raz matematico_6to grado
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RAZONAMIENTO MATEMÁTICO_I
Academia Cesar Vallejo Sexto Grado 2010
¡Bienvenido!
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO_I
Academia Cesar Vallejo Sexto Grado 2010
M es de...
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO_I
Academia Cesar Vallejo Sexto Grado 2010
CONTEO DE FIGURAS
Es el proceso de determinar la máxima cantidad de figuras de
determinado tipo, presentes en una figura principal dada.
Existen básicamente, dos métodos de conteo.
A) Conteo Directo: Se realiza visualmente o por simple inspección, enumerando cada una de
las figuras simples que conforman la figura principal; procediendo luego, a contar ordenadamente
y agrupando las figuras de menos o más.
B) Conteo por Inducción: Se realiza aplicando fórmula que generaliza los casos particulares,
para determinar el total de figuras; siempre y cuando sean figuras adyacentes, es decir, que
estén una a continuación de otra.
I . CONTEO DE SEGMENTOS
Segmento: Es una porción de recta que tiene dos extremos.
Ejemplos:
Conteo Directo: A cada segmento simple le ponemos una letra que lo identifique y empezamos
a contar hasta llegar al mayor segmento compuesto:
a) a sólo hay 01 segmento: “a”
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO_I
Academia Cesar Vallejo Sexto Grado 2010
b) a b 02 segmentos de una letra: a y b
01 segmentos de dos letras ab
Hay 03 segmentos en total
c) a b c 03 segmentos de una letra: a, b y c
02 segmentos de dos letras: ab y bc
01 segmento de tres letras: abc
Hay 06 segmentos en total
d) a b c d 04 segmentos de una letra: a, b, c y d
03 segmentos de dos letras: ab, bc y cd
02 segmentos de tres letras: abc y bcd
01 segmento de cuatro letras: abcd
Hay 10 segmentos en total
Conteo por inducción: Si los segmentos son adyacentes, es decir, conformar una recta
observaremos cada caso particular llegando a establecer una fórmula general. Para ello, cada
espacio o segmento simple será numerado.
1 1 segmento
1 2 1 + 2 segmentos
1 2 3 1 + 2 + 3 segmentos
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO_I
Academia Cesar Vallejo Sexto Grado 2010
1 2 3 4 1 + 2 + 3 + 4 segmentos
para 6 espacios 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 segmentos
para 15 espacios 1 + 2 + 3 + … + 15 segmentos
para “n” espacios 1 + 2 + 3 + … + n segmentos
De lo que concluimos: n n N Segmentos + ° ( 1) : 2
Donde “n” es el número de espacio o segmentos simples.
Encuentra la máxima cantidad de segmentos en las siguientes figuras.
01. 02.
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO_I
Academia Cesar Vallejo Sexto Grado 2010
03.
04.
05.
06.
07.
08.
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO_I
Academia Cesar Vallejo Sexto Grado 2010
RABAJEMOS EN CASA
01.
02.
03.
04.
05.
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO_I
Academia Cesar Vallejo Sexto Grado 2010
CONTEO DE TRIÁNGULOS
¿TRIÁNGULO? Figura geométrica que tiene tres
lados y tres ángulos
Así se cuenta: I.- Cuando la figura es sencilla (no es complicada) el proceso de contar se puede realizar mentalmente
veamos algunos ejemplos: Cuenta el total de triángulos que encuentras en la siguiente figura:
Total = 5 triángulos
II.- Cuando la figura ya no es sencilla (algo complicada) se recomienda escribir una letra o número
en cada espacio encerrado por figuras simples y luego se procede a contar en forma ordenada,
de la siguiente manera:
1. Se cuenta todas las figuras simples, o sea, las que tienen una sola letra o número.
2. Se cuentan las figuras formadas por 2 letras (o números), luego las formadas por 3 letras
y así sucesivamente hasta que al final se suman todos los resultados parciales, obteniendo
el total de figuras que se quería.
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO_I
Academia Cesar Vallejo Sexto Grado 2010
Observa este conteo de triángulos…
01. Cuenta el total de triángulos en la siguiente figura:
Resolución:
a b c
Triángulo con:
1 letra : a ; b ; c = 3
2 letras : ab ; bc = 2
3 letras : abc = 1
Total = 6 triángulos
02. ¿Cuántos triángulos puedes contar en la
siguiente figura?
Resolución:
a b c
d
Triángulo con:
1 letra : a ; b ; c ; d = 4
2 letras : bc = 1
3 letras : abc ; bcd = 2
4 letras : no hay = 0
Total = 7 triángulos
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO_I
Academia Cesar Vallejo Sexto Grado 2010
Encuentra la máxima cantidad de segmentos en las siguientes figuras.
01.
02.
03.
04.
05.
06.
07.
08.
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO_I
Academia Cesar Vallejo Sexto Grado 2010
CASOS ESPECIALES DE TRIÁNGULOS
En algunos casos particulares el conteo de triángulos se puede realizar en forma rápida, aplicando para ello, algunas fórmulas de fácil deducción:
1er Caso:
Ejemp lo 1 : Cuenta el total de triángulos en la
siguiente figura:
Resolución:
a b c
Triángulo con: 1 letra : a ; b ; c = 3 2 letras : ab ; bc = 2 3 letras : abc = 1 Total = 1 + 2 + 3 = 6 triángulos Rpta.
Ejemplo 2: Cuenta el total de triángulos en
la siguiente figura:
Resolución: Aplicando el método práctico, obtenemos:
1 2 3 4 5 6
El total de triángulos es:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21 Rpta. Método práctico: Enumeramos los espacios en la base en forma consecutiva partiendo de 1 (ver figura) Luego, el total de triángulos es:
1 + 2 + 3 = 6 Rpta.
1 2 3
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO_I
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¡ A T E N C I Ó N !
El total de triángulos que se forman cuando desde un vértice de un triángulo se trazan varias líneas hacia el lado opuesto, se obtiene aplicando la siguiente fórmula:
1 2 3 ... n
2do Caso:
Ejemplo 1: Cuenta el total de triángulos en la
siguiente figura:
Resolución:
a c e g
b d f h
Triángulos con: 1 letra : a ; c ; e ; g = 4 2 letras : ab ; cd ; ef ; gh ; ac ; ce ; eg = 7 3 letras : ace ; ceg = 2 4 letras : aceg ; acbd ; cedf ; egfh = 4 5 letras : no hay = 0 6 letras : acebdf ; cegdfh = 2 7 letras : no hay = 0 8 letras : acegbdfh = 1
Total = 20 triángulos Rpta.
Total de triángulos: n + + + + = 1 2 3 ...
n n + ( 1) 2
(fórmula)
Método práctico:
1 2 3 4
2 líneas horizontales
* Sean los espacios enumerados en la
base, o sea:
1 + 2 + 3 + 4 = = 10 4 x 5
2 * Se multiplica dicha suma por el número
de líneas horizontales u oblicuas. Dicho
resultado es el total de triángulos.
Total de triángulos = 10 . 2 = 20 Rpta.
