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R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 1
L 24bAnalisi a molti obiettivi-esempi
Rodolfo Soncini Sessa
MODSSCopyright 2004 © Rodolfo Soncini Sessa.
R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 2
Esempio di problema a molti obiettivi
spazio delle alternative spazio degli obiettivi
min z1
( )2,z1 + z2
⎡⎣⎢
⎤⎦⎥
2z1 + z2 <16
z1 z2 +1( ) >10
J2
J1
1. Determinazione dell’insieme Z (alternative ammissibili) nello spazio delle alternative.
3. Mappatura delle soluzioni efficienti nel piano degli obiettivi: si ottiene così la frontiera di Pareto.
2. Determinazione delle soluzioni efficienti.
z2
z1
1. Determinazione dell’insieme Z nello spazio delle alternative.
Procedura di soluzione
R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 3
Determinazione dell’insieme Z
z2
z1
spazio delle alternative
Trasformo il vincolo in vincolo di uguaglianza.
min z1
( )2,z1 + z2
⎡⎣⎢
⎤⎦⎥
2z1 + z2 <16
z1 z2 +1( ) >10 1 2 1 10z z
Il vincolo è soddisfatto in quest’insieme.
1 2 1 10z z
R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 4
Determinazione dell’insieme Z
z2
z1
spazio delle alternative
min z1
( )2,z1 + z2
⎡⎣⎢
⎤⎦⎥
1 22 16z z
1 2 1 10z z
1 22 16z z
L’insieme Z delle alternative ammissibili è l’intersezione degli insiemi in cui i singoli
vincoli sono soddisfatti.
R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 5
Determinazione dell’insieme Z
z2
z1
spazio delle decisioni
Determinato l’insieme Z, bisogna individuare le alternative
efficienti.
min z1
( )2,z1 + z2
⎡⎣⎢
⎤⎦⎥
2z1 + z2 <16
z1 z2 +1( ) >10
R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 6
Problema a molti obiettivi
spazio delle alternative spazio degli obiettivi
J2
J1
1. Determinazione dell’insieme Z nello spazio delle decisioni.
3. Mappatura delle alternative efficienti nel piano degli obiettivi: si ottiene la frontiera di Pareto.
2. Determinazione delle alternative efficienti.
z2
z1
2. Determinazione delle alternative efficienti.
3. Mappatura delle alternative efficienti nel piano degli obiettivi: si ottiene la frontiera di Pareto.
min z1
( )2,z1 + z2
⎡⎣⎢
⎤⎦⎥
2z1 + z2 <16
z1 z2 +1( ) >10
R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 7
Metodi per l’individuazione della frontiera
Metodo dei pesi
R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 8
Metodo dei pesiesempio
min z1
( )2,z1 + z2
⎡⎣⎢
⎤⎦⎥
2z1 + z2 <16
z1 z2 1 >10
min λ1 z1( )
2+λ2 z1 + z2( )
⎡⎣⎢
⎤⎦⎥
2z1 + z2 <16
z1 z2 1 >10
R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 9
Metodo dei pesi
z2
z1
21 1 20.2 0.8( )z z z k
Con λ1 = 0.2 λ2 = 0.8la funzione obiettivo è
spazio delle alternative
Con l’introduzione dei pesi λi, il problema a molti obiettivi si riduce a un problema a un solo
obiettivo.
La soluzione è il punto di tangenza tra la frontiera dell’insieme delle alternative ammissibili e la funzione obiettivo.
min λ1 z1( )
2+λ2 z1 + z2( )
⎡⎣⎢
⎤⎦⎥
2z1 + z2 <16
z1 z2 1 >10
k
R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 10
Metodo dei pesi
z2
z1
Individuato il minimo, si calcola il valore della coppia (J1,J2).
J2
J1
spazio degli obiettivi
min λ1 z1( )
2+λ2 z1 + z2( )
⎡⎣⎢
⎤⎦⎥
2z1 + z2 <16
z1 z2 1 >10
21 1 2min ,z z z
1 22 16z z
1 2 1 10z z >
Modificando i valori dei pesi λ1,λ2…
E’ una alternativa efficiente
del problema.
