prometna (transportna) mreŽa - weboteka.net prometnog inženjerstva/opi... · teorija grafova...
Post on 19-Aug-2018
227 Views
Preview:
TRANSCRIPT
PROMETNA (TRANSPORTNA) MREŽA
dr. sc Ljupko Šimunović, dipl. ing.
Fakultet prometnih znanosti, Zagreb
Zavod za gradski promet
travanj 2015.
SADRŽAJ
Osnovne definicije
Uvod u teoriju grafova
Prikazivanje mreža (graf, skupovi, matrični oblici)
Eulerov graf
Hamiltonov graf
Povezanost i dostupnost mreže
Kapacitet mreže (raspodjela prometa na mreži, optimalni
put)
UVOD
POJAM PROMETNE MREŽE
Prometna mreža je prostorno distribuiran sustav na kojemu se odvijaju
prometno - transportni procesi
Temeljna funkcija mreže je omogućiti sigurno, učinkovito, ekološki i
troškovno prihvatljivo premještanje ljudi, roba i informacija od izvorišta j
do odredišta k.
Transportni entiteti ulaze na pristupnom dijelu mreže i izlaze na
odredišnom dijelu
prometna mreža i
tokovi
i k
jki qQ
j k
transportna usluga
ulaz prometnog
entiteta u mrežu
izlaz prometnog
entiteta iz mreže i k
jki qQ
j, k: Ci Πjk
gdje je:
Q - prometni tok na mreži
qjk - izvorišno-odredišni promet
Ci- kapacitet i-tog toka mrežnog elementa
Πjk - put od izvorišta do odredišta kroz
prometnu mrežu
DIJELOVI MREŽE
Prometna (transportna) mreža predstavlja skup čvorova i
linkova na kojima se odvija prometno transportna djelatnost
Čvorovi
Čvorovi “V” se još nazivaju i vrhovi (eng. vertex, node)
Čvorovi su mrežni elementi u kojima se: koncentriraju,
propuštaju i usmjeravaju, križaju, slijevaju ili odlijevaju prometni
tokovi vozila (vlakova, zrakoplova, brodova, informacija,
podatkovnih paketa), obavlja naplata karata, skladištenje,
informiranje korisnika itd.
Čvorovi: gradovi, raskrižja, aerodromi, željeznički kolodvori,
autobusni kolodvori, pošte, robni terminali, računala
DIJELOVI MREŽE
Linkovi
Linkovi - međusobno povezuju čvorove u prometnoj mreži i
služe za fizički transport bez dodatnih usluga
Linkovi/veze “E” se nazivaju: grane, bridovi ili lukovi grafa ( eng.
edge)
Primjeri linkova/grana: ulice, ceste, plovni putovi, zračni putovi,
željezničke pruge
POOPĆENI STRUKTURNI MODEL PROMETNE MREŽE
U sustavskom opisu, mreža se predstavlja općim izrazom
tsMERMEPM
,,
gdje je: PM - prometna mreža
ME - mrežni element
R - relacije
s, t - prostorno-vremenski okvir promatranja
upravljanje mrežom
linkovi
pristuppristup
čvorišta
dodatne funkcionalnosti
Pristupni dio mreže čine mjesta s kojih prometni entiteti ulaze (terminali, garaže, parkirališta, stajanke
zrakoplova,poštanski ormarić, pretplatničke parice, radiokanali..)
Dodatne funkcionalnosti naplata karata, informacije, privremeno skladištenje roba, špediterske usluge..
Upravljanje otklanjanje incidentnih situacija,reguliranje prometa, održavanje mreže, izgradnja kapaciteta
U transportnom sustavu terminali su na pristupnim dijelovima gdje ulaze-izlaze putnici odnosno gdje se utovara-istovara roba u vozila ili kontejnere (aerodromi, luke, polazni kolodvori..)
U cjevovodnom transportu terminal je mjesto gdje se supstrat (npr. nafta) ulijeva ili izlijeva
U tk prometu terminal je telefon, faks, računalo..
Obavljaju “dodatne funkcionalnosti” (izdavanje i naplata voznih karata, informiranje, čekaonice, skladištenje robe, špedicija..)
FORMALNI OPIS PROMETNE MREŽE
PODJELA PROMETNIH MREŽA
prometne mreže
prema "mediju"
prometovanja
cestovne
prometne
mreže
željezničke
prometne
mreže
vodne
prometne
mreže
zračne
prometne
mreže
telekomunikacijske
prometne
mreže
"posebne"
prometne
mreže
Podjela
prometnih
mreža prema
"mediju"
prometovanja
PODJELA PROMETNIH MREŽA
Prema otvorenosti za korisnike, razlikujemo:
javne mreže
zatvorene (privatne) mreže
virtualne privatne mreže
Prema prostornom obuhvatu, razlikujemo: lokalne/mjesne mreže
regionalne mreže
nacionalne mreže
međunarodne mreže
globalne mreže
Prema načinu vođenja prometa i upravljanja prometnim entitetima, razlikujemo:
prometne mreže bez centraliziranog nadzora i vođenja
prometne mreže s djelomičnim nadzorom i samostalnim upravljanjem prometnih entiteta
prometne mreže s centraliziranim automatiziranim vođenjem
TK MREŽA- PODJELA
Prema ustrojstvu mreže
stalne (većina mreža)
privremene ili «ad hoc» (npr. za potrebe vojske)
Prema uporabi
javna (većina mreža; naplaćuje se! Npr. T-Mobile, VIP i sl.)
