recuperação 9o. ano 2009

Recuperaçãode Geometria

9º ano - Escola NovaProf. Andréa Thees

Teorema de Tales

Retas paralelas (r, s e t) Retas transversais (m e n) Segmentos proporcionais

EF

DE

BC

AB

EF

DF

BC

ACou ou

EF

BC

DE

AB

EF

BC

DF

ACou

É possível estabelecer outras proporções?

90 m

180 m

1. Se um bastão de 1 metro produz uma sombra de 1,50 m e a sombra de uma árvore mede 18 metros, qual a altura da árvore?

2. Na figura ao lado, as retas r // s // t são cortadas pelas transversais a e b. Descubra o valor de x.

3.

Exercícios

12185,1

1 x

x

2114420

)32(7)15(47

15

4

32

xx

xx

xx

6

25

256

4211420

x

x

xx

40

60

804090

18040203040

180

z

y

x

x

x

Teorema de Tales nos triângulos

Teorema de Tales nos triângulos

Teorema de Tales nos triângulos

Teorema de Tales nos triângulos

Valem as mesmas relações de proporção do Teorema de Tales, e além disso...

O que mais é proporcional?

CF

AC

BE

AB

Exercício4. Qual a medida de no

lago da figura?AB

245

120120

1

5120

15

75

Teorema da bissetriz interna

Teorema da bissetriz interna

NC

AM

BN

BA

ACAM

Traçamos CM // NA.Pelo Teorema de Tales,

Como o ΔACM é isósceles,

Logo,

NC

AC

BN

BA

Exercício5. Os lados de um triângulo medem, respectivamente, 18 m, 27 m e 30 m.

Calcule a medida dos segmentos que a bissetriz interna determina sobre o maior lado.

Teorema da bissetriz interna

27 m18 m

30 m

x 30 - x

xx 30

2718

)30.(1827 xx

xx 1830.1827

30.181827 xx

30.1845 x

122.63

2.1845

30.18

x

x

x

Resposta: 12 m e 18 m.

)(2

3

2

3

18

27

12

18V

Conferindo:

Teorema da bissetriz externa

Teorema da bissetriz externa

Exercício6. Num Δ ABC, as medidas dos lados são AB = 6 cm, BC = 4 cm e AC = 5 cm.

Calcule quanto é preciso prolongar o lado , para que ele encontre a bissetriz externa do ângulo Â.

BC

CA

CD

BA

BD

ou

b

n

c

m

Teorema da bissetriz externa

5 cm4 cm

6 cmA B

C

x

46

5 xx

)5(46 xx

2046 xx

202 x

10x

Resposta: 10 m.

)(4

10

6

15

4

10

6

510V

Conferindo:

Figuras e polígonos semelhantes

Figuras semelhantes têm formas iguais e tamanhos diferentes.

Essas figuras são semelhantes? Por que?

Figuras e polígonos semelhantesDois polígonos são semelhantes quando os ângulos correspondentes são congruentes e os lados correspondentes são proporcionais. E a razão entre seus perímetros é igual à razão entre dois lados correspondentes (ou homólogos).

Figuras e polígonos semelhantesDois polígonos são semelhantes quando os ângulos correspondentes são congruentes e os lados correspondentes são proporcionais. E a razão entre seus perímetros é igual à razão entre dois lados correspondentes (ou homólogos).

Exercício7. As pétalas da flor pentágono são congruentes e medem 3 cm

aproximadamente. Ao ampliar a foto, as pétalas passaram a medir 5 cm. Calcule a razão de semelhança. O que você pode concluir em relação aos perímetros das duas flores?

3

5k k

p

P

P

p

3

5

15

25

2

2

252

152

Triângulos semelhantesTeorema fundamental de semelhançaToda paralela a um lado de um triângulo e que intercepta os outros dois lados em pontos distintos determina, com esses lados, um triângulo semelhante ao primeiro.

Exercício8. Determine x e y, sendo .MNBC //

6

122

12330

12

10

x

x

xx

xx

24

12

2

1

12

12

6

y

y

y

Casos de semelhança

Caso AA: (Ângulo – Ângulo)

Caso LAL: (Lado – Ângulo – Lado)

Caso LLL: (Lado – Lado – Lado)

Exercício9. Ver livro página .......

Relações métricas (Δ Retângulo)

Relações métricas (Δ Retângulo)

Relações métricas (Δ Retângulo)

Relações métricas (Δ Retângulo)

Relações métricas (Δ Retângulo)

Relações métricas (Δ Retângulo)

Relações métricas (Δ Retângulo)

Triângulo Maior ? Triângulo Médio ? Triângulo Menor ?

