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MÓDULO PROFESIONAL
ESTRUCTURAS DE CONSTRUCCIÓN Profesor: JORGE M. BADÁS PEITEADO
UNIDAD DIDÁCTICA 1.
¿CÓMO SE RESUELVEN LOS PROBLEMAS DE ESTÁTICA? ACTIVIDAD 1.2.
CENTROS DE GRAVEDAD
Estos apuntes para su uso en el aula están basados en el trabajo realizado durante una licencia de formación retribuida por la Consellería de Cultura, Educación e Ordenación Universitaria (Xunta de Galicia, 2013) bajo licencia Creative Commons BY-NC-SA (reconocimiento - no comercial - compartir igual). Para ver una copia de esta licencia, visitar el enlace http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/es/.
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Índice
1. A2. Centros de gravedad ..........................................................................................5
1.1 Introducción .................................................................................................................. 5
1.2 Actividad....................................................................................................................... 6
1.2.1 Concepto de centro de gravedad .......................................................................................................................6
Centro de gravedad de figuras geométricas planas ...........................................................................7
1.2.2 Métodos para determinar el centro de gravedad .............................................................................................10
1.2.2.1 Determinación experimental .............................................................................................................10
Ejemplo de determinación experimental...........................................................................................10
1.2.2.2 Determinación analítica ....................................................................................................................11
Ejemplo de determinación analítica..................................................................................................12
1.2.2.3 Determinación gráfica.......................................................................................................................14
Ejemplo de determinación gráfica ....................................................................................................15
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1. A2. Centros de gravedad
1.1 Introducción En la actividad que nos ocupa se aprenderán los siguientes conceptos y manejo de destrezas:
� Comprender el concepto de centro de gravedad.
� Calcular analíticamente el centro de gravedad de una figura plana.
� Determinar gráficamente el centro de gravedad de una figura plana.
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1.2 Actividad
1.2.1 Concepto de centro de gravedad
Se denomina gravedad a la atracción que ejerce la Tierra sobre todos los cuerpos, cuya di-
rección es la línea imaginaria que une dicho cuerpo con el centro del planeta y su sentido es
hacia el citado centro.
A fuerza de gravedad es la resultante del conjunto de fuerzas paralelas equivalentes a la
atracción que ejerce la Tierra sobre cada partícula que compone la masa de cualquier cuer-
po.
El centro de gravedad es el punto fijo e invariable de un cuerpo, por el cual pasa la dicha
resultante de las fuerzas de gravedad. Cualquiera que sea la posición que ocupe un cuerpo
respecto a la superficie de la Tierra, la resultante siempre pasará por su centro de gravedad.
El centro de gravedad de un cuerpo no tiene porqué estar situado en el interior de dicho
cuerpo. Uno de los ejemplos más claros sería una esfera hueca, pues el centro de gravedad
se encuentra en su centro (un lugar que lógicamente está vacío).
Un objeto apoyado sobre una superficie horizontal estará en equilibrio estable si la pro-
yección vertical de su centro de gravedad cae dentro de su base de apoyo. Si el cuerpo se
aleja ligeramente de la posición de equilibrio, aparecerá un momento restaurador y recupe-
rará la posición de equilibrio inicial.
No obstante, si se aleja más de la posición de equilibrio, el centro de gravedad puede caer
fuera de su base de apoyo, no habrá un momento restaurador y el cuerpo abandonará defini-
tivamente la posición de equilibrio inicial. Se producirá entonces una rotación que lleva el
cuerpo a una nueva posición de equilibrio.
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Centro de gravedad de figuras geométricas planas
Si una figura cualquiera posee un eje de simetría, su centro de gravedad estará situado en di-
cho eje. Si una figura posee dos o más ejes de simetría, su centro de gravedad estará en la
intersección de dichos ejes.
Los centros de gravedad de algunas de las figuras geométricas planas más elementales, se
encuentran en las siguientes posiciones:
� Cuadrado, rectángulo, rombo y romboide:
En el punto de intersección de sus diagonales.
2
bx =
2
hy =
� Círculo:
En su centro.
� Polígonos regulares:
En el centro de la circunferencia que lo circunscribe.
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� Cuarto de círculo:
Esta figura posee un eje de simetría, por el que su centro de gravedad estará contenido
en la línea que define dicho eje.
Su posición vendrá determinada por las siguientes expresiones matemáticas:
π3
4rx =
π3
4ry =
� Semicírculo:
Al igual que el cuarto de circunferencia posee un eje de simetría, por el que su centro
de gravedad estará contenido en la línea que define dicho eje.