namjenska (npr. CARNet)
privatna (npr. mreža bankomata u bankama Zg. banke)
Prema području (računalne mreže)
lokalna mreža – LAN (eng. Local Area Network) mreža na malom
prostoru soba, zgrada, kampus
gradska mreža – MAN (eng. Metropolitan Area Network)
globalna mrežaširokog područja – WAN (eng. Wide Area Network)
povezuje države, kontinente
TK MREŽA - VRSTE
Prema tehnologiji:
analogne
digitalne
Prema grupi primatelja:
unicast – jedan predajnik (čvor) šalje informaciju jednom prijemniku (čvoru)
broadcast šalje se ista informacija od jednog čvora do svih ostalih korisnika (prijenos radija i televizije je primjer broadcastinga)
multicast - je metoda slanja paketa od jednog ili više čvorova (pošiljatelja) do nekoliko različitih odredišta -primatelja (npr. članovima određene grupe)
anycast - je komunikacija između jednog pošiljatelja i najbližeg od nekoliko prijemnika u skupini
Multicast rutiranje u VANET mobilnoj ad hoc mreži
V2V
VANET - vehicular networks
V2V I V2I KOMUNIKACIJA
Wi-Fi, Wireless-Fidelity je bežična mreža gdje se podaci imeđu dva ili više prijemnika
(računala) prenose pomoću radio frekvencija (RF) i odgovarajućih antena. Domet nekoliko
stotina metara i brzina do 54 Mbps
WiMAX je bežična tehnologija koja omogućava širokopojasni bežični pristup Internetu uz
upotrebu radio frekvencijskog spektra od 3,5 GHz i 26 GHz (veći domet signala od WiFi - do
50 km i veća brzina 70 Mbps)
WiMAX - bežični produžetak
internet priključka
SVOJSTVA MREŽE
Kompleksnost mreže ne može se dekomponirati na dijelove, a da se ne
izgubi dio njenih sustavskih (relacijskih) svojstava
Robusnost (fault tolerance) mreže otpornost na ispade ili prekide.
Pokazatelji:
linijske povezanosti (edge-connectivity)
čvorišne povezanosti (vertex-connectivity)
Primjeri nerobusne i robusne mreže s pokazateljima (linijska povezanost)
a) nerobusna
x
w
u
yx
vub) robusnab) robusna
AKTIVNA MJERA ZA POBOLJŠANJE ROBUSTNOSTI
TERMINI/NAZIVLJE
Termini iz engleskog jezika:
- korisnik (user);
- pretplatnik (subscriber)
- potrošač (customer)
- Isporučitelj (shipper) cilj minimiziranje troškova
- prijevoznik (carrier) cilj maksimiziranje prihoda
- pristup (access)
- mreža (network)
- prespajanje (switching)
- usmjeravanje (routing)
MATEMATIČKA ANALIZA PROMETNE MREŽE – TEORIJA GRAFOVA
Svaku mrežu možemo matematički opisati preko teorije grafova
i analitički preko matrica
Grafom se mogu opisivati realni sustavi, kao što su gradovi
povezani cestama, rafinerije i potrošači spojeni naftovodima,
plinovodi, električni sklopovi, ali i apstraktni objekti kao što su:
baze podataka, tok računalnog programa, prikaz aktivnosti u
projektu, socijalni odnosi, hijerarhija u radnoj organizaciji
Teorija grafova jedna je od grana matematike koja nalazi veliku
primjenu u prometnim znanostima, elektrotehnici, ekonomiji.
Glavni razlog za široku primjenu teorije grafova je u jasnom
geometrijskom predstavljanju mreže pomoću crteža ili grafa
PROMETNA (REALNA) MREŽA PRIKAZANA POMOĆU GRAFA
Realna mreža Predstavljena grafom
SUSJEDNI VRHOVI I GRANE
Za dva čvora u i v grafa kažemo da su susedni ako su spojeni
granom, ako postoji link e od u do v koji ih spaja.
Za grane e i f kažemo da su susjedne ako imaju zajednički
čvor, ako postoji vrh “u” u tom grafu koji je njima zajednički.
Kažemo da su čvor “v” i grana “e” incidentni ili susedni ako
grana e počinje odnosno završava se u čvoru v odnosno ako je
v jedan od čvorova u uređenom paru čvorova koji čine link e ili
ukoliko je v jedna od krajnjih točaka linka
STUPANJ ČVORA.
Broj susjednih čvorova za čvor x se naziva stupnjem čvora x.
