progresiones prof. josé mardones cuevas e-mail: cumarojo@yahoo.com

PROGRESIONES

Prof. José Mardones Cuevas

E-Mail: cumarojo@yahoo.com

COMO INTRODUCCIÓN AL TEMA, RESUELVE LOS SIGUIENTES PROBLEMAS.

Un hombre avanza en el primer segundo de su carrera 4 m y en cada segundo posterior avanza 5 cm más que en el anterior. ¿Cuánto avanzó en el cuarto segundo?

Solución:

m 4 :segundo 1er.

En el cuarto segundo el hombre avanzó 4,15 metros.

m 4,05 cm 5 m 4 :seg. 2do. m 4,10 cm 5 m 4,05 : seg. 3er. m 4,15 cm 5 m 4,10 :seg. 4to.

PROBLEMA Nº 1

¿Cómo calcularías cuánto avanzó el hombre en el segundo 61? ¿en el segundo 91? ¿y en el 101?

Solución:

Si sigues el procedimiento anterior terminarás cansada (o).

Con calculadora, ¡bastante menos!.

… ¡pero te dará lata!

Busca otra estrategia …

Te sugiero observar cuidadosamente el desarrollo ya realizado en este problema …

PROBLEMA Nº 1

¿Observaste que el sumando 5 cm se repite después del primer segundo …?

¿Cuántas veces?

Si multiplicas 3 · 5 cm, el resultado lo transformas a metros y luego lo sumas al 4, ¿qué obtienes?

¡la misma respuesta!

¡¡pero más rápido!!

Ahora, intenta dar respuesta a las otras preguntas …

Las respuestas son 7 - 8,5 y 9 metros, respectivamente.

PROBLEMA Nº 1

El lunes gané $3 y cada día después gané el doble de lo que gané el anterior. ¿Cuánto gané el jueves?

Solución:

pesos 3 :gané lunes Día

El día jueves gané 24 pesos.

pesos 6 2pesos 3 :martes Día pesos 12 2pesos 6 :miércoles Día

pesos 24 2pesos 12 :jueves Día

PROBLEMA Nº 2

¿Cómo calcularías cuánto ganaste el día sábado? ¿en el día miércoles de la siguiente semana? ¿y en el viernes de la tercera semana? (El domingo es tu día de descanso)

Solución:

Si desarrollaste el problema 1 ya sabes lo que va a pasar …

Busca otra estrategia …

Nuevamente, te sugiero observar cuidadosamente el desarrollo ya realizado en este problema …

PROBLEMA Nº 2

¿Observaste que el factor 2 se repite después del primer día …?

¿Cuántas veces?

Si lo escribes como potencia, lo desarrollas y lo multiplicas por 3, ¿qué obtienes?

¡la misma respuesta!

¡¡pero más rápido!!

Ahora, intenta dar respuesta a las otras preguntas …

Las respuestas son 96 - 768 y 196.608 pesos, respectivamente.

PROBLEMA Nº 2

Es una sucesión de términos formados de acuerdo con una cierta ley.

Ejemplo:

1, 4, 9, 16, 25, 36 …

Observa que cada término se forma elevando al cuadrado, ordenadamente, los números naturales.

En el problema nº 1, ¿cuál era la ley de formación?

Al término anterior se le sumaba 5 cm.

En el problema nº 2, ¿cuál era la ley de formación?

El término anterior se multiplicaba por 2.

Series denominadas PROGRESIONES.

Estas se clasifican en:

Progresiones Aritméticas

Progresiones Geométricas

PROGRESIÓN ARITMÉTICA

Lo que caracteriza a este tipo de serie es que cada término se obtiene sumándole al término anterior una cantidad constante llamada razón aritmética, o, simplemente, diferencia.

Ejemplo:

...7.5.3.1En este caso, la diferencia es 2.

3=1+2

5=3+2

7=5+2 El problema 1 de la introducción corresponde a esta clasificación.

RAZÓN ARITMÉTICA O DIFERENCIA

¿Si se conocen los términos de una progresión aritmética, cómo se obtiene la diferencia?

La razón aritmética, o diferencia, se halla restándole a un término cualquiera el término anterior.

Ejemplo: ...7.5.3.1Si d representa la razón aritmética, entonces la diferencia es …

d=3 – 1 = 2

d=5 – 3 = 2

d=7 – 5 = 2

2 d

En el problema 1 de la introducción, ¿recuerdas cómo se obtuvo, rápidamente, lo que avanzó el hombre en el 4to.segundo?

Fue algo así…

cm 53 m 4 .Av.4to.seg

1 término menos que el total de la serie.

Primer término de la serie.

