resolução leithold vol 1 2.1
Post on 02-Jan-2016
2.155 Views
Preview:
TRANSCRIPT
RESOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS LEITHOLD 2.1 PAG 63
Nos Exercícios de 1 à 22 são dados f(x), a e L, bem como limx →a
f (x )=L :
Usando argumentos similares àqueles dos exemplos determine um 𝛅 >0 para o 𝛜 dado tal quese0<|x−a|<δ então|f ( x )−L|<ϵDepois usando as propriedades das desigualdades, determine um 𝛿>0, tal que a afirmativa (11) seja verdadeira para o valor dado de 𝜖.
Exercício 1
limx →0
sen4 xx
=limx→0
4
4sen4 x
x=lim
x →04
sen4 x4 x
=4.limx →0
sen 4 x
4 x
Fazendo 4x= t , temos
4 .limx →0
sent
t=4.1=4
Exercício 2
limx →0
2 xsen3 x
=limx →0
2 x3 x
sen3 x3 x
=limx →0
23
sen3 x3 x
fazendo3 x=t , temos
23
limx →0
sent
t
=
231
=23
Exercício 3
limx →0
sen9 xsen7 x
=limx→0
sen9 xx
sen7 xx
=limx →0
99
.sen9 x
x77
.sen7 x
x
=limx →0
9.sen 9x9 x
7.sen7 x7x
=9.limx→0
sen9 x
9 x
7.limx→0
sen7 x
7 x
=9.17.1
=97
Exercício 4
limx →0
sen3 tsen6 t
=limx →0
sen3 tt
sen6 tt
=limx →0
33
.sen3 t
t66
.sen6 t
t
=limx→0
3.sen3 t3 t
6.sen6 t6 t
=3.limx →0
sen 3t
3 t
6.limx →0
sen 6 t
6 t
=3.16.1
=36=12
Exercício 5
limy →0
3 ysen5 y
=limy →0
3 y5 y
sen5 y5 y
=lim
y →0
3 y5 y
limy →0
sen5 y
5 y
=
351
=35
Exercício 6
limx →0
sen3 xx2
=¿ limx→0
( senx ) ( senx ) (senx )x . x
=limx →0
senxx
.senx
x. senx=lim
x →0
senxx
. limx →0
senxx
. limx →0
senx=1.1 . senx=1.1 .0=0
Exercício 7
limx →0
x ²sen ²3 x
=limx →0
x ²9 x ²
sen ²3 x9 x ²
=limx →0
x ²9 x ²
(sen3 x)(sen3 x)9. x . x
=limx→0
x ²9 x ²
(sen3 x)(sen3 x)3 x .3x
lim x→0
x ²9 x ²
limy →0
(sen3 x)
3 x.limy →0
(sen 3x )
3 x
=
191.1
=
191
=19
Exercício 8
limx →0
sen52 x4 x5
=limx →0
88
.se n52 x4 x5
=81
.sen2 x2 x
.sen2x2x
.sen2 x2x
.sen2 x2 x
. sen2x2 x
=limx→0
8
1
limx →0
sen2x
2 x
limx →0
sen2 x
2x
limx →0
sen2x
2 x
limx →0
sen2 x
2x
limx→0
sen2 x
2 x=¿
¿limx →0
8
1.1.1 .1 .1.1=8
Exercício 9
limx →0
xcosx
=limx →0
x
limx →0
cosx=01=0
Exercício 10
limx →0
1−cosx1+senx
=limx→0
1−cosxx
1+senxx
=
limx →0
1−cosx
xlimx →0
1+senx
x
=
limx →0
1−cosx
xlimx →0
1
x+limx →0
senx
x
= 0limx →0
1
x+limx→0
senx
x
=0
Exercício 11
limx →0
1−cos4 xx
=limx →0
1−cos4 x4 xx4 x
=
limx→01−cos 4 x
4 xlimx →0
x
4 x
=04=0
Exercício 12
limz→0
1−cos2 z4 z
=limz→0
1−cos2 z2 z4 z2 z
=
limz→0
1−cos2 z
2 zlimz→0
4 z
2 z
= 0limx →0
2.2 z
2 z
=02=0
Exercício 13
limx →0
3 x ²
1−cos2x2
=limx →0
3 x ²
s en2x2
=limx →0
3 x ²
(senx2 )(sen
x2 )
=limx→0
3 x ²
x2
4
(senx2 )(sen
x2 )
x2
4
=limx →0
3x ².4
x2
(senx2 )
x2
.(sen
x2 )
x2
=¿limx →0
12
limx →0 (sen
x2 )
x2
.limx →0 (sen
x2 )
x2
= 121.1
=12
Exercício 14
limx →0
1−cos² x2x ²
=limx→0
sen ² x2 x ²
=limx →0
(senx ) .(senx)2 x . x
=limx →0
12
.senx
x.senx
x=limx→01
2.limx→0
senx
x.limx→0
senx
x=12
.1.1=12
Exercício 15
limx →0
tgx2 x
=limx →0
senx2 x cosx2x
=limx→0
senx
2 xcosx=lim
x →0
senxx
2xcosxx
=limx →0
senxx
.1
2cosx.=limx →0
senx
x.limx→01
2cosx=1.