Stupanj čvora x može se definirati i brojem grana koje se stječu u tom čvoru npr. [npr. deg (x) = 5]
Ulazni stupanj čvora u orjentiranoj mreži predstavlja broj grana koji ulaze u taj čvor
Izlazni stupanj čvora u orjentiranoj mreži definira se kao broj grana koji izlaze iz tog čvora
Pod stupnjem čvora u neorjentiranoj mreži podrazumijeva se broj grana koji povezuju čvor s ostalim čvorovima u mreži
Stupanj grafa je broj čvorova promatranog grafa
STUPANJ ČVORA
Čvor X ima peti stupanj deg (x) = 5
STUPANJ ČVORA
T: Zbroj stupnjeva u svih čvorova uvijek je paran broj i jednak je dvostrukom broju grana.
Pošto svaka grana u grafu posjeduje dvije krajnje točke, svaka grana doprinosi sa 2 sumi stupnjeva čvorova i ta suma mora biti jednaka dvostrukom broju grana. Prema tome suma stupnjeva svih čvorova mora biti paran broj.
Primjer:
Koliko grana ima graf s 10 čvorova, ako je svaki stupnja šest ?
1
2n
i
i
d e
A D
C
B
STUPANJ ČVORA
U proizvoljnom grafu bez petlji, postoji paran broj čvorova neparnog stupnja .
Ovaj stav zove se, u literaturi i Lema o rukovanju. Odnosno, u svakom društvu broj osoba koje su se rukovale neparan broj puta je paran broj. Ovde broj osoba koje su se rukovale predstavljaju čvorove grafa.
TEORIJA GRAFOVA
Jedan od najstarijih problema vezanih uz teoriju grafova upravo
je iz područja prometa, poznat pod nazivom: Zadatak o
kenigsberškim mostovima
KÖNIGSBERŠKI MOSTOVI
U 17. stoljeću postojalo je sedam mostova na rijeci Pregel u
istočnopruskom gradu Königsbergu (današnji Kalinjgrad u Rusiji)
Građani tog grada su pokušavali šetnjom prijeći put od svoje kuće,
tako da svaki od sedam mostova prijeđu točno jednom i da se vrate
kući.
Zadatak je pronaći put između obala (A i B) i otoka (C i D) tako da
se preko svakoga mosta prođe samo jednom.
C
A
B
D
KÖNIGSBERŠKI MOSTOVI
Kako to nisu uspijevali, pitali su Eulera je li to uopće moguće
Euler je gornju skicu sveo na nešto što se danas zove graf
multigraf
KÖNIGSBERŠKI MOSTOVI
Sustav mostova je prikazan pomoću grafa
Obale su označene s A i B, a otoci s C i D te predstavljaju vrhove
grafa.
Mogući putovi (mostovi) između obala i otoka prikazani su linijama, koje
spajaju parove vrhova. To su grane ili bridovi grafa
• Švicarski matematčar Leonhard Euler 1736. godine je dokazao da traženi
put ne postoji
• Euler je rezonirao ovako: ukoliko željeni put postoji, tada svaki put kad
neki vrh posjetimo pomoću jedne grane, druga grana bi morala služiti za
napuštanje tog vrha
• To znači da bi svaki vrh trebao imati paran broj grana (svakom granom se
smije proći samo jedanput)
B
CD
EULEROV (OJLEROV) GRAF
Eulerov graf je graf koji se može nacrtati ne podižući olovku s
papira.
Zatvoreni obris koji sadrži sve grane grafa G naziva se Eulerov
ciklus
T: Graf G je Eulerov graf ako je povezan i svi čvorovi su parnog
stupnja.
Eulerov put je put koja sadrži sve grane iz grafa G tačno
jedanput (ne mora biti zatvoren).
Graf koji ima Eulerov put se zove polueulerov graf.
T: Graf ima Eulerov put ako povezan i sadrži najviše 2 čvora
neparanog stupnja.
EULEROV GRAF
Primjer:
Jedan Eulerov graf i jedan koji to nije.
Prvi graf je Eulerov graf
npr. abcdbeca
svi čvorovi su parnog stupnja.
Drugi graf je samo Eulerov put ,
npr : cabcdba i
ima tačno 2 čvora neparnog stupnja.
a
c
b
d e ad
b
c
EULEROV GRAF
Primjer:
Dani su grafovi:
Prikazani graf je Eulerov put, npr : caecba ( ima točno 2 čvora
neparnog stupnja)
Drugi graf je Eulerov graf, npr : abdca (svi čvorovi su parnog
stupnja)
Treći graf nije Eulerov
a
c
b
e ad
b
c
a
c
b
e
KÖNIGSBERŠKI MOSTOVI
Problem Kenisberških mostova se ne može svesti na Eulerov oblik
jer graf ima stupnjeve čvorova 5, 3, 3, 3 pa samim time se zaključuje
da je nemoguće svaki most preći samo jedanput, a da se vratimo u
početnu tačku
Kako to ovdje nije slučaj, tražena šetnja nije moguća.
Eulerovi putevi su važni za organizaciju poslova u većim gradovima
na primjer, za raznošenje pošte, naplate računa i slično.
Poštar će najracionalnije raznijeti poštu ako svaku ulicu obiđe točno
jedanput
HAMILTONOVI GRAFOVI
Vilijem Hamilton je 1859.godine postavio problem pod nazivom
put oko svijeta
Cilj je bio obići gradove svijeta i vratiti se u polazni.