Último término de la serie

Diferencia

d1 -n na 1aLuego, la fórmula aplicada para hallar el último término de la serie fue …

dn )1(aa 1n

Notación:

Aquí se distinguen …

dn )1(aa 1n

Observaciones:

En esta fórmula se conoce como “término enésimo”na

es el número de términos que tiene la serie.n

Cualquiera de ellas puede ser una incógnita, por lo tanto de esta fórmula se pueden obtener otras más específicas. Observa:

dn )1(aa 1n

dn )1(aa n1

1

aa 1n

n

d 1aa 1n

dn

Diferencia Número de términos

Primer término

Término enésimo

dn )1(aa 1n

Si te cuesta aprender todas estas fórmulas, apréndete la principal.

En ella puedes reemplazar los datos conocidos, despeja tu incógnita y ¡ya!.

Observa el siguiente ejemplo:

dn )1(aa 1n

Ejemplo:

¿Cuántos términos tiene la progresión aritmética 4 . 6 …. 30?

Datos

Primer término: 4

Último término:30

Diferencia: 6 – 4 = 2 2)1(430 n

La progresión tiene 14 términos.

2)1(430 n

12

26n

n113

n14

dn )1(aa 1n

Ejemplo:

El 32º término de una progresión aritmética es -18 y la razón 3. Hallar el primer término.

Datos

Diferencia: 3

Último término: -18

Nº de términos: 32 3)132(18- 1 a

El primer termino de la progresión es -111.

9318 1 a

19318 a

1111 a

dn )1(aa 1n

Ejemplo:

El primer término de una progresión aritmética es 5 y el 18º término - 80. Hallar la razón.

Datos

Primer término: 5

Último término: - 80

Nº de términos: 18 d )118(580-

La razón de la progresión aritmética es - 5.

d 17580

d17

85

d 5

SUMA DE LOS TERMINOS DE UNA PROGRESIÓN ARITMÉTICA

10099..........4321 S

La suma de los términos de la progresión aritmética es 5.050.

12............979899100 S

101101..............1011011011012 S iguales sumandos 100

2

100101S

50101S

5050S

Se cuenta que el matemático GAUSS, a los 8 años, sorprendió a su profesor al sumar los 100 primeros números naturales de esta manera.

Puedes comprobarlo con calculadora.

2

100101S

Luego, la fórmula aplicada para sumar los términos de esta progresión aritmética fue …

Analizando este proceso tenemos que:

2

100)1001( S

Primer término

Último término

Nº de términos

2

)( 1 naaS n

Ejemplo:

Hallar la suma de los primeros 10 números naturales.

Datos

Primer término: 1

Último término: 10

Nº de términos: 10

La suma de los primeros 10 números naturales es 55.

2

)( 1 naaS n

2

10)101( S

2

1011S

511S

55S Puedes comprobarlo a mano o con calculadora.

Ejemplo:

Hallar la suma de los 8 primeros términos de la progresión aritmética 15 . 19 . 23….

Datos

Primer término: 15

Último término: ¿?

Nº de términos: 8

d = 19 – 15 = 4

La suma de los 8 primeros términos de la progresión es 232.

2

)( 1 naaS n

2

8)4315( S

2

858S

458S

232S

dn )1(aa 1n

4)18(15a8

2815a8

43a8

¿Recuerdas el problema 1 de la introducción?

Como ejercicio, calcula qué distancia habrá recorrido el hombre en 10 segundos.

Solución:

En 10 segundos el hombre habrá recorrido 51,25 metros.

MEDIOS ARITMÉTICOS E INTERPOLACIÓN

Se llama medios aritméticos a los términos de una progresión aritmética que se hallan entre el primero y el último término de la progresión. Ej. 4. 9. 14. 19. 24

Interpolar medios aritméticos entre dos números dados es formar una progresión aritmética cuyos extremos sean los números dados.

Ejemplo:

Interpolar 3 medios aritméticos entre 3 y 11.

Solución:

Primeramente debemos encontrar la razón aritmética o diferencia.

dn )1(aa 1n

Datos

Primer término: 3

Último término: 11

Nº de términos: 3+2=5

d )15(311

d4

8 d 2

Ahora formamos la progresión …

11 2).(7 2).(5 2).(3 3.

11 9. 7. 5. 3.Debes considerar los

términos extremos también.

PROGRESIÓN GEOMÉTRICA

Lo que caracteriza a este tipo de serie es que cada término se obtiene multiplicando el término anterior por una cantidad constante llamada razón geométrica, o, simplemente, razón.

Ejemplo:

....16:8:4:2

4=2·2

8=4·2

16=8·2

En este caso, la razón es 2.