Maior lado ?

Lado médio ?

Menor lado?

Relações métricas (Δ Retângulo)

Triângulo ABC

Hipotenusa aCatetão bCatetinho c

Relações métricas (Δ Retângulo)

Triângulo ABC

Hipotenusa aCatetão bCatetinho c

Relações métricas (Δ Retângulo)

Triângulo ABC Triângulo ADC

Hipotenusa a bCatetão b mCatetinho c h

Relações métricas (Δ Retângulo)

Triângulo ABC Triângulo ADC

Hipotenusa a bCatetão b mCatetinho c h

Relações métricas (Δ Retângulo)

Triângulo ABC Triângulo ADC Triângulo ABD

Hipotenusa a b cCatetão b m hCatetinho c h n

Relações métricas (Δ Retângulo)

Triângulo ABC Triângulo ADC Triângulo ABD

Hipotenusa a b cCatetão b m hCatetinho c h n

Relações métricas (Δ Retângulo)

Triângulo ABC Triângulo ADC Triângulo ABD

Hipotenusa a b cCatetão b m hCatetinho c h n

ambmabbm

b

b

a 2..

Relações métricas (Δ Retângulo)

Triângulo ABC Triângulo ADC Triângulo ABD

Hipotenusa a b cCatetão b m hCatetinho c h n

ancnaccn

c

c

a 2..

Relações métricas (Δ Retângulo)

Triângulo ABC Triângulo ADC Triângulo ABD

Hipotenusa a b cCatetão b m hCatetinho c h n

mnhnmhhn

h

h

m 2..

Relações métricas (Δ Retângulo)

Triângulo ABC Triângulo ADC Triângulo ABD

Hipotenusa a b cCatetão b m hCatetinho c h n

cbhah

b

c

a..

Relações métricas - RESUMO

Teorema de Pitágoras

Cateto ao quadrado é igual ao produto da sua projeção pela hipotenusa.

Altura ao quadrado é igual ao produto das projeções dos catetos.

O produto dos catetos é igual ao produto da hipotenusa pela altura.

Lembre-se que cateto, hipotenusa, altura e projeções são medidas!

Exercícios10. Determine as incógnitas indicadas na figura:

11. Num mapa, as cidades A, B e C são os vértices de um triângulo retângulo, e o ângulo reto está em A. A estrada tem 80 km e a estrada tem 100 km. Montanhas impedem a construção de uma estrada que ligue diretamente a cidade A com a cidade B. Por esse motivo, projetou-se uma estrada saindo da cidade A e perpendicular à estrada , para que ela seja a mais curta possível. Calcule o comprimento da estrada que será construída.

AC BC

80

100

(3, 4, 5) => (60, 80, 100); temos que AB = 60 km.a . h = b . c => 100.h = 80.60Logo h = 48A estrada medirá 48 km.

TrigonometriaEla está em todo lugar!

Trigonometria – seno, cosseno e tangente

Ângulo θ -> ângulo theta (letra do alfabeto grego)

Exercícios14. O triângulo ABC é retângulo. Determine suas razões trigonométricas.

...923,013

12ˆ h

cobsen

...384,013

5ˆcos h

cab

...384,013

5ˆ

h

cocsen

...923,013

12ˆcos

h

cac

4,25

12ˆ ca

cobtg ...416,0

12

5ˆ

ca

coctg

Exercícios15. Sabendo o valor do seno, consulte a tabela trigonométrica e

determine a medida dos ângulos em graus.

16. Determine o ângulo de elevação do Sol, sabendo que o comprimento da sombra projetada por uma torre com 36 m é de 200 m.

º67ˆ...923,0ˆ bbsen

º67ˆ...384,0ˆcos bb

º67ˆ4,2ˆ bbtg º23ˆc

º10ˆ18,0200

36ˆ

ca

cotg

17. Um foguete é lançado de uma rampa situada no solo, sob um ângulo de 30º. A que altura encontra-se esse foguete após percorrer 8 km em linha reta?

18. Uma escada de 4,8 m está apoiada na parede de um muro, fazendo um ângulo de 76° com o chão. Qual a distância entre o muro e o primeiro degrau da escada?

4

5,0.88

5,0

8º30

x

x

x

xsen

Resposta: O foguete está a 4 km de altura.