12.1
=12
Exercício 16
limx →0
t g42x4 x4
=limx →0
se n42 xcos42x4 x4
=limx →0
sen42x4 x4 cos42x
=limx→0
116
sen42xx4
4 x4 cos42 x
16 x4
=
sen2x2 x
.sen 2x2x
.sen2 x2 x
.sen2x2 x
4 x4 cos42x
16 x4
=¿
¿
limx →0
sen2 x
2x.limx →0
sen2x
2 x.limx→0
sen2 x
2 x.limx→0
sen2 x
2xlimx →0
1
4.cos42x
=1.1.1 .114
.1= 114
=4
Exercício 17lim
t →0+¿sentt ²
= limt →0+¿ sent
t.1t= lim
t → 0+¿ sent
t. lim
t→ 0+¿ 1t=1. lim
t → 0+¿1t= lim
t→0+¿ 1t=+ ∞ ¿
¿ ¿
¿ ¿
¿ ¿
¿¿
¿ ¿
¿
Exercício 18
limx →0
1−cosxx ²
=limx →0
1−cosx
x.1x=limx→01−cosx
x.limx→01
x.=0.
limx →0
1
x=0
Exercício 19
limx →0
1−cos2 xsen3 x
=limx →0
1−cos2x2 x
sen3 x2 x
=
limx→0
1−cos2 x
2 xlimx →0
sen3x
2 x
= 0limx →0
sen3 x
2 x
=0
Exercício 20lim
y →0+¿sen4 ycos3 y−1
= limy→0 +¿ sen4 y
−1+cos3 y= lim
y→ 0+¿
sen4 y
4y−1+cos3 y
4y
= lim
y→ 0+ ¿ sen4 y4 y
¿ lim
y→ 0+ ¿−1+ cos3 y4y
¿ 1lim
y→ 0+¿−1+cos3 y4 y
¿ lim
y→ 0+¿ 4ycos3 y−1
=¿¿¿¿
¿¿¿
¿¿
¿ ¿
¿
¿ limy →0+¿ 4 y
¿ limy →0+¿cos3 y−1
¿ 0lim
y→0+¿cos3 y−1¿0¿
¿¿
Exercício 21
limx→❑
2
1−senx❑2
−x, fazendo t=π
2−x teremos lim
t →0
1−sen( π2−t)
t=lim
t →0
1−senπ2
. cost−cos π2
. sent
t
¿limt→01−sen
π2
. cost−cos π2
. sent
t=limt →0
1−1.cost−0. sent
t=limt →0
1−cost
t=0
Exercício 22
limx→❑
2
π2−x
cosx, fazendo t=
π2−x⇒ x=
π2−t ; teremos lim
t →0
t
cos ( π2−t)
=limt →0
t
cosπ2
. cost+senπ2
. sent=lim
t →0
t0.cost+1. sent
=¿
limt →0
tsent
=por sanduíche temosque sent<t< tant ,dividindo ambos por sent teremossentsent
< tsent
< tantsent
⇒
1< t−sent
< sentcost . sent
=e limt →01=
limt→0
t
−sent=limt →01
cost⇒−1<
limt →0
t
−sent<−1⇒
limt →0
t
−sent=−1
Exercício 23lim
x→ π+¿senxx−π
,fazendo t=x−π ⇒x=π+t ;teremos limt →0+¿
sen ( π+ t )t
= limt→ 0+¿ senπ. cost+cosπ .sent
t= lim
t→ 0+¿ 0. cost−sentt
=¿¿
¿¿
¿¿
¿¿
¿
− limt →0+¿
sentt
=−1¿
¿
Exercício 24lim
x→ π+¿tanxx−π
,fazendo t=x−π ⇒ x=π+t ;teremos limt →0+¿
tan (π + t )t
= lim
t → 0+¿
sen ( π+t )cost ( π+t)
t= lim
t → 0+¿
senπ .cost+cosπ .sentcosπ . cost−sent . senπ
t=¿¿
¿¿
¿ ¿
¿¿
¿
lim
t →0+¿
0. cost±1.sent−1.cost− sent .0
t= lim
t→ 0+¿
−sent−cost
t= lim
t →0+¿ tant
t= lim
t → 0+¿ sentt
. lim
t→0+¿ 1cost
=1.1=1¿
¿ ¿
¿ ¿
¿¿
¿ ¿
¿
Exercício 25
limx →0
x2+3 xsenx
=limx →0
x (x+3)senx
=limx→0
x (x+3)x
senxx
=limx →0
(x+3)
limx →0
senx
x
=31=3
Exercício 26
limx →0
senx3 x2+2x
=limx →0
senxx (3 x+2)
=limx →0
senxx
x (3 x+2)x
=
limx →0
senx
xlimx →0
3 x+2=12
USE O TEOREMA DO CONFRONTO/SANDUÍCHE (SQUEEZE) PARA ENCONTRAR O LIMITEExercício 27
limx →0
xcos1x
,temos que−1≤cos1x
≤1 , x ≠0 ,logo−|x|≤ xcos1x
≤ x , limx →0
−|x|≤ limx→0
xcos1x
≤ limx→0
x⇒
⇒0≤ limx→ 0
xcos1x
≤0⇒ limx →0
xcos1x=0
