rede recíproca em 1d a espaço real ou direto – rede de bravais onda plana e ikx onde k=2 / para...
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Rede Recíproca em 1D
a
Espaço real ou direto – rede de bravais
Onda Plana eiKx onde K=2/
Para alguns valores de K, a onda plana terá a mesma periodicidade da rede de bravais
eiK(x+a) = eiKx
ou eiKa=1 (K=2/a)
O conjunto de vetores de onda K que produzem ondas planas com a mesma periodicidade de uma dada rede de Bravais é conhecido como rede recíproca.
Espaço recíproco – rede de Bravais
2/a
Rede Recíproca em 3D e 2D
Conjunto de vetores K com a mesma periodicidade:
A rede recíproca também é uma rede de Bravais:
Observemos primeiramente que: bi aj = 2ij
Podemos escrever K como uma combinação linear dos vetores b1, b2, b3 e R como combinação linear dos vetores a1, a2, a3
K=k1b1 + k2b2 + k3b3, R=n1a1 + n2a2 + n3a3
KR = 2(k1n1 + k2n2 + k3n3)= 2 inteiro
k1, k2, k3 são inteiros
21
1 2
2
a n
ga a
12
1 2
2
n a
ga a 3 0g n
3D:
2D:
Célula de Wigner-Seizt
Escolha um ponto da rede e trace linhas que conecte este ponto aos vizinhos mais próximos
Desenhe bissetrizes cortando, perpendicularmente, as linhas traçadas anteriormente.
A menor área definida por estas linhas é a célula de Wigner-Seizt (em laranja)
Espaço direto
Célula de Wigner-Seizt de uma BCC
Célula de Wigner-Seizt de uma FCC
Espaço recíproco
Zona de Brillouin BCC
Zona de Brillouin FCC
Estrutura de Bandas para a Ag
Rede recíproca em 3D: composta de pontos distribuídos no espaçoRede recíproca em 2D: composta de linhas distribuídas no planoRede recíproca de um cristal real: superposição das duas redes
Nomeclatura de superfícies
Notação de Wood:S(hkl)(mn)R-A
Notação Matricial:
b1 = s11a1 + s12a2
b2 = s21a1 + s22a2
s11 s12
s21 s22S=
Superfícies de Metais
• Relaxações em superfícies limpas;
• Reconstruções em superfícies limpas;
• Reconstruções devido a presença de contaminantes.
fcc(100) fcc(110) fcc(111)
bcc(100) bcc(111)bcc(110)
Relaxações em Metais
Por que relaxação?
Reconstruções em Metais
fcc(110)(1x2):Missing-row
• Iridium• Platina• Ouro
fcc(100)(1x5):
• Iridium• Platina• Ouro
bcc(100)c(2x2):
• Tungstênio
Reconstruções em Metais devido à presença de contaminantes
Sítios de adsorção de alta simetria no fcc(100):
top
4-fold hollow
bridge
Sítios de adsorção de alta simetria no fcc(110)
hollow-tilted
long bridge
short bridge
2-foldhollow
top
Sítios de adsorção de alta simetria no fcc(111):
bridge
3-fold fcchollow
3-fold hcphollow
top
Co(0001)(33)R30-CO
1.17 0.06 Å
1.78 0.06 Å
2.04 0.05 Å
2.034 Å
0.04 0.04 Å
100 200 300 400
(2/3,2/3)
(2,0)
(1,1)
(1,0)
Inte
nsity
(a.
u.)
Energy(eV)
100 200 300 400
(4/3,1/3)
(1/3,1/3)
Energy(eV)
Experimental Theory
//
Rh(111)(33)R30-CO
Rh(111)(2x2)-3CO
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 5.5
1.0
1.2
1.4
1.6
1.8
2.0
2.2
2.4
C-Co
C-O
Bon
d Le
ngth
(Å
)
Effective Coordination
Top Bridge FCC HCP 4fold
fcc(110)(2x1)-O – missing row/added row
O
missing rows
Ni(111)(3x3)R30-Sn (Sb sobre Ag(111))
Sn sobre Ni(111), Ni(100) e Ni(110)
Sn
Ni
Sn-Ni= (0.45±0.03)Å Sb-Ag= (0.07±0.04)Å
Ni(100)c(2x2)-Sn
Sn
Ni
Sn-Ni= (0.44±0.05)Å
Ni(110)c(2x2)-Sn (Sb sobre Ag(110))
Sn
Ni
Sn-Ni= (0.40±0.03)Å Sb-Ag= (-0.05±0.05)Å
(111) (100) (110)
Sn sobre Ni 0.45 0.44 0.40
Sb sobre Ag
0.05 ?? -0.05
Cu(100)(3x3)-5Li Cu(100)(4x4)-10Li
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