Hamilton - treba proći kroz sve čvorove grafa točno jednom (
tako da se kroz jednu granu prolazi najviše jedanput)
Hamiltonova ciklus - je zatvoren put koji sadrži sve čvorove
grafa.
Graf koji ima Hamiltonov ciklus zove se Hamiltonov graf.
Hamiltonov put u grafu G je put koji sadrži sve čvorove iz grafa
G ( ne mora biti zatvoren)
Graf koji ima Hamiltonov put se zove poluhamiltonov graf
Primjer:
Hamiltonov graf.
Hamiltonov ciklus je napr: abcdea, pa je u pitanju Hamiltonov
graf.
U definiciji Eulerovih i Hamiltonovih grafova postoji sličnost.
Međutim Eulerov graf je u potpunosti određen Eulerovim
teoremom, dok za Hamiltonove grafove to nije slučaj. Nije
riješen potreban i dovoljan uvjet Hamiltonovog grafa.
Grafovi s čvorovima stupnja 1 ne mogu biti Hamiltonov ciklus,
U H. ciklusu svaki čvor je susjedan sa dvije grane u ciklusu.
a b
c
d
e
Primjer:
Je li zadani graf Hamiltonov
Hamiltonov graf je zatvoren ciklus
Hamiltonov put (ne mora biti zatvoren) je npr: ecab, pa je u
pitanju polu Hamiltonov graf.
a b
ce
Primjer:
Je li zadani graf Hamiltonov put ili H graf?
Nema ni Hamiltonova ciklusa ni puta pa nije Hamiltonov put niti
graf.
a b
ce
d
Odrediti o kojim se grafovima radi
ab
dc
a) istovremeno Ojlerovi i Hamiltonovi
b) jesu Ojlerovi, a nisu Hamiltonovi
c) nisu Ojlerovi, a jesu Hamiltonovi
d) nisu ni Ojlerovi, ni Hamiltonovi.
PROBLEM KINESKOG POŠTARA
Poštar mora obići sve ulice u određenom dijelu grada i na kraju dana vratiti se u poštu
Koji je najkraći put kojim treba proći kroz mrežu da kroz sve grane prođe minimalno jedanput i da se vrati u čvor iz kojeg se krenulo (kineski matematičar Kwan Mei Ko)
Veza Euler-ova tura - podrazumijeva ciklus kojim se kroz svaku granu u mreži prolazi točno jedanput
Eulerov put - je put kojim se kroz svaku granu u mreži prolazi točno jedan put pri čemu se put ne završava u čvoru iz kojeg je počeo
Problem se može primijeniti na vozila za pranje ulica, čišćenje snijega, sakupljanje smeća, autobuse s učenicima
PROBLEM TRGOVAČKOG PUTNIKA
Trgovački putnik želi obići određeni broj gradova Kojim redoslijedom će krenuti tako da obiđe svaki grad samo
jedanput, da se po obilasku vrati u početni grad i da pri tome pređe najmanje moguće rastojanje
Ukupan broj ruta trgovačkog putnika (od kojih treba izabrati najkraću) je jednak
Kad želi napustiti početni čvor susreće se s dilemom u koji od (n-1) gradova se uputiti. U sljedećem koraku treba se odlučiti za preostalih (n-2) gradova
Ukupan broj ruta je jednak (n-1) x (n-2) ...3 x 2 x 1 S problemom trgovačkog putnika susrećemo se pri obavljanju
distribucije sakupljanja transportnih entiteta (brodovi, zrakoplovi, autobusi ostavljaju ili preuzimaju robu i putnike)
2
!1n
MATEMATIČKA DEFINICIJA GRAFA
Graf je uređeni par dva skupa (V, E) .
G = (V, E)
Elementi skupa V nazivaju se čvorovi
Elementi skupa E predstavljaju veze između pojedinih čvorova.
Veze se nazivaju grane, bridovi, lukovi ili linkovi grafa
V - skup čvorova (vrhova)
E – skup grana (bridova, lukova ili linkova) grafa
PRIMJERI GRAFOVA
Graf se sastoji od čvorova/vrhova (na slici označeni točkama A,
B, C itd.) i linkova/bridova koji te vrhove povezuju
PRIKAZIVANJE GRAFA
Grafove se može prikazati, osim grafički i pomoću skupova (u
skupovnom obliku)
({1, 2, 3}, {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 3)})
Grafički prikaz
Skupovni prikaz
Napomena: Obeležavanje čvorova nema značaja za strukturu grafa, tako da se često i ne obeležavaju. Izomorfni grafovi su u stvari isti grafovi, ali različito nacrtani
A B
CD
1 2
34
PRIKAZIVANJE GRAFA
Primjer:
a) Dan je skup
b) Dan je skup
c) Dan je skup
TEŽINSKI GRAF ILI MREŽA
Težinski graf ili mreža je prošireni graf na kojemu se svakoj grani
dodaje težina ili ponder.
Ponderi su realni nenegativni brojevi pridruženi svakoj grani (cij –
troškovi grane, uij – kapacitet grane, vrijeme, udaljenost..)