Exercício 28
limx →0
x2 sen13√ x
, temosque−1≤sen13√ x
≤1 , assim−¿ x2∨¿ x2 sen13√x
<¿x2∨ , para x≠0e temosque
limx →0
−¿ x2|¿ x2 sen13√x
<limx→0
¿ x2|⇒0< limx →0x2 sen
13√x
<0∴ peloteoremadoconfronto limx →0
x2 sen13√ x
=0
Exercício 29
limx →3
g ( x ) , se|g ( x )+4|<2 (3−x )4∀ x , conhecemosque|x|<a⇔−a<x<a logo−[2 (3−x )4 ]<g ( x )+4<2 (3−x )4⇒
⇒−[2 (3−x )4 ]−4<g ( x )+4−4<2 (3−x )4−4⇒−[2 (3−x )4 ]−4<g (x )<2 (3−x )4−4 , e
limx →3
2 (3−x )4=0 , assim0−4< limx→3
g ( x )<0−4⇒−4< limx →3
g ( x )←4 peloteoremadoconfronto limx →3
g ( x )=−4
Exercício 30
limx→−2
g ( x ) , se|g ( x )−3|<5 ( x+2 )2∀ x , conhecemosque|x|<a⇔−a< x<a logo−[5 ( x+2 )2 ]<g ( x )−3<5 ( x+2 )2⇒
⇒−[5 ( x+2 )2 ]+3<g ( x )−3+3<5 ( x+2 )2+3⇒−[5 (x+2 )2 ]+3<g ( x )<5 ( x+2 )2+3 , e
limx→−2
5 ( x+2 )2=0 , assim0+3< limx→ 3
g ( x )<0+3⇒3< limx → 3
g ( x )<3 pelo te oremadoconfronto limx→−2
g (x )=3
ENCONTRE O LIMITE SE EXISTIR:
Exercício 31
limx →0
sen(senx)x
=limx→0
sen (senx )x
.senxsenx
=limx →0
sen (senx)senx
.senx
x=lim
x →0
sen (senx)senx
.limx→0
senx
x=1.1=1
Exercício 32
limx →0
xsenx1x
, sabemos que−1≤ sen1x
≤1⇒−|x|≤ xsen1x
≤|x|e limx →0
−|x|≤ limx→0
xsen1x
≤ limx→0
|x|⇒0≤ limx→0
xsen1x
≤0
Pelo teoremadoconfronto podemos concluir que limx →0
xsen1x=0
Exercício 33
dado1−co s2 x≤ f ( x )≤ x2 para∀ x∈(−π2
,π2 )encontre lim
x→0f ( x ) , da relação fundamental temos se n2 x+co s2 x=1 , logo
1−cos2 x=se n2 x , assim sen2 x≤ f ( x ) ≤ x2 , e limx→ 0
se n2 x= limx →0
x2=0 logo pelo teoremade sanduiche limx →0
f ( x )=0
Exercício 34dado−senx≤ f ( x ) ≤2+senx para∀ x∈ (−π ,0 ) encontre lim
x →0f ( x ) , somando−1em abos os lados temos ,
−1−senx ≤ f ( x )−1≤1+senx=−(1+senx ) ≤ f ( x )−1≤ (1+senx ) , limx →0
|1+senx|=|1−1|=0 , assim
se−(1+senx )≤ f ( x )−1≤ (1+senx ) e limx →0
|1+senx|=0 temos pelo teoremadoconfronto que limx →0
f ( x )−1=0⇒
limx →0
f ( x )=1
PROVE QUE A FUNÇÃO É CONTÍNUA EM SEU DOMÍNIO:
Exercício 35 Função tangente
Provaremos que as funções seno e cosseno são contínuas em seus domínios, sabemos que o domínio de ambas as funções éR logo deveremos
mostrar que se a ∈ ℝ então limx →a
s enx=senae limx →a
cosx=cosa ou demonstrarmos uma proposição equivalente tal como
limt →0
sen ( t +a )=sena e limt →0
cos ( t+a )=cosa, usando as identidades trigonométricas temos, sen(t+a)=sent.cosa+cost.sena e
cos(t+a) = cost.cosa-sent.sena, assim limt →0
sen (t +a )=limt →0
sent . cosa+cost . sena=limt →0
sent . limt →0
cosa+limt →0
cost . limt →0
sena=¿
0.cosa+1. sent=sena, Portanto limt →0
sen ( t +a )=sena
