raiz quadrada exata de números inteiros
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Raiz quadrada exata de números inteiros
Matéria: MatemáticaProfessora: Mariane KrullTurma: 7º anoObs: Toda matéria desta apresentação encontra-se no capítulo 1 do livro.
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Quadrados perfeitos Os números quadrados perfeitos são os resultados de números elevados ao
quadrado, mais a frente veremos que um quadrado perfeito são números que possuem raiz quadrada exata.
Veja:
Importante: Os quadrados perfeitos são infinitos.2
Potenciação Cálculo Quadrado perfeito ( Resultado)
1² 1 x 1 1
2² 2x2 4
3² 3x3 9
4² 4x4 16
5² 5x5 25
6² 6x6 36
7² 7x7 49
... ... ...
Raiz quadrada de um número
Representação: É representada pelo seguinte símbolo:
Veja alguns exemplos da representação de raiz quadrada:a) Lê-se: raiz quadrada de 1.b) Lê-se: raiz quadrada de 9.c) Lê-se: raiz quadrada de 16.
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Cálculo de uma raiz quadradaSó é possível calcular a raiz quadrada exata de um número, quando este
número for um quadrado perfeito.
(Exemplo) Calcule a raiz quadrada dos casos abaixo:
Resolução:a) = 2, pois 2² = 2 x 2= 4 , Lê-se: raiz quadrada de quatro é igual a dois.
b) = 3, pois 3² = 3 x 3= 9 Lê-se: raiz quadrada de nove é igual a três.
c) = 4, pois 4²= 4 x 4= 16 Lê-se: raiz quadrada de dezesseis é igual a quatro.
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Cálculo de uma raiz quadradaContinuação:d) = 5, pois 5² = 5 x 5= 25 Lê-se: raiz quadrada de vinte e cinco é igual a cinco.
e) = 6, pois 6²= 6 x 6= 36 Lê-se: raiz quadrada de trinta e seis é igual a seis.
f) = 7, pois 7² = 7 x 7= 49 Lê-se: raiz quadrada de quarenta e nove é igual a sete.
g) = 8, pois 8² = 8 x 8= 64 Lê-se: raiz quadrada de sessenta e quatro é igual a oito.
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Termos de uma raiz quadrada Qualquer raiz quadrada é composta de termos, estes
termos recebem nomes. Observe:
Onde:• 2 é o índice ( não aparece, mas é 2);
• 9 é o radicando;
• é o radical;
• 3 é a raiz ( o resultado);
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2
Raiz quadrada não exata
Vimos que somente os quadrados perfeitos possuem raiz quadrada exata;
Veja alguns exemplos abaixo de números que não possuem raiz quadrada exata:
a)
b) c) d)
Você conhece outros números que não possuem raiz quadrada exata? Escreva 5 exemplos.
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Outras raízes
Além da raiz quadrada existem outros tipos de raízes. Veja:
a) Raiz cúbica de um número. Veja alguns exemplos abaixo: = 1 , pois 1x1x1= 1 = 2 , pois 2x2x2= 8 = 3 , pois 3x3x3= 27 = 4 , pois 4x4x4= 64
Obs: Devemos pensar em um número que multiplicado por ele mesmo 3 vezes dê um resultado igual ao radicando.
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Outras raízes
Lembrando que os termos de uma raiz recebem nomes:
3 é o índice;
27 é o radicando;
é o radical;
3 é a raiz ( o resultado);
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Outras raízesExemplos de outros tipos de raízes:
= 5, pois 5 x 5 x 5 x 5= 625 Lê-se: raiz quarta de seiscentos e vinte cinco é igual a cinco.
= 4, pois 4 x 4 x 4 x 4= 256Lê-se: raiz quarta de duzentos e cinquenta e seis é igual a quatro.
= 2, pois 2 x 2 x 2 x 2= 32Lê-se: raiz quinta de trinta e dois é igual a dois.
Obs: existem inúmeros outros tipos de raízes.
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IMPORTANTE:O foco do nosso estudo neste momento será somente a raiz
quadrada.
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Outras raízesExemplos de outros tipos de raízes:
= 5, pois 5 x 5 x 5 x 5= 625 Lê-se: raiz quarta de seiscentos e vinte cinco é igual a cinco.