Također se svakom čvoru i može dodijeliti numerička karakteristika
b(i).
Kad je b(i) > 0, čvor se naziva izvornim, a kad je b(i) < 0, čvor se
naziva ciljem, a kad je b(i) = 0, čvor i je tranzitni čvor
TEŽINSKI GRAF
Težinski graf je graf u kome nas ne zanimaju samo čvorovi i
grane već i mogućnosti stizanja iz tačke A u tačku B i to na
najbolji mogući način.
Najbolji način zavisi od problema koji treba rešiti, to je najkraći
put, nekada najjeftiniji, najsigurniji, put na kome se troši
najmanje energije i sl.
Iz tih razloga svakoj grani se dodjeljuje realan broj, njegova
težina, odnosno mjera.
Ako želimo, na primjer, naći najkraći put između gradova težina
je udaljenost, ili cijena avionske karte koja spaja udaljene
gradova i sl.
Težina ne mora biti pozitivan broj, ali uobičajeno je da se takav
koristi
TEŽINSKI GRAF ILI MREŽA
Pr.2. Ako se promatranim cestama pridruže udaljenosti među
vrhovima, dobit će se mreža s ponderima; realnim brojevima i
funkcijom koja cesti pridružuje udaljenost među mjestima koja
spaja.
OSNOVNE DEFINICIJE
Ako postoji veza između vrhova vi i vj onda postoji veza i između vrhova vj i vi . Kod tih grafova bridovi se obično crtaju kao linije bez strelica pri čemu se podrazumijeva da postoji veza u oba smjera
Primjer: ako su sve ceste u nekom mjestu dvosmjerne radi se o neorijentiranom grafu
Graf G = (V, R) je neorijentirani ili neusmjeren graf ako je relacija R simetrična tj. ako vrijedi:
OSNOVNE DEFINICIJE
Graf G = (V, R) je orijentirani ili usmjeren graf ako je relacija R
asimetrična tj. ako vrijedi:
• Kod orjentiranih grafova iz činjenice da postoji veza između vrhova vi i vj
slijedi da ne postoji veza i između vrhova vj i vi . Kod tih grafova bridovi se
obično crtaju kao linije sa strelicom koja je usmjerena u smjeru u kojem je
uspostavljena veza između dva vrha
Primjer: Skup svih jednosmjernih ulica u Zagrebu primjer je orijentiranog grafa
OSNOVNE DEFINICIJE
Jednosmjerne veze se uvijek crtaju sa strelicom, dok se dvosmjerne veze mogu crtati na različite načine:
linijom bez strelica
linijom sa strelicama na obje strane
dvjema linijama sa suprotno orijentiranim strelicama
OSNOVNE DEFINICIJE
Za grafove koji nisu ni orjentirani ni neorjentirani kažemo da su mješoviti
Kod mješovitog grafa između dva vrha mogu postojati kako jednosmjerne tako i dvosmjerne veze
• Primjer: skup svih cesta u Zagrebu nije ni orjentiran ni neorijentiran graf
PLANARNI GRAFOVI
Planarni grafovi su oni grafovi koji se mogu nacrtati u ravnini, a da im se grane ne sijeku, osim u čvorovima.
On dijeli ravninu na na više konačnih zatvorenih dijelova i jednu beskonačnu.
Primjer planarnog grafa je mreža puteva ako se isključe nadvožnjaci, odnosno prometne petlje.
Ojerov teorem: Povezan planarni graf dijeli ravninu na f=e-v+2 oblasti.
Primjer:
planarani grafove
Ovi grafovi dijele ravninu na f=6-4+2=4 oblasti.
A AB B
C C
D
D
PROSTI GRAF I MULTIGRAF
Graf je jednostavan ili prost ako nema ni jednu petlju i niti
koje dvije grane ne spajaju isti par čvorova.
Ako su u grafovima dopuštene višestruke grane (dva
čvora spajaju više različitih grana), uključujući i višestruke
petlje onda govorimo o multigrafovima
Multigraf je graf kod kojega između dva čvora a i b postoji
više od jedne grane, koje polaze iz a, i završavaju u b.
B
A
C D
E
B
A
C D
E
MULTIGRAF
REGULARAN GRAF
Graf je regularan ako su svi čvorovi istog stupnja
Regularan graf (svi čvorovi su stupnja 2)
SUSJEDNI ČVOROVI I STUPANJ ČVORA
U grafu na slici čvorovi a i c su susjedni, kao i grane ab,
ad i ac.
Čvorovi a i f nisu susjedni, kao ni grane ac i bf.
Čvorovi b, c, d su stupnja 2, a čvorovi a i f stupnja 3.
