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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINASFACULDADE DE ENGENHARIA CIVIL
Departamento de Estruturas
RESUMO DE RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II
Prof. Dr. Nilson Tadeu Mascia Bolsista Ped: Elias Antonio Nicolas Pad: Bianca Lopes de Oliveira, Renato Saldanha Victor (revisão 2008)
Campinas, Fevereiro - 2003
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil
Universidade Estadual de Campinas
Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021
Tel: 019-788.2302 - Fax: 019-788.2328 - Cep: 13.083-970 - Campinas – SP 2
SUMÁRIO
1-FLEXÃO GERAL .................................................................................03
2-TORÇÃO................................................................................................26
3-CENTRO DE CISALHAMENTO EM SEÇÕES SIMÉTRICAS.........51
4-TEORIA DAS TENSÕES......................................................................65
5-TEORIA DAS DEFORMAÇÕES.........................................................76
6-ENERGIA DE DEFORMAÇÃO...........................................................86
7-CRITÉRIOS DE RESISTÊNCIA.........................................................104
8-FLAMBAGEM.....................................................................................117
9-BIBLIOGRAFIA..................................................................................128
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OBSERVAÇÃO INICIAL Esta apostila tem por objeto dar ao aluno que freqüenta o curso de EC-501 – Resistência dos Materiais II um material que o auxilie no acompanhamento das aulas regulares. Não tem por meta substituir outras apostilas ou livros de Resistência dos Materiais . Constitui-se como notas de um caderno de um aluno, com a colocação de alguns exemplos adicionais.
1-FLEXÃO GERAL
- Momentos de segunda ordem:
zy, eixos centrais de inércia.
- Momentos de inércia centrais:
AzIA
y∂⋅= ∫ 2
AyIA
z∂⋅= ∫ 2
- Produto de inércia:
AzyIA
yz∂⋅⋅= ∫
AzbAzIAA
y ∂⋅+=∂⋅= ∫∫ 22 )(
AzzbbIA
y ∂⋅+⋅⋅+= ∫ )2( 22
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AzAbIA
y ∂⋅+⋅= ∫ 22
Momento estático = ∫ ∂⋅=A
AzS
S = 0 em relação ao c.g.
yy IAbI +⋅= 2
zz IAcI +⋅= 2
yzyz IAcbI +⋅⋅=
• “b” e “c” são coordenadas do c.g. em relação ao sistema (y,z).
- Rotação dos eixos (u,v):
Matriz de transformação de coordenadas:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛zy
vu
αααα
cossensencos
αα sencos ⋅+⋅= zyu
αα cos⋅+⋅−= zsenyv
AvIA
u ∂⋅= ∫ 2
AzyIA
u ∂⋅⋅+⋅−= ∫ 2)cossen( αα
AzyAzAyIAAA
u ∂⋅⋅⋅⋅⋅−+∂⋅⋅+∂⋅⋅= ∫∫∫ αααα cossen2cossen 2222
αααα cossen2cossen 22 ⋅⋅⋅−⋅+=yzyzu IIII
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AzyAuIAA
v ∂⋅⋅+⋅=∂⋅= ∫∫ 22 )sencos( αα
αααα cossen2sencos 22 ⋅⋅⋅+⋅+=yzyzv IIII
AzyzyAvuIAA
uv ∂⋅+−⋅+=∂⋅⋅= ∫∫ )cossen()sencos( αααα
( ) ( )αααα 22 sencoscossen −+⋅⋅−=yzzyuv IIII
- Utilizando Arcos duplos: ααα cossen22sen ⋅⋅=
ααα 2cossencos 22 =−
1sencos 22 =+ αα
Tem-se:
αα 2sen2cos22
⋅−⋅−
++
=yz
zyzyu I
IIIII
αα 22cos22
senIIIII
Iyz
zyzyv ⋅+⋅
−−
+=
αα 2cos22
⋅+⋅−
=yz
zyuv Isen
III
22
22cos22 ⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅−⋅
−=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +− αα senI
IIIII
yzzyzy
u
( )2
2 2cos22 ⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅+⋅
−= αα
yzzy
uv IsenII
I
yzzy
uvzy
u III
III
I 2
2
2
2
22+⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −=+⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +−
- Equação da circunferência
• ( ) 2220 Ryxx =+−
• (y0 = 0)
• (x0, y0) posição do centro.
Círculo de Mohr:
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I1 = momento de inércia máximo
I2 = momento de inércia mínimo.
Em I1 e I2 tem-se: Iuv = 0.
02cos22
=⋅+⋅−
= ααyz
zyuv Isen
III
yz
yz
II
Itg
−
⋅=
22α
Propriedade:
cteIIIIIIII vuzyzy =+=+=+=+ 21
Valores de I1 e I2.
yzzyzy I
IIIII 2
2
1 22+⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +=
yzzyzy I
IIIII 2
2
2 22+⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −−⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +=
Exercícios:
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1) Calcular os momentos principais (I1 e I2) de inércia e suas direções ( 1α e 2α ).
2) Calcular os momentos principais (I1 e I2) de inércia e suas direções ( 1α e 2α ).
3) Calcular os momentos principais (I1 e I2) de inércia e suas direções ( 1α e 2α ).
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4) Calcular os momentos principais (I1 e I2) de inércia e suas direções ( 1α e 2α ).
(resolvido)
Resolução do exercício 4:
- Divisão da seção em áreas:
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Centro de gravidade (c.g.):
( ) cmA
Ayy
i
ii 88,55,0125,1115
05,01265,05,115,105,015=
⋅++⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅
=⋅
=∑∑
( ) cmA
Azz
i
ii 60,65,0125,1115
65,01285,05,1165,015=
⋅++⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅
=⋅
=∑∑
Momento de inércia de cada seção:
Área 1:
43
1 16,012
5,015 cmI z =⋅
=
43
1 63,14012
155,0 cmI y =⋅
=
⇒= 01yzI seção retangular
Rotação dos eixos da área 1:
087,36=α
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αα 2sen2cos221
⋅−⋅−
++
==yz
zyzyuy
IIIII
II
41
06,900)74,73cos(24,7040,70 cmIy
=−⋅+=
αα 2sen2cos221
⋅+⋅−
−+
==yz
zyzyvz
IIIII
II
41
73,500)74,73cos(24,7040,70 cmIz
=+⋅−=
αα 2cos2sen21
⋅+⋅−
==yz
zyuvyz
III
II
41
43,670)74,73sen(24,70 cmIyz
=+⋅=
Área 2:
43
2 12,012
5,05,11 cmI y =⋅
=
43
2 37,6312
5,115,0 cmI z =⋅
=
⇒= 02yzI seção retangular
Área 3:
43
3 7212
125,0 cmI y =⋅
=
43
3 13,012
5,012 cmI z =⋅
=
⇒= 03yzI seção retangular
Momento de inércia total: 4222 3,1785,0126,0725,05,114,112,05,0156,006,90 cmI
y=⋅⋅++⋅⋅++⋅⋅+=
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4222 82,4815,01288,513,05,05,1112,037,635,01562,473,50 cmIz
=⋅⋅++⋅⋅++⋅⋅+=
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 477,685,0126,088,55,05,114,112,05,01562,46,043,67 cmIyz
=⋅⋅⋅+⋅⋅−⋅−+⋅⋅−⋅+=
Direções principais:
453,03,17882,481
77,68222 =
−⋅
=−
⋅=
yz
yz
II
Itg α
02,12=′α 02,102=′′α
Momentos principais de inércia:
( )22
2,1 22 yzzyzy I
IIIII +⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −±⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +=
( )22
2,1 77,682
82,4813,1782
82,4813,178+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −
±⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
=I
41 68,496 cmI =
42 45,163 cmI =
Tensões Normais à Seção Transversal Seja:
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- Flexão Pura: quando atua apenas o momento fletor. (N=V=0).
Hipóteses:
1. A distribuição da tensão normal na seção é linear.
2. O material é isotrópico e segue a lei de Hooke ( εσ ⋅= E ; γτ ⋅= G ).
3. As seções planas permanecem planas após o carregamento.
- Tensão ( xσ )
Da hipótese (1): yKx ⋅=σ (variação linear), onde K = constante.
Sabe-se que AF
=σ que resulta em AF xx ∂⋅=∂ σ , e que yFM xz ⋅∂=∂ . Assim:
AyyAM xxz ∂⋅⋅=⋅∂⋅=∂ σσ
AyKM z ∂⋅⋅=∂ 2
∫∫ ∂⋅⋅=∂=AA
zz AyKMM 2 → ∫ ∂⋅⋅=A
z AyKM 2 → zz IKM ⋅=
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Como z
z
IM
K = e yKx ⋅=σ , tem-se:
• yI
M
z
zx ⋅=σ
- Flexão oblíqua pura: o plano de cargas é inclinado de um ângulo θ em relação ao
plano vertical. O vetor momento é inclinado do mesmo ângulo em relação ao eixo z.
Essa flexão é tratada como a superposição de duas flexões normais (Mz e My):
θcos⋅= MM z
θsen⋅= MM y
A tensão normal será: xxx σσσ ′′+′= , onde yKx ⋅′=′σ e zKx ⋅′′=′′σ .