R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 11
Metodo dei pesi
z2
z1
Posti λ1 = 0.5 λ2 = 0.5
21 1 20.5 0.5( )z z z k
Modificando i valori dei pesiλ1, λ2 si ottengono linee di livello
differenti e quindi soluzioni differenti del problema.
k
min λ1 z1( )
2+λ2 z1 + z2( )
⎡⎣⎢
⎤⎦⎥
2z1 + z2 <16
z1 z2 1 >10
R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 12
Metodo dei pesi
z2
z1
J2
J1
Passando allo spazio degli obiettivi ..
min λ1 z1( )
2+λ2 z1 + z2( )
⎡⎣⎢
⎤⎦⎥
2z1 + z2 <16
z1 z2 1 >10
R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 13
Metodo dei pesi
z2
z1
J2
J1
min λ1 z1( )
2+λ2 z1 + z2( )
⎡⎣⎢
⎤⎦⎥
2z1 + z2 <16
z1 z2 1 >10
Al variare dei pesi λ1, λ2 si ottengono altri punti.
min z1
( )2,z1 + z2
⎡⎣⎢
⎤⎦⎥
2z1 + z2 <16
z1 z2 1 >10
I punti così determinatiindividuano la frontiera di Pareto.
Per una soluzione numerica dell’esempio, vedi : L19c-Molti_Obiettivi.xls
R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 14
Metodi per la determinazione della frontiera
Metodo dei pesi Metodo dei vincoli
R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 15
Metodo dei vincoli
min z1
( )2,z1 + z2
⎡⎣⎢
⎤⎦⎥
2z1 + z2 <16
z1 z2 1 >10
min z1 + z2⎡
⎣⎤⎦
z1( )
2≤L1
2z1 + z2 <16 z1 z2 +1( ) >10
R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 16
Metodo dei vincoli
z1( )
2=4
Posto L1 = 4
Il metodo dei vincoli prevede la trasformazione di un obiettivo in vincolo : il problema diventa a
un obiettivo e con tre vincoli.
z2
z1
Non potendo z1 essere negativo….
min z1 + z2⎡
⎣⎤⎦
z1( )
2≤L1
2z1 + z2 <16 z1 z2 +1( ) >10
z2
z1
z1( )
2≤4
L’insieme Z del nuovo problema è dato dall’intersezione delle superfici
individuate dai tre vincoli.z2
z1
Individuato l’insieme Z, bisogna risolvere il problema per trovare
le soluzioni.
R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 17
1 2z z k
Metodo dei vincoli
z2
z1
min z1 + z2⎡
⎣⎤⎦
z1( )
2≤L1
2z1 + z2 <16 z1 z2 +1( ) >10
La soluzione del problema coincide con lo spigolo inferiore
dell’insieme Z.
k
R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 18
Metodo dei vincoli
Individuato il minimo, si calcola il valore della coppia (J1,J2).
J2
J1
z2
z1
min z1 + z2⎡
⎣⎤⎦
z1( )
2≤L1
2z1 + z2 <16 z1 z2 +1( ) >10
Se si modifica il valore di L1…
R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 19
Metodo dei vincoli
Posto ad esempio L1 = 36z2
z1
min z1 + z2⎡
⎣⎤⎦
z1( )
2≤L1
2z1 + z2 <16 z1 z2 +1( ) >10
Il vincolo si sposta a destra..
z2
z1
..e si può così determinare il
nuovo insieme Z.
z2
z1
z2
z1
R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 20
Metodo dei vincoli
z2
z1
min z1 + z2⎡
⎣⎤⎦
z1( )
2≤L1
2z1 + z2 <16 z1 z2 +1( ) >10 Se si modifica il valore di
L1 si ottiene un vincolo differente e quindi una soluzione
differente del problema.
z1 z2 k
k
R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 21
Metodo dei vincoli
Passando allo spazio degli obiettivi ..
z2
z1
J2
J1
min z1 + z2⎡
⎣⎤⎦
z1( )
2≤L1
2z1 + z2 <16 z1 z2 +1( ) >10
R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 22
Metodo dei vincoli
z2
z1
J2
J1
Al variare del valore di L1
si ottengono altri punti.
min z1 + z2⎡
⎣⎤⎦
z1( )
2≤L1
2z1 + z2 <16 z1 z2 +1( ) >10
min z1( )
2,z1 + z2
⎡⎣⎢
⎤⎦⎥
2z1 + z2 <16
z1 z2 1 >10
I punti così determinatiindividuano la frontiera di Pareto.