PODGRAF
Podgraf nekog grafa dobiva se ako se izdvoje neki vrhovi i oni lukovi grafa koji
ih povezuju G1 = (W, R)
Podgraf grafa G = (V,B) je graf G1 = (V1,B1) takav da je
Pr. Neka graf predstavlja kartu cesta Hrvatske. Karta svih cesta u Dalmaciji je
podgraf toga grafa
G1= (W,R) ima W = {1,2,3,4}
R = {(1,2), (1,3), (2,4), (4,4)}
BBiVV 11
PARCIJALNI GRAF I PODGRAF
Parcijalni graf ima iste vrhove kao i graf, a lukovi su samo neki od lukova
zadanog grafa G2 = (V, Q)
Primjer: na karti svih cesta Hrvatske izdvoje se autoceste Hrvatske
Parcijalni podgraf dobijemo ako se izdvoje neki vrhovi i neki lukovi
G3 = (W, Q)
Primjer: na karti cesta Dalmacije izdvoje se autoceste
POVEZANOST GRAFA
Graf je povezan ako postoji put između bilo koja dva različita čvora.
Prvi od grafova sa slike je povezan, a drugi je nepovezan
F
D
G
H
I K
A
BC
OSNOVNE DEFINICIJE
Graf G = (V,R) je povezan ako postoji prosti put između bilo koja dva čvora,
odnosno ako za svaka dva vrha vi i vj postoji ili put od vrha vi do vj ili od vj do vi (ako
se ne mogu povezati, ne postoji put – nepovezan)
Strogo (jako) povezan graf je graf u kojem postoji put između čvora vi i vj i put od
čvora vj do vi (između svaka dva čvora ima više disjunktnih putova -A i B nemaju zajedničkih elemenata)
U slučaju neorjentiranih grafova termini „povezan” i „jako povezan” graf su
ekvivalentni
a) povezani graf ( multigraf) b) nepovezani graf s tri komponente
v1 v2 v3
v6
v4
v5
v7
(lR1)
(lR2)
Primjeri povezanoga i nepovezanoga grafa
OSNOVNE DEFINICIJE
Put je je niz grana grafa s osobinom da je kraj k-te grane u nizu,
početak iduće k+1 grane.
Put je niz grana koje su međusobno povezane. Počinje i
završava vrhom
Duljina puta jednaka je broju lukova/grana u putu koji određuju put-čine putanju, odnosno broj vrhova u putu umanjen za 1
PROSTI PUT
Ukoliko se pojedine grane pojavljuju u putu samo jedanput, put se naziva prostim (simple path)
Elementarni put je put put koji najviše jednom prolazi kroz svaki
vrh/čvor grafa, svi vrhovi u nizu koji opisuju put su različiti (svaki
čvor u putu pojavljuje se samo jedanput)
PETLJA
Graf oblika {a, a} se naziva petlja (grana grafa koja polazi
iz jednog čvora i završava u istom čvoru, spaja čvor sa
samim sobom).
Petlja je kružni put koji ima samo jedan luk
OSNOVNE DEFINICIJE
Lanac, u grafu bez petlje je niz lukova koji se nadovezuju jedan na drugi bez obzira na njihovu orijentaciju
Ciklus je lanac koji počinje i završava u istom čvoru
Ciklus je graf koji se dobija od puta, dodavanjem grane koja spaja krajeve puta. Ciklus: AafbcdA, AdhA
Kružni put kod usmjerenog grafa je ciklus u kome su lukovi vežu jedan na drugi s obzirom na smjer kretanja (kod neusmjerenog grafa jednak je ciklusu)
OSNOVNE DEFINICIJE
Drvo (stablo) je povezani graf sa n čvorova (n>1) i n-1 grana i ne
sadrži petlju/ciklus (ne završava u istom vrhu u kojem počinje). Stablo
je graf u kome su svaka dva čvora povezana točno jednom stazom
Između svih parova čvorova u drvetu postoje odgovarajući putovi
Ni jedan od putova u drvetu ne počinje i ne završava u istom čvoru
Stablo sa sedam čvorova i šest grana
PRESTAVLJANJE GRAFOVA
Grafovi se mogu koristiti za rješavanje mnogih praktičnih problema.
Takve probleme rjlšavamo pomoću računara.
Potrebno je na odgovarajući način predstaviti grafove.
Jedan od uobičajenih načina je pomoću:
liste susjedstva,
matrice incidencije i
matrice susjedstva.
LISTA SUSJEDSTVA
Za svaki čvor grafa G=(V,E) lista susjedstva sadrži sve čvorove koji su susedni s
njime u G,
Primjer:
Grafu sa slike odgovara sljedeća lista susjedstva
.
,l v V u v E b
a
c
d
, ,
,
,
lu
b c da
ab
a dc
a cd
Analitički prikaz prometne mreže
Vizualno predočavanje i opisivanje strukture, elemenata i svojstava prometne mreže
Matrica povezanosti (susjedstva) čvorova pokazuje postoje li između čvorova izravni linkovi, ako postoje tada element matrice ima 1, ako ne 0.
Matrica incidencije opisuje incidentnost čvorova i linkova, ako link izlazi iz čvora vrijednost matrice je 1, ako ulazi u čvor -1, ako ne izlazi/ulazi u čvor 0.