Do mesmo modo podemos demonstrar que a função cosseno é contínua em todo o seu domínio. Provaremos que:limt →0
cos (t+a )=cosa usando as identidades trigonométricas temos, cos(t+a)= cost.cosa-sent.sena , assim
limt →0
cos ( t+a )=limt → 0
cost . cosa−sent . sena=limt →0
cost . limt → 0
cosa+limt → 0
sent . limt →0
sena=1.cosa+0. sena=cosa ,
Portanto limt →0
cos (t+a )=cosa
Uma vez demonstrada estas funções podemos desenvolver todas as outras, apenas devemos tomar cuidado ao considerarmos o denominador que nunca poderá ser nulo “0”.
Como a função
tanx= senxcosx
, ela é contínuaem todos osreai s , exceto onde cosx=0 ,∴ tanx é contínua ∀ x∈R ∕ x≠π2+kπ ,k∈Z
.
Exercício 36 Função cotangente
De forma análoga podemos demonstrar que a função cotangente cosxsenx
é contínua em todos os reais, exceto onde senx = 0, assim a função
cotangente é continua em todos os reais exceto onde senx=0 ,isto é , ela é contínua ∀ x∈R ∕ x≠ kπ , k∈Z .
Exercício 37 Função secante
Podemos demonstrar que a função secx = 1
cosx é contínua em todos os reais, exceto onde cosx= 0, assim a função secante é continua em
todos os reais exceto emπ2
+kπ , k∈Z ,logo ela é contínua ∀ x∈R ∕ x≠π2
+kπ , k∈Z ..
Exercício 38 Função secante
Podemos demonstrar que a função cossecx = 1
senx é contínua em todos os reais, exceto onde senx= 0, assim a função cosecante é continua
em todos os reais exceto em x=kπ , k∈Z ,logo ela é contínua ∀ x∈R ∕ x≠ kπ , k∈Z .
Exercício 39 Se |f(x)|<M para todo x onde M é uma constante. use o teorema do confronto para provar que limx →0
f ( x ) x2=0
Da propriedade dos módulos temos, |f(x)|≤M ⇒ -M ≤ f(x) ≤ M -M.x² ≤ f(x).x² ≤ M.x² , temos que limx →0
x ²=0 assim
limx →0
¿-M.limx →0
x ² ≤limx →0
¿ f(x).x² ≤ limx →0
¿ M.limx →0
x ² limx →0
¿-M.0 ≤limx →0
¿ f(x).x² ≤ limx →0
¿ M.0 , logo pelo teorema do confronto limx →0
¿
f(x)x² = 0
Exercício 40 Se |f(x)|<M para todo x onde M é uma constante. Além disso, suponha que limx →0
g ( x )=0 use o teorema do confronto para
provar que limx →0
f (x )g ( x )=0
Da propriedade dos módulos temos, |f(x)|≤M ⇒ -M ≤ f(x) ≤ M -M.g(x) ≤ f(x).g(x) ≤ M.g(x), temos que limx →0
g ( x )=0 assim
limx →0
¿-M.0 ≤ f(x).g(x) ≤ limx →0
¿ M.0 , logo pelo teorema do confronto limx →0
¿ f(x)g(x) = 0
Exercício 41 Se |f(x)|≤ k|x-a| para todo xa onde k é uma constante. Prove que limx →a
f ( x )=0
Da propriedade dos módulos temos, |f(x)|≤ k|x-a| ⇒ - [k|x-a|] ≤ f(x) ≤ k|x-a], temos que limx →a
k∨x−a∨¿0 assim
limx→ a
¿-[ k|x-a| ] ≤limx→ a
¿ f(x) ≤ limx→ a
¿ k|x-a| 0 ≤limx→ a
¿ f(x) ≤ 0 , logo pelo teorema do confronto limx→ a
¿ f(x) = 0
top related