resolução - p1 - modelo b - geometria analítica
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1ª Avaliação de Geometria Analítica
(Resolução)
1. Seja o triângulo ABC onde M é o ponto médio de BC e D é o ponto sobre o segmento
AC tal que a distância de D à A é quatro vezes a distância de D à C. Seja E a intersecção
de AM com BD. Se e , escreva o vetor em função de e .
i) Reescrevendo o vetor
Somando as equações acima temos:
(1)
ii) Reescrevendo o vetor
(2)
iii) Observando a figura, tiramos as relações:
(3)
Substituindo (1) em (3):
(
)
(4)
(5)
Substituindo (2) em (5):
(
)
(6)
iv) Observando a figura, tiramos as relações:
Mas, e
A B
C
M
E
D
Então
(7)
Mas, e
Então
(8)
v) Efetuando os cálculos
Substituindo as equações (4) e (6) nas equações (7) e (8), obtemos o seguinte sistema de
equações vetoriais:
(
)
(
)
A primeira equação do sistema só é satisfeita se:
Subtraindo a primeira equação da segunda, temos:
Substituindo
na primeira equação:
A segunda equação do sistema só é satisfeita se:
Subtraindo a primeira equação da segunda, temos:
Substituindo
na primeira equação:
Como esperado, para as duas equações foi encontrado o mesmo valor para e para .
Substituindo
na equação (4), encontramos a solução para o problema.
( )
( )
2. Seja o paralelepípedo formado pelos três vetores , e
. Determine o(s) valor(es) de a de modo que o volume desse
paralelepípedo seja 11 u.v.
O volume do paralelepípedo formado pelos vetores , e é dado pelo módulo
do produto misto dos três vetores.
[ ] |
|
| |
3. Dados e , determine as equações paramétricas,
simétricas e reduzida em z da reta que passa por A e B. Também determine os pontos
onde essa reta intercepta os planos coordenados xy, xz e yz.
é o vetor diretor da reta e A pertence à ela.
Equações paramétricas:
Equações simétricas:
Equação reduzida em z:
Multiplicando todas as partes da dupla igualdade acima, obtemos
Subtraindo 5 unidades, temos
A reta intercepta o plano xy quando .
Substituindo na última equação paramétrica, obtemos
. Então, o ponto de
intersecção é (
).
A reta intercepta o plano xz quanto
Então . Substituindo nas equações, obtém-se .
A reta intercepta o plano yz quando .
Neste caso , então (
).
4. Obtenha os pontos da reta r que equidistam dos pontos A e B onde
.
Os pontos que equidistam dos pontos A e B são da forma , pois P
pertence à reta.
Pela condição do problema, devemos ter .
| | | |
√
| | | | √
√ √
Logo, a condição se satisfaz com qualquer valor de t. Portanto, todos os pontos de r são
equidistantes de A e B.
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