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO_I
Academia Cesar Vallejo Sexto Grado 2010
¡ A T E N C I Ó N !
Estimado alumno, para este tipo de ejercicio puedes aplicar la siguiente fórmula:
1 2 3 ...
“h” líneas horizontales
n
Total de triángulos : n h + + + + = (1 2 3 ... ).
nn Número total de triángulos h + = ( 1) . 2 (fórmula)
01.
02.
1 2 3
....
8
03.
04.
05.
1 2 3 12 . . . .
1 2
3
. . .
.
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO_I
Academia Cesar Vallejo Sexto Grado 2010
02. ¿Cuántos cuadriláteros puedes contar en
la siguiente figura?
Resolución:
b c a
Cuadriláteros con:
1 letra : b ; c = 2
2 letras : ab ; bc = 2
3 letras : abc = 1
Total = 5 cuadriláteros Rpta.
Observa:
01. Hallar el número total de cuadriláteros en
la siguiente figura:
Resolución:
b c d
a
e
Cuadriláteros con:
1 letra : b ; c ; d ; e = 4
2 letras : bc ; cd ; ce = 3
3 letras : bcd = 1
4 letras : no hay = 0
5 letras : no hay = 0
Total = 8 cuadriláteros Rpta.
CONTEO DE CUADRILÁTEROS
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO_I
Academia Cesar Vallejo Sexto Grado 2010
¡ A T E N C I Ó N !
Estimado alumno, un cuadrilátero se puede representar en cualquiera de las siguientes formas: Cuadrado Rectángulo Rombo
Trapecio Trapezoide Romboide (o paralelogramo
propiamente dicho)
Cuadrilátero cóncavo
Ejercicio 1: Halla el número total de
cuadriláteros:
Resolución:
Ejercicio 2: ¿Cuántos cuadriláteros hay en la
figura?
Resolución:
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Ejercicio 3: ¿Cuántos cuadriláteros hay en la
figura?
Resolución:
Ejercicio 4: ¿Cuántos cuadriláteros hay en la
siguiente figura?
Resolución:
Ejercicio 5: ¿Cuántos cuadriláteros hay en la
figura?
Resolución:
Ejercicio 6: ¿Cuántos cuadriláteros hay en la
figura?
Resolución:
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO_I
Academia Cesar Vallejo Sexto Grado 2010
CASOS ESPECIALES DE CUADRILÁTEROS
En algunos casos particulares, el conteo de cuadriláteros se puede realizar en forma rápida, aplicando para ello, algunas fórmulas de fácil deducción.
1er Caso:
1 2 3 ... n
Total de cuadriláteros:
= n + + + + = 1 2 3 ... n n + ( 1)
2 (fórmula)
Ejemplo: Cuenta el total de cuadriláteros en la
siguiente figura:
1 2 3 4
Total de cuadriláteros
1 + 2 + 3 + 4 = = 10 4 x 5
2 Rpta.
2do Caso:
1 2 3
....
n
m
....
S 2
S 1
S 2 = m + + + + = 1 2 3 ...
mm+ ( 1) 2 (fórmula)
S 1 = n + + + + = 1 2 3 ...
n n + ( 1) 2 (fórmula)
Total de cuadriláteros = S 1 . S 2
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO_I
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Ejemplo: Cuenta el total de cuadriláteros en la
siguiente figura:
Resolución:
3
1
2
2
S 2 = 1 + 2 + 3 = + 3(3 1)
2 = 6
S 1 = 1 + 2 = + 2(2 1)
2 = 3
Total de cuadriláteros = 3 x 6 = 18 Rpta.
01.
02.
1 2 3
1 2 3 8 9 10 . . . . . . . .
03.
04.
05.
1 2 3
5
15
. . . .
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO_I
Academia Cesar Vallejo Sexto Grado 2010
CONTEO DE SECTORES CIRCULARES
Sector Circular: Es una porción de circunferencia conformada por dos lados rectos y uno curvo
opuesto al ángulo formado.
Ejemplo:
a.- Por conteo directo: Nombra cada figura
simple y empieza a contar de simple a
compuesto:
a b
c
02 s S de una letra: a y c
01 s S de dos letras: ab
01 s S de tres letras: abc
Hay 4 sectores circulares en total.
b.- Por inducción: Enumera los espacios en
línea curva base y aplica la fórmula.
1
2
3
4
N° de s S = + 4(4 1) 2
N° de s S = 10
Se resuelve análogamente al conteo de
s, por su forma similar
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO_I
Academia Cesar Vallejo Sexto Grado 2010
01.
02.
03.
04.
Encuentra la cantidad de sectores circulares que hay en cada figura.
05.
06.
07.
08.
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO_I
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ESUELVE EN CASA
Encuentra el total de sectores circulares
en las siguientes figuras:
01.
02.
03.
04.
REFORZANDO MIS CONOCIMIENTOS
01. ¿Cuántos cuadriláteros que tengan
asteriscos hay?
Rpta: _________________
02. ¿Cuántos triángulos hay en la F 100 ?
F 1 F 2 F 3 F 4
. . .
Rpta: _________________
03. ¿Cuántos triángulos hay en F 100 ?
F 1 F 2 F 3 F 4
. . .
Rpta: _________________
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO_I
Academia Cesar Vallejo Sexto Grado 2010
04. ¿Cuántos triángulos hay en F 100 ?
. . .
F 1 F 2 F 3 F 4
Rpta: _________________
05. ¿Cuántos segmentos hay en F 100 ?
1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 4 5
F 1 F 2 F 3 F 4 . . .
Rpta: _________________
06. ¿Cuántos octógonos hay en F 100 ?
F 1 F 2 F 3 F 4
. . .
Rpta: _________________
07. ¿Cuántos rectángulos hay en F 100 ?
F 1 F 2 F 3 F 4
. . .
Rpta: _________________
08. ¿Cuántos paralelogramos hay en F 100 ?
F 1 F 2 F 3 F 4
. . .
Rpta: _________________
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO_I
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M es de...
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO_I
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PIRÁMIDES NUMÉRICAS
Observa la siguiente pirámide numérica:
Ahí vemos que el resultado de la operación de dos números vecinos es el número que está en la parte
superior intermedia.
96
16 6
8 3 2
2 4 1 3
Compramos:
8 2 3
4 2 1 2 1 3
16 6
8 2 2 3
96
16 6
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO_I
Academia Cesar Vallejo Sexto Grado 2010
Ejemplo:
Calcula ( ) a b c + + 2
11
1152
48 a
2 b 2 c
A) 9
B) 16
C) 25
D) 36
Resolución: Completando la pirámide:
1152
48 24
12 6 4
2 6 2 3
48 x a = 1152 ⇒ a = 1152 ÷ 48 = 24 a = 24
b x 2 = 12 ⇒ b = 12 ÷ 2 = 6 b = 6
2 x c = 6 ⇒ c = 6 ÷ 2 = 3 c = 3
Hallamos ( ) a b c + + 2
11 = ( ) + + = =
2 2 24 6 3 (3) 9
11 Rpta : A
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO_I
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Rpta. A)
01. Completa las siguientes pirámides:
4
10
3 4 2 5 6 1
4
8
2
0
5
27000
2
12 300
4
1 1
50
37
20
25
13
9
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO_I
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02. Calcular: ( ) a b c ÷ + 2
b 6
c
3
a
2
1
A) 625 B) 36 C) 100 D) 400
03. Calcular: ( ) ( ) r s t u − + − 2 2
64
8
2
1
r
1 u
t 2
s
A) 75 B) 45 C) 25 D) 85
04. Calcular: a a + 2 2
144
a 2a
4a
5a
A) 144 B) 168 C) 202
D) 194 E) 102
05. Calcular: a b c e ÷ + + ( )
730
b
70
40
a
28 d
c
A) 1 B) 3 C) 5
D) 2 E) 4
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO_I
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NÚMEROS NATURALES
OPERACIONES COMBINADAS
Orden a seguir: 1° Signos de colección.