Logo: zKyKx ⋅′′+⋅′=σ .
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Sabe-se que ∫∫ ⋅∂⋅=⋅∂=A
xA
xz yAyFM σ
∫ ∂⋅⋅⋅′′+⋅′=A
z AyzKyKM )( → ∫ ∂⋅⋅⋅′′+⋅′=A
z AzyKyKM )( 2
∫ ∫ ∂⋅⋅⋅′′+∂⋅⋅′=A A
z AzyKAyKM )()( 2 → ∫ ∫ ∂⋅⋅⋅′′+∂⋅⋅′=A A
z AzyKAyKM 2
• yzzz IKIKM ⋅′′+⋅′=
∫∫ ⋅∂⋅=⋅∂=A
xA
xy zAzFM σ → ∫ ∂⋅⋅⋅′′+⋅′=A
y AzzKyKM )(
∫ ∂⋅⋅⋅′+⋅′′=A
y AzyKzKM )( 2 → ∫ ∫ ∂⋅⋅⋅′+∂⋅⋅′′=A A
y AzyKAzKM )()( 2
∫ ∫ ∂⋅⋅⋅′+∂⋅⋅′′=A A
y AzyKAzKM 2
• yyzy IKIKM ⋅′′+⋅′=
Como o sistema yz é central de inércia, ou seja, vuzy ,, → (momentos principais de
inércia), tem-se:
0== uvyz II
yzzz IKIKM ⋅′′+⋅′= → v
vvv I
MKIKM =′→⋅′=
yyzy IKIKM ⋅′′+⋅′= → u
uuu I
MKIKM =′′→⋅′′=
Assim:
vKuKx ⋅′′+⋅′=σ
vI
Mu
IM
u
u
v
vx ⋅+⋅=σ
A linha neutra é o lugar geométrico dos pontos da seção transversal onde as
tensões normais são nulas.
0=⋅+⋅= vI
Mu
IM
u
u
v
vxσ → u
II
MM
vv
u
u
v ⋅⋅−=
Sendo
• θsen⋅= MM u
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• θcos⋅= MM v
Substituindo:
uII
MMv
v
u ⋅⋅⋅⋅
−=θθ
sencos
uII
tgv
v
u ⋅⋅−=θ
1
Essa é a equação da linha neutra.
Se v
u
II
tgtg ⋅−=
θβ 1
utgv ⋅=∴ β
Exercícios:
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5) Calcular os valores extremos de tensão (tração e compressão) que surgirão na viga. O
peso próprio é desprezado. A carga P é vertical e passa pelo c.g. da seção.
Dados: 4167.124 cmI y = , 4042.461 cmI z = , 4375.194 cmI yz = .
6) Qual deve ser o valor do momento fletor admissível num plano que forma com o
eixo y um ângulo de 30o ?. Dados: 41408cmI y = , 42656cmI z = , 4864cmI yz −= ,
2/1000 cmtf=σ
7) Determinar na seção crítica a linha neutra e calcular a flecha máxima em A.
2/200 cmtfE =
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1 m 3 m
P=2 tf 10
10 151015
15
15
15
10
medidas em cm
Resolução do exercício 5 Calcular os valores extremos de σ (tração e compressão) que surgirão na viga. O peso próprio é desprezado. A carga P é vertical e passa pelo cg da seção.
Dados: Iy = 124167 cm4
Iz = 461042 cm4 Iyz = 194375 cm4
Figura 5.1
Solução: a) Características Geométricas - Cálculo do CG
→ como a seção é simétrica a posição do cg é óbvia.
- Momentos Totais de Inércia e suas Direções
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200 tf.cm
Diagrama de momento (M):
y
z C
u
v
α
L
Mθ
β
σ
σ
A
B
o7624124167461042
194375222 ,
III
tgyz
yz =α⇒−
⋅=
−
⋅=α
⇒+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −±
+= yz
zyzy IIIII
I2
2212 ⎪⎩
⎪⎨⎧
=
=4
2
41
8039532
20550676
cm,I
cm,I
→ eixos u e v,
4803953222
22cm,IsenIcos
IIIII uyz
zyzyu =⇒α⋅−α⋅
−+
+=
1
2
IIII
v
u
==∴
b) Tensões
Pela regra da mão direita temos:
uI
Mv
IM
v
v
u
ux ⋅+⋅−=σ
onde: o7624,−=θ
⎩⎨⎧
⋅=θ⋅=⋅−=θ⋅=cmtf,cosMMcmtf,senMM
v
u
611817683
u,
,v,
,x ⋅+⋅−=σ∴
2055067661181
80395327683
- Para a Linha Neutra σ = 0
020550676
611818039532
7683=⋅+⋅−=σ u
,,v
,,
x
→ podemos calcular a LN de duas formas:
admitindo pontos na eq. de tensão
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426100,uv
vu=⇒==⇒=∴
ou pelo cálculo do angulo β:
o8581 ,II
tgtg
utgv
v
u =β⇒⋅θ
−=β
⋅β=
Para a obtenção dos pontos mais solicitados será necessário fazer uma mudança de
base, onde será utilizado a matriz de transformação:
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧⋅⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡αα−αα
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
zy
cossensencos
vu
→ ponto A:
⎩⎨⎧
=−=
⇒⎩⎨⎧
=−=
cm,vcm,u
zcm,y
A
A
A
A
61135129
0532
( ) 2863512920550676
6118161138039532
7683 cmtf,,,
,,,
,A −=−⋅+⋅−=σ⇒
→ ponto B:
⎩⎨⎧
−==
⇒⎩⎨⎧
==
cm,vcm,u
zcm,y
B
B
B
B
61135129
0532
( ) 286,351,2920,550676
61,18161,1380,39532
76,83 cmtfB =⋅+−⋅−=⇒ σ
⎪⎩
⎪⎨⎧
=
−=⇒
2
2
86,3
86,3:
cmtf
cmtfsãodeextremosvaloresos
T
C
σ
σσ
- Flexão composta: quando atua no trecho o momento e também a força axial(F).
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• Flexo-compressão (F < 0).
• Flexo-tração (F > 0).
• e: excentricidade.
Quando e = 0: é flexo-compressão ou flexo-tração centrada. Quando não, deve-se
considerar a excentricidade.
- Flexão Oblíqua Composta:
eu : excentricidade em relação ao eixo u.
ev : excentricidade em relação ao eixo v.
vI
Mu
IM
AF
u
u
v
vx ⋅+⋅+=σ
Superposição de efeitos.
Nesse caso:
uu eFeFMM ⋅=⋅⋅=⋅= θθ sensen
vv eFeFMM ⋅=⋅⋅=⋅= θθ coscos
Linha Neutra:
0=⋅+⋅+= vI
Mu
IM
AF
u
u
v
vxσ → 0sencos1
=⋅⋅
+⋅⋅
+ vI
euI
eA uv
θθ
utgeAI
v u ⋅+⋅⋅
−= βθsen
utgctev ⋅+= β → →≠ 0cte a linha neutra não passa pelo c.g.
Exercícios:
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8) Calcular F, sendo 2/800 cmkgfc =σ e 2/1400 cmkgft =σ .
Dados: 4000.105 cmI y = , 473,577.55 cmI z = , 4320.28 cmI yz −= , 2900cmA =
9) Determinar a carga admissível P sabendo que 2/120 cmkgfc =σ ; 2/30 cmkgft =σ e
que lPq = . Dados: 436,689.103 cmI y = , 436,689.183 cmI z = , 457,319.76 cmI yz −= .
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10) Traçar o diagrama de tensões normais na situação mais crítica. Dados: 413932cmI y = , 434668cmI z = , 415552cmI yz −= , P = 10KN, q = 5KN/m.
11) Determinar a posição e o valor de uma carga P de tração que provoca a linha neutra
indicada na figura abaixo. A tensão no ponto A vale 2/100 cmkgfA =σ .
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Núcleo central de Figuras Planas
• Definição: região da seção transversal onde aplicada uma força normal, sua
linha neutra não corta a seção.
• Conseqüência: a seção só terá tensões de um mesmo sinal (compressão ou
tração) de acordo com o sinal da força.
• Importância: materiais com baixa resistência a tração.
Exemplos: murros de arrimo, chaminés e pilares.
Determinação do núcleo central:
uI
MAN
v
vx ⋅+=σ → com vv eNM ⋅= → u
IeN
AN
v
vx ⋅
⋅+=σ
Linha neutra:
0=⋅⋅
+= uI
eNAN
v
vxσ → 01
=⋅+ uIe
A v
v → v
v
eAI
u⋅
−=
Observação:
1. Cada figura plana tem seu núcleo central que não depende de N.
2. A cada par de lados consecutivos do polígono circunscrito corresponderá a um lado
do polígono que constitui o núcleo central.
3. O ponto de aplicação de N e a LN conseqüente ficam em semi-planos opostos
delimitados pelos eixos centrais (antipolos da LN).
4. O núcleo central terá tantos lados quantos forem os lados (ou vértices) do polígono
convexo circunscrito.
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Exercícios:
12) Traçar o núcleo central para a seção da figura abaixo.
13) Traçar o núcleo central para a seção da figura abaixo.