Matrica topologije pokazuje povezanost čvorova, elementi matrice pokazuju broj linka između čvorova
B
D
C
A
Prometna mreža
ulazni
tok
pristup
1
2
4
3 5
Okruženje
l1 l2 l3 l4 l5
A 1 1 1 0 0
B 0 0 1 1 0
C 0 -1 0 1 1
D 1 0 0 0 1
0 3 2 1
3 0 4 0
0 4 0 5
1 0 5 0
Matrica
povezanosti
(susjedstva)
čvorovaMatrica incidencije
Matrica
topologije
A B C D
A 0 1 1 1
B 1 0 1 0
C 0 1 0 1
D 1 0 1 0
(Broj
linka)
MATRIČNI PRIKAZ GRAFA
Grafove možemo predstavljati i u matričnom obliku.
Matrica susjedstva (eng. adjacency matrix) A grafa sa N čvorova je kvadratna matrica reda N.
Elementi matrice A su
MATRICA INCIDENCIJE
Za slučaj neorjentiranog grafa elementi matrice incidencije
Ova matrica u svakom redu ima točno dva elementa jednaka 1,
a svi ostali elementi su 0.
Graf G Matrica incidencije Matrica susjedstva
MATRICA INCIDENCIJE
Matrica incidencije G je matrica koja ima onoliko redova
koliko graf ima čvorova i onoliko kolona koliko graf ima
grana.
Ona se definira različito za slučaj orijentiranog i
neorijentiranog grafa.
Ako je graf orijentiran tada je
Primjeri
matrica susjedstva
matrica incidencije
MATRICA TOPOLOGIJE
STUPANJ POVEZANOSTI MREŽE
Često korišten pojam “Dobro povezana mreža linija javnog gradskog prometa ili slabo povezana mreža”
Indeksi su kvantitativni pokazatelji povezanosti čvorova mreže
Korišteni parametri
v – broj čvorova
emax – maksimalni broj grana,
emax= 3(v-2)
indeks je odnos broja grana u
mreži e i maksimalnog broja grana
emax
23max
v
e
e
e
KVANTITATIVNI POKAZATELJI POVEZANOSTI ČVOROVA MREŽE
α indeks
e-broj grana u drvetu e = v-1 kad je broj grana u mreži e veći od v-1
c-broj ciklusa u mreži
cmax –maksimalni broj ciklusa u mreži
c = e -(v-1)=e-v+1
Maksimalni broj ciklusa cmax jednak je maksimalnom broju grana koje je moguće dodati minimalno povezanoj mreži
Minimalno povezana mreža sadrži emin grana. Dodavanjem cmax grana dobija se mreža koja sadrži emax grana
emin+cmax =emax
Odnosno cmax=emax – emin =3 (v-2)-(v-1) =2v-5
Kao mjera povezanosti mreže koristi se i α indeks koji se definira kao odnos broja ciklusa c i maksimalnog broja ciklusa cmax
52
1
minmax
min
max
v
ve
ee
ee
c
c
KVANTITATIVNI POKAZATELJI POVEZANOSTI ČVOROVA MREŽE
β indeks
Kao jednostavna mjera stupnja povezanosti mreže može se koristiti i β indekskoji predstavlja odnos između broja grana i broja čvorova mreže
Primjer. Izračunajte indeks y povezanosti čvorova mreže sa slikev
e
Max broj grana emax =3(v-2) =27
23max
v
e
e
e
63.027
17a
37.027
10b
Mreža ga ima 63% a mreža Gb 37% povezanost u odnosu na maksimalnu povezanost
MJERENJE DOSTUPNOSTI ČVORA
Dostupnost čvora - mogućnost da korisnici dođu u određeni čvor ili da iz njega dođu u druge čvorove
Prikazivanje dostupnosti čvora
Stupanjem čvora - u (neorijentiranoj) mreži to je broj grana koje povezuju čvor s ostalim čvorovima u mreži
Geografskom dostupnosti G(i) – ona predstavlja prosječno najkraće rastojanje između čvora “i” i svih ostalih čvorova mreže, nešto savršeniju mjeru dostupnosti čvora
dij – duljina najkraćeg puta između čvora i i čvora j
gij – geografska dostupnost
N
j
jixiD1
,)(
N
d
iG
N
j
ji
1
,
)(
Xij - grana koja povezuje čvor i s čvorom j
PRIMJER RAČUNANJA DOSTUPNOSTI ČVORA
Primjer za transportnu mrežu na slici izračunati stupnjeve čvorova i geografsku dostupnost
T.1. Matrica povezanosti T.2. stupanj čvora
stupanj čvora
T.3. Matrica duljina najkraćih rastojanja
T.4. Geografska dostupnost
Sume najkraćih rastojanja između
pojedinih čvorova i svih ostalih čvorova
Prema T.2 čvorovi A i E imaju jednake stupnjeve čvora.
