program studi teknik elektro fakultas teknik...
Post on 06-May-2019
232 Views
Preview:
TRANSCRIPT
PROGRAM STUDI TEKNIK ELEKTRO
FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS DIAN NUSWANTORO
HOMOGEN LINEAR ODE : SOLUSI SUPERPOSISI
Tentukan solusi dari persamaan berikut ini:
𝑦′′ + 𝑦 = 0
Solusi dari persamaan tersebut adalah
𝑦 = cos 𝑥 dan 𝑦 = sin 𝑥
𝑦′′ + 𝑦 = cos 𝑥 ′′ + cos 𝑥 = −cos 𝑥 + cos 𝑥 = 0
Bukti
𝑦 = cos 𝑥
𝑦 = sin 𝑥 𝑦′′ + 𝑦 = sin 𝑥 ′′ + sin 𝑥 = −sin 𝑥 + sin 𝑥 = 0
PROGRAM STUDI TEKNIK ELEKTRO
FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS DIAN NUSWANTORO
HOMOGEN LINEAR ODE : SOLUSI SUPERPOSISI
Solusi lebih lanjut ...
Kontanta 𝑐1 = 4.7 dan 𝑐2 = −2
Dengan menggunakan prinsip superposisi bertujuan untuk mendapatkan solusi
lebih lanjut dengan cara menambahkan atau mengalikan dengan konstanta
𝑦′′ + 𝑦 = 0
Sehingga dapat di simpulkan solusi untuk 𝑦 adalah
𝑦 = 𝑐1𝑦1 + 𝑐2𝑦2
Dimana 𝑦1 = cos 𝑥 dan 𝑦2 = sin 𝑥
Teknik tersebut diatas adalah teknik kombinasi linear antara 𝑦1 dan 𝑦2
PROGRAM STUDI TEKNIK ELEKTRO
FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS DIAN NUSWANTORO
INITIAL VALUE PROBLEM (IVP)
𝑦′′ + 𝑦 = 0, 𝑦 0 = 3 , 𝑦′ 0 = −0.5
Fungsi cos 𝑥 dan sin 𝑥 adalah solusi dari persamaan tersebut
𝑦 = 𝑐1 cos 𝑥 + 𝑐2 sin 𝑥
Langkah 1 :
Langkah 2 : Menentukan nilai 𝑐1 dan 𝑐2
𝑦 0 = 33 = 𝑐1 cos 0 + 𝑐2 sin 0
𝑐1 cos 0 = 3𝑐1 = 3
𝑦′ 0 = −0.5 𝑦′ = −𝑐1 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑐2 𝑐𝑜𝑠𝑥−0.5 = 𝑐2 cos 0
𝑐2 = −0.5
𝑦 = 3 cos 𝑥 − 0.5 sin 𝑥
PROGRAM STUDI TEKNIK ELEKTRO
FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS DIAN NUSWANTORO
PEMODELAN DENGAN SECOND ORDER ODE
PROGRAM STUDI TEKNIK ELEKTRO
FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS DIAN NUSWANTORO
MODEL PEGAS
𝐹1 = −𝑘𝑦
Dimana :
𝐹 = gaya pegas
𝑘 = konstanta pegas (k >0)
𝑦 = panjang tarikan pegas
Dimana gaya kebawah (berlawanan dgn arah
gaya pegas) di wakili oleh :
𝐹 = 𝑚 . 𝑎
𝐹 = gaya yang ditimbulkan oleh beban
𝑚 = massa beban (Newton)
𝑎 = percepatan gravitasi
𝐹 = 𝑚 . 𝑎 = 𝑚. 𝑦′′
PROGRAM STUDI TEKNIK ELEKTRO
FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS DIAN NUSWANTORO
DAMPING
❑ Overdamped
❑ System kembali ke titik keseimbangan secara eksponensial
menurun tanpa berosilasi.
❑ Critically damped
❑ System kembali ke titik keseimbangan dengan relatif cepat
tanpa berosilasi
❑ Underdamped
❑ Sistem berosilasi dengan amplutudo yang secara bertahap
menurun menuju 0.
❑ Undamped
❑ Sistem berosilasi tanpa mengalami penurunan amplitudo.
Damping adalah pengaruh terhadap sebuah sistem yang berosilasi yang berefek pada penurunan,
pembatasan dan pencegahan benda untuk melakukan osilasi.
PROGRAM STUDI TEKNIK ELEKTRO
FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS DIAN NUSWANTORO
PERSAMAAN PEMODELAN
𝑚 𝑦′′ + 𝑘𝑦 = 0
Persamaan tersebut mempunyai bentuk yang sama dengan 𝑦′′ + 𝑦 = 0
Sehingga mempunyai solusi
Dengan mengacu dari permaslahan pemodelan maka didapatkan hasil :
𝑦 = 𝑐1 cos 𝑥 + 𝑐2 sin 𝑥
𝑦 𝑥 = 𝑐1 cos 𝑥 + 𝑐2 sin 𝑥
Karena pegas memiliki GETARAN HARMONIK sebesar
𝑦 𝑥 = 𝑐1𝑐𝑜𝑠𝜔0𝑥 + 𝑐2 sin𝜔0𝑥
𝑦 𝑡 = 𝑐1𝑐𝑜𝑠𝜔0𝑡 + 𝑐2 sin𝜔0𝑡
Atau dalam bentuk yang lebih familiar adalah
PROGRAM STUDI TEKNIK ELEKTRO
FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS DIAN NUSWANTORO
SIMULASI (UNDAMPED - MASS SPRING SYSTEM)
𝑦 𝑡 = 𝑐1𝑐𝑜𝑠𝜔0𝑡 + 𝑐2 sin𝜔0𝑡
Jika sebuah pegas dengan nilai konstanta k = 8 dan memiliki massa yang menggantung sebesar 2 kg.
Pegas tersebut ditarik kebawah sepanjang 3cm agar memantul. Tentukan formula pemodelan dari sistem
pegas tersebut !
𝜔0 =𝑘
𝑚=
8
2= 2
Dimana 𝑐1 = 𝑐2 = 3 𝑐𝑚 maka didapatkan hasil akhir :
𝑦 𝑡 = 3𝑐𝑜𝑠2𝑡 + 3 sin 2𝑡
𝑦 𝑡 = 3(𝑐𝑜𝑠2𝑡 + sin 2𝑡)
top related