pružnost a plasticita, 2.ročník bakalářského...

Katedra stavební mechanikyFakulta stavební, VŠB - Technická univerzita Ostrava

Pružnost a plasticita, 2.ročník bakalářského studia

Téma 8Přetvoření nosníkůnamáhaných ohybem I.

• Základní vztahy a předpoklady řešení

• Metoda přímé integrace diferenciální rovnice ohybové čáry• Clebschova metoda

• Přetvoření nosníků od nerovnoměrného oteplení

2 / 35

Přetvoření konzoly

Průhyb

0,00

0,00

0,00

0,01

0,02

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

0,08

0,0

0,2

0,00

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

1,20

1,40

1,60

1,80

2,00

Délka nosníku

Průh

yb

a

F

l

b

Přetvoření (deformace) - geometrické změny rozměrů a tvaru těles

Přetvoření nosných konstrukcí namáhaných ohybem

3 / 35

Přetvoření prostého nosníku

Průhyb

0,00

0

0,04

8

0,09

2

0,12

5

0,14

7

0,15

4

0,14

7

0,12

5

0,09

2 0,04

8 0,00

0

0,0

0,3

0,00

0,60

1,20

1,80

2,40

3,00

3,60

4,20

4,80

5,40

6,00

Délka nosníku

Průh

yb

ba

l

q = konst.

Přetvoření nosných konstrukcí namáhaných ohybem

4 / 35

Základní typy namáhání – prostý ohyb

Princip ohybové zkoušky

Základní vztahy a předpoklady řešení

5 / 35

Základní typy namáhání – prostý ohyb

Ohybová zkouška

Základní vztahy a předpoklady řešení

6 / 35

Přetvoření betonového průvlaku

Nerespektování přetvoření betonového průvlaku, foto: Prof. Ing. Radim Čajka, CSc.

Přetvoření nosných konstrukcí namáhaných ohybem

7 / 35

Havárie přetížení sněhem, Divišov

Nadměrné přetvoření střechy vlivem extrémního zatížení sněhem, foto: Prof. Ing. Radim Čajka, CSc.

Přetvoření nosných konstrukcí namáhaných ohybem

8 / 35

Havárie přetížení sněhem, Divišov

Přetvoření nosných konstrukcí namáhaných ohybem

Nadměrné přetvoření střechy vlivem extrémního zatížení sněhem, foto: Prof. Ing. Radim Čajka, CSc.

9 / 35

Přetvoření konzoly jeřábové dráhy

Porušení štítové stěny vlivem nerespektovánípřetvoření konzoly jeřábové dráhy, hala Baška

Přetvoření nosných konstrukcí namáhaných ohybem

10 / 35

Přetvoření konzoly jeřábové dráhy

Porušení štítové stěny vlivem nerespektovánípřetvoření konzoly jeřábové dráhy, hala Baška

Přetvoření nosných konstrukcí namáhaných ohybem

11 / 35

Základní typy namáhání – prostý ohyb

Zkouška betonových trámů, ČVUT, Praha

Základní vztahy a předpoklady řešení

12 / 35

Základní typy namáhání – prostý ohyb

Zkouška betonových trámů, ČVUT, Praha

Základní vztahy a předpoklady řešení

13 / 35

Základní typy namáhání – prostý ohyb

Zkouška betonových trámů, ČVUT, Praha

Základní vztahy a předpoklady řešení

14 / 35

Základní typy namáhání – prostý ohyb

Zkouška betonových trámů, ČVUT, Praha

Základní vztahy a předpoklady řešení

15 / 35

Přetvoření nosníků namáhaných ohybem

Základní vztahy a předpoklady řešení

Nutno zjišťovat z důvodů:• posudek dle mezního stavu použitelnosti• výpočet staticky neurčitých konstrukcí

Ohybová čáraJe-li nosník dostatečně štíhlý, určuje deformační stav křivka, do níž přejde původně přímá osa nosníku vlivem zatížení.

ba

r

x

l

zq

yϕ

x

wz,

tečna

( )xw

w ... průhyb (kladný směr dolů)r ... poloměr křivosti

yϕ ... pootočení

16 / 35

Ohybová čára

Základní vztahy a předpoklady řešení

ba

r

x

l

zq

yϕ

x

wz,

tečna

( )xw

yϕ [rad] ... směry -+

teorie malých deformací: lw << wxw

yy ′==≈ddtanϕϕ

vztah pro křivost z matematiky: ( )23

21

1

w

wr ′+

′′−=

r ... poloměr křivosti v rovině xzznaménko mínus znamená, že střed křivosti leží nad nosníkem