Prema T.4. ova dva čvora imaju različitu geografsku
dostupnost. Zaključak čvor A ima bolju dostupnost od
čvora E
RAČUNANJE GUSTOĆE MREŽE
Pod gustoćom prometne mreže ρ podrazumijeva se odnos
ukupne duljine grana mreže L i ukupne površine prostora S na
kome je mreža postavljena
Ukazuje na razinu razvijenosti prometne infrastrukture
2km
km
S
L
Gustoća prometne mreže
TOKOVI NA MREŽI
Ukupan tok “f” kroz mrežu jednak je zbroju tokova koji izlaze iz
izvora, odnosno zbroju tokova koji ulaze u cilj
Ukupan tok od izvora ka cilju moguće je usmjeriti/razliti duž
različitih putova u mreži
Vrijednost maksimalnog toka kroz mrežu koja ima jedan izvor i
jedan cilj jednaka je najmanjoj vrijednosti kapaciteta svih
mogućih rezova/presjeka mreže
Presjek/rez mreže predstavlja skup grana čijim uklanjanjem bi
se određeni skup čvorova u potpunosti razdvojio od ostalih
čvorova mreže
Ovaj rezultat je poznat pod nazivom teorem o maksimalnom
toku i minimalnom rezu
ji
tjxisxf ,,
Propusna moć mrežne može se odrediti prema pravilu "minimalnog
reza – maksimalnog toka"
Pravilo minimalnog reza – maksimalnog toka kaže da je propusnost između
izvorišne (j) i odredišne ( k ) točke neke mreže jednak kapacitetu minimalnog
reza:
minimalni rez znači kombinaciju mrežnih elemenata čijim bi se uklanjanjem
uzrokovao prekid veze između j i k, a da zbroj kapaciteta bude minimalan.
j
C1 = 1000 C4 = 2000
C2 = 2000 C5 = 1000
C3 = 500
Cjk
ul = 2500jizl = 2500
[PE/ jed . vrem.]
PROPUSNOST MREŽNE STRUKTURE KOJU ČINI VIŠE SERIJSKIH I PARALELNO POVEZANIH MREŽNIH ELEMENATA
PROPUSNOST MREŽNE STRUKTURE KOJU ČINI VIŠE SERIJSKIH I PARALELNO POVEZANIH MREŽNIH ELEMENATA
a za prikazani primjer je:
5443253121
CC ,CCC ,CCC ,CC minjk
PR
em.][PE/jed.vr 3000 1000 2000 C C
vrem.][PE/jed. 4500 2000 500 2000 C C C
vrem.][PE/jed. 2500 1000 500 1000 C C C
vrem.][PE/jed. 3000 2000 1000 C C
54
432
531
21
- između navedenih četiriju kombinacija (načina) prekida mreže, minimalni rez nastaje
pri uklanjanju kapaciteta C1, C3 i C5.
- tražena propusnost mreže (maksimalni tok) jednaka je zbroju kapaciteta koji čine
minimalni rez, tj. iznosi 2500 [PE/jed.vrem.]
RAZDIOBA MREŽNIH TOKOVA PRI MAKSIMALNOJ PROPUSNOSTI
Za veličinu prometnog toka 0 ≤ φul ≤ 1000 cijeli tok se može usmjeriti na kraći put preko C2 i C5 ili preko C1 i C4
Za tokove 1000 ≤ φul ≤ 2000 treba koristiti oba puta, dok za veličinu toka 2000 ≤ φul ≤ 2500 treba koristiti i kapacitet C3 za preraspodjelu tokova
RAZINA USLUŽNOSTI-LOS
86
Level of Service
Kvaliteta prometnih uvjeta na cesti iz vozačke perspektive
Koristi se za određivanje broja prometnih trakova na cesti
Oznake od A do F
LOS je veći na ravnom nego na brdovitom terenu
Podizanje Los-a:
povećanjem broja trakova
proširenjem broja trakova
udaljavanjem bočnih opstrukcija
87
LOS A
Uvjeti slobodnog toka
Vozila nisu ometana
drugima u prometnim
toku
Mogućnost slobodnog
manevriranja
88
LOS B
Tok razumno slobodan
Manevriranje malo
ograničeno
Fizička i psihička razina
vozačeva komfora visoka
89
LOS C
Protoka na granici forsiranog
Sloboda manevra osjetno je
ograničena
Teže mijenjanje prometnih
trakova
Mogućnost formiranja repova
90
LOS D
Brzine se počinju smanjivati s
povećanjem protoka
Sloboda manevriranja
značajno smanjena
Vozači doživljavaju fizičku i
psihološku nelagodu
Čak i sitni incidenti mogu
dovesti do čekanja
91
LOS E
Dostignut kapacitet
Zgusnut prometni tok
Poremećaji, kao što su promjene
voznih traka mogu uzrokovati šok
val koji se širi uzvodno
92
LOS F
Forsirani ili prisilni tok
Događa se kada:
prometna nezgoda uzrokuje privremeno smanjenje kapaciteta
na mjestima ponavljajućih zagušenja, kao što je spajanje ili rqazdvajanje segmenata ceste
protok (potražnja) premašuje kapacitet
Levels of Service (LOS)
A Free Flow
Freedom of Choice
B Stable Flow (I)
Choice slightly affected
by others
C Stable Flow (II)
Choice significantly
affected by others
D High Density Flow
Freedom to maneuver
severely restricted
E At or Near Capacity
Unstable operations
(small changes = large
effects)
F Breakdown Flow
traffic approaching
exceeds traffic exiting
From: Route 228 Improvement Project – Pennsylvania DOT
Lj. Šimunović
travanj 2014.
HVALA NA POZORNOSTI
top related