Per una soluzione numerica dell’esempio, vedi : L19c-Molti_Obiettivi.xls
R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 23
Metodi per la determinazione della frontiera
Metodo dei pesi Metodo dei vincoli
Metodo del punto di riferimento
R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 24
J2
J1
Metodo del punto di riferimento
• Preso un punto P qualsiasi nel piano (J1,J2), definiamo una misura S:
• Le linee di livello di S sono delle spezzate con vertice lungo la retta inclinata a 45° passante per R.
• Il DM sceglie un punto R nel piano.
R
P
S =max , ⎡⎣ ⎤⎦ 2 2J R
J 1 −R1
S
S
P
S
P
1 1Jz ,R RS J 2 2Jz ,R RS J max i i
iS J z ,R J R
R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 25
Metodo del punto di riferimento
min z1
( )2,z1 + z2
⎡⎣⎢
⎤⎦⎥
2z1 z2 16
z1 z2 1 >10
minmax z1
( )2−R1, z1 + z2( )−R
2⎡⎣⎢
⎤⎦⎥
2z1 z2 16
z1 z2 1 >10
R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 26
Metodo del punto di riferimento
J2
J1
spazio degli obiettivi
1
1 R
minmax z1
( )2−R1, z1 + z2( )−R
2⎡⎣⎢
⎤⎦⎥
2z1 z2 16
z1 z2 1 >10
min max z1
( )2−1, z1 + z2( )−1
⎡⎣⎢
⎤⎦⎥
2z1 z2 16
z1 z2 1 >10
Posto R1 =1 , R2=1 il problema diventa ...
R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 27
Metodo del punto di riferimento
z2
z1
S =max z1( )
2−1, z1 + z2( )−1
⎡⎣⎢
⎤⎦⎥=k
La soluzione è il punto di tangenza tra la frontiera dell’insieme delle alternative ammissibili e le curve
di livello di S.
min max z1
( )2−1, z1 + z2( )−1
⎡⎣⎢
⎤⎦⎥
2z1 z2 16
z1 z2 1 >10
R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 28
Metodo del punto di riferimento
Individuato il minimo, si calcola la coppia (J1,J2).
z2
z1
J2
J11
1 R
min max z1
( )2−1, z1 + z2( )−1
⎡⎣⎢
⎤⎦⎥
2z1 z2 16
z1 z2 1 >10
Cambiando R…
R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 29
Metodo del punto di riferimento
J2
J1
z2
z1 5
2 R
min max z1
( )2−5, z1 + z2( )−2
⎡⎣⎢
⎤⎦⎥
2z1 z2 16
z1 z2 1 >10
Posto R1 =5 , R2=2 il problema
diventa
R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 30
Metodo del punto di riferimento
z2
z1
min max z1
( )2−5, z1 + z2( )−2
⎡⎣⎢
⎤⎦⎥
2z1 z2 16
z1 z2 1 >10
21 1 2max 5, 2S z z z k
Cambiando la posizione del punto R si ottengono curve di livello differenti e
quindi una diversa soluzionedel problema.
R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 31
Metodo del punto di riferimento
z2
z1
J2
J15
2 R
min max z1
( )2−5, z1 + z2( )−2
⎡⎣⎢
⎤⎦⎥
2z1 z2 16
z1 z2 1 >10
Passando allo spazio degli obiettivi ..
R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 32
Metodo del punto di riferimento
J2
J1
z2
z1
Al variare della posizione del punto R si ottengono altri punti.
min max z1
( )2−5, z1 + z2( )−2
⎡⎣⎢
⎤⎦⎥
2z1 z2 16
z1 z2 1 >10
min z1
( )2,z1 + z2
⎡⎣⎢
⎤⎦⎥
2z1 z2 16
z1 z2 1 >10
I punti così determinatiindividuano la frontiera di Pareto.
Per una soluzione numerica dell’esempio, vedi : L19c-Molti_Obiettivi.xls
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