17 / 35

Poměrné přetvoření za ohybu

xz

xd

A BC E

zA BC ED

ϕd

xdΔxdx′d

r

... poloměr křivostirrz

rz

xx

x ==Δ

=ϕϕε

d.d.

dd

ErzExx .. == εσ

Ex

xσε = →

Dle Hookova zákona

Základní vztahy a předpoklady řešení

Téma č.6

Z toho plyne

y

y

IEM

r .1=→( ) AzM

Axy d.∫= σ

18 / 35

Vztahy mezi statickými a přetvárnými veličinami

Základní vztahy a předpoklady řešení

( )23

21

1

w

wr ′+

′′−=

y

y

IEM

r .1=

Teorie malých deformací: 1<<′w 02 ≅′w→

wr

′′−=1

→y

y

IEM

w.

−=′′ → wIEM yy ′′−= .. Diferenciálnírovnice II.řádu

ba

zq

yϕtečna

( )xw

Diferenciální podmínky rovnováhy přímého nosníku

Ohyb ve svislé rovině xz : zz q

xV

−=d

dz

y Vx

M=

dd

Při ... konst.yIE. →(Schwedlerovy vztahy – Téma č.1)

→

wIEM yy ′′−= ..

wIEV yz ′′′−= ..

IV.. wIEq yz =

wy ′=ϕ

( ) ?=xw

19 / 35

Deformace od změny teploty

dy

dx

( )CT oΔ

dx’

dy’

TTTzTyTx Δ=== .,,, αεεε 0=== zxyzxy γγγ

αt … součinitel tepelné roztažnosti [oC-1]

αt =5.10-6 oC-1Zdivoαt =10.10-6 oC-1Betonαt =3.10-6 oC-1Dřevoαt =12.10-6 oC-1Ocel

Přetvoření nosníků od nerovnoměrného oteplení

Téma č.2

20 / 35

Nerovnoměrné oteplení

Přetvoření nosníků od nerovnoměrného oteplení

x

2h

xd

A B

C E

A B

C ED

ϕd

xd

r

2h

ϕd

2T

1T

TΔ21 TTT −=Δ

sT

2TΔ

−

2TΔ 2

21 TTTs+

=

2h

2.d. TxDE TΔ

=α

rx

ASAB dd ==ϕ

2

2.d.d h

Tx

DBDE T

Δ==α

ϕ

... přírůstek spodních vláken

hT

rw T Δ−=−=′′

.1 αhxT

rx T d..d Δ=α

21 / 35

Přímá integrace diferenciální rovnice ohybové čáry

Metoda přímé integrace diferenciální rovnice ohybové čáry

Staticky určité případy ohýbaných nosníků

yy MwIE −=′′..

1d... CxMwIE yy +−=′ ∫

[ ] 21.d.d... CxCxxMwIE yy ++−= ∫ ∫ 21,CC ... integrační konstanty

Integrační konstanty se určí z deformačních okrajových podmínek

ba a b

0=w 0=w 0,0 =′= ww

0=′w

osa

sym

etrie

22 / 35

Příklad 1

Metoda přímé integrace diferenciální rovnice ohybové čáry

ba

aM

azRbzR

Reakce:

( )↓=l

MR aaz ( )↑=

lMR a

bz

Vnitřní síly:

( ) konst.=−= azLx RV

( ) aa

aazLx Mx

lMMxRM +−=+−= ..

V -

V +

aM

azR−

Řešení:

( ) aa

xy Mxl

MMwIE −=−=′′ ...

xx

l

Zadání: určete rovnici ohybové čáry

2x integrace

23 / 35

Příklad 1 – určení integračních konstant C1 a C2

Metoda přímé integrace diferenciální rovnice ohybové čáry

( ) aa

y Mxl

MxMwIE −=−=′′ ...

1

2

.2

... CxMxl

MwIE aa

y +−=′

21

23

.2

.6

... CxCxMxl

MwIE aa

y ++−=

Okrajové deformační podmínky

( ) 00 ==xw

( ) 0==lxw

00.20.

60... 21

23

=++−= CCMl

MwIE aa

y 02 =C

00.2

.6

... 1

23

=++−= lClMll

MwIE aa

y

3.

1lMC a=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=+−=

61

21..

2.

6.

1 lMlMlMC aaa

→

Integrace

2 neznámé integrační konstanty lze určitz deformačních okrajových podmínek:

→

ba

aM

azRbzR

xx

l

→

24 / 35

Příklad 1 – výsledné rovnice ohybové čáry a pootočení

Metoda přímé integrace diferenciální rovnice ohybové čáry

Výsledné rovnice (po dosazení):

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+−=

3.

