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R E S U M E C H A P I T R E 1 0 C O N I Q U E S
DEFINITION PAR EXCENTRICITE, FOYER ET DIRECTRICE D 10.1 Etant donné une droite D, un point F et un réel e strictement positif,
Soit (C) = {M ∈ E2 , MH
MF = e}(MH : distance de M à D)
(C) est appelée conique de foyer F, de directrice D et d'excentricité e. (C) est appelée ellipse si e < 1, parabole si e = 1, hyperbole si e > 1. L'axe focal est la droite passant par F perpendiculaire à D.
EQUATIONS REDUITES – PARAMETRAGES
Th 10.1 (équation dans le repère focal) Soit (C) = {M ∈ E2 , eMH
MF= }
Dans le repère focal (F,!i ,!j ) où
!i est un vecteur directeur de l'axe focal et K (point d'intersection de D et Δ)
a une abscisse négative, en notant h = d(F,(D)), (C) a pour équation : x2 + y2 = e2 (x+h)2 En posant p = e.h (p est appelé paramètre de la conique), (C) a pour équation : x2 + y2 – (e.x+p)2 = 0 Parabole
Th 10.2 Dans le repère orthonormé (O, i!
, j!
) dans lequel que D a pour équation x = −2
p
et F a pour coordonnées !"
#$%
&0,
2
p , la parabole P = {M ∈ E2 , MH
MF = 1} a pour équation y2 = 2.p.x
Remarque 2 : On peut choisir comme équations paramétriques de P : x(t) =
1
2.p.t
2
y(t) = p.t
!
"#
$#, t ∈ R
F: foyer D: directrice e: excentricité Δ: axe focal
Δ
D
Remarque 3: La tangente à P (d'équation y2 = 2.p.x) en M0 !!"
#$$%
&
0
0
y
x a pour équation y.y0 = p.(x + x0).
Remarque 4: Soit M un point de la parabole P de foyer F et de directrice D, M distinct du sommet A. La tangente en M à P est bissectrice intérieure de l'angle !FMH (et la normale est donc bissectrice extérieure de cet angle) Applications: four solaire, éclairage, antennes paraboliques…
Ellipse Th 10.3 Il existe un repère orthonormé (O, i
!
, j!
) dans lequel
l'ellipse (E) = {M ∈ E2 , MH
MF = e (avec e < 1)} a pour équation 12
2
2
2
=+
b
y
a
x
L'axe (Ox) est l'axe focal de l'ellipse, O est le centre de symétrie de l'ellipse (centre de l'ellipse) Remarque1: Eléments caractéristiques d'une ellipse.
Soit (a,b) ∈ R2 t.q. 0 < b < a et (E) d'équation 12
2
2
2
=+
b
y
a
x dans R = (O,!i ,!j )
Soit c = a2
! b2 donc c2 = a2 – b2 < a2
(E) est une ellipse d'excentricité e =c
a
< 1 , de foyers F(–c, 0) et F' (c, 0), de directrices D et D' d'équations
respectives x = !a2
c
= !a
e
"#$
%&'
et x =a2
c
=a
e
!"#
$%&
. La distance de F à D est h = b2
c et p = e.h =
b2
a
a : demi-axe focal et b : demi-axe non focal
e =c
a< 1
c < a et b < a c2 = a2 – b2
Remarque2: Soit a > b > 0.
(C) d'équation 12
2
2
2
=+
b
y
a
x est une ellipse d'excentricité e = a
c avec c2 = a2 − b2 et d'axe focal (Ox)
(C1) d'équation
x2
b2
+y2
a2
=1 est une ellipse d'excentricité e = a
c avec c2 = a2 − b2 et d'axe focal (Oy)
(C) (C1)
Remarque 3 : On peut choisir comme équations paramétriques de (E) : x(!) = a.cos(!)
y(!) = b.sin(!)
"#$
, θ ∈ [0,2.π[
Remarque 4 : La tangente à (E) en M0(x0,y0) (point de (E)) a pour équation: x.x
0
a2+y.y
0
b2
=1
Remarque 5 : L'ellipse d'équations paramétriques x(!) = a.cos(!)
y(!) = b.sin(!)
"#$
est l'image du cercle CO,a par l'affinité
orthogonale d'axe (Ox) de rapport b
a et l'image du cercle CO,b par l'affinité orthog. d'axe (Oy) de rapport
a
b
Hyperbole Th 10.4 Il existe un repère orthonormé (O, i
!
, j!
)dans lequel l'hyperbole
(H) = {M ∈ E2 , MH
MF = e (avec e > 1)}a pour équation 12
2
2
2
=!
b
y
a
x , Ox étant l'axe focal de l'hyperbole.
Remarque1: Eléments caractéristiques d'une hyperbole.
Soit (a,b) ∈ (R+*) 2 et (H) d'équation x2
a2!y2
b2= 1 dans R =
(O,!i ,!j )
Soit c = a2+ b
2 donc c2 = a2 + b2 > a2
(H) est une hyperbole d'excentricité e =c
a> 1 , de foyers F(–c, 0) et F' (c, 0), de directrices D et D'
d'équations respectives x = !a2
c= !
a
e
"#$
%&'
et x =a2
c=a
e
!"#
$%&
La distance de F à D est h = b2
c et p = e.h =
b2
a
a : demi-axe focal et b : demi-axe non focal
Remarque : On peut choisir comme équations paramétriques de (H) : !"#
=
=
)(.