2° Raíces y potencias, en el orden en que aparecen (siempre de izquierda a derecha)
3° Multiplicación y división, en el orden en que aparecen (siempre de izquierda a derecha)
4° Sumas y restas; en el orden en que aparecen (siempre de izquierda a derecha).
Si hubiera signos de agrupación y/o colección:
1° Paréntesis ( ) 2° Corchetes [ ] 3° Llaves { }
Ejemplo: Resuelve: 2 3 . (18 - 6 : 2) + (9 2 - 5 - 4) : 3 2
2 3 x (18 - 6 : 2)+ (9 2 - 5 - 4) : 3 2 ⇐ PARÉNTESIS
2 3 x (18 - 3) + (81 - 5 - 4) : 3 2
2 3 x 15 + (76 - 4) : 3 2
2 3 x 15 + 72 : 3 2 POTENCIAS ⇐
8 x 15 + 72 : 9 ⇐ MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN
120 + 8 ⇐ SUMAS
128 Respuesta
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO_I
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OPERACIONES COMBINADAS
01) × − ÷ + 3 4 2 4 (3 2 ) (3 2)
02) − ÷ + − 2 4 3 (6 1) 7 (3 4 )
03) ( ) ( ) − ÷ + − 36 1 7 81 64
04) ( ) ( ) + − − ÷ 5 2 3 3 4 6 1 5
05) ( ) ( ) − × − + × − ÷ 17 9 3 13 6 7 36 9
06) × − ÷ + − × ° 3 4 2 5 (3 2 ) (3 2) 3 9
07) + ÷ × 2 2 2 2 2 (8 6 ) 10 2
08) ( ) { } ( ) ÷ − ÷ + − × 3 2 3 150 4 14 3 3 2 7
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO_I
Academia Cesar Vallejo Sexto Grado 2010
05) ( ) + − + × 2 2 64 5 23 7 2
06) ( ) × − ÷ − − × − × 2 4 2 2 10 3 2 2 3 5 2 7 3
07) − × ÷ + ÷ + × + × 3 2 3 2 64 6 3 9 8 4 5 3 11 2
08) ( ) ( ) + + + + + − 3 0 2 3 3 2 4 2 3 2 3 2 4 3 1000
01) + − × − ÷ 2 3 69 3 49 2 42 2
02) ( ) { } + × − × − × + − 2 2 5 7 8 5 2 8 5 3 1
03) × × ÷ × × 3 2 2 2 3 2 0 (2 4 3 ) 24 5 15
04) ( ) + ÷ + − + × − 2 2 8 2 4 6 3 5 9 5 1 16
OPERACIONES COMBINADAS ¥
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO_I
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CUATRO OPERACIONES
Veremos la importancia de la suma, resta, multiplicación y división. Al alumno le mostraremos métodos
de solución simple para cierto, tipos de problemas. Estos métodos de solución son: suma y diferencia,
falsa suposición que se muestra a continuación:
01. Mi casa tiene cinco pisos. El primer piso
tiene 3 ventanas, el segundo 5, el tercero
4, el cuarto 6 y el quinto 8. ¿Cuántas
ventanas tiene mi casa?
02. Se desea repartir 6554 naranjas entre 58
personas ¿Cuánto le toca a cada uno?
03. Rosario es mayor que Carolina por 4 años;
si la suma de sus edades actuales es 52 años
¿Cuál es la edad de Rosario?
04. La suma de edades de Jorge, Juan y Jesús
es 88 años. De los tres, el mayor tiene 20
años más que el menor y el del medio tiene
18 años menos que el mayor. ¿Cuál es la
edad del menor?
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO_I
Academia Cesar Vallejo Sexto Grado 2010
05. La suma de las edades actuales de Esteban
y Manuel es 26 años. Si la diferencia de las
mismas es 2 años. ¿Cuál es la edad del
mayor?
06. La distancia de la tierra a la luna es
aproximadamente 400 000 km y el sol es
150 000 000 km ¿Cuántas veces es mayor
la distancia de la tierra al sol que a la luna?
07. Pedro trabaja 10 días de 8 horas diarias,
Luis 14 días de 7 horas; José 24 días de 9
horas diarias, si la hora de trabajo se paga
S/. 5 nuevos soles. ¿Cuánto importa el
trabajo de los tres?
08. Si Lalo recorre con su bicicleta 360 km en
12 horas, ¿cuál es la distancia que recorre
en cada minuto?
09. Un comerciante vende polos, 200 polos a
8 por 2 soles y 300 polos a 5 por 3 soles.
¿Cuál es la diferencia de lo que recibió de
la primera venta con la segunda?
10. A una fiesta asistieron 107 personas y en
un momento determinado 23 hombres y
20 mujeres no bailan. ¿Cuántas mujeres
asistieron?
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO_I
Academia Cesar Vallejo Sexto Grado 2010
01. Elsa es 6 años más joven que Iván. Hace 3
años Iván tenía el triple de la edad que Elsa
tenía en ese entonces. ¿Cuántos años tiene
Iván actualmente?
02. Se compró 17 libros entre Matemática e
Historia para implementar la Biblioteca de
nuestro colegio gastando en total S/. 231.
Si cada libro de Matemática cuesta S/. 15
y cada libro de Historia cuesta S/. 12
¿Cuántos libros de Matemática se
compraron?
03. Gerardo ha comprado un auto por un valor
de S/. 80 100. Primero pagó la quinta parte
del valor del auto y el resto en 60
mensualidades iguales. ¿Cuánto pago
Gerardo cada mes?
04. Un tren que tiene asientos en los cuales
entran tres personas, el tren tiene 8 vagones
de 17 asientos y 5 vagones de 12 asientos.
¿Cuántas personas pueden viajar en dicho
tren?
05. Al comprar un pantalón, un buzo y una
mochila pagué S/. 120. Si el pantalón
cuesta el triple de lo que cuesta la mochila
y el buzo cuesta S/. 35 más que la mochila
¿Cuánto me costó el pantalón?
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO_I
Academia Cesar Vallejo Sexto Grado 2010
SUMA Y DIFERENCIA DE DOS NÚMEROS NATURALES
Además: El número menor “b” se calcula con la
semidiferencia de S y D.
