progetto di un telaio piano in c.a.: progetto delle travi di fondazione. corso di tecnica delle...
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Progetto di un telaio piano in c.a.: Progetto delle travi di fondazione.
Corso di Tecnica delle Costruzioni I - Teoria delle Esercitazioni Anno Accademico 2007/08
a cura di Enzo MartinelliBozza del 21/05/2008
Travi di Fondazione
Corso di Tecnica delle Costruzioni I - Teoria delle Esercitazioni Anno Accademico 2007/08
a cura di Enzo MartinelliBozza del 21/05/2008
Assunzioni di progetto
Per le combinazioni 2 e 3 i valori di calcolo delle sollecitazioni si ricavano assumendo gli sforzi normali desunti dall’analisi ed i corrispondenti momenti resistenti amplificati per Rd.
)k(Ed,iN
)k(Ed,iRd
)k(Ed,i NMM
Combinazione 2 Combinazione 3
L
G
ei
3
1i
)k(Ed,i
3
1i
)k(Ed,i
)k(Ed,i
3
1i
)k(Ed,i
)k(Ed
N
eNMe
6L
e )k(Ed
L
e61
BL
N )k(Ed,i
3
1i
)k(Ed,i
)k(Ed,t
6L
e )k(Ed
Be2L
3
N2
)k(Ed,i
3
1i
)k(Ed,i
)k(Ed,t
I momenti si intendono positivi se anti-orari sulla trave di fondazione
Progetto e Verifica delle armature
Corso di Tecnica delle Costruzioni I - Teoria delle Esercitazioni Anno Accademico 2007/08
a cura di Enzo MartinelliBozza del 21/05/2008
Considerazioni Preliminari
Avendo progettato la sezione trasversale, è possibile passare a valutarne le caratteristiche della sollecitazione considerando anche la sua rigidezza flessionale EI nell’ambito della teoria delle travi elastiche su suolo elastico alla Winkler.
GyG
EIp
w4w 4IV
EIBk
4 04
B
Progetto e Verifica delle armature
Corso di Tecnica delle Costruzioni I - Teoria delle Esercitazioni Anno Accademico 2007/08
a cura di Enzo MartinelliBozza del 21/05/2008
Schema di Calcolo)k(
Ed,iN
)k(Ed,iM )k(
dg
fcls)k(
gt)k(
g)k(
d Agg
1 2 3 4 5
L0 L1 L2 L0
[1] [2] [3] [4]
Ad ogni nodo sono associate due componenti libere di spostamento:- traslazione verticale w;- rotazione j.
T5544332211 wwwww s
T5544332211 MVMVMVMVMVF
T5,05,04,04,03,03,02,02,01,01,00 MVMVMVMVMVF
Progetto e Verifica delle armature
Corso di Tecnica delle Costruzioni I - Teoria delle Esercitazioni Anno Accademico 2007/08
a cura di Enzo MartinelliBozza del 21/05/2008
Schema di Calcolo)k(
Ed,iN
)k(Ed,iM )k(
dg
1 2 3 4 5
L0 L1 L2 L0
[1] [2] [3] [4]
Nello spirito del metodo degli spostamenti è possibile costruire una matrice di rigidezza che colleghi le azioni applicate agli spostamenti prodotti:
0FFKs
Pro
gett
o e
Veri
fica d
elle
arm
atu
reCorso di Tecnica delle Costruzioni I - Teoria delle Esercitazioni Anno Accademico 2007/08
Bozza del 21/05/2008
Sch
em
a d
i C
alc
olo
K
1 2 3 4 5
Progetto e Verifica delle armature
Corso di Tecnica delle Costruzioni I - Teoria delle Esercitazioni Anno Accademico 2007/08
Bozza del 21/05/2008
Matrice di rigidezza del generico elemento e.
s = jjii ,w,,w f = jjii MTMT ,,,
xαx
xαx
xαx
xαx ceAseAceAseAxw 4321
xxx
xxx
xxx
xxx cseAcseAcseAcseAxwI
4321
0wwi
0Iwi
lww j
lw Ij
s = G a
llαl
llαl
llαl
llαl
lαl
lαl
lαl
lαl
csαecsαecsαecsαe
cesecese
αααα
1010
a = G-1 s
a cura di Enzo Martinelli
Progetto e Verifica delle armature
Corso di Tecnica delle Costruzioni I - Teoria delle Esercitazioni Anno Accademico 2007/08
Bozza del 21/05/2008
Matrice di rigidezza del generico elemento e.