26.

..

3.

2.

6..

.1 2323 xlx

lx

IEMxlMxMx

lM

IEw

y

aaa

a

yx

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+−=′

32.

.3..

2..

.1 22 lx

lx

IEMlMxMx

lM

IEw

y

aaa

a

yx

lx ,0∈

Ohybová čára

Pootočení – sklon tečny ohybové čáry

Platí pro:

Závěry:

• Vzrůstající řád polynomůjednotlivých veličin

• Největší průhyb v místě kde jenulová první derivace, tj.pootočení (stejně jakonejvětší M tam, kde V=0)

Inte

grac

eM

Der

ivac

e

1º q=konst.q=0

2º

3º

1º

2º

0º

1º

Polynomstupně

n

n+1

n+2

V

q

4º 3º 2º

5º 4º 3º

ϕ

w

n+3

n+4

25 / 35

Příklad 1 s konkrétními vstupními údaji

Metoda přímé integrace diferenciální rovnice ohybové čáry

ba

aM

azRbzR

xx

l

Rovnice ohybové čáry

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−=

3.

26.

.

23 xlxl

xIE

Mwy

ax

0,00

0

0,01

8

0,03

0

0,03

7

0,03

9

0,03

9

0,03

5 0,02

8 0,02

0 0,01

0 0,00

0

0,00

0,60

1,20

1,80

2,40

3,00

3,60

4,20

4,80

5,40

6,00

Délka nosníku

Průh

yb

Zadání:

m6=l kNm15=aMMPa210000=E

cm5=b

cm10=h

(ocel)

lx ,0∈Graf pro:

Průhyb:

26 / 35

Příklad 1 s konkrétními vstupními údaji

Metoda přímé integrace diferenciální rovnice ohybové čáry

ba

aM

azRbzR

xx

l

Rovnice pro pootočení

Zadání:

m6=l kNm15=aMMPa210000=E

cm5=b

cm10=h

(ocel)

lx ,0∈Graf pro:

Pootočení:

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−=′

32.

.

2 lxl

xIE

Mwy

ax

0,03

4

0,02

5

0,01

6

0,00

8

0,00

1

-0,0

04

-0,0

09

-0,0

15

-0,0

17

-0,0

17

-0,0

13

0,00

0,60

1,20

1,80

2,40

3,00

3,60

4,20

4,80

5,40

6,00

Délka nosníku

Poot

očen

í

Maximální průhyb

27 / 35

Příklad 1 s konkrétními vstupními údaji

Metoda přímé integrace diferenciální rovnice ohybové čáry

ba

aM

azRbzR

xx

l

Určení maximálního průhybu:

0=′w

032

..

2

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−

lxl

xIE

M

y

a → 03

.21 2 =+−

lxxl

.1

.2

llx .57735,1.3311 =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

llx .422649,0.3312 =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

Nereálný kořen (mimo nosník)

( )

y

a

y

a

y

ax

IElM

IElM

xlxl

xIE

Mww

...06415,0

...

273

3.

26.

.22

222

32

max 2

≅=

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−==

Po dosazení do rovnice ohybové čáry:

( ) mm59,392max == xww

Kvadratickárovnice (2 kořeny)

Maximální průhyb:

28 / 35

Clebschova metoda určování rovnice ohybové čáry

Clebschova metoda

Rudolf FriedrichAlfred Clebsch

(1833 – 1872)

ba

1

l

x

wz,

2 j 1+j n...

1aja

M F 1q 2q

Při složitějších případech zatížení (nespojitém) nebo při podepřenínosníku mimo jeho konce nelze průběh M vyjádřit jediným výrazem.

Metoda pro určení rovnice ohybové čáry staticky určitých případů ohýbaných nosníkůse složitějším zatížením.

29 / 35

Podstata Clebschova způsobu integrace

Clebschova metoda

ba

1

l

x

wz,

2 j 1+j n...