1616,1

242,0.8,4

8,4242,0

8,4º76cos

x

x

x

x

Resposta: Aproximadamente 1 m.

6,5

07,0.8080

07,0

80º4

x

x

x

xtg

2,52

48,3.1515

48,3

15º74

x

x

x

xtg

Resposta: A altura das nuvens é de 5,6 km.

Resposta: O ponta A está a 52,2 m do solo.

19.

20.

x

Razões trigonométricas de 30°, 45° e 60°

x sen x cos x tg x

30°

45°

60°

2

1

2

2

2

3

2

3

3

3

1

32

1

2

2

21. De um ponto A um observador vê o topo da Torre Eiffel sob um ângulo de 45°. Se avançar 20 m em direção à torre, o ângulo passa a ser de 60°. Qual a altura da torre?

22. Qual a altura do prédio da figura ao lado?

Exercícios

xh

x

hx

htg

T

T

T

3

3

º60

x

20 + x3,2710310)13(

)13(.)13(

20

20)13(

203

320

x

x

xx

xx

3,473,272020 xhT

30602

160

º30

P

P

P

h

h

htg

Resposta: A altura da torre é 47,3 maproximadamente.

Resposta: A altura do prédio é 30 m.

Circunferência e arcos

rCdCd

C..2.

dCd

C.14,3...14,3 rd .2 ...14,3

a

r

a

C º3602º360

Relações métricas na circunferência

Exercícios23. O sino do relógio mais preciso do mundo, o Big

Ben, fica na Torre de Santo Estéfano, em Londres, na Inglaterra. Os ponteiros desse relógio são enormes e medem dois metros e setenta centímetros, o das horas, e quatro metros e trinta centímetros, o dos minutos. Qual é a distância que a ponta de cada ponteiro percorre num intervalo de tempo de 6 horas?

4,5

7,2..2

.2

H

H

HH

C

C

rC

6,8

3,4..2

.2

M

M

MM

C

C

rC

5,87,22

4,5

HP 1626,516.6,8 MP

Resposta: Aproximadamente 8,5 m o ponteiro das horas e 162m o ponteiro dos minutos.

Exercícios24. Calcule o valor de x nas figuras.

4

4

334

3).1().14(

2

22

x

xx

xxxx

xxxx

2

80)2).(8(

0166

032122

8.4)122(

)44.(4)12.(

2

2

x

xxx

xx

xx

xx

xxx

4

80)4).(8(

0324

06482

64)82(

8)8.(

2

2

2

x

xxx

xx

xx

xx

xxx

Relações métricas polígonos regulares

Apótema Lado

Triângulo

Quadrado

Hexágono

23

ra

224

ra

326

ra

33 r

24 r

r6

Exercícios25. Na figura temos um quadrado inscrito e outro circunscrito a uma

circunferência de raio 5 cm. Determine:

a medida do lado do quadrado inscrito;

a medida do lado do quadrado circunscrito;

o apótema do quadrado inscrito;

o apótema do quadrado circunscrito.

254

104 L

22

54 a

54 A

10 cm

Área das figuras planas

Polígono regular: S = p.a

Exercícioso lado do pentágono regular mede 8 cm e seu apótema mede 2,8 cm; as diagonais do losango medem 12 e 18 cm; o lado do triângulo isósceles mede 5 cm e sua base mede 6; os lados do retângulo e do paralelogramo medem 3 e 10 cm; o ângulo agudo do paralelogramo mede 45°; e o raio da circunferência mede 3 cm.

26. Calcule, em centímetros, a área das figuras, sabendo que:

Reptiles – M.C. Escher

2568,2.20

20

405.82

cmS

p

p

1- Pentágono regular

2- Losango

21082

12.18cmS

3- Triângulo isósceles

2

222

122

4.6

453

cmS

hh

4- Retângulo2303.10 cmS

5- Paralelogramo

2

22222

2

230

2

23.10

2

23

2

33

cmS

xxxx

6- Círculo22 93. cmS

27. Qual a área da região colorida de cinza na figura, em metros quadrados?

28. Qual a área da região colorida de cinza na figura, se ABCD é um quadrado cuja diagonal mede 12 cm?

04,1134

4.36.14,3)26.(14,3.

4

1.

º360

º90 22 rSSC

56,124.14,3222 rSC

26

212

2

d

362

26.26

2

.

hbS ABD

04,773604,113 ABDSCT SSS

Resposta: 12,56 m2

Resposta: 77,04 m2

FIM

Feliz 2010!