Dados: 22300cmA = , 454,1220171 cmIu = , 415,385504 cmIv = , 085,9−=α
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2-TORÇÃO
Torção em barras de seção circular
Figura 2.1 Seja uma barra de seção circular engastada numa extremidade e solicitada na extremidade livre por um momento torsor Mt (figura 2.1). No engastamento, surgirá um momento de mesmo valor com sentido oposto. Na deformação elástica, cada seção da barra terá uma rotação γ (ângulo de torção). Aparecerá, assim, em cada seção da barra, tensões de cisalhamento τ. Hipóteses básicas:
1. As tensões de cisalhamento estão dirigidas perpendicularmente ao raio e seus valores são proporcionais ao mesmo.
ττ ⋅=ar
r (Equação 2.1)
Figura 2.2
2. As seções executam rotações elásticas como se fossem corpos rígidos.
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Seja:
Figura 2.3
A tensão aplicada na face 34, e a mesma tensão (reativa) na face oposta 12 são
insuficientes para equilibrar o elemento porque as duas forças provocadas por elas
formam um binário. Assim, devem existir tensões longitudinais de cisalhamento (τ l ).
O Teorema de CAUCHY diz que as tensões em planos perpendiculares são iguais.
trxxtr ∂⋅∂⋅∂⋅=∂⋅∂⋅∂⋅ lττ (Equação 2.2)
lττ =∴ (Equação 2.3)
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Tensões de cisalhamento – Lei de Hooke
Após a aplicação do momento torsor Mt, os pontos 3 e 4 passarão a ocupar as
posições 3’ e 4’ devido a distorção γ .
Na flexão, a tensão normal é: εσ ⋅= E .
Analogamente, na torção, a tensão de cisalhamento será:
γτ ⋅= G (Equação 2.4)
Onde G é o módulo de elasticidade transversal.
Para materiais isotrópicos, podemos facilmente determinar o módulo de
elasticidade transversal, conforme mostrado na equação abaixo:
)1(2 ν+⋅=
EG (Equação 2.5)
Onde ν é o coeficiente de Poisson.
Para exemplificar, temos os seguintes valores para o aço:
MPacmKgfE 210000/2100000 2 ==
MPacmKgfG 80000/800000 2 ==
3,0=ν
Da equação 2.1: ττ ⋅=ar
r , e equação 2.4: γτ ⋅= G , substituindo temos:
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γγ ⋅=ar
r (Equação 2.6)
Obtém-se o momento torsor Mt, calculando-se o momento resultante das forças
elementares aplicadas na seção. Em um anel circular (conforme figura 2.4) de espessura
∂ r, o momento ∂ Mt é dado pela resultante das tensões τ na área elementar ∂ A.
Figura 2.4
Sendo rAM rt ⋅∂⋅=∂ τ e rrA ∂⋅⋅⋅=∂ π2 , temos:
rrrarM t ∂⋅⋅⋅⋅⋅=∂ πτ 2
arrM t∂⋅⋅⋅
=∂32πτ (Equação: 2.7)
Para obtermos o momento torsor, basta integrar a equação 2.7:
2422 3
0
4
0
3 τπτππτ ⋅⋅=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅⋅⋅
=∂⋅⋅⋅
=∂= ∫ ∫a
ar
arrMM
aa
tt (Equação:2.8)
Da equação 2.8 podemos determinar a tensão de cisalhamento (τ ) em função do
momento torsor ( tM ) e do diâmetro (D):
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3
2aM t
⋅⋅
=π
τ , como 2Da = , portanto para seção circular temos:
3
16DM t
⋅⋅
=π
τ (Equação 2.9)
Da teoria de flexão, temos a tensão normal (σ ) em função do momento
fletor (M) e momento de inércia (I), conforme equação abaixo:
WM
yIMy
IM
==⋅=/
σ (Equação 2.10)
W: módulo de resistência à flexão.
Fazendo uma analogia da teoria de flexão com a teoria de Torção, temos a
tensão de cisalhamento (τ ) em função do momento torsor ( tM ), conforme equação
abaixo:
t
ttt
WM
DM
DM
=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ⋅=
⋅⋅
=
16
1633 ππ
τ (Equação 2.11)
Da equação 2.11, podemos determinar o módulo de resistência à torção para
seção circular cheia:
16
3DWt⋅
=π (Equação 2.12)
Cálculo do Giro Relativo (ϕ ):
Figura 2.5
Da teoria de pequenos deslocamentos, sabemos que o arco se confundi com a tangente
ϕ∂ é muito pequeno → arco ≈ tangente. A partir da figura acima e da teoria de
pequenos deslocamentos, temos:
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tangente = a⋅∂ϕ = x∂⋅γ ( γ é muito pequeno). Dessa relação, temos:
ax∂⋅
=∂γϕ (Equação 2.13)
Para calcularmos o giro relativo bastar integrar a equação 2.13.
xa
∂⋅=∂= ∫ ∫l l
0 0
γϕϕ (Equação 2.14)
Da integração vem:
l⋅=∴aγϕ (Equação 2.15)
Sendo Gτγ = →
aG ⋅⋅
=lτϕ (Equação 2.16)
A partir da equação 2.16 e aplicando a para a seção circular temos:
2
163 DGD
M t
⋅⋅⋅
⋅⋅=π
ϕl
(Equação 2.17)
Simplificando temos:
4
32DG
M t
⋅⋅⋅⋅
=π
ϕl
)
32(
4DG
M t
⋅⋅
⋅=
πϕ
l (Equação 2.18)
Ou t
t
IGM⋅⋅
=l
ϕ com 32
4DIt⋅
=π
Resumindo: seção circular cheia.
t
t
WM
=τ
16
3DWt⋅
=π
t
t
IGM⋅⋅
=l
ϕ
32
4DIt⋅
=π
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SEÇÃO CIRCULAR DE PAREDE ESPESSA (GROSSA)
Com as expressões obtidas anteriormente e a = D/2, tem-se:
2Drr =
ττ
→ ττ ⋅=2
Dr
r
drrA ⋅⋅⋅=∂ π2
rAM rt ⋅∂⋅=∂ τ
rrrM rt ⋅∂⋅⋅⋅=∂ πτ 2
rrM rt ∂⋅⋅⋅=∂ 22πτ
rrD
M t ∂⋅⋅⋅=∂ 32)
2(
πτ (Equação 2.19)
Para obtermos o momento torsor basta integrar a equação 2.19, logo:
∫∫ ∂⋅⋅⋅=∂=∂2/
2/
32/
2/2
)2
(
D
d
D
d tt rrD
MM πτ (Equação 2.20)
Finalmente, momento torsor resultante:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⋅
⋅
⋅=
44
2242
2 dDD
M tτπ (Equação 2.21)
Assim, a tensão será t
t
WM
=τ , com:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=
44
22dD
DWt
π (Equação 2.22)
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Resumindo, temos:
t
t
IGM⋅⋅
=l
ϕ (Equação 2.23)
( )44
32dDIt −=
π (Equação 2.24)
SEÇÃO CIRCULAR DE PAREDE FINA (DELGADA)
Nas quais dmt <<< ou 10>t
dm , onde:
dm: diâmetro médio;
t: espessura.
Pode-se considerar que τ seja uniforme.
tMdmA =⋅⋅2
τ → tMdmtdm =⋅⋅⋅⋅2
πτ → tMtdm=
⋅⋅⋅2
2πτ →
2
2dmtM t
⋅⋅=π
τ
Assim t
t
WM
=τ com 2
2dmtWt⋅⋅
=π . E
t
t
IGM⋅⋅
=l
ϕ com 4
3dmtIt⋅⋅
=π .
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Exemplo de Diagramas de Momento Torsor
• Momento de torção aplicado
Exercícios:
1) Traçar o diagrama de momento torsor
2) Traçar o diagrama de momento torsor
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• Momento de torção uniformemente distribuído (m)
xmxmMx
t ⋅=∂⋅= ∫0 → ll ⋅== mxM t )(
• Momento de torção linearmente distribuído (m)
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∫ ∂=x
xt xmM0
onde xmtgmx ⋅==l
θ
∫ ∂⋅⋅=x
t xxmM0 l
Logo: l⋅
⋅=
2
2xmM t e 22
)(2 l
l
ll
⋅=
⋅⋅
==mmxM t
Exercícios:
1) Traçar o diagrama de momento torsor para a estrutura isostática. a
Mm 21 = ,
aMm =2
2) Traçar o diagrama de momento torsor para a estrutura hiperestática. aMm =
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3) Traçar o diagrama de momento torsor para a estrutura hiperestática.
M = 5 kNm; m = 0,3 kNm/m; L = 1,2 m.
4) Calcular o giro relativo abϕ
5) Calcular o giro relativo abϕ
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6) Calcular o diâmetro d e o giro abϕ
M = 120 Nm; m = 40 Nm/m; a = 1,2 m; b = 0,8 m; 2/10 mMNadm =τ , G = 80000
MN/m2.
7) Calcular o momento torsor M.
