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Presses polytechniques xomandes, Lausanne, 1983. OCR Output
Txaitement dans l'espace d'état,
Résumé du livre : Réglages échantillcnnés, V01. 2
Mai 1984
Cours de pexfecticnnement CERN
Prof. H. Buhler
REGLAGES ECH/WTILLQJNNES
-
(12.8) OCR Output¤T :14*1 C2 cn]
bn
(12.7)
dnl dn; ... Gun
(12.6)021 022 02n
011 an 01::
c‘x + du (12.5)
SI
dr— x = x = A x + b u (12.4)d .
12.2.5 Equations d’état d’un systéme monovariable
12.2.4 Espace d’état
In
(12.3)
12.2.3 Vecteur d‘état
cxx! + czxz + + c,,x,, + du (12.2)
1.. dfa,,,x, + 41,,2::2 + + a,,,,x,, + b,,u
dx,,
df (12.1)Gzxxl + Gggxz + ... + Gznxn + bgll
dx;
dfUnix] + Glzxz + ... + Glnxn + blu
dx]
`l2.2.2 Systéme d’équati0ns différenticllcs du premier ordre
12.2.1 Généralités
12.2 EQUAT10Ns UETAT DUN SYSTEME c0NT1NU
12.1 1NTRODUcT10N
OCR Output12. Equations d’état
-
(12.41)*I¤(eT)Bu(kT) OCR Output
(t -1·)B u(·r) dr (kT + eT- r) dr] B u(kT)[ [ k Tk T+e T
élément de maintien
12.3.6 Solution de1’équati0n d’état différentielle, systéme échantillonné avec
um(r)= u(kT); kT
-
ir verse, relations générales OCR Output12.4.2 Calcul de la matrice de transition d`état- par la transformation de Laplace
12.4.1 Généralités
12.4 MATRICE DE TRANSITION D’ETAT
12.3.11 Matrices inhérentes aux équations d’état
12.3.10 Diagramme structurel
(12.54)y[k,e] = Cx[k,e] + Du[k]
(12.53)y[k,e] = Cx[k,e] + Du[k]6[O]
(12.52)x[k,e] = F(e)x[k] _+ H(e)u[k]
(12.51)H(e) = *I¢(eT)B
avec élément de mainticn
(12.50)H(e) = *}¤6(eT)B = F(e)B
sans élément de maintien.
me) = i>(eT) (12-49)05 6 S f12.3.9 Etat entre les instants d’échanti1lonnage
12 .3 .8 Diagram me structurel
(12.48)y[k] = Cx[k] + Du[k]
(12.47)x[k+1] = Fx[/c] + Hu[k]
(1_2.46)H = *P(T)B
et
(12.45)F = om £=· 1.
12.3.7 Equations d’état, systéme échantillonné avec élément de maintien
(12.44)x(kT + eT) = ·i>(eT)x(kT) + *1¤(eT)B u(kT)
er
(12.43)if (eT) = —· [ (v) dv = [ ¢I>(·r) dreT
v = kT + eT-· r.
kT
(12.42)¤P(eT) = [ (l:T+eT—r) drkT·¢T
-
(13.81) OCR Output+ (CF(e)[z1-F]"H+CH(e)+D) U(z)
Y(z,e) = CF(e)[z1—F]" zx[O] +
Y(z,e) = CX(z,e)+DU(z) (13.80)
X(z,e) = F(e)[zl-F]"zx[0]+(FC€)[Z1‘Fl"H+H(€)) U(Z)(13·79)
X(z,e) = F(e)X(z)+H(e) U(z) (13.78)
X(z) = [21-F]"(zx[O]+HU(z)) (13.77)
(13.76)z(X(z)·—x[O])= FX(z)+H U(z)
13.6.2 Solution des équations d’état par la transformation cn z
13.6.1 Génémlités
13.6 FONCTION DE TRANSFERT
(13.7)y[O] = C·x[O]+Du{0]
i=1
(13.6).V[k] = CFkx[O]-I; Z CFi"’Hu[k·z`]+Du[l:]
(13.5)y[k] = Cx[k]+Du[k]
13.2.3 Solution dc l’équation dc sortic
F" = (kT) (13.4)
i=1
(13.3)xm = F" xm] + X FM 1=1u[k—z]
Fx[O]+F2 Hu[O]+FHu[1]+Hu[2]= 3x[3] = Fx[2] +.Hu[2]
(13.2)Fzx[O]+FHu[O]+Hu[1]
x[2] = Fx[1] +Hu[1]
x[1] = Fx[O] +Hu[0]
(13.1)x[k+1] =Fx[k] + Hu[k]
13.2.2 Solution dc l’équation d‘état aux différenccs
13.2.1 Généralités
13.2 SOLUTION DES EQUATIONS D’ETAT
13.1 INTRODUCTION
OCR Output13. Comportcment transitoire dans Pespace c1’état
-
(I4-10) OCR Outputus = Q? (¤¤[¤1·F"x[0])
(14.9)det Qc 4+ 0
14.2.5 Condition de commandabilité
)F‘h = F(F"’ Ji (14.8) .