S D b − = 2
Dados la suma (S) y la diferencia (D) de dos
números naturales “a” y “b” donde a > b, el
número mayor “a” se calcula con la semisuma
de S y D.
S D a + = 2
PROBLEMAS:
01. La suma de dos números es 24 y su
diferencia es 8. ¿Cuál es el menor de dichos
números?
02. Al sumar dos números se obtiene 40 si el
mayor excede al menor en 12, ¿cuál es el
número mayor?
03. Manuel y César tienen juntos S/. 300.
¿Cuánto dinero tiene César si se sabe que
tiene S/. 40 menos que Manuel?
04. Si sumamos las edades de Rocío y Raúl
obtenemos 78 años. Si hace 10 años la
diferencia de sus edades era 2 años ¿Qué
edad tiene Rocío?
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO_I
Academia Cesar Vallejo Sexto Grado 2010
05. Dentro de 8 años mi edad será 8 años más
que la de Richard. Si actualmente nuestras
edades suman 56 años. ¿Cuál es la edad
de Richard?
06. La suma de las edades de Tom y Jerry es
84 años; si Jerry es menor que Tom por 18
años. ¿Cuál es la edad de Jerry?
07. Un reloj más un anillo costaron S/. 1400; si
el reloj costó S/. 400 más que el anillo.
¿Cuánto costó cada uno?
08. La suma de dos números es 28 y su
diferencia 10. Calcule el triple del número
menor.
09. Carlos tiene S/. 40 más que Miguel pero
entre ellos tienen S/. 180. ¿Cuánto tiene
cada uno?
10. Las edades de Marcela y Vanesa suman 24
años. Si la edad de Marcela excede a la de
Vanesa en 14 años. ¿Cuántos años tuvo
Vanesa hace 2 años?
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO_I
Academia Cesar Vallejo Sexto Grado 2010
La diferencia (D)
El cociente (q)
El residuo (R)
Entonces se cumple que:
D q R A B A D q × + = = −
+1
SUMA Y COCIENTE DE DOS NÚMEROS NATURALES
DIFERENCIA Y COCIENTE DE DOS NÚMEROS NATURALES
Si dos números A y B, donde A > B; se
conocen:
La suma (S)
El cociente (q)
El residuo (R)
Entonces se cumple que:
S q R A B S A q × + = = −
+ 1
PROBLEMAS:
01. Entre César y David se tiene S/. 126 si la
cantidad que tiene César es 17 veces la que
tiene David. ¿Cuánto más tiene César que
David?
02. Hace 2 años, tu edad era mayor que la de
María por 8 años. Si actualmente tu edad
es el triple que la de Maritza. ¿Qué edad
tendrás el próximo año?
03. Entre dos personas tienen S/. 200 si la
cantidad que tiene una de ellas es el triple
de lo que tiene la otra. ¿Cuáles son dichas
cantidades?
04. Jessica y Rosa tienen juntos S/. 342 si lo
que tiene Rosa es 5 veces lo que tiene
Jessica, ¿Cuánto tiene Rosa?
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO_I
Academia Cesar Vallejo Sexto Grado 2010
05. Dos números suman 32 si dividimos el
mayor entre el menor, el cociente resulta 3
y el residuo 4. ¿Cuál es el número mayor?
06. La suma de dos números es 130, su
cociente es 6 y el residuo es 4. Hallar los
números.
07. La suma de dos números es 1200, si uno
de ellos es el triple del otro, el número mayor
es.
08. Entre Juan y Pedro tienen en el banco una
cuenta por S/. 920 lo que le corresponde a
Juan es 4 veces lo que le corresponde a
Pedro con un adicional de S/. 20 ¿Cuánto
le corresponde a Pedro?
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO_I
Academia Cesar Vallejo Sexto Grado 2010
MÉTODO DE LA FALSA SUPOSICIÓN
El método de falsa suposición es aplicable a problemas donde intervienen dos conjuntos tales como
A y B. Se recomienda seguir los siguientes pasos:
1°. Suponer que todos los elementos pertenecen a un sólo conjunto (por ejemplo al conjunto A)
2°. Calcular el error correspondiente (por diferencia)
3°. Cambiar un elemento del conjunto A por un elemento del conjunto B y determinar la variación
producida.
4°. Calcular el número total de cambios para corregir el error que es igual a la cantidad de elementos
correspondientes al conjunto B.
PROBLEMAS:
01. En una billetera hay 24 billetes que hacen
un total de 560 soles; si sólo habían billetes
de 50 soles y 10 soles ¿Cuántos eran de
cada clase?
02. Se ha comprado 77 latas de conserva de
dos capacidades distintas. Una tiene 8
onzas y la otra 15 onzas. Si el contenido
total es de 861 onzas ¿Cuántas latas de 8
onzas se compraron?
03. En un patio grande hay cerdos y patos. Si
se cuenta 28 cabezas y 78 patas. ¿Cuántos
patos hay en el patio?
04. En el circo las entradas de adulto costaban
S/. 4 y los de niños S/. 2. Concurrieron 560
espectadores y se recaudaron S/. 1800
¿Cuántos eran adultos y cuántos niños?
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO_I
Academia Cesar Vallejo Sexto Grado 2010
05. En un corral hay 80 patas y 35 cabezas, las
únicas especies que hay son palomas y
gatos ¿Cuántos hay de cada especie?
06. Ricardo tiene 34 animales entre gatitos y
loritos ¿Cuántos gatitos tiene Ricardo? Si
total hay 100 patas.
07. Un profesor compró 37 libros, unos le
costaron 120 soles y otros 200 soles cada
uno. Si gastó 5 640 soles ¿Cuántos libros
de mayor precio compró?
08. Un litro de leche pesa 1032 gr y un litro de
agua pesa 1055 gr. En una mezcla de 10
litros han intervenido ambos componentes
y pesa 10366 gr. ¿Qué cantidad de agua
de mar hay en la mezcla?
09. Tengo 50 billetes, unos de S/. 10 y otros de
S/. 50. Si uso todos los billetes que tengo
para pagar una deuda de S/. 780. ¿Cuántos
billetes son de S/. 10?
10. En un parque hay niños paseándose ya sea
en triciclo o en bicicleta. En total se cuentan
60 pedales, 30 timones y 78 ruedas
¿Cuántos triciclos más que bicicletas hay?
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO_I
Academia Cesar Vallejo Sexto Grado 2010
M es de...
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO_I
Academia Cesar Vallejo Sexto Grado 2010
ANALOGÍAS Y DISTRIBUCIONES
ANALOGÍAS: Consiste en encontrar la relación de los números de forma horizontal.