Su posición vendrá determinada por las siguientes expresiones matemáticas:
0=x π3
4ry =
Si tuviéramos el semicírculo girado 90º:
π3
4rx = 0=y
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� Triángulo:
En el baricentro, punto de intersección de las líneas que unen cada vértice con el me-
dio del lado opuesto.
Se encuentra a 1/3 de la altura medida desde a base del triángulo.
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1.2.2 Métodos para determinar el centro de gravedad
El centro de gravedad de cualquier figura plana puede encontrarse por tres métodos diferen-
tes que han de conducir a un mismo resultado:
– Determinación experimental.
– Determinación analítica.
– Determinación gráfica.
Seguidamente se expone el fundamento de cada uno de estos métodos:
1.2.2.1 Determinación experimental
Si un cuerpo cualquiera se suspende de un hilo, su centro de gravedad estará contenido en la
línea vertical prolongación de dicho hilo, pues es la dirección del resultante de las fuerzas de
gravedad.
Si este mismo cuerpo, se suspende por otro punto cualquiera, el centro de gravedad tam-
bién estará contenido en la línea vertical prolongación del hilo.
De acuerdo con lo anterior, la resultante de las fuerzas de gravedad siempre pasa por un
punto fijo e invariable (el centro de gravedad de ese cuerpo) que se encuentra en la intersec-
ción de las dos verticales de cada posición de suspensión.
Ejemplo de determinación experimental
Sea una figura plana definida por las siguientes dimensiones (cotas en cm):
De acuerdo con lo que acabamos de comentar, podríamos tomar un hilo y colgarla por
dos de sus puntos. El resultado sería similar al de la imagen siguiente:
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De acuerdo con lo expuesto, en el cruce de las líneas verticales que resultan de colgar la
figura en cada uno de los puntos obtendremos la posición del centro de gravedad.
Como podemos ver, en este caso se encuentra situado fuera de la superficie de la figura.
1.2.2.2 Determinación analítica
Las fuerzas estudiadas en la actividad A1 anterior actuaron sobre los cuerpos según unas lí-
neas de acción bien definidas. Son las denominadas como fuerzas concentradas.
No obstante las fuerzas van a estar aplicadas sobre cuerpos con superficie o volumen.
Cuando una fuerza actúa sobre un elemento superficial pequeño en relación con las di-
mensiones del cuerpo total puede considerarse como fuerza concentrada. No obstante, cuan-
do consideramos el cuerpo en su totalidad estamos frente a una fuerza distribuida de super-
ficie.
De acuerdo con esto, previamente a la formulación del método analítico será preciso es-
tablecer una serie de consideraciones:
� Centro de fuerzas paralelas
Se denomina así al punto fijo G por lo que pasa la resultante ΣFi de un sistema de
fuerzas paralelas.
Tomando momentos respecto a un sistema de ejes coordenados, la posición del punto
G viene determinado por:
i
ii
GiiGiF
xFXxFXF
Σ
⋅=⇒⋅=⋅Σ∑
∑)(
)(
i
ii
GiiGiF
yFYyFYF
Σ
⋅=⇒⋅=⋅Σ∑
∑)(
)(
Como ya sabemos, cada una de las áreas elementales en las que podemos descompo-
ner una figura plana está sometida a la acción de la fuerza de la gravedad.
Por lo tanto, la acción que la Tierra ejerce sobre las superficies es un claro ejemplo de
fuerzas distribuidas verticales de las cuales podemos encontrar su punto de paso.
� Momento estático (o de primer orden) de una superficie respecto a un eje
Se denomina así al producto del valor de la superficie dada por la distancia del centro
de gravedad de dicha superficie al eje considerado.
En relación con este concepto, podemos asegurar que la fuerza gravitatoria que sufrirá
una figura plana será proporcional a su superficie.
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Estableciendo una relación entre el concepto de centro de fuerzas paralelas y el de momento
estático de una superficie (a demostrar en un desarrollo matemático más complejo) podemos
establecer que:
Si dividimos una figura compleja en varias figuras elementales con centro de gravedad
conocido, puede determinarse la posición del centro de gravedad G de dicha superficie
compleja tomando momentos estáticos de las figuras elementales respecto a unos determi-
nados ejes coordenados:
i
ii
GiiGiA
xAXxAXA
Σ
⋅=⇒⋅=⋅Σ∑
∑)(
)(
i
ii
GiiGiA
yAYyAYA
Σ
⋅=⇒⋅=⋅Σ∑
∑)(
)(
En el caso particular de que la figura a estudiar tuviese algún hueco se aplicarían estas
mismas expresiones con la salvedad de considerar al hueco como una figura con área nega-
tiva.