z”"Q. = [h Q mi Fhi Q Fh] (14.7)
k = ¤
14.2.4 Matricc de commzmdabilité
us = QE' (xikl ·F"x[0]) (14-6)
x[k] = F"x[O] + Qcus (14-5)
¤l01
(14.4)Us = I ~U
-
cTFk=1 OCR Output
(14.82)Qc: CTF]cTF
¤[¤1
A" Hq = ll[k"3] (14.81)u[k-2]u[k—l]
y[k·11
Ys: F12] (14.80)yllly[01
+c‘Fhu[k—3]+...+cFhu[O]T""Dy[k-1] = c r x[O]+dz¢[k—1]+c‘hu[k—2]+
TK-]
(1479)yl?] cFx[O]+du[2]+c‘hu[1]+c'Fhu[O]=T2yl!] cFx[O] +du[l] +c‘hu[O]= Ty[0] cx[O] +du[O]= T
(14.78)ypq = JF"x[0] + Z cTFi·*hu[k—z] +du{k]
14.6.3 Suite de la grandeur de sortie
.mcsumnt su surtic pendant un nombre Gni k de périodes d’échz1ntillonnage.Un systémc csi obscrvublc 1orsqu`i1 est possible de détcrmincr l`ét:1t initial x [O] cn
dc In muniére suivantc:
On peut déHnir l’0bsc·n¤ubiliré d`un systémc échuntillonné uu d’un systéme discret
14.6.2 DéHnti0n dc |`0bscrvabi1ité
14.6.1 Généralités
OCR Output14.6 OBSERVABILITE D’UN SYSTEME MONOVARIABLE
-
cF’*·*
(]4_]07) OCR Output_ I = mmk: rang | .CF
OCR OutputOCR Output14.7.6 Indice d’0bscrvabilité
-
Z 4Yn-[ X ,1 (Z) OCR Output
(15.33)zX2 (2) =X 5 (Z)
2X] (z) = X2 (Z)
Zn-1X1 (Z) X ,1 (Z)
(15.32)z2X1(z) = X3 (Z)ZX 1 (Z) = X2 (Z)
= U
-
(19.69)kT = (J 1]E
eTFR
JF""
(19.68)
eTF
a‘ = [ao oz, oz"-,] (19-67)
(19.66)kT = 6.,J +a1eTF+ +an-1eTF”“* +eTF”
d`état
19.3.7 Relation finale pour la détemmination du vecteur ligne de la contre-réaction
G (19.65)eTFZ;"* = eTF@`°F= eTF”`° (F—hkT) = eTF""
GG (19.64)eTFé = eTFF= eTF(F—hkT) = eTF2
(19.63)eTF,: = eT(F—hkT) = eTF—eThkT = eTF
eTF"“‘ h = 1
(19.62)eTF°h = 0
eTFh = 0
eTh = O
eQc = e[h Fh F2}: F""h] = [O O O 1] (19.61)TTOCR OutputOCR OutputOCR OutputOCR OutputOCR OutputOCR OutputOCR OutputOCR OutputOCR Output19.3.6 Transformation en tenant compte des propriétés de e
25 OCR Output
-
cs (1-Fs -+-hsks) hs OCR Output‘kv =
(19.90)-1
c§(1-Fs +hsks;)ihs,et
T cs (1-Fs +hsk,) h,T _1(19.89)
ys = w =cE (l tFs + hsk;-)"’ [hskww + (hs., -hsk,,)v] (19.88)
(1-Fs +hsk§)xs = hskww + (hw ¥hskv)v (19.87)u = —k§ xs +kww—kvv (19.86)
XR=O,
y, = cg xs=w (19.85)
(1 ·Fs)xs = hsu +hs,,v (19.84)
u[k]=u,v[k]=v,
xs[k +1] = xs[k] = xs (19.83)
19.4 .4 Grandeur d’état du régulateur nulle en régime établi
kw=k.,,=0.