1aja

M F 1q 2q

• Integrace provádí zvlášť v jednotlivých intervalech

• Počet intervalů: n → počet integračních konstant: n2 ( )njCC jj ..1, 21 =

2 v místě podepření, 2.(n-1) na hranicích intervalů• Okrajové podmínky:

( ) ( )jj ajaj ww 1+=n2 → ( ) ( )jj ajaj ww 1+′=′( ) 00 ==xw ( ) 0==lxw

Celkem tedy:

Analýza:

(podmínky spojitosti)Náročné úlohy, s využitím výpočetní techniky

30 / 35

Zásady při řešení dle Clebschovy metody

Clebschova metoda

ba

l

x

wz,

1a

3a

2F 1q1F

2a

4a

azR

Clebschova metoda výhodná pro ruční výpočet → pouze 2 neznámé

Zásady při řešení dle Clebschovy metody:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

.2

....2

42

32211

axqaxqaxFaxFxRM azx−

+−

−−−−−=1ax > 2ax >

3ax > 4ax >

a) při sestavování M(x) nutno převzít M z předchozího intervalu a doplnit o účinek nového zatížení. Pak lze M(x) vyjádřit jedním aritmetickým výrazem.

využití fiktivního zatížení v posledním členu výrazu

31 / 35

Zásady při řešení dle Clebschovy metody

Clebschova metoda

( ) ( ) ( ) ( )1

34

33

22

2

21

1

2

3.2.

3.2.

2.

2.

2.. CaxqaxqaxFaxFxRwEI azy +

−−

−+

−+

−+−=′

1ax > 2ax > 3ax > 4ax >

b) při integrování neodstraňovat závorky u dvojčlenů (x-aj) a považovat je za samostatnou proměnnou – Clebschův způsob integrace.

( ) ( ) ( ) ( )21

44

43

32

2

31

1

3

.4.6

.4.6

.3.2

.3.2

.3.2

.. CxCaxqaxqaxFaxFxRwEI azy ++−

−−

+−

+−

+−=

1ax > 2ax > 3ax > 4ax >

ba

l

x

wz,

1a

3a

2F 1q1F

2a

4a

azR

32 / 35

Příklad 2

Clebschova metoda

a b

F q

2l

2l

c

x.konst=yEJ

( ) xFM Lx .−=

( ) 22

..

2

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−−=

lxqxFM L

x

2lx <

2lx >

( ) 22

..

2

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−−=

lxqxFM L

x

2lx >

Ohybový moment:

Clebschův způsob integrace:

1

3

2

62

.

2.. C

lxqxFwEI y +

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+=′

2lx >

21

4

3

.24

2.

6.. CxC

lxqxFwEI y ++

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+=

2lx >

( )xMwIE y −=′′..

→

Zadání:

Lze vyjádřit 1 výrazem:

Důležitá volba!

Pouze 2 neznámé

33 / 35

Příklad 2 – určení integračních konstant C1 a C2

Clebschova metoda

ab

F q

2l

2l

c

Z okrajových podmínek:

( ) 0=′ =lxw

( ) 0==lxw

06

2.

2. 1

3

2

=+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+ C

llqlF

1

3

2

62

.

2.. C

lxqxFwEIy +

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+=′

2lx > → → 48

.2. 32

1lqlFC −−=→

21

4

3

.24

2.

6.. CxC

lxqxFwEI y ++

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+=

2lx > → 0.

242

.

6. 21

4

3

=++⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+ ClC

llqlF →

48.

384.

2.

6.

4433

2lqlqlFlFC +−+−=→ →

384..7

3. 43

2lqlFC +=

34 / 35

Příklad 2 – výsledky

Clebschova metoda

ab

F q

2l

2l

c

Výsledné tvary rovnic:

48.

2.

62

.

2..

32

3

2 lqlFlxq

xFwEIy −−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+=′

2lx >

384..7

3.

48..

2..

242

.

6..

4332

4

3 lqlFxlqxlFlxq

xFwEI y ++−−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+=

2lx >

Maximální průhyb:

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+== = 384

..73..1 43

0maxlqlF

EIww

yx

-0,0

81

-0,0

80

-0,0

78

-0,0

74

-0,0

69

-0,0

62

-0,0

53 -0,0

31 -0,0

17 0,00

0

-0,0

43

0,00

0,30

0,60

0,90

1,20

1,50

1,80

2,10

2,40

2,70

3,00

0,16

4 0,14

0 0,11

6 0,09

4 0,07

2 0,05

3

0,03

5

0,02

1

0,01

0

0,00

3

0,00

0

0,00

0,30

0,60

0,90

1,20

1,50

1,80

2,10

2,40

2,70

3,00

Ohybová čára

Pootočení

35 / 35

Okruhy problémů k ústní části zkoušky

1. Schwedlerovy vztahy, diferenciální rovnice ohybové čáry

2. Nerovnoměrné oteplení nosníků3. Metoda přímé integrace diferenciální rovnice

ohybové čáry staticky určitých nosníků4. Clebschova metoda určování rovnice ohybové

čáry staticky určitých nosníků

Podklady ke zkoušce