Ejemplo: Calcule el término desconocido en la siguiente analogía:
3 (34) 5 → 3 2 + 5 2 = 34
4 (20) 2 → 4 2 + 2 2 = 20
2 ( x ) 5 → 2 2 + 5 2 = x x = 29
01) 2 (32) 5
6 (36) 2
1 ( x ) 10
A) 0 B) 1 C) 10
D) 5 E) 2
02) 2 ( 7 ) 1
9 (29) 2
8 ( x ) 6
A) 20 B) 24 C) 25
D) 28 E) 30
03) 4 ( 4 ) 28
17 ( 5 ) 33
120 ( x ) 80
A) 5 B) 8 C) 10
D) 12 E) 15
04) 263 (110) 730
131 (45) 405
280 ( x ) 529
A) 120 B) 150 C) 160
D) 180 E) 200
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO_I
Academia Cesar Vallejo Sexto Grado 2010
05) 9 ( x ) 1 64 ( 4 ) 3 16 ( 2 ) 4
A) 7 B) 9 C) 5 D) 10 E) 14
06) 234 ( 1 ) 521 592 ( 0 ) 763 325 ( 4 ) 804 724 ( x ) 591
A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7
07) 24 (86) 35 43 (77) 61 22 ( x ) 31
A) 53 B) 9 C) 44 D) 52 E) 37
08) 73 (14) 21 82 (36) 30 93 ( x ) 41
A) 32 B) 34 C) 36
D) 38 E) 40
09) 21 (18) 7 19 ( x ) 9 32 (20) 16
A) 12 B) 13 C) 14
D) 15 E) 20
10) 2 (10) 6 7 (10) 3 5 ( 7 ) 2 4 ( x ) 4
A) 10 B) 12 C) 13 D) 14 E) 20
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO_I
Academia Cesar Vallejo Sexto Grado 2010
Calcule el valor de “x” en las siguientes analogías:
01) 14 (39) 23 21 (58) 35 43 ( x ) 16
A) 50 B) 54 C) 58 D) 60 E) 61
02) 27 (19) 32 42 (26) 31 90 ( x ) 41
A) 32 B) 34 C) 38 D) 39 E) 42
03) 10 (117) 12 24 (69 ) 2 30 ( x ) 2
A) 32 B) 23 C) 87 D) 90 E) 80
04) 16 ( 4 ) 6 9 (49) 10 81 ( x ) 14
A) 16 B) 20 C) 25 D) 36 E) 42
05) 27 ( 6 ) 4 43 ( 8 ) 5 38 ( x ) 7
A) 2 B) 4 C) 5 D) 6 E) 8
06) 7 (41) 8 9 (71) 10 11 ( x ) 50
A) 51 B) 61 C) 71 D) 41 E) 81
07) 49 (13) 3 82 (12) 6 26 ( x ) 2
A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10
08) 23 ( 8 ) 9 21 ( x ) 27 17 (10 ) 23
A) 10 B) 12 C) 15 D) 20 E) 25
ESUELVE EN CASA
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO_I
Academia Cesar Vallejo Sexto Grado 2010
09) 3 ( 43 ) 4 5 (189) 2 6 ( x ) 7
A) 205 B) 235 C) 245
D) 255 E) 265
DISTRIBUCIÓN: Consiste en establecer una relación planteada en las premisas, sea horizontal o
vertical.
DISTRIBUCIÓN NUMÉRICA
10) (28) 1 3 (91) 3 4 ( x ) 5 6
A) 340 B) 341 C) 342
D) 343 E) 344
a) 6 8 34 → (6 . 8) - 14 = 34
9 3 13 → (9 . 3) - 14 = 13
7 5 x → (7 . 5) - 14 = x
x = 21
b) 12 13 30
16 23 18
7 12 x
+ = (30 18) 12 4
x + = (13 23) 4
+ = (12 16) 7 4
x = 9
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO_I
Academia Cesar Vallejo Sexto Grado 2010
01) 20 111 289
13 160 9 x 130 14
A) 18 B) 15 C) 10
D) 9 E) 12
02) 60 4 4
50 75 5
40 85 x
A) 2 B) 4 C) 5
D) 6 E) 7
03) 3 26 3
2 15 4
7 x 2
A) 48 B) 40 C) 32
D) 42 E) 51
04) 24 25 35
69 78 x
72 44 41
A) 76 B) 35 C) 85
D) 58 E) 67
05) 4 39 9
11 x 7
6 42 8
A) 50 B) 52 C) 54
D) 55 E) 60
06) 2 3 1
4 32 2
2 x 5
A) 50 B) 52 C) 57
D) 60 E) 70
07) 6 8 36
7 9 x
5 12 48
A) 45 B) 48 C) 51
D) 62 E) 74
08) 13 64 6
24 x 15
47 81 39
A) 25 B) 36 C) 49
D) 100 E) 64
Halle el valor de “x” en cada caso:
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO_I
Academia Cesar Vallejo Sexto Grado 2010
DISTRIBUCIÓN GRÁFICA
27 36
2 7
23 19
9 5
46 38
8 13
23 + 19 = 42 27 + 36 = 63 46 + 38 = 84 9 + 5 = 14 2 + 7 = 9 8 + 13 = 21
3 7 x
7 3 x
∴ x = 4
09) 3 16 4
12 9 2
6 x 7
A) 9 B) 10 C) 12
D) 14 E) 18
10) 5 4 3
2 3 3
7 10 14
A) 5 B) 9 C) 12
D) 13 E) 15
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO_I
Academia Cesar Vallejo Sexto Grado 2010
01.
96
5 11
2 4
63
4 5
1 6
x
2 4
1 5
A) 30 B) 32 C) 36 D) 40 E) 42
02.
15
3 7
2 3
18
4 7
5 2
x
6 8
3 9
A) 20 B) 21 C) 22 D) 23 E) 24
03.
12 11 15
7 8 6
25 15 x
A) 50 B) 35 C) 45 D) 25 E) 20
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO_I
Academia Cesar Vallejo Sexto Grado 2010
04.
10 x
12 7
32 37 10 15 8
4
20 8
A) 15 B) 30 C) 42 D) 50 E) 35
05.
30 4 x
4 10 3 2 3
7 3 6 2 1 3
9
A) 15 B) 18 C) 21 D) 30 E) 34
06.
26 12 x
7 4 3 4 5 4
2 3 3
2 1 10
A) 40 B) 50 C) 75 D) 90 E) 100
07.
4 2 3
2 7 6 16 49 x
A) 36 B) 216 C) 63 D) 6 E) 26
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO_I
Academia Cesar Vallejo Sexto Grado 2010
08.
8 10
6
68
9 7
8
65
6 12
4
x
A) 50 B) 52 C) 54 D) 56 E) 60
09.
5 4 x
4 2 1 5 3 2
6 7 3
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
10.
6 14 x
6 9 9 3 6 8
4 3 8 5 12 5
A) 8 B) 10 C) 12 D) 14 E) 16
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO_I
Academia Cesar Vallejo Sexto Grado 2010
EFORCEMOS EN CASA
05. 4 2 2 4
8 1 2 3
8 x 4 3
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
06. 3 4 13
6 1 37
2 7 11
5 6 x
A) 30 B) 32 C) 25
D) 31 E) 40
07.