19.4 .2 Réglage d’état sans intervention directe
19.4.1 Généralités
DES GRANDEURS DE CONSIGNE ET DE PERTURBATION
19.4 DETERMINATION DES COEFFICIENTS DE IJINTERVENTION DIRECTE
-
2,959 1,568 C 2,34 0,043 0,159 OCR OutputCompensation d’un péle
nulle en régime établiGrandeur d'état du régulateur 6,402 2,022 1,01 0,589 0,125
0 0 4,30 0,014 0,445Sans intervention directe
kw kv Fm/T Ahmax hv maxconsigne perturbation
21 la grandeur deRéponse indicielle par rapport
Tableau 19.2 Comparaison des résultats.
19.4.16 Influence de l’instant de1’apparition de la grandeur de perturbation
19.4 .15 Comparaison des résultats
hGv = hsv_hskv
hcw = hskw (19.137)
FG = Fs"hsk·§
(19.136)kT=k'f`
(19.135)TF=F,; h=hs; c=c§
.13 Régiage d’état sans régulatcur intégrateur19.4
l"'Zi(19.104)k., = ii
(19.103)n0=k —k “’ R
-—?——- W k._.,(z—n0) (19.102)kR+kw(z—l)=kwz+kR-kw=kw z
kw`kR
19.4.7 Compensation d’un pole par rapport a la gandcur dc consignc(19.101)Y(Z) = cli'. (Z)
hs [kn + kw (Z ·· 1)] W(Z) + (Z · 1) (hw -11. k1)V(Z) (19-100)
[Z(Z · 1) 1·(Fs -fr./ZZ) (Z · 1) + kRhs¢Z`1X. (Z)
Z _1(19-99)XR (Z) 1W(Z)ᢤX1(Z)]
(19.98)zXR (z) = XR (z) + W(z)—c§`Xs (2)
+ hskR XR(z) + hskw W(z) —h$k., V(z) + hw I/(z) (19.97) l
ZX. (Z) = FSXS (Z) -h$ké"Xs (Z) +19.4.6 Compensation d’un p61e,re1ati0ns générales
-
; (19.261) OCR Output~R•• kw=
(19.260)
[Z(Z· 1) 1 ·(F$ ·H$Ks) (Z · 1) +HsKR CSIXS (Z) = Hs [KR +Kw (Z ·1)1W(Z)
zXR (z)=XR (2)+ W(z)#CsXs (z) (19.259)
zXs (z)=F, XS (z)-HSKSXS (z) +HsKp_ XR (z) +HsKw W(z) (19.258)
compensation de poles
19.7.8 Détermination des matrices d’interventi0n directe des grandeurs de consigne,
Ky = [CS (1 · Fs + HSKS) " Hs1" €'s(1 _ ii + HSKS) `I Hy (19-257)
et
(19256)Kw = [€'s(1 -1% +HsKs)"Hs1"
(19-255)W = €s(1·1‘*§ +HsK$)" IHSKW W + (HSV ·HsKy)¤*]
u = -—Ksxs+Kww—K,,v (19.254)
et (avec xg = 0)
y = Csxs = w (19.253)
(1-F}_)xs=Hsu+Hs,,v (19.252)
xs [k +1]=xs[k]=xS et u[k]=u, v[k] = v,
xn [k1=xn = 0,
de perturbati0n,vecteur d’état du régulateur nul en régime établi19.7.7 Détermination des matrices d’intervention directe des grandeurs de consigne et
(19.251)K = k..kT
(19.250)uc [k] =—k‘ x[k]
h = Hku (19.249)
avec
x[k+1] = Fx[k]+hu,, [k] (19.248)
(19.247)k., = I 'Y“’
ku]
(19.246)u[k] = ku uo [k]
linéaire des gmndeurs de commandeOCR OutputOCR OutputOCR Output19.7.6 Détermination de Ia matrice de contre-réaction d’état par combinaison
-
h[_g=].€th;_]=O
`ielf = d}Q;1 (19.337) OCR Output
J = OT
lel; Qm + ez Qu = dg (19.336) ·~
[ef, f] (19.335)elm= d?[Q] Qcefel= [6}; ez] (19.334)
Qci = (19.333)[Q"'] QCQ19.8.10 Détermination du vecteur ligne ef pour ni < n/m
dg = di; QQ} Qu (19.332)
(19.331)ef = dg Q;
(19.330): dQ°"T T 2 Q $ ei Qc: = de
(19-329)1* [Qm Qu] = ld}; dz]
=
(19327)Qc: = 1Qm Qc.]
19.8.9 Détermination du vecteur ligne ef pour ni > n/m
h;_;=1ethi_,= O pour I ¢i.
hw = O pour I > i.