E = 21000 kN/cm2; G = 7000 kN/cm2; cmbarra 1=φ ; 2/12 cmkNadm =σ 2/8 cmkNadm =τ
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Torção em barras de seção qualquer
Observações:
Barras de seção circular: seções sofrem rotações elásticas e permanecem planas.
Barras de seção qualquer: sofrem empenamento.
Hipóteses:
1. A espessura t = t(s), pode variar com s, mas é constante em x.
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2. As tensões de cisalhamento igualmente distribuídas sobre a espessura t e dirigindo-se
paralelas às bordas são funções de s, )(sττ = , mas independentes de x.
obs: considerando-se o empenamento nulo tem-se a torção livre (torção de Saint
Venant)
Equilíbrio de forças:
xtxt ∂⋅⋅=∂⋅⋅ 2211 ττ
cteststt =⋅=⋅=⋅ )()(2211 τττ
=⋅ )()( stsτ fluxo de cisalhamento
Momento Mt:
hdsstsM t ⋅⋅⋅=∂ )()(τ com
dAdshhdsA ⋅=⋅⇒⋅
=∂ 22
dAstsM t ⋅⋅⋅=∂ 2)()(τ
∫∫ ⋅⋅⋅=∂=AA
tt dAstsMM 2)()(τ
AstsM t ⋅⋅⋅=∴ )()(2 τ
)(2)(
stAM
s t
⋅⋅=∴τ
t
t
WM
s =∴ )(τ com )(2 stAWt ⋅⋅=
Exemplo: Seção quadrada:
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2aA =
tst =)(
taWt ⋅⋅= 22
Exemplo: círculo
4
2dmA ⋅=π
2
2dmtWt⋅⋅
=π
Na seção qualquer, se t = t(s):
t
t
WM
=τ e )(2 stAWt ⋅⋅=
mint
tMAX W
M=τ → min2min tAWt ⋅⋅=
Fluxo de cisalhamento → ctests =⋅ )()(τ
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Deformação φ (rotação elástica)
• Trabalho/energia
U = energia = T = trabalho
2dpU p⋅
=
dFU FV ⋅=
ϕ⋅⋅== tMUT21 (carregamento lento)
Se ϕ⋅= tMT (cargas rápidas)
U: energia de deformação (interna)
T: trabalho externo
A carga (F,M) produz esforços (M,V,N,Mt) e tensões ( )τσ , .
dsdxstsU ⋅⋅⋅⋅⋅=∂ γτ )()(21
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Pela Lei de Hooke:
εσ ⋅= E γτ ⋅= G Gτγ =
Logo dsdxstsG
U ⋅⋅⋅⋅⋅
=∂ )()(2
1 2τ .
Tem-se: )(2
)(stA
Ms t
⋅⋅=τ .
dsdxststA
MG
U t ⋅⋅⋅⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅⋅
⋅⋅
=∂ )()(22
12
dsdxstAG
MU t ⋅⋅
⋅⋅⋅=∂
)(8 2
2
)(8 2
2
stdsdx
AGM
U t ⋅⋅⋅⋅
=∂
∫∫∫ ⋅∂⋅⋅⋅
=∂=)(8 02
2
stdsx
AGM
UU t l
Igualando-se o trabalho do esforço Mt com o das tensões τ, tem-se:
TU =
ϕ⋅⋅=⋅⋅⋅⋅
∫ tt M
stds
AGM
21
)(8 2
2 l
∫⋅⋅⋅⋅
=)(4 2 st
dsAG
M t lϕ
T
t
IGM⋅⋅
=l
ϕ
∫⋅
=∴
)(
4 2
stdsAIt
como t é normalmente constante, ∫ ds = perímetro.
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Exemplo:
A = a x b
)()(2
)(2)(4
)(
4 222
batba
tba
ba
stdsAIt +
⋅⋅⋅=
+⋅⋅⋅
=⋅
=
∫
Exercícios:
1) Calcular “e”, It.
Dados: Mt = 100 tfcm, t = 0,1 cm, 2/0,1 cmtfadm =τ
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2) Calcular “a”
Dados: Mt = 250 tfcm, 2/0,1 cmtfadm =τ
Analogia de membrana Imaginemos uma membrana homogênea, com o mesmo contorno da seção transversal do elemento sujeito à torção e solicitada por uma tração uniforme nas bordas e por pressão uniforme.
Equação diferencial da superfície deformada de uma membrana.
Kp
yz
xz
−=∂∂
+∂∂
2
2
2
2
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Mostra-se que a equação diferencial da superfície elástica da membrana
deformada tem a mesma forma da equação diferencial que determina a distribuição das
tensões ao longo da barra solicitada à torção.
Equação diferencial da torção:
αφφ⋅−=
∂∂
+∂∂ G
yx 2
2
2
2
Analogia entre as equações diferenciais se: α⋅= GKp onde:
P: pressão lateral por unicidade de área;
K: força de tração por unicidade de comprimento da barra;
α: ângulo de torção por unicidade de comprimento.
Seções celulares:
Torção em seções celulares:
Equação de equilíbrio da membrana:
∫⋅⋅=⋅t
dshKAp
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Placa 1:
)()()( 1231
11 chh
eKaca
ehKAp ⋅−⋅−++⋅⋅
=⋅
Placa 2:
)()()( 1232
22 chh
eKbcb
ehKAp ⋅−⋅+++⋅⋅
=⋅
Tensão tangencial:
βτ ⋅⋅
=V
M t
2
eh
=β
11 2βτ ⋅
⋅=
VM t
1
11 e
h=β
22 2βτ ⋅
⋅=
VM t
2
22 e
h=β
33 2βτ ⋅
⋅=
VM t
3
123 e
hh −=β
Momento de inércia à torção:
pKVIT⋅⋅
=4
ângulo de giro:
Kp
VGM
IGM t
t
t ⋅⋅⋅⋅
=⋅⋅
=4ll
ϕ
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Exercícios:
1)Calcular Mt e abϕ
Dados: G = 800 kN/cm2; 2/8 cmkNadm =τ
2) Determinar: a) Wta / Wtf, b) esforço no cordão de solda, sendo Mt = 100 tfcm.
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3) Calcular o deslocamento do ponto A.
Dados: t = 0,1 cm; Mt = 1
50 kNcm, G = 8000 kN/cm2.
Resolução do exercício 3.
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Placa 1 = Placa 3
)5(1,0
)4783,5(1,0
52
)74(21 ⋅⋅−++⋅⋅=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅
+⋅ hKhKp → 21 583,1675,2 hh
Kp
⋅−⋅=⋅
Placa 2
( ) ( ) )5544(1,0
)55(1,0
95 212 +++⋅+⋅++⋅⋅=⋅⋅ hhKhKp → 21 28185,4 hhKp
⋅+⋅=⋅
Kph ⋅= 18,01
Kph ⋅= 05,02
Volume: ( ) ( )212112 hhAhAV +⋅+⋅⋅=
( )Kp
Kp
KpV ⋅=⋅+⋅+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅⋅⋅= 25,2005,018,04518,05,272
Inércia à torção: 48125,2044 cmpK
Kp
pKVIt =⋅⋅⋅=⋅⋅
=
Giro: radIG
M
t
t 023,0818000
100150=
⋅⋅
=⋅⋅
=l
ϕ
Coordenadas do ponto A em relação ao c.g.
cmxA 5,9= , cmyA 3,3=
( ) cmyv Ax 076,03,3023,0 =⋅−−=⋅−= ϕ
( ) cmxv AY 219,05,9023,0 −=⋅−=⋅= ϕ
Deslocamento: cmvvv yx 23,022 =+=
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3-CENTRO DE CISALHAMENTO EM SEÇÕES SIMÉTRICAS
- Tensões tangenciais nas seções delgadas abertas:
Dado um elemento de viga obtido por duas seções: x e x + dx
• AyI
xMAxTA
zA
∂⋅⋅=∂⋅= ∫∫)()(σ
• AyI
xxMAxxtA
zA
∂⋅⋅∂+
=∂⋅∂+= ∫∫)()(σ
As resultantes das trações exercidas sobre o elemento geralmente não serão
iguais: tT ≠ → tTxxMxM >⇒∂+> )()(
0>− tT
0)()(>∂⋅⋅
∂+−∂⋅⋅ ∫∫ Ay
IxxMAy
IxM
Az
Az
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)()()( xMxMxxM ∂−=∂+
0)(>∂⋅⋅
∂∫ Ay
IxM
Az
O equilíbrio exige, então, que exista uma força horizontal, que será:
xsestT ∂⋅⋅=−−−
)()(τ
xsesAyI
xMA
z
∂⋅⋅=∂⋅⋅∂ −−
∫ )()()( τ
AseI
yxVAseIx
yxMsA
z
A
z
∂⋅⋅
⋅=∂⋅
⋅⋅∂
⋅∂=∴ ∫∫ −−−−
)(
)(
)(
)()(τ
∫ ∂⋅⋅⋅
= −−A
z
AyseI
xVs)(
)()(τ
• )(
)()( −−
⋅
⋅=
seI
SxVsz
τ onde:
τ: tensão de cisalhamento;
V: força cortante na seção em estudo;
e: espessura da seção;
Iz: momento de inércia com relação ao eixo neutro z;
S: momento estático da parte da seção estudada com relação ao eixo neutro z.