27
6
5
3
4
9
7
8
6
1
x
5
10
2
9
A) 18 B) 36 C) 45
D) 57 E) 65
01. 429 149 131
731 x 267
A) 230 B) 232 C) 303
D) 404 E) 200
02. 16 7 3
1 8 7
25 x 2
A) 5 B) 7 C) 9
D) 10 E) 12
03. 3 24 16
6 30 10
2 x 20
A) 10 B) 15 C) 20
D) 25 E) 30
04. 2 4 12
7 14 42
5 10 30
4 8 x
A) 20 B) 21 C) 22
D) 23 E) 24
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO_I
Academia Cesar Vallejo Sexto Grado 2010
08.
x
4 8
1 1 1
9
1 20
3 4 5
36
20
17
10 11 12
A) 9 B) 10 C) 5
D) 6 E) 12
09.
3
2
7 3
4
63 4
3
x
A) 50 B) 60 C) 70
D) 80 E) 90
10.
38 58 x 3 4 5
5 6 10
A) 115 B) 116 C) 117
D) 118 E) 119
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO_I
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M es de...
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO_I
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JUGUEMOS CON LOS CONJUNTOS
01. En el siguiente diagrama:
A B U
1 2
3 7
C 4
5
6
Hallar:
a.- A B C ∆ − ( ) = {____________________}
b.- A B C ∩ ∩ ( )' = {____________________}
c.- A B C ∪ ∪ ( )' = {____________________}
d.- A B − ( )' = {____________________}
e.- B A − ( )' = {____________________}
02. Halla: [ ] [ ] A B B C A − ∪ − ∩ ( ) ( )
A
B
C
2
14 13
1 7
3
5
6 4
8
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO_I
Academia Cesar Vallejo Sexto Grado 2010
03. Si : M = {2 ; 3 ; 4 ; 5} ; P = {4 ; 5 ; 6} ; Q = {6 ; 7 ; 8} y R = {1}. La afirmación correcta es:
a) M P − = {2 ; 3 ;4}
b) M P ∩ = {2 ; 3}
c) P R ∪ = {1 ; 2 ; 3}
d) R P − = { 1 }
e) M P R − ∪ = ( ) {1 ; 2 ; 3 ; 4}
04. Resuelve los siguientes ejercicios del gráfico adjunto:
d
g
A U
C
B
b a
c
e f
a) A B C ∩ ∩ ={__________________________ }
b) [ ] A B C ∩ ∩ ' ={__________________________ }
c) [ ] A B ∩ ' ={__________________________ }
d) ( ) A B C ∪ ∪ ' ={__________________________ }
e) ( ) A B C − − ' ={__________________________ }
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO_I
Academia Cesar Vallejo Sexto Grado 2010
PROBLEMAS
01. De 70 alumnos del 6to grado del colegio
Saco Oliveros, a 45 les gusta la Gramática
y a 50 les gusta la Historia.
G H
a) Que gustan sólo de Gramática: ____
b) Que gustan sólo de Historia: _____
c) Que gustan los dos cursos: ______
02. Miguel en el mes de Junio consume café
por 20 días, té y café por 8 días. Hallar:
C T
a) Los días que consume solamente té:
_____
b) Los días que consume solamente café:
_____
c) Los días que consume café: _____
03. En uno de los locales del colegio Pre
Universitario Saco Oliveros, 480 estudian
Álgebra Aritmética, 380 estudian
Trigonometría y Geometría y 200 estudian
los 4 cursos.
A - A T - G
a) El total de alumnos es: _____
b) Sólo estudian Aritmética y Álgebra:
_____
c) Sólo estudian Geometría y
Trigonometría: ___
04. En la fiesta de cachimbos de la Universidad
Mayor de San Marcos en el año 2004; 3500
alumnos prefieren las letras por sobre todos
los cursos y 5000 los números. Si 1500
prefieren tanto las ciencias como las letras:
C L
a) Gustan sólo de las letras : _____
b) Gustan sólo de las ciencias: _____
c) Los ingresantes son : _____
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO_I
Academia Cesar Vallejo Sexto Grado 2010
05. Se realizó un conteo de cuántos alumnos
gustan Coca Cola: 506 y Pepsi: 450; 8
gustan de las 2 bebidas y 204 no toman ni
Pepsi ni Coca Cola.
C P
a) Sólo gustan Pepsi : _____
b) Sólo gustan Coca Cola : _____
c) En total son : _____
06. A 80 profesores de Saco Oliveros les
encanta sólo el helado de chocolate, a 50
les gusta sólo el helado de vainilla y a 30
les gusta los sabores:
CH V
a) ¿Cuántos profesores son en total?
______
b) ¿Cuántos gustan helado de
chocolate? ______
c) ¿Cuántos gustan del helado de
vainilla? ______
07. De un grupo de alumnos, 180 son fanáticos
de Ajedrez y 155 gustan del Play Station;
si 50 participan de los 2 entretenimientos.
Entonces gustan:
PS A
a) Sólo Ajedrez : _______
b) Sólo Play Station : _______
c) En total son : _______
08. Liliana en el mes de Marzo consume en el
desayuno: 20 días mermelada de fresa y
15 días mermelada y queso. Dar el número
de días en que consume:
M Q
a) Sólo mermelada : _______
b) Sólo queso : _______
c) Queso : _______
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO_I
Academia Cesar Vallejo Sexto Grado 2010
09. De 70 niños, 48 van a las playas de Ancón
y 50 van a las playas del sur, entonces:
S A
a) Sólo a Ancón : ______
b) Sólo al Sur : ______
c) Ancón y al Sur : ______
10. De 280 niños 120 practican Karate y 200
Full Contac, luego:
K F
a) Practican Karate y Full Contac : ____
b) Sólo practican Karate : ____
c) Sólo practican Full Contac : ____
11. El club Pikatchu tiene 498 practicantes de
Ajedrez y 600 practicantes de Básquet. Si
son 900 integrantes, entonces:
A B
a) Gustan sólo de Ajedrez : ____
b) Sólo practican Básquet : ____
c) Practican Básquet y Ajedrez : ____
12. En el aula del 6to grado del colegio Saco
Oliveros, 38 practican fútbol, 28 practican
básquet, 18 ambos deportes, entonces:
F B
a) Sólo fútbol : ____
b) Sólo básquet : ____
c) En total son : ____
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO_I
Academia Cesar Vallejo Sexto Grado 2010
01. En una encuesta realizada a un grupo de 100 alumnos de una academia, se obtuvo los siguientes datos:
28 dominan Aritmética. 08 dominan Aritmética y Álgebra. 30 dominan Álgebra. 10 dominan Aritmética y Geometría. 42 dominan geometría. 05 dominan los 3 cursos. ¿Cuántos no dominan ninguno de los tres cursos?
02. En una encuesta a 1100 personas sobre las preferencias de los productos A, B y C, se sabe que:
10 no consumen ningún producto. 200 consumen A y B. 500 consumen A y C. 150 consumen B y C. 100 consumen A, B y C. ¿Cuántos consumen sólo un producto?
03. En un grupo de 60 estudiantes, 26 hablan francés y 12 solamente francés, 30 hablan inglés y 8 solamente inglés, 28 hablan alemán y 10 solamente alemán. También se sabe que 4 hablan los 3 idiomas mencionados. ¿Cuántos hablan inglés y alemán, pero no francés?
