relasi dan fungsi - ee.unsoed.ac.idstwn/kul/tke132107/matdis-2013-4+1.pdf · m x n. matematika...
Post on 18-Mar-2019
229 Views
Preview:
TRANSCRIPT
Tahun Ajaran 2013/2014
Relasi dan FungsiMatematika Diskret (TKE132107)
Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Iwan Setiawan <stwn at unsoed.ac.id>
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Himpunan.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Mempunyai elemen atau anggota.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Terdapat hubungan.
Contoh?
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Mahasiswa dan mata kuliah.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Mahasiswa dan keluarga.
Bilangan?
Yang lain?
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Program dengan variabel.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Bahasa pemrograman dengan sintaksnya.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Teks polos dan terenkripsi.
Relasi?
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Hubungan antara elemen himpunandengan elemen himpunan lain.
Matriks
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Matriks merepresentasikan struktur diskret.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Struktur diskret digunakan untuk merepresentasikan obyek-obyek
diskret dan hubungannya.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Relasi, graf, pohon, ...
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Matriks adalah susunan skalar elemen-elemen dalam baris dan kolom.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
m x n
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
A = [aij]
Matriks bujursangkar?
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Matriks-Matriks Khusus
● Matriks diagonal.● Matriks identitas.● Matriks segitiga atas/bawah.● Matriks transpos.● Matriks setangkup.● Matriks 0/1.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Operasi aritmatika matriks.
(1) Penjumlahan matriks?
(2) Syarat penjumlahan matriks?
(3) Perkalian dua buah matriks?
(4) Syarat perkalian matriks?
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Sifat-sifat operasi perkalian matriks.(dapat dibaca pada buku referensi)
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Perkalian matriks dengan skalar.
Relasi
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Hubungan.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Jika terdapat 2 himpunan, kita dapat me-nyatakan hubungan di antara keduanya.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Pasangan terurut.(ordered pairs, dari perkalian kartesian)
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Himpunan yang elemennya semua pasangan terurut yang (mungkin) dibentuk dari anggota pertama dari himpunan A dan anggota kedua dari himpunan B.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Notasi: A x B = {(a,b) | a ∈ A dan b ∈ B}
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Relasi biner.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Relasi biner R antara himpunan A dan Badalah himpunan bagian dari A x B.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
R ⊆ (A x B)
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Jika (a,b) ∈ R, kita gunakan a R b.(a dihubungkan dengan b oleh relasi R)
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Jika (a,b) ∉ R, kita gunakan a R b.(a tidak dihubungkan dengan b oleh relasi R)
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
A disebut daerah asal (domain) dari R.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
B disebut daerah hasil (codomain) dari R.
(5) D adalah himpunan mahasiswa dan E adalah himpunan mata kuliah. D = {Badu, Almi, Magi}, dan E = {Matematika Diskret, Teknik Digital}.
Berapa jumlah perkalian kartesian antara D dan E? Sebutkan himpunan pasangan terurutnya!
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
| A | . | B |
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
A x B = { ? }
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Jika R adalah relasi yang menyatakan mata kuliah yang diambil pada semester ganjil.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
R = { ? }
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
(Badu, Matematika Diskret) ∈ R
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Badu R Matematika Diskret
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
(Badu, Teknik Digital) ∉ R
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Badu R Teknik Digital
(6) Ada dua buah himpunan A dan B. A = {5, 9, 11, 21} dan B = {5, 15, 21, 22, 81}. Jika kita definisikan relasi R dari A ke B dengan:
(a,b) ∈ R jika a habis membagi b.
Tentukan relasi R dan gambarkan!
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
R = { ? }
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Gambar 2 cakram dan tuliskan elemenA dan B pada masing-masing cakram.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Jika (a,b) ∈ R, gambarkan panah daria ke b yang menyatakan a mempunyai
relasi dengan b.
Relasi khusus?
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Relasi yang didefinisikan hanyapada sebuah himpunan saja.(Contoh pada himpunan A adalah relasi dari A x A)
Representasi Relasi
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
(1) Representasi relasi dengan tabel
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
(2) Representasi relasi dengan matriks
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
(3) Representasi relasi dengan graf berarah
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Directed graph atau digraph.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Setiap elemen himpunan dinyatakan dengantitik, atau disebut sebagai simpul atau vertex.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Tiap pasangan terurut dinyatakan dengan busur (arc) yang arahnya ditunjukkan dengan panah.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Jika (a,b) ∈ R, maka sebuah busurdibuat dari simpul a ke simpul b.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Terdapat simpul asal dan simpul tujuan.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Pasangan terurut (a,a) dinyatakan denganbusur dari simpul a ke simpul a sendiri.
(kalang atau loop)
Relasi Inversi
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Baca di buku referensi.