= 4, pois 4 x 4 x 4 x 4= 256Lê-se: raiz quarta de duzentos e cinquenta e seis é igual a quatro.
= 2, pois 2 x 2 x 2 x 2= 32Lê-se: raiz quinta de trinta e dois é igual a dois.
Obs: existem inúmeros outros tipos de raízes.
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Exercícios13
Calculando a raiz quadrada de um número através da fatoração
Antes de aprendermos a calcular a raiz quadrada de um número por fatoração, precisamos relembrar alguns conceitos:
1) Números primos:
Um número primo é todo número que tem somente dois divisores: o 1 e ele mesmo.
Exemplos:a) O número 2 é primo? Sim, porque só conseguimos ter divisão do 2 por 1 e por ele mesmo;
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Relembrando números primosExemplos:b) O número 3 é primo? Sim, porque só conseguimos ter divisão do 3 por 1 e por ele mesmo;
c) O número 42 é primo? Não, pois temos divisão exata do 42 por vários números: pelo 1, 2, 3, 6, 7, 14 e 42.
Existem infinitos números primos. Porém, os mais utilizados são:2 , 3, 5, 11, 13, 17, 19, 23, 29. Observe abaixo a tabela com esses principais números primos:
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Relembrando fatoração
O que é fatoração?É transformar um número qualquer em um produto de números primos.
Exemplos:a) 36 = 2 . 2 . 3 . 3b) 15 = 3 . 5c) 8 = 2 . 2 . 2
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Relembrando fatoração
Como é feita a fatoração?Veja através do exemplo abaixo como fatorar um número qualquer. Lembre-se, é importante ter em mente os números primos.
(Exemplo 1) Fatore o número 16.
16 2 Quando dá, sempre começo dividindo por 2. 8 2 4 2 2 2 1
16 = 2 . 2 . 2. 2 17
Relembrando fatoração
(Exemplo 2) Fatore o número 15.
15 3 Não deu para começar por 2, tento pelo próximo número primo, que é 3. 5 5 1
15 = 3 . 5
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Relembrando fatoração
(Exemplo 3) Fatore o número 85.
85 5 Só deu para começar por 5.17 17 1
85 = 5 . 17
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Calculando raiz quadrada exata através da fatoração
A fatoração é utilizada como ferramenta no cálculo da raiz quadrada de um número qualquer, principalmente quando não sabemos “ de cabeça” a raiz quadrada desse número.
(Exemplo 1) Calcule a .1º Passo: Fatorar 400.
400 2200 2
100 2 50 2 25 5 5 5 1 20
Calculando raiz quadrada exata através da fatoração
Por estarmos calculando uma raiz quadrada, vamos agrupar os números primos iguais utilizados na fatoração de dois em dois. Veja:
400 2200 2
100 2 50 2 25 5 5 5 1 = = 2 . 2 . 5 = 20 Resposta
Obs.: Podemos tirar de dentro da raiz todos os números que estão elevados a 2.
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2²
2²
5²
Calculando raiz quadrada exata através da fatoração
(Exemplo 2) Calcule a .
144 2 72 2
36 2 18 2 9 3 3 3 1
= = 2 . 2 . 3 = 12 Resposta
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2²
2²
3²
Calculando raiz quadrada exata através da fatoração
(Exemplo 3) Calcule a .
3969 31323 3
441 3 147 3 49 7 7 7 1
= = 3 . 3 . 7= 63 Resposta
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3²
3²
7²
EXERCÍCIOS
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Raiz quadrada exata de um número inteiro
E como calculamos a raiz quadrada exata de números positivos e negativos?
1) Raiz quadrada exata de números positivos:Calcula-se da mesma forma que aprendemos até aqui.
Exemplos:
a) = + 2b) = + 3c) = + 10
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Raiz quadrada exata de um número inteiro
2) Raiz quadrada exata de números negativos:Simplesmente não existe. Dizemos então que é impossível em Z ( conjunto dos números inteiros)Exemplos:
a) = Impossível em Z.b) = Impossível em Z.c) = Impossível em Z.
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EXERCÍCIOS
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FIM !28
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