s = jjii ,w,,w f = jjii MTMT ,,,
f=
lx
lx
x
x
II
III
0II
0III
w
w
w
w
EI H= 2αEI
lαl
lαl
lαl
lαl
llαl
llαl
llαl
llαl
s2e c2e s2e c2e
cs2αα- cs2αα- cs2αα- cs2αα
0 2- 0 2
2α 2α 2α 2α
f = H a =(H G-1) s = K s
xαx2
xαx2
xαx2
xαx2 seA2αceAαseA2αceA2αxw 4321
II
xxαx3
xxαx3
xxαx3
xxαx3 cseA2αcseA2αcseA2αcseA2αxw 4321
III
(e)
a cura di Enzo Martinelli
Progetto e Verifica delle armature
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Bozza del 21/05/2008
Azioni di Incastro perfetto sul generico elemento
0s
lp
lp
0p
0p
k
1
w -
w
w -
w
I
I
I1
1
0I1
01
lx
lx
x
x
f0 = H a0 =H G-1 (-s0) = -K s0
f = K s - K s0 = K s + f0
(e)
(e)(e) (e)(e) (e)
Per l’elemento generico vale la seguente relazione tra forze nodali e spostamenti nodali:
a cura di Enzo Martinelli
Progetto e Verifica delle armature
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Espressioni sintetiche della matrice di rigidezza locale
32
23
35
24
231
246
35
24
32
23
246
231
)e(
22
22
2
2
22
2
2
K
l2a senl2a senhζbk1 0
l2a senl2a senhζbkψ2 0
l2a cosl2a coshζbkψ3 0
la senla senhζbkψ4 0
lcosalsenhala senlcoshaζbkψ5 0
lcosalsenhalsenalcoshaζbk2ψ6 0
2lcos2alcosh2a
1ζ
E’ possibile definire una matrice di rigidezza locale per ogni elemento in funzione di:- uguale per tutti;- l dipendente dai singoli elementi.
a cura di Enzo Martinelli
Progetto e Verifica delle armature
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Bozza del 21/05/2008
Assemblaggio: elemento 1)k(
Ed,iN
)k(Ed,iM )k(
dg
1 2 3 4 5
L0 L1 L2 L0
K
32
23
35
24
231
246
35
24
32
23
246
231
)1(
22
22
2
2
22
2
2
K
l=L0
Progetto e Verifica delle armature
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Bozza del 21/05/2008
Assemblaggio: elemento 1)k(
Ed,iN
)k(Ed,iM )k(
dg
1 2 3 4 5
L0 L1 L2 L0
0F
l=L0
0s
0
q
0
q
k1
w -
w
w -
w
lx
lx
x
x
I1
1
0
I1
01
a cura di Enzo Martinelli
T5,05,04,04,03,03,02,02,01,01,00 MVMVMVMVMVF
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Vettore delle forze nodali applicate)k(
Ed,iN
)k(Ed,iM )k(
dg
1 2 3 4 5
L0 L1 L2 L0
T5544332211 MVMVMVMVMVF
T)k(6,Ed
)k(6,Ed
)k(5,Ed
)k(5,Ed
)k(4,Ed
)k(4,Ed
)k( 00MNMNMN00F
I momenti si intendono positivi se anti-orari sulla trave di fondazione a cura di Enzo Martinelli
Progetto e Verifica delle armature
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Assemblaggio)k(
Ed,iN
)k(Ed,iM )k(
dg
1 2 3 4 5
L0 L1 L2 L0
a cura di Enzo Martinelli
Progetto e Verifica delle armature
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Soluzione
a cura di Enzo Martinelli
01 FFKs
Soluzione del sistema globale
Estrazione delle componenti di spostamenti locale e calcolo delle costanti di integrazione:
)e(0
)e(1)e()e(0
)e()e(def ssGaaa
xαx
xαx
xαx
xαx ceAseAceAseAxw 4321
xxx
xxx
xxx
xxx cseAcseAcseAcseAxwI
4321
xαx2
xαx2
xαx2
xαx2 seA2αceAαseA2αceA2αxw 4321
II
xxαx3
xxαx3
xxαx3
xxαx3 cseA2αcseA2αcseA2αcseA2αxw 4321
III
Esempio Numerico