ssesF ∂⋅⋅=∂ )()(τ
∫ ∂=s
FF0
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∫∫ ∂⋅⋅⋅
⋅=∂⋅⋅= −−
s
z
s
sseseI
SxVssesF0
0
)()(
)()()(τ
Geralmente ctesese ==−−
)()(
∫ ∂⋅⋅=∴s
z
ssSI
xVF0
)()(
Exemplo 1:
)()()(
seISxVs
z ⋅⋅
=τ
PxV =)(
ese =)(
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⋅⋅⋅+
⋅⋅⋅+
⋅=
233
22
1222
12hebbeehI z
• Variação nas mesas:
2)( hsesS ⋅⋅=
)()( sSKs ⋅=τ
)()(seI
xVKz ⋅
= 2
)( sheKs ⋅⋅⋅=∴τ
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Tem-se:
• OBS: As tensões tangenciais verticais vτ são desprezadas
bISxV
zv ⋅⋅
⋅=
2)(τ
)()()(
seISxVs
z ⋅⋅
=τ
)(2 sbe v ττ <<⇒⋅<<
• Para S2 (outra posição de S) na alma
Momento estático
bheshsesS ⋅⋅+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⋅⋅=
22)(
O momento estático é acumulativo.
bhesehsesS ⋅⋅+⋅
−⋅⋅
=22
)(2
)()( sSKs ⋅=τ
Exemplo 2:
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2)( shesS ⋅⋅= (mesa)
bheshsesS ⋅⋅+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⋅⋅=
22)( (mesa + alma)
02
)(=⋅−
⋅=
∂∂ sehe
ssS
2hS =∴
22222
2
maxhbehehheS ⋅⋅+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⋅−⋅
⋅=
28
2
maxhbeheS ⋅⋅
+⋅
=
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)()()(
seISxVs
z ⋅⋅
=τ
)()( sSKs ⋅=τ
PxV =)(
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⋅⋅+
⋅⋅+
⋅=
233
2122
12hebbeehI z
∫ ∂⋅⋅=s
z
ssSI
xVF0
)()(
• ∫ ∂⋅⋅=b
z
ssSIPF
01 )(
• 31 FF =
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42)(
2
00
bhesshessSbb ⋅⋅
=∂⋅⋅⋅
=∂⋅ ∫∫
41
2bheIPF
z
⋅⋅⋅=∴
• ∫ ∂⋅⋅=h
z
ssSIPF
02 )(
222)(
2 bhesehsesS ⋅⋅+
⋅−
⋅⋅=
262222)(
233
0
2
0
hbehehesbhesehsessShh ⋅⋅
+⋅
−⋅
=∂⋅⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ⋅⋅+
⋅−
⋅⋅=∂⋅ ∫∫
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⋅⋅+
⋅⋅+
⋅
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ⋅⋅+
⋅−
⋅⋅
=233
233
2
2122
12
262
hbebeeh
hbehehePF
he << ; be <<
)(2 xVPF ==∴
Centro de cisalhamento (Seções delgadas simétricas)
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O centro de cisalhamento ou centro de torção é o ponto do plano da seção em relação ao qual o momento de todas as resultantes das tensões devidas a τ é nulo. É o ponto por onde deve passar o plano que contém a resultante de V atuante na seção, para que não haja torção.
fτ : tensão de cisalhamento devido à V
Forças de cisalhamento na seção
∫ ∂⋅⋅=b
zz
ssSIVF
01 )(
2)( shesS z
⋅⋅=
42
2
01bhe
IVsshe
IVF
z
b
z
⋅⋅⋅=∂⋅
⋅⋅= ∫
VhbeheheIVsbhesehse
IVF
z
h
z
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ⋅⋅+
⋅−
⋅⋅=∂⋅⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ⋅⋅+
⋅−
⋅⋅⋅= ∫ 264222
233
0
2
2
31 FF =
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ⋅⋅+
⋅⋅+
⋅=
4122
12
233 hbebeehI z
be << ; he <<
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Condições de equivalência
VF =1 ; cVM ⋅=0
cVhF ⋅=⋅1
VhFc ⋅
= 1
Vhbeh
IVc
z
⋅⋅⋅
⋅=4
2
zIbehc
⋅⋅⋅
=4
22
; ),,( bhefc = não depende de V.
212
23 hbeheI z⋅⋅
+⋅
=
Obs: 1. se a cortante passar pelo C.C. não haverá momento na seção, pois há
equivalência entre Vc e M0.
2. Se chamarmos de “fluxo de tensões” o produto τ t, podemos imaginar uma
analogia entre “fluxo de tensões” que percorre a seção e “fluxo de água” que percorreria
um encanamento com a forma da seção analisada.
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t
tt W
M=τ
PV =
)( bcPMM t +⋅==
ft τττ += (tensão de cisalhamento resultante)
eISV
WM
zt
t
⋅⋅
+=τ
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Cantoneiras
Exercícios:
1) Determinar a posição do centro de cisalhamento e calcular as tensões tangenciais.
Dado: Iz=2806 cm4.
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2) Calcular maxτ
Dado: Iz=895914 cm4.
3) Determinar as tensões principais no ponto A da seção mais solicitada.
Dado: Iy=27937 cm4.
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Resolução do exercício 3.
100⋅= FM
FFzIM
yx 054,015
27937100
−=⋅⋅
=⋅=σ
( ) 433 48,37221,212015131
31 cmthI iiT =⋅++⋅⋅=⋅⋅= ∑
3
max
48,37148,37 cm
tIW T
T ===
∫ ∂⋅⋅=s
ssSIxVF
0)()(
230
2301
2
1ssssS −⋅=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −⋅⋅=
yy IPsss
IPF ⋅=∂⋅⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⋅⋅= ∫ 5,2812
230
15
0
2
1
5,337155,3371512 +⋅=+⋅⋅= ssS
( )yy I
PssIPF ⋅=∂⋅+⋅⋅= ∫ 97505,33715
20
02
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∑ = 00M
cPFF ⋅=⋅⋅−⋅⋅ 352152 12
cPIP
IP
yy
⋅=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅⋅−⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅⋅ 5,281270975030
27937196875292500 −
=c
cmc 42,3=
PPcPWM
t
tt ⋅=
⋅=
+⋅== 49,0
48,3742,18
48,37)15(τ
PPeISV
zf ⋅=
⋅⋅
=⋅⋅
= 023,01279375,637τ
PPPft ⋅=⋅+⋅=+= 513,0023,049,0τττ
( )22
2,1 22 xyyxyx τ
σσσσσ +⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +±
+=
( )22
2,1 513,02
0054,02
0054,0 PPP+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +−
±+−
=σ
P487,01 =σ
P541,02 −=σ
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4 - TEORIA DAS TENSÕES
zz
A AF
σ=∂∂
→∂ 0lim → tensão normal
zyy
A AF
τ=∂
∂→∂ 0
lim → tensão tangencial ou tensão de cisalhamento
zxx
A AF
τ=∂∂
→∂ 0lim
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→→→
+= xzwt z τσ
22)( τσ += zt
• Obs: A tensão é definida no ponto.
∑ = 00M → 2
22
2 zyxyzx zyyz∂⋅∂⋅∂⋅⋅=
∂⋅∂⋅∂⋅⋅ ττ
0≠∂⋅∂⋅∂=∂ yzxV
zyyz ττ =
Teorema de Cauchy.
Genericamente jiij ττ = { }zyxji ,,, =
São seis as tensões no caso tridimensional.
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Caso plano
Caso linear
Ensaio de tração: → AF
=σ l
lΔ=ε
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Estado simples/ Linear/ Unidimensional de tensão
Considere uma barra sem peso, tracionada pela extremidade livre por uma força
F centrada. Numa seção genérica, aparecerão tensões normais σ1 de modo que se tenha
o equilíbrio da seção cortada.
AF
=σ
Equilíbrio de forças.
• ∑ =−
0yF
0coscos 1 =⋅⋅−⋅ ασα
σ AA
* ασσ 21 cos⋅=
• ∑ =−
0xF
0cos 1 =⋅⋅−⋅ ασα
τ senAA
* ααστ cos1 ⋅⋅= sen
De outra maneira:
1. 2
2cos1cos2 αα += → α
σσσ 2cos
2211 ⋅+=
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2. 22sencossen ααα =⋅ → α
ττ 2sen
21 ⋅=
21
21 2cos
22⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ − α
σσσ
212 2sen
2⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅= ατ
τ
212
21
22⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −
στ
σσ
Tensões principais:
• Tensão máxima: 1σ
• Tensão mínima: 2σ
Círculo de Mohr:
Nos planos principais ( 'α e ''α ) a tensão tangencial vale zero.
Obs: 1. planos ou direções principais.
2. O ponto do gráfico para o qual convergem todos os planos representativos de
cortes na barra é chamado pólo.
Convenção de sinais:
tração⇒> 0σ
compressão⇒< 0σ
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Estado Plano (duplo, bidimensional) de tensões
Considere um elemento infinitesimal com solicitação geral de tensões.
