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Quotients
Nombres rationnels
Journées coordonnateurs Collège
Janvier / février 2012
De l’école au collège
Journées coordonnateurs Collège
Janvier / février 2012
Au cycle 3
• On parle de « fraction ».
• La fraction est introduite en référence au partage
de l’unité. (grandeur – mesure)
• Le quotient est vu comme 7 fois un tiers
7
3
De l’école au collège
Journées coordonnateurs Collège
Janvier / février 2012
En sixième : notion de nombre rationnel.
Le quotient est vu comme :
• le tiers de 7
• Le nombre qui multiplié par 3 donne 7 ;
• Un nombre dont une valeur approchée est
2,33.
7
3
Fraction : 7 fois un tiers
Quotient : le tiers de 7
L’équivalence c’est 7 fois un tiers et
c’est le tiers de 7 ne va pas de soi.
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Janvier / février 2012
7
3
0 1 2 7
3
0 1 2
3
4 7
6
5 7
3
7
37
3
7
3
Journées coordonnateurs Collège
Janvier / février 2012
7
3
7
3
L’équivalence c’est 7 fois un tiers et
c’est le tiers de 7 ne va pas de soi.
7
37
3
guide âne
En 6ème, utiliser le langage ordinaire :
On part de : « c’est 7 fois un tiers » (cycle 3).
« 3 fois 7 tiers, c’est 21 tiers, c’est 7 fois trois tiers,
donc 7 fois 1, donc 7 ».
« Donc 7 tiers est le nombre qui multiplié par 3
donne 7 », « est le tiers de 7 » ou encore le
quotient de 7 par 3
Journées coordonnateurs Collège
Janvier / février 2012
7
3
7
3
L’équivalence c’est 7 fois un tiers et
c’est le tiers de 7 ne va pas de soi.
7
37
3
Journées coordonnateurs Collège
Janvier / février 2012
L’équivalence c’est 7 fois un tiers et
c’est le tiers de 7 ne va pas de soi.
7
37
3
Et le langage symbolique :
Or,
donc est le nombre qui multiplié par 3 donne 7:
c’est le quotient de 7 par 3
7 1 1 213 3 7 21
3 3 3 3
21 1 37 3 7 7 1 7
3 3 3
7
3
Les nombres rationnels amènent les élèves à
envisager […] qu’un nombre peut être représenté
de diverses manières.
Un travail approfondi doit être réalisé au collège
(notamment en sixième et en cinquième).
(document ressource les nombres au collège)
Du point de vue des désignation
Journées coordonnateurs Collège
Janvier / février 2012
est le nombre qui multiplié par 3 donne 7.
C'est-à-dire
Ainsi : ,
ce qui signifie que est le nombre qui multiplié
par donne . Or, et
Donc est le nombre qui multiplié par 6 donne 14.
Journées coordonnateurs Collège
Janvier / février 2012
7
37
3 73
72 3 2 7
3
7
3
7
3
2 3 2 3 6 2 7 2 7 14
7 14
3 6Justification de :
généralisation du “nombre de fois”
Quotient et proportionnalité
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4 kg 12 kg
5
3 fois
3
3
généralisation du “nombre de fois”
Quotient et proportionnalité
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Janvier / février 2012
100 cL 37,5 cL
10,67
10 L 12 L
7,23
1,2 « fois »
121,2 ou
10
121,2 ou
10
0,375 « fois »
37,50,375 ou ou 37,5%
100
37,50,375 ou ou 37,5%
100
généralisation du “nombre de fois”
Quotient et proportionnalité
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7 kg 12 kg
15,57
12
7
12
7
« fois » 12
7
Mesure de la grandeur 1 :
(unité …) a b
Mesure correspondante de la
grandeur 2: (unité …) a’
Quotient et proportionnalité
Journées coordonnateurs Collège
Janvier / février 2012
le quotient utilisé comme opérateur scalaire
b
a
b
a
Mesure de la grandeur 1 :
(unité u) a b
Mesure correspondante de la
grandeur 2: (unité v) a’
Quotient et proportionnalité
Journées coordonnateurs Collège
Janvier / février 2012
Dans l'univers des grandeurs, on s'aperçoit que le quotient
n'est en général pas un scalaire
le quotient utilisé comme coefficient de proportionnalité :
'a
a
'a
a
Dans les problèmes mettant en jeu la proportionnalité,
l'emploi du coefficient de proportionnalité est
conceptuellement plus difficile que l'emploi des techniques
Il convient d'éviter le cas de grandeurs proportionnelles dont
les dimensions sont telles que la grandeur - quotient soit d'un
type inconnu (vitesse, masse volumique, ). scalaires.
Quotient et proportionnalité
Journées coordonnateurs Collège
Janvier / février 2012
Le mot « pourcentage » est ambiguë dans le langage
courant.
Par exemple :
« Le pourcentage de filles est 25 % dans le lycée » ;
« Le pourcentage de filles a augmenté de 25 % » ;
Quotient - pourcentage
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Janvier / février 2012
La relation entre « pourcentage » et
« quotient » n’est pas naturelle pour les
élèves.
Quotient - pourcentage
Journées coordonnateurs Collège
Janvier / février 2012
Le pourcentage est une façon d'écrire les nombres décimaux
En calcul automatisé les élèves de sixième doivent
connaître les écritures, décimale et fractionnaire, des
pourcentages suivants :
5 %, 10 %, 50 %, 25 %, 75 %.
Quotient – proportion - pourcentage
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1 250,25 25%
4 100
Il est nécessaire d’éclaircir les expressions pour les élèves,
en leur faisant reformuler en terme de proportion ou de taux
d’évolution les énoncé qui utilisent le mot « pourcentage ».
Par exemple :
« Le pourcentage de filles est 25 % dans le lycée »
Pourrait ainsi être formulé
« Le proportion de filles dans le lycée est 25 %»
Quotient - pourcentage
Journées coordonnateurs Collège
Janvier / février 2012
Appliquer un taux de pourcentage c’est prendre une
fraction d’une quantité.
En calcul réfléchi les élèves de sixième doivent savoir
- prendre une fraction simple d’une quantité, comme par
exemple de 125 g, de 15 L
- appliquer un taux de pourcentage sur des nombres simples
comme par exemple 12 % de 350 ou 25 % de 120.
Quotient – proportion - pourcentage
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2
5
5
3
Et les équations ?
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