Corso di Tecnica delle Costruzioni I - Teoria delle Esercitazioni Anno Accademico 2007/08
)k(Ed,iN
)k(Ed,iM )k(
dg
L0 L1 L2 L0
As=12.56 cm2
60
30
60
30
60
30
As=15.70 cm2 As=15.70 cm2
Combinazione 2kN 64.216N )2(
Ed,4
)2(Ed,4cd
)2(4,c Nfyb8.0
mm 64.7933.113008.0
216640y )2(
4,c
s
sds E
f00218.0
3064.790035.0
'
kNm 49.323303003911256264.794.030033.1164.793008.0
'd2h
fA2y4.02h
fyb8.0NMM sds)2(
4,ccd)2(
4,c)2(
Ed,4Rd)2(
Ed,4
kN 21.714N )2(Ed,5 kN 10.524N )2(
Ed,6
kNm 00.471M )2(Ed,5 kNm 23.382M )2(
Ed,6
Esempio Numerico
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)k(Ed,iN
)k(Ed,iM )k(
dg
L0=100 L1=460 L2=590 L0=100
GyG
100
50
30
70
25
Caratteristiche geometriche e meccaniche della sezione e della trave
cm 92.413025210050
15302525010050yG
423
23
G cm 56926281592.413025123025
292.4150100501210050
I
MPa 18.2708510f
22000E3.0
ckcm
Nmm 105419.1105.69218.27085IEEI 1510Gcm
q
m/kN 25.1600.250.250.3021.000.500.1qq tgd,t 2
m0 mm/N 0.14140001.0Bkk
1.8508 107 9.25213 106 1.8501 107 9.25097 106
9.25213 106 6.16773 106 9.25097 106 3.0837 106
1.8501 107 9.25097 106 1.8508 107 9.25213 106
9.25097 106 3.0837 106 9.25213 106 6.16773 106
Progetto e Verifica delle armature
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Bozza del 21/05/2008
Assemblaggio: elemento 1)k(
Ed,iN
)k(Ed,iM )k(
dg
1 2 3 4 5
L0 L1 L2 L0
K
l=L0=1.0 m k=1.4x104 kN/m2
EI=1.542x106 kNm2 =0.2182 m-1
Progetto e Verifica delle armature
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Assemblaggio: elemento 1
K
0F
1.8508 107 9.25213 106 1.8501 107 9.25097 106 0 0 0 0 0 0
9.25213 106 6.16773 106 9.25097 106 3.0837 106 0 0 0 0 0 0
1.8501 107 9.25097 106 1.8508 107 9.25213 106 0 0 0 0 0 0
9.25097 106 3.0837 106 9.25213 106 6.16773 106 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0
8.12491.354148.1249
1.35414000000
213917. 452638. 181898. 428129.
452638. 1.35367 106 428129. 660744.181898. 428129. 213917. 452638.
428129. 660744. 452638. 1.35367 106
Progetto e Verifica delle armature
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Bozza del 21/05/2008
Assemblaggio: elemento 2)k(
Ed,iN
)k(Ed,iM )k(
dg
1 2 3 4 5
L0 L1 L2 L0
K
l=L1=4.6 m k=1.4x10-8 kN/m2
EI=1.542x109 kNm2 =0.00003882 m-1
Progetto e Verifica delle armature
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Bozza del 21/05/2008
Assemblaggio: elemento 2
K
0F
1.8508 107 9.25213 106 1.8501 107 9.25097 106 0 0 0 0 0 0
9.25213 106 6.16773 106 9.25097 106 3.0837 106 0 0 0 0 0 0
1.8501 107 9.25097 106 1.87219 107 8.7995 106 181898. 428129. 0 0 0 0
9.25097 106 3.0837 106 8.7995 106 7.5214 106 428129. 660744. 0 0 0 00 0 181898. 428129. 213917. 452638. 0 0 0 00 0 428129. 660744. 452638. 1.35367 106 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0
8.12491.35414
45.290627.0937
37.165728.4478
0000
120446. 290894. 79763.8 251063.
290894. 1.07224 106 251063. 502626.79763.8 251063. 120446. 290894.