Ejemplo de determinación analítica
A modo de ejemplo vamos a calcular el centro de gravedad de la figura anterior (cotas en
cm).
Dado que carece de ejes de simetría su determinación no es directa.
Se dividirá en figuras elementales de momentos estáticos conocidos, es decir, en figuras
elementales de las que conocemos su superficie y las distancias desde su centro de gravedad
a unos ejes horizontal y vertical.
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Lógicamente, si hubiésemos optado por otra descomposición en figuras elementales, una
vez terminado el cálculo el resultado para la posición del centro de gravedad ha de ser el
mismo.
Situamos en un esquema la posición de los centros de gravedad de los dos rectángulos
que componen la figura así como los ejes de coordenadas que vamos a tomar de referencia
para el cálculo.
De acuerdo con lo indicado en la exposición anterior, para hallar la ordenada y se toman
momentos estáticos respecto al eje X y para calcular la abscisa x se toman respecto al eje Y
– Cálculo de la coordenada x del centro de gravedad:
Para eso tomamos momentos respecto al eje Y:
(8 · 2) · 1 + (10 · 2) · 7 = (8 · 2 + 10 · 2) · x
156 = 36x ⇒ x = 156 / 36 = 4,33 cm
– Cálculo de la coordenada y del centro de gravedad:
Para eso tomamos momentos respecto al eje X:
(8 · 2) · 4 + (10 · 2) · 1 = (8 · 2 + 10 · 2) · y
84 = 36y ⇒ y = 84 / 36 = 2,33 cm
Podemos simplificar toda la resolución anterior mediante el cálculo de los valores reco-
gidos en la siguiente tabla y la posterior aplicación de las fórmulas directas:
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Cálculo de sumatorios de áreas y momentos estáticos
elemento Ai Xi Yi Ai · Xi Ai · Yi
Elemento 1 (vertical) 16 1 4 16 64
Elemento 2 (horizontal) 20 7 1 140 20
Sumatorios 36 156 84
cmA
xAX
i
iiGT 33,4
36
156==
Σ
⋅Σ=
cmA
yAY
i
iiGT 33,2
36
84==
Σ
⋅Σ=
���� Vamos a hacer los ejercicios 1, 2, 3, 4 y 5 en los que haremos el cálculo del centro de
gravedad de una figura con el método analítico.
1.2.2.3 Determinación gráfica
El cálculo gráfico del centro de gravedad de cualquier figura plana se realiza con la aplica-
ción del polígono funicular.
El fundamento de esta construcción geométrica es el similar al empleado en el método
analítico: La descomposición de una figura compleja en otras elementales sometidas a la ac-
ción de la gravedad (en función de la superficie de cada una de ellas) y posteriormente la
obtención del centro del sistema de fuerzas paralelas que sufre cada una de dichas figuras
elementales.
El proceso a seguir es:
– Las superficies compuestas o irregulares se descomponen en figuras geométricas sen-
cillas de centro de gravedad conocido.
– En sus respectivos centros de gravedad se aplican fuerzas paralelas proporcionales a
sus áreas.
– Mediante el polígono funicular, se encuentra la recta de aplicación de la resultante de
las citadas fuerzas.
– A continuación, se da un giro de 90º a las fuerzas de gravedad que representan las áre-
as de las diferentes figuras y de nuevo se halla su recta de aplicación.
– El punto de intersección de esta recta de acción de la resultante con la determinada an-
teriormente nos proporciona el centro de gravedad de la superficie plana.
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Ejemplo de determinación gráfica
A modo de ejemplo vamos a calcular el centro de gravedad de la figura anterior (cotas en
cm):
Tras dibujar la figura a escala, se dividirá en dos rectángulos de áreas y centros de grave-
dad conocidos:
En sus respectivos centros de gravedad se aplican fuerzas paralelas proporcionales a sus
áreas y se procederá a calcular el punto de paso de la resultante aplicando el polígono funi-
cular.
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A continuación, se da un giro de 90º a las fuerzas de gravedad que representan las áreas
de las diferentes figuras y de nuevo se encuentra la recta de paso de la suya resultante apli-
cando el polígono funicular.
El punto de intersección de esta recta con la determinada anteriormente nos proporciona
el centro de gravedad de la superficie plana.
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���� Vamos a hacer los ejercicios A, B y C en los que haremos el cálculo del centro de gra-
vedad de una figura con el método gráfico del polígono funicular.
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