)(..
tshby
tchax $, t ∈ R, ε = ±1.
P 10.5 Les asymptotes de (H) (d' équation 12
2
2
2
=!
b
y
a
x ) ont pour équations : 02
2
2
2
=!
b
y
a
x , i.e. y = ±a
b x
Remarque 3 : La tangente à (H) en M0(x0,y0) (point de (H)) a pour équation: x.x
0
a2!y.y
0
b2
= 1
DEFINITION BIFOCALE DES CONIQUES A CENTRE (ELLIPSES ET HYPERBOLES)
P 10.6 Soit a > c > 0.Soit F(c,0), F '(−c,0), D d'équation x = !"#
$%&=e
a
c
a2
et D' d'équation x = !"#
$%& '='
e
a
c
a2
Soit (E) = { M ∈ E2 , MH
MF = e, e < 1} = { M ∈ E2 , '
'
MH
MF = e}
Alors , si M ∈ (E), MF + MF ' = 2.a. Th 10.7 (ellipse) Soit a > c > 0 , F(c,0) et F '(−c,0).
(E) = {M ∈ E2, MF + MF ' = 2.a } a pour équation 12
2
2
2
=+
b
y
a
x avec b2 = a2−c2.
(E) est donc une ellipse d'excentricité e = a
c < 1. (E) est appelée ellipse de foyers F et F '.
Remarque: La tangente en un point de l'ellipse(E) est la bissectrice extérieure de l'angle
MF
! "!!,MF '! "!!!
( )
P 10.8 Soit c > a > 0.Soit F(c,0), F '(−c,0), D d'équation x = !"#
$%&=e
a
c
a2
et D' d'équation x = !"#
$%& '='
e
a
c
a2
Soit (H) = { M ∈ E2 , MH
MF = e, e > 1} = { M ∈ E2 , '
'
MH
MF = e}
Alors , si M ∈ (H), |MF −MF '| = 2.a. Th 10.9 (hyperbole) Soit c > a > 0 , F(c,0) et F '(−c,0).
(H) = {M ∈ E2, |MF − MF '| = 2.a } a pour équation 12
2
2
2
=!
b
y
a
x avec b2 = c2 −a2.
(H) est donc une hyperbole d'excentricité e = a
c > 1. (H) est appelée hyperbole de foyers F et F '.
Remarque: La tangente en un point de l'hyperbole (H) est la bissectrice intérieure de l'angle
MF
! "!!,MF '! "!!!
( )
e = c
a> 1
c > a c2 = a2 + b2
DETERMINATION D'UNE EQUATION REDUITE : "REDUCTION" DE L'EQUATION D'UNE CONIQUE D 10.2 On appelle conique toute courbe d'équation A.x2 + 2.B.xy + C.y2 + D.x + E.y + F = 0 avec (A,B,C) ≠ (0,0,0) dans un repère orthonormé. P 10.10 Soit (C) d'équation : A.x2 + 2.B.xy + C.y2 + D.x + E.y + F = 0 avec (A,B,C) ≠ (0,0,0) dans un repère orthonormé (O, i
!
, j!
). Il existe alors un repère orthonormé (O, !
I ,!
J ) dans lequel (C) a pour équation : A1.x2 + C1.y2 + D1.x + E1.y + F1 = 0 (*) ( on a "éliminé" le terme en x.y) P 10.11 A partir de (*) , par changement d'origine (en "complétant les carrés"), on obtient l'une des équations
suivantes : Si A1.C1 > 0 : 12
2
2
2
=+
b
y
a
x (C) est une ellipse (ou un cercle si a = b)
02
2
2
2
=+
b
y
a
x (C) = {Ω}
12
2
2
2
!=+
b
y
a
x (C) = ∅
Si A1.C1 < 0 : 12
2
2
2
±=!
b
y
a
x (C) est une hyperbole
02
2
2
2
=!
b
y
a
x (C) = D1 ∪ D2 d'équations y = a
b .x et y = −a
b .x
Si A1 = 0 y2 = 2.p.x (C) est une parabole y2 = k ≥ 0 (C) est constituée de deux droites parallèles (confondues si k = 0) y2 = k < 0 (C) = ∅ Si C1 = 0 : mêmes cas que pour A1= 0 en échangeant x et y. D 10.3 Les coniques propres sont les paraboles, hyperboles, ellipses et cercles P 10.12 Soit (C) d'équation : A.x2 + 2.B.xy + C.y2 + D.x + E.y + F = 0 dans un repère orthonormé
Δ = CB
BA = A.C − B2 est appelé discriminant de la conique.
Son signe ne dépend pas du repère orthonormal lequel on a écrit l'équation de la conique. P 10.13 Soit (C) une conique propre d'équation : A.x2 + 2.B.xy + C.y2 + D.x + E.y + F = 0 et Δ = A.C − B2 Si Δ > 0, (C) est une ellipse (ou un cercle) Si Δ < 0, (C) est une hyperbole Si Δ = 0, (C) est une parabole P 10.14 Soit (C) une conique propre d'équation : A.x2 + 2.B.xy + C.y2 + 2.D.x + 2.E.y + F = 0 dans un repère orthonormé La tangente à (C) en M0(x0,y0) a pour équation : A.x.x0 + B.(x.y0+y.x0) + C.y.y0 + D.(x+x0) + E.(y+y0)+F = 0
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