Equilíbrio de Forças:
• ∑ =−
0yF
ασααταατασσ 22 sencossencossencos ⋅∂⋅+⋅⋅∂⋅+⋅⋅∂⋅+⋅∂⋅=∂⋅−−
AAAAA yxyxyxx
ασαατασσ 22 sencossen2cos ⋅+⋅⋅⋅+⋅=−−
yxyxx
• ∑ =−
0xF
αασατατααστ cossensencoscossen 22 ⋅⋅∂⋅+⋅∂⋅−⋅∂⋅+⋅⋅∂⋅=∂⋅−−
AAAAA xxyxyyxy
( ) ( )ααταασστ 22 sencoscossen −⋅+⋅⋅−=−−
xyxyxy
Arcos duplos:
ατασσσσ
σ 2sen2cos22
⋅+⋅−
++
=−−
xyyxyx
x
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ατασσ
τ 2cos2sen2
⋅+⋅−
=−−
xyxy
xy
22
2sen2cos22 ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅+⋅
−=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +−
−−
ατασσσσ
σ xyyxyx
x
22
2cos2sen2 ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅+⋅
−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −−
ατασσ
τ xyxy
xy
( )2222
22 xyyx
xyyx
x τσσ
τσσ
σ +⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +−
−−−−
No círculo de Mohr:
• centro do círculo: ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +0,
2yx σσ
• raio do círculo: ( )22
2 xyyxR τ
σσ+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −=
Ryx ++
=21
σσσ
R+=maxτ
Ryx −+
=22
σσσ
R−=minτ
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Tensões principais ( )21 ,σσ :
( )22
2,1 22 xyyxyx τ
σσσσσ +⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −−+
+=
• 0=−−
xyτ
02cos2sen2
=⋅+⋅−
ατασσ
xyxy
yx
xytgσσ
τα
−
⋅=
22
Direções principais: 'α e ''α
Propriedade
cteyxyx =+=+=+−−−−
21 σσσσσσ
Expressão Matricial das tensões.
[ ] [ ] [ ]TMM ⋅⋅=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −
σσ
[ ] ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
=αααα
cossensencos
M M: matriz de transformação de coordenadas.
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MT: matriz transposta.
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
−−−−
−−−−−
yxy
xyx
στ
τσσ
[ ] ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
yxy
xyx
σττσ
σ
Exercícios:
1) Calcular as tensões principais e suas direções, e desenhar o círculo de Mohr.
160=xσ ; 60=yσ ; 40=xyτ .
2) Calcular as tensões de cisalhamento nos cortes I, II e III.
2/10 cmkNI =σ ; 0=IIσ ; 2/10 cmkNIII −=σ
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3) Calcular as tensões principais e suas direções.
4) Calcular as tensões principais e suas direções. 2/3 cmkNa =σ ; 2/5,1 cmkNb =σ ; 2/5,0 cmkNa =σ
5) Calcular as tensões principais e suas direções nos pontos A e B.
Resolução do exercício 5:
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436167cmI z =
Reações: kNV a 5,7= , kNV b 5,22=
cmkNM z ⋅= 500
kNV 5,12=
Ponto A:
kNyI
M
z
zx 152,011
36167500
−=⋅=⋅=σ
0=xyτ
( )22
2,1 22 xyyxyx τ
σσσσσ +⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −−+
+=
21 /0 cmkN=σ ; 2
2 /152,0 cmkN−=σ
Ponto B:
kNyI
M
z
zx 055,04
36167500
+=⋅=⋅=σ
2/06,01036167
17255,12 cmkNtISV
xy −=⋅
⋅−=
⋅⋅
=τ
( )22
2,1 22 xyyxyx τ
σσσσσ +⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +−+
+=
21 /09,0 cmkN=σ ; 2
2 /04,0 cmkN−=σ
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5 - TEORIA DAS DEFORMAÇÕES
Deformações Normais: xu
x ∂∂
=ε yv
y ∂∂
=ε
yutg∂∂
== 11 γγ xvtg∂∂
== 22 γγ
xyxv
yu γγγγ =
∂∂
+∂∂
=+= 21
γ : deformação tangencial ou distorção.
Coeficiente de Poisson:
Considerando solicitação apenas na direção x, temos:
0>−=y
x
εε
ν
Em materiais isotrópicos (que têm o mesmo comportamento elástico em todas as
direções): 5.00 <<ν
• A lei de Hooke estabelece que a tensão aplicada provoca deformação
proporcional.
Pode-se afirmar então que se em todos os pontos de um sólido elástico atua
tensão σ de direção constante, um comprimento l, sofrerá, na direção da tensão, uma
variação de comprimento:
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Eσ.ll =Δ
Considerando agora que ocorra solicitação em mais de uma direção, pode-se
avaliar o efeito de cada tensão isoladamente:
ll ⋅=Δ ε
• Tensão apenas na direção x :
xx
xx
x EEll ⋅=Δ⇒=
σσε
yx
yx
xy EEll ⋅=Δ⇒⋅−=⋅−=
σσνενε
zx
zx
xz EEll ⋅=Δ⇒⋅−=⋅−=
σσνενε
• Tensão apenas na direção y :
yy
yy
y EEll ⋅=Δ⇒=
σσε
xy
xy
yx EEll ⋅=Δ⇒⋅−=⋅−=
σσνενε
zy
zy
yz EEll ⋅=Δ⇒⋅−=⋅−=
σσνενε
• Tensão apenas na direção z :
zz
zz
z EEll ⋅=Δ⇒=
σσε
xz
xz
zx EEll ⋅=Δ⇒⋅−=⋅−=
σσνενε
yz
yz
zy EEll ⋅=Δ⇒⋅−=⋅−=
σσνενε
Por superposição de efeitos: xz
xy
xx
x EEEllll ⋅⋅−⋅⋅−⋅=Δ
σν
σν
σ
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⋅−=∴
EEEzyx
xσσ
νσ
ε
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Analogamente, ocorre nas outras direções.
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +⋅−=
EEEzxy
yσσ
νσ
ε
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⋅−=
EEExyz
zσσ
νσ
ε
Além disso, para a distorção, tem-se:
G
xyxy
τγ = ;
Gyz
yz
τγ = ;
Gxz
xzτ
γ =
Onde G é o módulo de elasticidade transversal: ( )υ+=12EG
Num estado triplo de deformações, temos: zyx εεε ,, , yzxzxy γγγ ,,
Num estado plano de deformações, temos apenas: xyyx γεε ,,
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅−=
EEyx
x
σν
σε
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⋅−=
EExy
yσ
νσ
ε
Gxy
xy
τγ =
Para calcular a deformação ( xε ) de um plano inclinado de θ em relação ao eixo
original x , temos:
θγ
θεεεε
ε 2sin2
2cos22
⋅+⋅−
++
= xyyxyxx
θγ
θεεεε
ε 2sin2
2cos22
⋅−⋅−
−+
= xyyxyxy
θγθεεγ 2cos2sin)( ⋅+⋅−= xyxyyx
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Deformações principais ( 1ε e 2ε ):
22
1 222 ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+
+= xyyxyx γεεεε
ε
22
2 222 ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −−
+= xyyxyx γεεεε
ε
Exercícios:
1) Calcular as tensões xσ , yσ e zσ .
2) Calcular xlΔ do sólido I.
2/1 cmtfz =σ ; P = 80 tf; 2/500 cmtfEI = ; 3,0=Iν ; 2/100 cmtfEE IIIII == ;
4,0== IIIII νν
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3) Qual o deslocamento total em y e a carga máxima.
Dados: E = 100 tf/cm2; 4,0=ν
4) Determinar as tensões.
Dados: 610200 ⋅=aε ; 610300 ⋅=bε ; 2εε =a ; E = 20000 kN/cm2; 3,0=ν
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5) Calcular a deformação na direção θ indicada, sabendo que yx εε .5,0−= .
Dados: 2/1 cmKNx =σ ; 3,0=ν ; θ = 30º
6) Para o tubo de parede fina; calcular Mt e F.
Dados: 4104,1 −⋅−=aε ; 4108,4 −⋅=bε ; E = 21000 kN/cm2; 3,0=ν
7) Desenhar o círculo de Mohr.
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Dados: 4x 105 −⋅−=ε , 4
y 103 −⋅=ε , rad106 2xy
−⋅=γ
8) No ponto O da viga indicada na figura foram medidas as deformações nas direções A
e B e encontrados: 51014,7 −⋅=aε , 510.07,16 −=bε . Sabendo-se que essa viga está
solicitada apenas por M e V, calcular esses valores, dados: 2/808 cmkNG = ; E = 21000 kN/cm2; 3,0=ν
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Resolução do exercício 3.