El problema 2 de la introducción corresponde a esta clasificación.

RAZÓN GEOMÉTRICA O RAZÓN

¿Si se conocen los términos de una progresión geométrica, cómo se obtiene la razón?

La razón geométrica, o razón, se halla dividiendo un término cualquiera por el término anterior.

Ejemplo: ...16:8:4:2Si r representa la razón geométrica, entonces la razón es…

r=4:2 = 2

r=8:4 = 2

r=16:8 = 2

2 r

En el problema 2 de la introducción, ¿recuerdas cómo se obtuvo, rápidamente, lo que ganaste el día jueves?

Fue algo así…

32pesos 3 gané jueves Día

1 término menos que el total de la serie.Primer término

de la serie.Último término de la serie

Razón

r 1 -n na 1aLuego, la fórmula aplicada para hallar el último término de la serie fue …

11n raa n

Notación:

Aquí se distinguen …

Observaciones:

En esta fórmula se conoce como “término enésimo”na

es el número de términos que tiene la serie.n

Cualquiera de ellas puede ser una incógnita, por lo tanto de esta fórmula se pueden obtener otras más específicas. Observa:

11n raa n

1rlog

alogalogn 1n

1-nn

1 r

aa 1

1

n

a

ar n

Primer término Razón

Nº de términos

Término enésimo

11n raa n

Recuerda, si te cuesta aprender todas estas fórmulas, apréndete la principal.

En ella puedes reemplazar los datos conocidos, despeja tu incógnita y ¡ya!.

Observa el siguiente ejemplo:

11n raa n

Ejemplo:

¿Cuántos términos tiene la progresión geométrica 4 . 8 …. 512?

Datos

Primer término: 4

Último término:512

Razón: 8:4 = 2

La progresión tiene 8 términos.

11n raa n

124512 n

12128 n

17 22 n

817 nn

También podías aplicar logaritmo.

Ejemplo:

El 7º término de una progresión geométrica es 1/64 y la razón 1/2. Hallar el primer término.

Datos

Razón: 1/2

Último término: 1/64

Nº de términos: 7

El primer termino de la progresión es 1.

11n raa n

171 )

2

1(a

64

1

16 a)

2

1(:

64

1

11 a1a64

1:

64

1

Ejemplo:

El primer término de una progresión geométrica de 6 términos es 2 y el último 64. Hallar la razón.

Datos

Primer término: 2

Último término: 64

Nº de términos: 6

La razón de la progresión geométrica es 2.

11n raa n

16r264 5r32

r2r2 55

También podías aplicar raíz quinta.

SUMA DE LOS TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA

Del problema 2, en la introducción, obtuvimos: (estrategia)

2423:

1223:

623:

33:

3

2

jueves

miercoles

martes

lunes

452323233 32 Suma

32 2323233 Suma

432 232323232 Suma

Si esta expresión la multiplicas por la razón r = 2 se tiene:

Ahora le restamos …

32 2323233 Suma

323)12( 4 Suma

12

)12(3 4

Suma

Ocupamos …

12

)12(3 4

Suma

Analizando este proceso tenemos que:

Aquí se distinguen …

Notación:

Primer término

Razón

Número de términos de la serie

rn1aS

Luego, la fórmula aplicada para hallar la suma de los términos de la progresión geométrica fue …

1r

)1r(a1

n

S

Ejemplo:

Hallar la suma de los 6 primeros términos de la progresión geométrica 9 : - 3 : 1 ….

Datos

Primer término: 9

Nº de términos: 6

Razón: - 3 / 9 = - 1 / 3

La suma de los 6 primeros términos de la progresión geométrica es 182 / 27.

Puedes comprobarlo a mano o con calculadora.

1r

)1r(a1

n

S

131-

)1)31

((9 6

S

33-1-

)17291

(9

27

182

4

3

81

728

34-

)729728

(9

S

¿Recuerdas el problema 2 de la introducción?

Como ejercicio, calcula cuánto ganaste de lunes a sábado, en dos semanas.

Solución:

En dos semanas trabajaste 12 días, por lo tanto ganaste 12.285 pesos.

MEDIOS GEOMÉTRICOS E INTERPOLACIÓN

Ejemplo:

Interpolar 4 medios geométricos entre - 7 y - 224.

Solución:

Primeramente debemos encontrar la razón geométrica o razón.

Datos

Primer término: - 7

Último término: - 224

Nº de términos: 4+2=6

Ahora formamos la progresión …

2)(-112:2)(-56:2)(-28 :2)(-14 :2)(-7 :7-

-224:-112:-56:-28:-14:7-

Debes considerar los términos extremos también.

11n raa n

16r7224- 55 /r32

r2