programacion lineal

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE ZACATECAS

UNIDAD ACADÉMICA DE CIENCIAS QUÍMICAS

INGENIERÍA QUÍMICAINGENIERÍA DE PROCESOS IIPROF: J. MANUEL GARCÍA

J. ANDRÉS TAVIZÓN POZOS

Programación Lineal“Maximizar o minimizar algunas funciones que se encuentran sujetas a determinadas limitaciones”.

Algoritmos de

optimización

Derivaron

Hoy en día

Elementos teóricos

• Disponer de una herramienta para resolver problemas usando la computadora.

• + Heurística• - Matemática

• Poderosas herramientas.

• Definen un marco conceptual para el desarrollo de los algoritmos.

Programación Lineal (LP)

Modelo fácil de generar,

resolver y analizar.

Automatizar el

proceso generando

grandes modelos.

Modelos de más de

100 mil variables.

Método SIMPLEX.

50’s.

Método Karmarkar.

80’s.

Espacio dividido en un : •Semiespacio factible(conjunto de punto que verifican la restricción).•Semiespacio no factible (conjuntode puntos que no verifican la restricción). •El conjunto de puntos quesatisface simultáneamente todas las restricciones.•La región factibledel LP.

Valor máximo factible

(óptimo).

“El óptimo de un LP cuya

región factible es no

vacía y acotada estará siempre asociado a un punto extremo

(vértice del poliedro)

de la misma”.

Si la región factible es vacía. Se

dice que el LP es

infactible.

La recta de la función objetivo es paralela a

una recta de restricción sobre la que se encuentra el extremo óptimo. Se dice que el LP tiene soluciones óptimas

alternativas.

Particularidades del LP

Si la región factible es no acotada en la

dirección en la cual la función

objetivo es optimizada. Se

dice que el LP es no acotado.

Restricciones

Maximizar Z = f(x,y) = 3x + 8y

sujeto a: 4x + 5y ≤40  2x + 5y ≤30  x ≥0 , y ≥0

Problema de resolución analítica

4x + 5y = 40 , 2x + 5y = 30}. Solución A(5,4)

{ 4x + 5y = 40 , x = 0 } Solución:B (0,8)

{ 4x + 5y = 40 , y = 0}. Solución: C(10,0)

{ 2x + 5y = 30 , x = 0} Solución: D(0,6)

{ 2x + 5y = 30 , y = 0}. Solución : E(15,0)

{ x = 0, y = 0} Solución: O(0,0)

Calculamos las soluciones de cada

uno de los seis sistemas de dos

ecuaciones con dos incógnitas que se

pueden formar con las cuatro

restricciones.

Si sustituimos los puntos en cada una de las desigualdades tenemos que:

•B no cumple la segunda restricción 2x + 5y ≤ 30 , ya que 2·0 + 5·8 = 40 .

Por tanto, el punto B no es un vértice de la región factible. •E no cumple la primera restricción 4x + 5y ≤40 , ya que 4·15 + 5·0 = 60 .

Por tanto, el punto E no es un vértice de la región factible.

Los puntos A, C, D y O verifican todas las desigualdades, son los vértices de la región factible.

Determinar los vértices de la región factible

Calcular los valores de la función objetivo en los vértices

f(A) = f(5,4) = 3·5 + 8·4 = 47

f(C) = f(10,0) = 3·10 + 8· 0 = 30

f(D) = f(0,6) = 3·0 + 8·6 = 48

f(O) = f(0,0) = 3·0 + 8·0 = 0

La solución óptima corresponde al vértice para el que la función objetivo toma el valor máximo. En

este caso es el vértice D(0,6).

Ejemplo de transporte.

Parece ser que el transporte de “a” a

“d” es el más barato, sin embargo es

necesario hacer el análisis lineal.

En este caso, el costo total del transporte sería:Transporte de 40 t de "a" a "d" = $80 Transporte de 20 t de "c" a "e" = $360 Transporte de 40 t de "b" a "e" = $960 Total =$1.400

Con programación lineal

Restricciones de producción

Restricciones de

consumo

Solución y conclusiones del problemaLa solución de costo mínimo de transporte diario resulta:•Xb-d = 40 resultando un costo de 12 x 40 = $480•Xa-e = 40 resultando un costo de 11 x 40 = $440 •Xc-e = 20 resultando un costo de 18 x 20 = $360 Total =$1.280

•Es discutible la conveniencia de tomar decisiones por consenso en cuestiones estrictamente técnicas.

•Es discutible la aplicación de la intuición en el caso de problemas con más de 4 variables.

•Una vez conocida la solución del problema lineal, generalmente le resulta casi evidente al analista que ésa es la solución correcta, si bien no la veía antes.

Método SIMPLEX

Aplicable a todo LP.

Condición de

factibilidad.

Condición de

optimicidad.

Convergencia del

método.

Aplicaciones de LP

•Optimización de la combinación de diámetros comerciales en una red ramificada de distribución de agua.

•Microeconomía y administración de empresas.

•Mezcla de alimentos.•Planificaciones de campañas de publicidad.•Recursos humanos y maquinarias.•Solución de problemas de transporte.

Referencias

•Antología de Ingeniería de Procesos II.•http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd98/

Matematicas/29/matematicas-29.html•http://es.wikipedia.org/wiki/Programaci

%C3%B3n_lineal

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