Estágio 1
0=xσ ; 0=zσ ; 400P
y =σ
cmx 02,0=Δl
xxx ll ⋅=Δ ε
2002,0 ⋅= xε
001,0=xε
( )( )zyxx Eσσνσε +⋅−⋅=
1
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⋅−=
4004,0
1001001,0 P
tfP 100=
( )( )yxzz Eσσνσε +⋅−⋅=
1
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−⋅−⋅=
4001004,0
1001001,0
Estágio 2
0=zσ ; 400P
y =σ
cmz 02,0=Δl
zzz ll ⋅=Δ ε
2002,0 ⋅= zε
001,0=zε
( )( )yxzz Eσσνσε +⋅−⋅=
1
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⋅−⋅=
4004,0
1001001,0 P
xσ
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0=xε
( )( )zyxx Eσσνσε +⋅−⋅=
1
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⋅−=
4004,0
10010 P
xσ
Px ⋅+⋅−= 001,04,01,0 σ (1)
Px ⋅+= 001,00 σ (2)
Resolvendo o sistema: 2/071,0 cmtfx −=σ
tfP 43,71=
Carga Total:
tfPPPtotal 43,17143,7110021 =+=+=
( )( )zxyy Eσσνσε +⋅−⋅=
1
( ) 004,00071,04,0400
43,171100
1−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +−⋅−−⋅=yε
Deslocamento total em y.
cmyyy 12,030004,0 −=⋅−=⋅=Δ ll ε
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6 - ENERGIA DE DEFORMAÇÃO
Na mecânica, uma força realiza trabalho quando sofre um deslocamento dx na
mesma direção dela.
Por exemplo, ao calcular o trabalho realizado por uma força axial aplicada na
extremidade da barra.
Como a força N aumenta gradualmente de 0 até P, o deslocamento varia de 0 até
ΔL. Se o material comportar-se de maneira linear-elástica, a força será diretamente
proporcional ao deslocamento, ou seja:
xKN x ⋅= onde K = constante.
Pela Lei de Hooke:
( )( )zyxX E1 σσνσε +⋅−⋅= , sendo 0zy == σσ
Ex
xσ
ε =∴
AN x
x =σ → lΔ=x
AN
x =σ → l
lΔ=xε
ll
Δ⋅⋅
=⋅=AExKN
xxKxNU x ∂⋅⋅=∂⋅=∂
O trabalho realizado será:
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∫ ∫ ∂⋅⋅=∂= xxKUU
∫Δ Δ
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ⋅=∂⋅⋅=
l l
0 0
2
2xKxxKU
ll Δ⋅⋅=Δ⋅⋅= NKU21
21 2
lΔ⋅⋅= N21U
U: energia de deformação (carregamento lento)
Carregamento lento: carregamento aplicado de zero até o valor final. Em caso de carregamentos rápidos (carregamentos instantâneos), temos:
lΔ⋅= NU , uma vez que o gráfico apresenta-se como um retângulo.
Exemplos:
Carregamento lento: peso próprio da estrutura.
Carregamento rápido: ação do vento.
- Energia de Deformação: Energia de deformação é definida como a capacidade de produzir trabalho. A
energia armazenada em sólidos elásticos devido à deformação dos elementos sob ações externas é igual ao trabalho interno.
Objetivos:
1- Calcular deslocamentos
2- Calcular incógnitas hiperestáticas.
- Métodos de cálculo da energia de deformação:
• Pelas tensões
• Pelos esforços solicitantes
• Pelas cargas
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a) Cálculo pelas tensões:
Seja um elemento no estado triplo de tensões.
Efeito total = somatório dos efeitos parciais (superposição de efeitos).
Modelo de cálculo
Trabalho = força x deslocamento
Se o elemento de volume está submetido à tensão σx:
zyforça x ∂⋅∂⋅= σ
xtodeslocamen x ∂⋅= ε
trabalho = xzy xx ∂⋅⋅∂⋅∂⋅ εσ
zyx21U xxx ∂⋅∂⋅∂⋅⋅⋅=∂ εσσ e zyxV ∂⋅∂⋅∂=∂ (V = volume)
dV21U xxx ⋅⋅⋅=∂ εσσ
Analogamente:
• para yσ : dV21U yyy ⋅⋅⋅=∂ εσσ
• para zσ : dV21U zzz ⋅⋅⋅=∂ εσσ
Efeito total: izyx UUUU σσσσ ∂=∂+∂+∂
zyxzyxzyxU zzyyxxi ∂⋅∂⋅∂⋅⋅⋅+∂⋅∂⋅∂⋅⋅⋅+∂⋅∂⋅∂⋅⋅⋅=∂ εσεσεσσ 21
21
21
Dividindo ambos os lados por zyx ∂⋅∂⋅∂
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dVU
zyxU
U ii,0
∑∑ ∂=
∂⋅∂⋅∂
∂= σσ
σ
σ,0U : Energia específica de deformação (só as tensões normais)
Para um elemento de volume, a tensão de cisalhamento provoca deformação no
elemento.
Assim, a energia de deformação armazenada no elemento é:
zyx21U xzxzxz ∂⋅∂⋅∂⋅⋅⋅=∂ γττ
zyx21U xyxyxy ∂⋅∂⋅∂⋅⋅⋅=∂ γττ
zyx21U yzyzyz ∂⋅∂⋅∂⋅⋅⋅=∂ γττ
Efeito total: ijyzxyxz UUUU ττττ ∂=∂+∂+∂
dVU
zyxU
U ijij,0
∑∑ ∂=
∂⋅∂⋅∂
∂= ττ
τ
τ,0U : Energia específica de deformação (só as tensões de cisalhamento)
Efeito global:
( )∑ ∂+∂= iji UUU τσ
( )volume,0,00 UUU ∑ += τσ
dVUUvolume 0 ⋅= ∫
Ou seja: ( )∫ ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅⋅=V yzyzxzxzxyxyzzyyxx dV
21U γτγτγτεσεσεσ
b) Cálculo pelos esforços solicitantes
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Considere uma viga:
• yI
MA
N
z
zxx ⋅+=σ e
zxy Ib
SV⋅⋅
=τ
dVUUvolume 0 ⋅= ∫
( )xyxyxx0 21U γτεσ ⋅+⋅⋅=
Pela Lei de Hooke:
• E
xx
σε = e
Gxy
xy
τγ =
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⋅=
GE21U
2xy
2x
0
τσ
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⋅⋅
⋅+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅+⋅⋅=
22
0 IbSV
G1y
IM
AN
E1
21U
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅⋅
⋅+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅= 22
222
2
2
2
2
0 IbSV
G1y
IMy
IM
AN2
AN
E1
21U
xdAIbSV
Gy
IMy
IM
AN
AN
EU
A
∂⋅⋅⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅⋅
⋅+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅= ∫∫ 22
222
2
2
2
2
0
12121l
Resolvendo as integrais de área, temos:
∫ ∂⋅⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅⋅
⋅+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⋅
⋅=
l
0
222
21
21 x
AVc
GIM
AN
EU onde c = fator de forma.
AIG
SAc 22
2
∂⋅⋅
⋅= ∫
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Observação: Torção: tI
MwM
t
t
t
txy ⋅==τ
Ou seja:
∫ ∂⋅⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
⋅⋅+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅⋅
⋅+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⋅
⋅=
l
0
2222
221
21 x
IGM
AVc
GIM
AN
EU
t
t
estruturat
t dxGIMdx
GAcVdx
EIMdx
EANU ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡+++= ∫ ∫ ∫ ∫
2²²²21
Exemplo: Calcular a energia de deformação para a estrutura da figura.
Dados: P = 500 kgf; d = 4 cm; c = 1,1 ; E = 2100000 kgf/cm2; G = 800000 kgf/cm2.
L = 50 cm; e = 20 cm.
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c) Cálculo pelas cargas (Teorema de Clapeyron).
∫→→
∂⋅=t
0
tPT onde T = trabalho.
T = U onde U = energia de deformação.
Observação: Teoria de 1a ordem: pontos Ai e Bi muito próximos. →→
≈ ivt
ii vP21T ⋅⋅=
ou genericamente:
∑ ⋅⋅= ii vP21T
xIG
MAG
VcIE
MAE
N21U
0t
2t
222
∂⋅⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅
+⋅
⋅+⋅
+⋅
⋅= ∫l
T = U → Teorema de Clapeyron: conservação de energia
Pode-se, portanto, calcular o deslocamento no ponto e na direção da força ou
momento aplicado, com esse teorema. A aplicação é bastante limitada, pois apenas uma
força externa ou momento pode atuar na estrutura.
Exemplo 1: Calcular o deslocamento vertical do ponto A.
Exemplo 2:calcular o giro (φ ) no apoio fixo.
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Teorema de Maxwell
Trata de uma estrutura elástica com duas cargas Pi e Pk.
Seja a viga abaixo. Por superposição de efeitos:
Considere a teoria de 1a ordem.
Observação: ikδ : indica a causa (força no ponto k que causa o deslocamento em i).
ikKiiii PPv δδ ⋅+⋅=
kkKkiik PPv δδ ⋅+⋅=
1a forma de carregamento: ( )P0(P),P0(P kkii →→ )
ikkikkkkiiii1 PP1PP21PP
21T δδδ ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=
2a forma de carregamento: ( )P0(P),P0(P iikk →→ )
kiikiiiikkkk2 PP1PP21PP
21T δδδ ⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=
Porém o trabalho realizado é o mesmo: T1 = T2.
Substituindo os valores, tem-se que kiik δδ = → Teorema de Maxwell.
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Observações:
• se substituirmos as forças Pi e Pk por um grupo de forças, temos o Teorema de
Betti.
• o Teorema de Maxwell vale se substituirmos forças por momentos.