04. En un salón de clase, 40 alumnos tenían lapiceros, 30 tenían lápices y 30 tenían plumones, 8 tenían solamente lapiceros y lápices, 6 tenían solamente lápices y plumones; 12 tenían solamente lapiceros y plumones. Si 5 tenían los 3 tipos y seis siempre escriben con colores ¿Cuántos alumnos tiene el salón?
05. De 60 deportistas se observa que 24 de ellos practican fútbol, 26 practican básquet y 25 practican voley, 13 practican fútbol y básquet, 10 practican básquet y voley, 9 practican fútbol y voley. Si 6 practican los tres deportes, ¿cuántos no practican ninguno de estos deportes?
PROBLEMAS QUE SE RESUELVEN CON 3 CONJUNTOS
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO_I
Academia Cesar Vallejo Sexto Grado 2010
06. De 185 lectores de revistas: 47 leen la revista “A”, 53 leen la revista “B”, 65 leen la revista “C”, 15 leen la revistas “A” y “B”, 13 leen las revistas “B” y “C”, 5 leen las revistas “A”, “B” y “C”, 17 leen las revistas “A” y “C”. ¿Cuántos leen las revista “A” pero no la revista “B”?
07. Una encuesta realizada entre 82 madres de familia arrojó el siguiente resultado: 43 saben costura, 47 saben repostería, 58 saben tejido, 19 saben costura y repostería, 28 saben costura y tejido, 30 saben repostería y tejido, 11 saben las 3 ocupaciones. ¿Cuántas amas de casa saben sólo una de las tres especialidades?
08. De un grupo de 59 personas se observa lo siguiente: 8 personas leen sólo El Comercio, 16 personas leen sólo La República, 20 personas leen sólo Expreso, 7 personas leen El Comercio y La República, 8 personas leen El Comercio y Expreso, 3 personas leen La República, Expreso y El Comercio, 2 personas no leen ninguno de estos diarios. ¿Cuántas personas leen Expreso?
09. En una encuesta realizada a un grupo de 100 estudiantes de un instituto de idiomas, se obtuvo el siguiente resultado; 28 estudian español, 30 alemán, 42 francés, 8 estudian español y alemán, 10 estudian español y francés, 5 estudian alemán y francés, 3 estudian los tres idiomas, ¿cuántos estudiantes tienen el francés como único idioma de estudio?
10. De un total de 54 personas, se sabe que: 25 personas practican natación, 31 practican fútbol y 19 practican atletismo; 12 practican natación y fútbol, 3 practican sólo fútbol y atletismo, 11 practican sólo natación, 6 practican atletismo y natación, 4 practican los tres deportes. ¿Cuántos practican sólo atletismo? y ¿cuántos practican sólo fútbol?
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO_I
Academia Cesar Vallejo Sexto Grado 2010
01. La parte sombreada en el diagrama
representa:
P
Q
a) P Q ∪ b) P Q − c) Q P − d) P Q ∩ e) P P ∩
02. En el diagrama, la parte sombreada
representa:
L
M
N
a) L M ∩ b) M L N ∪ ∪ c) L M N ∩ ∩ d) M∪ N e) M ∩ N
03. La parte sombreada representa:
B A
C
a) A∪B∪ C
b) A∩B∩C
c) A - (B∩C) d) (A ∪ B) - C
e) (A∩B) - C
04. Dados
M
y
N
; M - N es:
a) b) c)
d) e)
CONJUNTOS: PARTE SOMBREADA
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO_I
Academia Cesar Vallejo Sexto Grado 2010
Dado los siguientes gráficos:
I.-
A B C D
Grafica:
01) A ∪ C
02) B ∪ D
03) A ∩ C
04) B ∩ D
05) B - D
06) A - C
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Academia Cesar Vallejo Sexto Grado 2010
II .- Dados:
P Q R
S T U
Grafica:
01) P ∩ R
02) Q ∩ S
03) R ∪ T
04) S ∪ U
05) (P ∪ R) - T
06) (Q ∪ S) - U
07) P ∪ (R ∩T)
08) U ∪ (Q ∩S)
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO_I
Academia Cesar Vallejo Sexto Grado 2010
COLOREAR O COMPLETAR:
C B
A E D
F
I H
J
(A ∩ B) ∪ C F ∩ D ∩ E H ∩ I - J
L K
M
R Q
S
O N
P
(K ∩ L) ∪ M (Q ∩ S) ∪ (R ∩ S) (N ∪ P) - O
N M
Q
Y X
Z
B A
C
(M ∪ Q) ∩ N (X ∪ Y ∪ Z) ∩ Z (A∩C)∪ (B∩C)∪ (A∩B)
E C
D H G
I
D - (E ∩ C) (H - G) ∪ (I - G)
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO_I
Academia Cesar Vallejo Sexto Grado 2010
01. Complétame:
A B
C
02. Sombréame:
A B C − ∩ ( )
A B C
03. Sombréame:
A B C ∩ ∩ ( )'
B A
C
04. Sombréame:
A B C ∩ −
B A
C
05. Sombréame:
A B C ∪ − ( )
B A
C
06. Sombréame:
A B B C ∪ ∩ ∪ ( )' ( )'
B A
C
SOMBREANDO CONJUNTOS
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO_I
Academia Cesar Vallejo Sexto Grado 2010
07. Sombréame: P Q R Q − ∪ − [( ) ( )]'
Q P
R
08. Reconóceme e identificame:
A B
C
09. ( )' A B ∩
B A
U C
10. Sombréame: A B C ∆ − ( )
B A
U C
11. Marca la alternativa correcta:
M N P Q
a) (M ∩ N) - (P - Q) b) (P - Q) ∪ (M - N) c) (M - N) ∪ (N - Q) d) (M ∪ N) - (P ∪ Q) e) (M ∩ N) - (P ∩ Q)
12. Marca la alternativa correcta:
A B
C
a) A ∪ B ∪ C b) A ∩ B ∩ C c) (A - B) ∪ C d) (B - A) ∪ C e) (A ∆ B) ∪ C
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO_I
Academia Cesar Vallejo Sexto Grado 2010
M es de...
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO_I
Academia Cesar Vallejo Sexto Grado 2010
Ejemplos:
01. Si a * b = 3a + b, calcula 3 * 5
De la condición: a = 3
b = 5
Entonces reemplazamos las letras por valores nu-
méricos.
a * b = 3a + b
↓ ↓ ↓ ↓ 3 * 5 = 3(3)+ 5
3 * 5 = 14
02. m n m n m n ∆ = + − ( )( ).
Calcula 19 ∆ 9
m = 19 ; n = 9
Entonces reemplazamos los valores.
m n ∆ m n m n = + − ( )( ).
19 ∆ 9 = (19 + 9)(19 - 9)
19 ∆ 9 = (28)(10)
19 ∆ 9 = 280
OPERADORES
OPERADOR MATEMÁTICO es un símbolo que representa una operación matemática.