(19.326)` `
e}=.11}QQ
OCR OutputOCR OutputOCR OutputOCR Output19.8.8 Détermination du vecteur ligne efpour ni = n/m5*1*
-
(19.399) OCR OutputFG = F-HK W=FQ —H,K, Hs KRL Cs I 1
19.9.14 Systéme global fermé
(19.398)KW = KUKQ,
(19.397)Kp_= KUKIQ
(19.396)K = [K, -KR]
(19.395)u[k] = -Kx [k] +Kw w[k]
(19.394) __u[k] = —K$xs[k]+K,_;K{;_ xR [k]+K,,K{,,w[k]
19.9.13 Matrice de contre-réaction d’état et matrice d’intervention directe
1 "Zg_;(19.393)kin = LE
consngne
19.9.12 Détermination des coefficients de Pintervention directe des grandeur de
(19-392)klm = 9%,0 f' 7*: =Zi,1 2i,2 ‘ (zi,1 +2;,:) + I
(19.391)A; ='-(1+oq_1) = zm +zi_2 -1
(19.390)I + Ai = _ai,l Ai + HU = am fOCR OutputOCR OutputOCR Output19.9.11 Détermination des coefficients inhérents aux sous-systémes
58
-
20.2.12 Diagramme structure!
(20.39) OCR OutputF1. = Fs ·K¤ C',
avec
(2033)xb‘[k +1] = Fb xb [k] + HS u [k] + Kb ys[k]
20.2.11 Observateur d’état pour systémes multivariables
mmplaccr F Pa? F; 1 h P3? Cs =(cI)T et |’on obtient kt, 5 la place de k
(20.13)d¢*(¤i·F_{,) = 0
(20.12)Fg = Fi —¢sk{
(20.11)z”+{3,,_,z"" +...-%-6,2+60 = 0
det(z1- Fb) = 0 (20.10)
20.2.6 Equation caractéristique de Yobservateur
(20.9)Eb [k+1] = (Fs —k,,¢§)§b [k] = Fb-Eb [k]
xs [k +1] = FsxS[k] + hsu [lc] (20.8)
xt, [k +1] = (IQ — kb'.-;) (xs [k] — SE), [k]) + hsu [k] + kb cfxs [1:] (20.7)ys {kl`: cé xs1k1
en remp1ac;antxb[k] par xs [k] -· SQ, [k].
§,,[k] = xs[k] —xb{k] (20.6)
20.2.5 Erreur d’observati0n
Fb = Fs-kbc;
(20.4)xb[k"‘11 = Fbxb [k]+h$u[k]+k1,ys[k]
(20.3)eblkl = y.1k1 `J’b1k1
(20.2)yb [k1 = dx:. [kl
(20.1)xb[k+1] = F,xb[k]+hSu[k]+k,, eb[k]
20.2.4 Systéme d’équati0ns
20.2.3 Structure de Pobservateur
20.2.2. Modéle du systéme :1 régler
20.2.1 Généralités
20.2 OBSERVATEUR D’ETAT
20.1 INTRODUCTION
EIVGC OIJSSYVEIJCSLIY20. Observateurs et réglage d’état
-
(20.74)}`b[k+I] == Fbfb [k]
et
(20.73)x [k+ I] = FG x [k] +Hsb gb [k] + HGW w [k]
(20.72)HG`, = Hw+HKw = s WH K [l]
x[k] = (20.71)k [xs [ xnikl20.3.6 Comportcmcnt par rapport au vccteur dc consigznc
(20.70)
zl "‘ Fbdct(zl—FG)dct(zl-Fb)dct(zl-Fc) = det
zl `FG "HSb
0(20.69)_ Hsb
HsKs
(20.68)[FG H’°(20.67)= F·HK = R
_ [K= KR]F ··H K HSKR Fg 0 H S S s[-0; = _ 1 [ [-0, 1 o
OCR Output20.3.5 Principe dc séparation
M OCR Output
-
(20.151) OCR Output; Hm =Fm =b C. — Hs.,f [Iggy]
(20.150)xuc [k+I] = Fuc xbo [ki ‘*`H¤o *’[k]
(20.149)[ki ["° "" ] ”b [ki20.5.8 Equation aux différences pour Fobservateur global
(20.148)vb[k+1] = LbCsPb [k] + vb [k]
(20.147)S:'b[k+1] = (F; —KbCs)$Eb [k] -H,,,v1,[k] +HsyV[k]
fb [Ic] = xs [k] —xb
20.5.7 Erreur d’observati0n
Fb = Fg " Kb Cs.
(20.146)"¤ [(*+1] = `Lbcsxn [k] + ”1>[k] +L¤J’s[k]at
(20.145)xb[k+1] = Fbxb[k]+Hsvvb[k]+Hsu [k]+KbyS[k]
(20.144)¢¤U
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