251063. 502626. 290894. 1.07224 106
Progetto e Verifica delle armature
Corso di Tecnica delle Costruzioni I - Teoria delle Esercitazioni Anno Accademico 2007/08
Bozza del 21/05/2008
Assemblaggio: elemento 3)k(
Ed,iN
)k(Ed,iM )k(
dg
1 2 3 4 5
L0 L1 L2 L0
K
l=L2=5.9 m k=1.4x10-8 kN/m2
EI=1.542x109 kNm2 =0.00003882 m-1
Progetto e Verifica delle armature
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Bozza del 21/05/2008
Assemblaggio: elemento 3
K
0F
1.8508 107 9.25213 106 1.8501 107 9.25097 106 0 0 0 0 0 0
9.25213 106 6.16773 106 9.25097 106 3.0837 106 0 0 0 0 0 0
1.8501 107 9.25097 106 1.87219 107 8.7995 106 181898. 428129. 0 0 0 0
9.25097 106 3.0837 106 8.7995 106 7.5214 106 428129. 660744. 0 0 0 00 0 181898. 428129. 334363. 161744. 79763.8 251063. 0 0
0 0 428129. 660744. 161744. 2.42591 106 251063. 502626. 0 00 0 0 0 79763.8 251063. 120446. 290894. 0 0
0 0 0 0 251063. 502626. 290894. 1.07224 106 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0
8.12491.35414
45.290627.0937
84.386317.7845
47.220646.2323
00
1.8508 107 9.25213 106 1.8501 107 9.25097 106
9.25213 106 6.16773 106 9.25097 106 3.0837 106
1.8501 107 9.25097 106 1.8508 107 9.25213 106
9.25097 106 3.0837 106 9.25213 106 6.16773 106
Progetto e Verifica delle armature
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Bozza del 21/05/2008
Assemblaggio: elemento 4)k(
Ed,iN
)k(Ed,iM )k(
dg
1 2 3 4 5
L0 L1 L2 L0
K
l=L0=1.0 m k=1.4x10-8 kN/m2
EI=1.542x109 kNm2 =0.00003882 m-1
Progetto e Verifica delle armature
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Bozza del 21/05/2008
Assemblaggio: elemento 4
K
0F
1.8508 107 9.25213 106 1.8501 107 9.25097 106 0 0 0 0 0 0
9.25213 106 6.16773 106 9.25097 106 3.0837 106 0 0 0 0 0 0
1.8501 107 9.25097 106 1.87219 107 8.7995 106 181898. 428129. 0 0 0 0
9.25097 106 3.0837 106 8.7995 106 7.5214 106 428129. 660744. 0 0 0 00 0 181898. 428129. 334363. 161744. 79763.8 251063. 0 00 0 428129. 660744. 161744. 2.42591 106 251063. 502626. 0 0
0 0 0 0 79763.8 251063. 1.86284 107 8.96124 106 1.8501 107 9.25097 106
0 0 0 0 251063. 502626. 8.96124 106 7.23997 106 9.25097 106 3.0837 106
0 0 0 0 0 0 1.8501 107 9.25097 106 1.8508 107 9.25213 106
0 0 0 0 0 0 9.25097 106 3.0837 106 9.25213 106 6.16773 106
8.12491.35414
45.290627.0937
84.386317.7845
55.345544.87818.1249
1.35414
Progetto e Verifica delle armature
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Bozza del 21/05/2008
Vettore delle forze nodali)k(
Ed,iN
)k(Ed,iM )k(
dg
1 2 3 4 5
L0 L1 L2 L0
0, 0, N4Ed, M4Ed, N5Ed, M5Ed, N6Ed, M6Ed, 0, 0F
F
01 FFKs
0.00 0.00 216.64 -323.49 714.21 -471.00 524.10 -382.23 0.00 0.00
Progetto e Verifica delle armature
Corso di Tecnica delle Costruzioni I - Teoria delle Esercitazioni Anno Accademico 2007/08
Bozza del 21/05/2008
Diagramma degli spostamenti
-6 -4 -2 2 4 6
-0.0175
-0.015
-0.0125
-0.01
-0.0075
-0.005
-0.0025
Trave elastica
Trave rigida
Progetto e Verifica delle armature
Corso di Tecnica delle Costruzioni I - Teoria delle Esercitazioni Anno Accademico 2007/08
Bozza del 21/05/2008
Diagramma del Taglio
-6 -4 -2 2 4 6
-400
-200
200
Trave elastica
Trave rigida
-6 -4 -2 2 4 6
-600
-400
-200
200
400
600
Progetto e Verifica delle armature
Corso di Tecnica delle Costruzioni I - Teoria delle Esercitazioni Anno Accademico 2007/08
Bozza del 21/05/2008
Diagramma del Momento Flettente
Trave elastica
Trave rigida
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