Le presentamos algunos
∗ ∑ ⊗ φ ∆ ψ • ∇ ⊕ ◊
# W
Estos símbolos (y cualquier otro) no nos indican ninguna operación concreta, pero con ella podemos
efectuar diferentes operaciones estableciendo antes, para cada uno de ellos operaciones previas que
llamamos “LEY DE DEFINICIÓN”
Observa:
{ { Operador Ley de definición
a b a b ∆ = + { Operador Ley de definición
a b m n ∗ = − 2 2 14243
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO_I
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Hazlo tú:
01. Si : m n m n = − # 4 7 , halla 2 # 4
02. Si: x x y x y ∇ = + + 2 2
Calcula (8 ∇ 10)
03. Halla 4 # 3, si X Z X XZ Z = + + 2 2 # 2
04. Si a b a b + ⊗ = 6 4 2
, halla 1 ⊗2
05. Calcula (8 θ 5)(6 θ 4), sabiendo que:
m n m n θ = − 3 2
06. Si: a b = a 2 + 5b. Halla (2 5)(1 2)
07. Si x ◊ y = x - y, entonces el valor de:
(3 ◊ 2)◊ (2 ◊ 2)
08. Si: b a b a b a b − = + ÷ ( 1) W ; hallar (5 W 3)
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO_I
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OTROS OPERADORES
Observa:
Si a = a 2 - 3 y A b = 2A - b; ¿Cuál es el valor de
3 5
Tenemos dos operadores: 3
5
2 1 ↓ ↓
° °
* Resolveremos por partes:
Operador 1°: 3
Entonces : 2 3 a a = −
2 3 3 3 = −
3 9 3 = −
3 9 3 = −
3 6 =
Entonces reemplazamos y tendremos:
5 6 que viene a ser A b
Operador 2°: A b = 2A - b
5 6 = 2(5) - 6
5 6 = 10 - 6
5 6 = 4
RESUELVE AHORA TÚ
01. Si: a∇b = a 2 - b 2 . Halla: E = (3∇2) ∇ (2∇1)
02. Si: m n m b + ∗ = . 2
Halla: 2 + [(3∗ 5) ∗ (2∗ 2)] 2
03. Si: a # b = 2a + b. Halla: (1#2) # (3#2)
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO_I
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04. Si: x y x y ⊥ = − 2 2 1 . 3 3
Hallar : 24 ⊥ 6
05. Si: a b = 3a + 2b + 1 y a ∆ b = 6a - 4b. Calcular: 3 2 - (5 ∆ 6)
06. Si: m n m n m n ⊗ = + − ( )( ).
Entonces hallar: ⊗ ⊗
8 2 4 2
07. Si: 2 2 ( ) . m n m n mn ⊗ = + ÷
Hallar: 8 ⊕ 2
.
08. Dado: 46 ( ) x y x y x y
∆ = − +
Halla: (18 ∆ 5)
09. Si: a b a b b a + = − # ( ) 2 . Hallar: 7 # 11
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO_I
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10. Si: p q = 2 2 p q + y
a Z b = 3a + 3 b Hallar: (4 2) + (2 Z 8)
AHORA RESUELVE ESTOS OPERADORES
01. Si : m m = + 1 2 y B b = b 3 - B.
Hallar: 6 8
02. Si: x = x − 9 3 y N n = N n − 2
.
Hallar : 2
5
03. Si: n = 1 3
n − y b c
a = ab+bc - ac.
Hallar: 10 13
7
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO_I
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04. Si b
B =3B - 3b. Hallar: 3 2
1
05. Si: a = 2a(a - 2).
Hallar : 4 ( 4 - 2 )
¡Qué fácil son los operadores matemáticos cuando
practicamos y ponemos mucho interés!
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO_I
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OTROS OPERADORES
A) De la tabla ¿cuál es el valor de : (1 • 5) • 0?
3 5 0
2 7 2 1
1 2 4 4
6 1 3 7
1° Busco la intersección de una columna (1) y una fila (5)
7 (1 5) 0 • • E5F
2° Nuevamente busco la intersección entre la columna (7) y
la fila (0)
3 (7 3 ) • E 5 5F Rpta. 3
B) Si : 2 , :
# 1, :
a b si a b a b
ab si a b − >
= + <
Hallar (3 # 5) - (4 # 2)
Se dan condiciones que se deben tener en cuenta al momento de resolver:
1° (3 # 5) ⇒ a = 3 ; b = 5
como a < b ⇒ a # b = ab + 1
3 # 5 = 3 . 5 + 1
3 # 5 = 16
2° (4 # 2) ⇒ a = 4 ; b = 2
como a > b ⇒ a # b = 2a - b
4 # 2 = 2(4) - 2
4 # 2 = 6
(3 # 5) - (4 # 2)
16 - 6 = 10
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO_I
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01. De la tabla, hallar:
a b c
2 3 4 a
0 1 3 b
4 8 2 c
# d
1
5
4
1 5 0 d 2
I.- a # b : _________
II.- c # d : _________
III.- (b # b ) + (c # c) : _________
IV.- (d # a ) g (a # c) : _________
02. De la tabla, hallar:
1 3 7
7 3 1 1
1 7 3 3
3 1 7 7
(3 3) (3 7) (7 7) (3 1)
E ∆ ∆ ∆ = ∆ ∆ ∆ = ____________
03. Dada la tabla, hallar:
1 2 3
2 3 1 1
1 2 3 2
3 1 2 3
*
[ ] [ ] (3 1) (2 3) (1 1) (3 3) ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
04. Hallar “x”, si se cumple la igualdad:
* 1 3 5
3 5 1 1
7 3 5 3
1 7 3 5
7
7
1
5
5 1 7 7 3
(x ∗ 1) ∗ (5 ∗ 7) = (7 ∗ 1) ∗ (5 ∗ 3)
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO_I
Academia Cesar Vallejo Sexto Grado 2010
05. Sabiendo que:
m n mn si m n m n si m n
− < = + >
1; 2 ;
Hallar: (4 2) (3 5)
06. Sabiendo que: a b si a b a b
a b si a b − ≠
∆ = + =
2 ; 2 ;
Hallar: E = [(3 ∆ 1)∆ 5]
07. Sabiendo que:
p q si p q número par p q
p q si p q número impar
+ + = ⊗ = + + =
2 2 ;
3 ;
Hallar: (5 ⊗ 3)(4 ⊗ 1)
OPERADORES CON NÚMEROS ENTEROS
01. Calcular el valor de:
S = 4* - 7* + 5* + 2*; sabiendo que:
a* = 4a ; si a ≥ 5
a* = 3a ; si a < 5
02. Si : a ∆ b =a 2 - b 2 .
Hallar (3 ∆ 2) - (2 ∆ - 1)
03. Si : F (x) = 3x 4 - 2x 2 - 2x. Hallar F (-3)
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO_I
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Hallar “x” en : 3x -1
8 2 =
5 -4
3 x
05. Si: m ∆ n = m 3 n 3 - m 2 n - mn 4 .
Calcular: 1 ∆ (-1)
06. Si: F (a ; b) = a 3 b - a 2 b 3 + ab 5 .
Calcular F (3 ; -3)
04. Sabiendo que a b
c d = ad - bc.
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