdeterminar os autovalores e autovetores de A.
Os autovalores r1 e r2 sao as raızes da equacao: det (A − r I) = 0
Se r1 6= r2 ∈ R, entao existe um autovetor ξ(1) associado a r1 e outroautovetor ξ(2) associado a r2.
E a solucao geral procurada sera: x = c1ξ(1)er1 t + c2ξ
(2)er2 t
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Func oesLimites
ContinuidadeDerivada
Aplicac oes da DerivadaIntegrais
Aplicac oes da IntegralEquac oes Diferenciais
Noc oes PreliminaresSoluc ao de Uma EDOResoluc ao de Equac oes DiferenciaisEquac oes Diferenciais Linear de Primeira OrdemEquac oes Diferenciais de Segunda OrdemS.L.H.E.D. de Primeira Ordem com Coeficientes Constantes
Sistemas Lineras de EDO
Exemplo. Resolva o sistema x′(t) =[
1 14 1
]
x
Para resolvermos o sistema acima, devemos, primeiramente encontrar osautovalores da matriz A. Entao:
det([
1 14 1
]
− r[
1 00 1
])
= 0 ⇒
∣∣∣∣
1 − r 14 1 − r
∣∣∣∣= (1 − r)(1 − r)− 1.4 = 0
Ou seja: (1 − r)2 − 4 = r 2 − 2r − 3 = 0
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Resolucao de x′(t) =[
1 14 1
]
x
Se r 2 − 2r − 3 = 0, os autovalores sao r1 = 3 e r2 = −1
Se r1 = 3, entao: (A − r I) ξ = 0 fica:[
1 − r 14 1 − r
]
ξ = 0
Ou seja:[
1 − r 14 4 − r
] [ξ1
ξ2
]
=
[00
]
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Resolucao de x′(t) =[
1 14 1
]
x
Se r 2 − 2r − 3 = 0, os autovalores sao r1 = 3 e r2 = −1
Se r1 = 3, entao: (A − r I) ξ = 0 fica:[
1 − r 14 1 − r
]
ξ = 0
Ou seja:[
1 − r 14 4 − r
] [ξ1
ξ2
]
=
[00
]
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Resolucao de x′(t) =[
1 14 1
]
x
Substituindo r = 3 em[
1 − r 14 4 − r
] [ξ1
ξ2
]
=
[00
]
, temos:[
−2 14 1
] [ξ1
ξ2
]
=
[00
]
, logo:
−2ξ1 + ξ2 = 0 ⇒ ξ2 = 2ξ1
Daı o autovetor e: ξ(1) =[
12
]
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Resolucao de x′(t) =[
1 14 1
]
x
Da mesma forma, substituindo r = −1 em[1 − r 1
4 4 − r
] [ξ1
ξ2
]
=
[00
]
, temos:[
2 14 2
] [ξ1
ξ2
]
=
[00
]
, logo:
2ξ1 + ξ2 = 0 ⇒ ξ2 = −2ξ1
Daı o autovetor e: ξ(2) =[
1−2
]
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Resolucao de x′(t) =[
1 14 1
]
x
Tendo a forma da solucao geral: x = c1ξ(1)er1 t + c2ξ
(2)er2t
Conhecendo r1 = 3, r2 = −1, ξ(1) =[
12
]
e ξ(2) =
[1−2
]
Temos a solucao
do sistema como:
x = c1
[12
]
e3t + c2
[1−2
]
e−t
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Resolucao de x′(t) =[
1 14 1
]
x
Tendo a forma da solucao geral: x = c1ξ(1)er1 t + c2ξ
(2)er2t
Conhecendo r1 = 3, r2 = −1, ξ(1) =[
12
]
e ξ(2) =
[1−2
]
Temos a solucao
do sistema como:
x = c1
[12
]
e3t + c2
[1−2
]
e−t
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Noc oes PreliminaresSoluc ao de Uma EDOResoluc ao de Equac oes DiferenciaisEquac oes Diferenciais Linear de Primeira OrdemEquac oes Diferenciais de Segunda OrdemS.L.H.E.D. de Primeira Ordem com Coeficientes Constantes
Sistemas Lineras de EDO
Resolucao de x′(t) =[
1 14 1
]
x
Tendo a forma da solucao geral: x = c1ξ(1)er1 t + c2ξ
(2)er2t
Conhecendo r1 = 3, r2 = −1, ξ(1) =[
12
]
e ξ(2) =
[1−2
]
Temos a solucao
do sistema como:
x = c1
[12
]
e3t + c2
[1−2
]
e−t
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Exercıcios
1 x′(t) =[
−3√
2√2 −2
]
x
Resp. r1 = −1, r2 − 4, ξ(1) =[ 1√
21
]
e ξ(2) =
[−√
21
]
2 x′(t) =[
3 −22 −2
]
x
Resp. r1 = 2, r2 = 1, ξ(1) =[
21
]
e ξ(2) =
[12
]
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Exercıcios
1 x′(t) =[
2 −13 −2
]
x
Resp. r1 = −1, r2 = 1, ξ(1) =[
11
]
e ξ(2) =
[131
]
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