Kombinasi Relasi
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Relasi biner merupakanhimpunan pasangan terurut.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Operasi himpunan dapat diterapkan.(irisan, gabungan, selisih, beda setangkup, dkk.)
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Hasil operasi juga berupa relasi.
(7) A = {a,b,c} dan B = {a,b,c,d}. Relasi R1 = {(a,a),(b,b),(c,c)} dan relasi R2 = {(a,a),(a,b),(a,c),(a,d)} adalah relasi dari A ke B.
Tentukan R1 ∩ R2, R1 ∪ R2, R1 – R2, R2 – R1, R1 ⊕ R2!
Komposisi Relasi
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Menerapkan relasi pertama, baru yang kedua.
(8) R = {(1,2),(1,6),(2,4),(3,4),(3,6),(3,8)} adalah relasi dari himpunan {1,2,3} ke himpunan {2,4,6,8} dan S = {(2,u),(4,s),(4,t),(6,t),(8,u)} adalah relasi dari himpunan {2,4,6,8} ke himpunan {s,t,u}.
Tentukan komposisi relasi R dan S!
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Tulis “komponen pertama” dari relasipertama, kemudian tulis “komponen
terakhir” dari relasi kedua.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Baca sifat-sifat relasi pada buku referensi.
Fungsi
Berapa lama waktu yang dibutuhkan komputer untuk mengeksekusi
sebuah program?
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Perkalian matriks.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Terdapat hubungan antara ukuranmasukan dengan kebutuhan waktu.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Kebutuhan waktu adalahfungsi dari ukuran masukan.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Relasi biner f dari A ke B merupakan fungsijika setiap elemen di dalam A dihubungkan
dengan tepat 1 elemen di dalam B.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
f : A → B(f memetakan A ke B)
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Fungsi disebut pemetaan/transformasi.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
f(a) = b, jika elemen a di dalam A dihubungkan dengan elemen b di dalam B.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Himpunan A merupakan daerah asal dari f.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Himpunan B adalah daerah hasil dari f.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Jika f(a) = b, maka b dinamakan bayangan dari a.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
a dinamakan pra-bayangan dari b.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Himpunan yang berisi semua nilai pemetaanf disebut dengan jelajah (range) dari f.
(9) Apa perbedaan antara relasi dan fungsi? Jelaskan!
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Fungsi adalah relasi yang khusus.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Dengan cakupan:
1) tiap elemen di dalam himpunan A harus dipakai oleh prosedur yang mendefinisikan f,
2) terdapat implikasi “dihubungkan tepat satu elemen”: jika (a,b) ∈ f dan (a,c) ∈ f, maka b = c.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Contoh Bentuk Fungsi
● Himpunan pasangan terurut.● Fungsi adalah relasi.
● Formula pengisian nilai.● f(x) = 4x + 3.
● Kata-kata.● f adalah fungsi pada blabla..
● Kode sumber program● Sesuai dengan sintaks. Ada parameter.
(10) Relasi f = {(1,u),(2,v),(3,w)} dari A = {1,2,3} ke B = {u,v,w} adalah fungsi dari A ke B.
a) Tentukan f(1), f(2), dan f(3)!b) Sebutkan daerah asal, daerah
hasil, dan jelajah dari f!
(11) A adalah himpunan mahasiswa di Unsoed. Mana dari pemetaan berikut yang mendefinisikan fungsi pada himpunan A?
a) setiap mahasiswa memetakan NIMb) setiap mahasiswa memetakan plat nomorc) setiap mahasiswa memetakan istrinyad) setiap mahasiswa memetakan kosnyae) setiap mahasiswa memetakan dosen
walinyaf) setiap mahasiswa memetakan dosen
favorit
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Fungsi satu-ke-satu (injektif), fungsi pada(surjektif), fungsi berkoresponden
satu-ke-satu (bijeksi).
Fungsi Inversi
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Baca di buku referensi.
Komposisi Fungsi
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Misal g adalah fungsi dari himpunan A ke himpunan B, dan f adalah fungsi B kehimpunan C.
Komposisi f dan g dinotasikan dengan f ○ g, adalah fungsi dari A ke C yang didefinisikan oleh (f ○ g)(a) = f(g(a)).
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
f ○ g adalah fungsi yangmemetakan nilai dari g(a) ke f.
(12) Diberikan fungsi g = {(1,u),(2,u),(3,v)} yang memetakan A = {1,2,3} ke B = {u,v,w}, dan fungsi f = {(u,y},(v,x),(w,z)} yang memetakan B = {u,v,w} ke C = {x,y,z}.
Sebutkan fungsi komposisi A ke C!
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Daftar Bacaan
● Munir, R. 2010. Matematika Diskrit, Revisi Keempat, Penerbit Informatika.
top related