resolucion de ejercicios de limites

Tipografa para ttulos: Univers 47 de tamao 14 (centrado)

CDIF13_S03_LE05

ACTIVIDAD EXTRACLASE

Cmo resolver un ejercicio de lmite?Propsito: Proporcionar a los alumnos fotocopias de la actividad Cmo resolver un ejercicio de lmite? Para que en equipo, construya y distinga los diversos mtodos para resolver un lmite.ANALIZA, PIENSA Y REFLEXIONAGeneralmente los lmites pueden hallarse fcilmente, pero pueden aparecer indeterminaciones, o sea, cuantas que matemticamente no tienen solucin. Las ms comunes son 0/0 (cero sobre cero) e / (infinito sobre infinito) pero puede hallarse el 0 . (cero por infinito) (infinito menos infinito) 1 (Uno elevado a la infinito, que aunque parezca difcil creerlo, no es uno). Para "salvar" estas indeterminaciones y hallar el verdadero valor que se halla escondido dentro de la operacin del lmite, necesitamos operar matemticamente, aplicando diversos mtodos, desde polinomios hasta logaritmos, inclusive aplicando derivadas (que posiblemente an no hayas visto). Veremos un ejemplo bsico de cada uno de los casos que se te puedan presentar necesitas practicar para poder "dominar" este tema. Lmite tipo 0/0Empecemos por un limite de polinomios. Para poder resolver y "salvar" la indeterminacin lo que necesitas es factorizar el polinomio (tanto el numerador como el denominador) para poder simplificar el binomio que hace cero tanto el numerador (arriba) como el denominador (abajo) Pasemos al ejercicio. Ahora debemos ver que el limite sea una indeterminacin. Reemplazamos cada x por el valor al que tiende, 1, y hacemos las cuentas para asegurarnos que tanto el numerador como el denominador nos den cero. Este procedimiento te evitar trabajar de ms (que es lo que todo estudiante desea evitar... :-)

Ahora procedamos a factorizar ambos polinomios para posteriormente simplificar el binomio que nos hace cero arriba y abajo. Ojo hasta que no simplifiques ambos seguirn dando como resultado cero, por lo que es indispensable "simplificar" para resolver el ejercicio.

Ahora slo tenemos que reemplazar x por el valor al que tiende y hallar el verdadero valor del lmite.

Fjense que cada vez que reemplazamos x por su valor, no escribimos lim, ya que slo se escribe cuando est x.Ahora le toca el turno a las races.

Lo primero es ver si hay indeterminacin. Reemplacemos cada una de las x por 2 y hacemos las cuentas

Un vez que hemos comprobado que hay indeterminacin, para salvarla, necesitamos operar matemticamente. El procedimiento es bastante sencillo. Primeramente podemos factorizar el binomio del denominador (abajo). 3x 6 = 3 (x 2) Siempre nos conviene factorizar, cuando podemos, ya que nos permitir simplificar ms tarde. Como hay una raz, necesitamos racionalizar, para ello multiplicamos el numerador (arriba) y el denominador (abajo) por la misma expresin. (Hay que recordar que mientras se mantenga la igualdad en matemtica se puede hacer lo que uno quiere, como es una multiplicacin el uno no altera el resultado, bien, la fraccin con el numerador y el denominador iguales nos dar 1, as que podemos hacer "desaparecer" la raz sin que se altere el resultado) En el numerador (arriba) hacemos distributiva lo que posteriormente nos permitir factorizar y hallar el binomio que est anulando (haciendo cero) la operacin. Es el (x 2) que aparece arriba y abajo una vez factorizado. Ojo, siempre necesitamos simplificarlos para que la indeterminacin se vaya. Despus volvemos a reemplazar x por 2 y, haciendo la cuenta, obtenemos el verdadero valor al que tiende el lmite.

Ahora veamos que sucede cuando x tiende a cero. Comencemos con un ejercicio fcil. Verifiquemos la indeterminacin La propia x es, en este caso, la causante de la indeterminacin, as que podemos factorizarla para poder simplificarla posteriormente.

Lmite tipo /Para poder resolver este tipo de lmites debemos recordar que: Veamos un ejemplo sencillo. Veamos si hay indeterminacin Para resolver este tipo de lmites podemos factorizar, pero en este caso (para que se entienda el por qu) iremos por el camino difcil... Primeramente recordemos que en matemtica, mientras mantengamos la igualdad, podemos hacer lo que queramos. En la multiplicacin el 1 es el elemento neutro, o sea que multiplicar por uno no modifica nuestro resultado. El dividir entre s a 1/x nos da 1, as que podemos multiplicar por el cociente (divisin) de 1/x (en el cuadrado amarillo del ejercicio) lo que nos permitir (distribuyendo y simplificando) obtener una operacin equivalente que nos permitir salvar la indeterminacin. Compliquemos un poco ms las cosas. Verifiquemos la indeterminacin: Muy bien.... Y ahora como procedemos? Cuando nos encontramos frente a un ejercicio que no hicimos antes buscamos uno parecido que hallamos resuelto y nos fijamos que hicimos. En el ejercicio anterior dividimos todo por x, as que volvamos a hacerlo.

O sea que dividir por x no basta ya que el grado del polinomio en dos, y nos sigue quedando una indeterminacin. As que intentmoslo nuevamente pero esta vez con x2.

As que, sencillamente, necesitamos utilizar el grado mayor de cada uno de los polinomios para salvar la indeterminacin. Probemos nuestra "teora" con otro ejercicio. (Ojo, para mantener la igualdad debemos utilizar el mismo grado)

Procedemos, entonces a salvar la indeterminacin dividiendo (arriba y abajo) por una x con el grado mximo del polinomio (x5 en este caso)

Creo que habrn notado que hasta ahora slo hemos utilizado polinomios de igual grado en nuestra cuentas, es tiempo de dar otro paso adelante y ver que sucede cuando los polinomios son de distintos grados. Tenemos dos opciones, que el de mayor grado est en el numerador que est en el denominador. Veamos la primera opcin: mayor grado est en el numerador.

Como el mayor grado es 5, dividamos por x5, distribuyamos y simplifiquemos para ver lo que nos queda.

Ahora veamos que sucede cuando el mayor grado est en el denominador. Como el mayor grado es 3, volvamos a repetir lo que ya hicimos con anterioridad; dividamos por x3, distribuyamos y simplifiquemos para ver lo que nos queda.

As que tenemos tres posibilidades cuando resolvemos limites que tienden a infinito: a) Si los polinomios son de igual grado, el lmite ser finito, (o sea nos dar un nmero real). b) Si los polinomios no son de igual grado, y el numerador (arriba) es el de mayor grado, tendremos como lmite a infinito. c) Si los polinomios no son de igual grado, y el denominador (abajo) es el de mayor grado, tendremos como lmite a cero