- Teorema de Maxwell: “O deslocamento de um ponto i, na direção ir
, quando se
aplica uma força no ponto k é igual ao deslocamento de um ponto k, na direção kr
,
quando se aplica uma força no ponto i”.
- Teorema de Castigliano (1873): “A derivada parcial da energia de deformação em
relação a uma carga Pk é igual ao deslocamento elástico (flecha) vk do ponto de
aplicação da carga”.
kk
vPU
=∂∂
n1nx1xi1i1221111 P...P...P...PPv δδδδδ ⋅++⋅++⋅++⋅+⋅=
n2nx2xi2i2222112 P...P...P...PPv δδδδδ ⋅++⋅++⋅++⋅+⋅=
innixxiii2i21i1i P...P...P...PPv δδδδδ ⋅++⋅++⋅++⋅+⋅=
xnnxxxxii2x21x1x P...P...P...PPv δδδδδ ⋅++⋅++⋅++⋅+⋅=
nnnnxxnii2n21n1n P...P...P...PPv δδδδδ ⋅++⋅++⋅++⋅+⋅=
∑=
⋅⋅=n
1iii vP
21U
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂⋅+⋅
∂∂
⋅=∂∂ ∑ ∑
= =
n
1i
n
1i k
iii
k
i
k PvPv
PP
21
PU
1a derivada → para ki ≠ , 0PP
k
i =∂∂
para ki = , 1PP
k
i =∂∂
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2a derivada → ∑= ∂∂n
1i k
i
Pv
kk
i
Pvi 11 δ=
∂∂
⇒=
k2k
i
Pv2i δ=∂∂
⇒=
ikk
i
Pvii δ=∂∂
⇒=
kkk
i
Pvki δ=∂∂
⇒=
nkk
i
Pvni δ=∂∂
⇒=
...P...PP ikik22k11 +⋅++⋅+⋅ δδδ
Pelo Teorema de Maxwell, tem-se kiik δδ = .
Logo:
( )kkk
vvPU
+⋅=∂∂
21
kk
vPU
=∂∂
∴
Como: estruturat
t dxGIMdx
GAcVdx
EIMdx
EANU ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡+++= ∫ ∫ ∫ ∫
2²²²21
estruturatk
tt
kkkk
dxGIP
MMdxGAP
VcVdxGIP
MMdxEAP
NNPU
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
=∂∂
∫ ∫ ∫ ∫12121212
21
estruturak
t
t
t
kkkk dx
PM
GIMdx
PV
GAcVdx
PM
GIMdx
PN
EANv ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
= ∫ ∫ ∫ ∫
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É importante lembrar que ao determinar N, M, V e tM da estrutura, devemos
deixá-los em função de kP (ela existindo ou não), para só no final dos cálculos (após a
fase da integração) a substituirmos por seu valor original (seja ele nulo ou não).
Observação prática:
Para facilitar os cálculos, para certos tipos especiais de estrutura, podemos
desconsiderar certas parcelas da energia, já que são muito menores que as outras.
- Vigas e pórticos planos:
Aqui, o momento fletor é responsável por gerar uma energia muito maior que as
geradas pela normal, cortante e momento torçor.
Portanto, simplificaremos para:
estruturak
t
t
t
kkkk dx
PM
GIMdx
PV
GAcVdx
PM
GIMdx
PN
EANv ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
= ∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∂∂
=∴estrutura
kk dx
PM
GIMv
- Treliças e tirantes:
Neste caso, as barras sofrem somente solicitação normal, ou seja:
estruturatk
k dxGI
dxGA
dxGI
dxPN
EANv ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡+++
∂∂
= ∫ ∫ ∫ ∫000
∫ ∂∂
=∴estrutura
kk dx
PN
GINv
Como a força normal nas barras é uma função de grau zero (um valor constante
na barra toda), podemos dizer que N independe de x, ou seja:
lNdxNNdxl l
⋅=⋅=∫ ∫0 0
(onde l é o comprimento da barra)
Considerando que o mesmo vale para kP
N∂∂ , temos:
0 0 0
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∫ ∑ ∫=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
=∂∂
=treliça
n
iibarra
kkk dx
PN
EANdx
PN
EANv
1.
∑ ⋅∂∂
= lPN
EANv
kk
Observação:
No caso de um pórtico atirantado, devemos usar ∫ ∂∂
pórticok
dxPM
GIM para calcular a
energia referente ao pórtico e somar com ∫ ∂∂
tirantek
dxPN
GIN (parcela do tirante).
Como o teorema de Maxwell vale se substituirmos forças por momentos (e,
naturalmente, deslocamentos (translação) por giros (rotação), podemos assim
determinar, ao invés do deslocamento kv de um ponto, o seu giro absoluto kφ :
∫ ∂∂
=estrutura
kk dx
MM
GIMφ (para vigas e pórticos planos)
Sendo kM o momento no ponto k desejado, de mesmo sentido do giro kφ .
Exercícios:
1) Calcular o deslocamento vertical do ponto A.
2) Calcular o deslocamento vertical no meio do vão.
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3) Calcular o deslocamento vertical na extremidade livre do vão.
Teorema de Menabrea
Usado para resolver problemas hiperestáticos, ele nada mais é que o teorema de Castigliano usado com o propósito inverso (num ponto onde o deslocamento já é conhecido e a força lá atuante, não). Num apoio fixo, por exemplo, temos reações em duas direções. Ou seja, sabemos que esse ponto tem deslocamento, nessas duas direções, nulo. Sendo assim, podemos descobrir uma das reações da seguinte forma:
0=∂∂
=k
k PUv (neste caso, kP é a própria reação do apoio – uma
incógnita hiperestática)
Exercícios:
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1) Determinar as reações dos apoios da viga.
2) Calcular a força na barra e o deslocamento vertical do ponto B.
Viga: E, I. Barra: Eb; Ab.
3) Calcular o deslocamento vertical do nó 5 (EA = constante).
4) Calcular o deslocamento vertical na extremidade livre do balanço.
Dados: E = 2100 tf/cm2; I = 1000 cm4; P = 2 tf.
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5) calcular a força no tirante. Arco: meia-circunferência (raio = r).
6) Calcular as forças nas barras e o deslocamento vertical do ponto A.
7) Calcular as forças nas barras e seus alongamentos.
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Dados: A1 = A2 = 1 cm2; L1 = 100 cm; L2 = 200 cm; E = 2100000 tf/cm2; Iviga = 5557,3
cm4; Aviga = 112 cm2; L = 200 cm.
8) Calcular o deslocamento horizontal e vertical no ponto de aplicação da carga P.
Dado: c = constante da mola.
Resolução do exercício 4.
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Foi escolhida como incógnita hiperestática o apoio móvel vertical (R).
∑ = 02RM
32
1PRR −−
=
Trecho 1:
xPM x ⋅=
0=∂∂
RM x
Trecho 2:
xPRRxRRM x ⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⋅−
+⋅=⋅+⋅=3
222 1
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xPxRRM x ⋅⋅−⋅⋅−⋅=31
322
xR
M x ⋅−=∂∂
322
Trecho 3:
xRM x ⋅=
xR
M x =∂∂
xIE
MU ∂⋅⋅
⋅= ∫l
0
2
21
00
=∂⋅∂∂⋅=
∂∂
∫ xRMM
RU l
( ) ( ) ( ) ( ) xxRxxxPxRxRxPxxRMM ∂⋅⋅+∂⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −−+∂⋅⋅=∂⋅
∂∂⋅ ∫∫∫∫
2
0
3
0
1
00 322
33220
l
203PR =
Para P = 2 tf, temos R = 0,3 tf.
Substituindo R nas equações dos momentos, temos:
Trecho 1:
xPM x ⋅=
xP
M x =∂∂
Trecho 2:
xPPxPxPPM x ⋅−=⋅⋅−⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⋅−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⋅=
3013
103
31
203
32
2032
xP
M x ⋅−=∂∂
3013
103
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Trecho 3:
203PxM x =
203x
PM x =∂∂
AvxPMM
PU
=∂⋅∂∂⋅=
∂∂
∫l
0
( ) ( )IE
xxPxxxPxPxxPxvA ⋅⋅⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+∂⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −+∂⋅⋅= ∫∫∫
1203
203
3013
103
3013
103 2
0
3
0
1
0
mmmPEI
vA 127,110127,121833,12100
1300
3551 3 =⋅=⋅⋅=⋅= −
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7 - CRITÉRIOS DE RESISTÊNCIA
Estados limites:
a) Estado limite último: ruptura.
b) Estado limite de utilização:
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c) Estado limite de estabilidade:
Critérios de resistência:
• Critérios obsoletos: Critérios de Rankine, Tresca e Saint-Venant.
• Critérios atuais: Critérios de Mohr, Coulomb e von Mises.
A) Critério de Rankine (critério da maior tensão normal).
A maior tensão normal é o limite para a resistência da estrutura. Adota-se, com
certa segurança, a tensão normal máxima, a partir de experimentação e das condições de
aplicação. Critério adequado para materiais dúcteis.
Observação:
)(CS adm
máx σσσ
σσ ≤1 (critério das tensões admissíveis)
Material dúctil: CS
escσσ =
Material frágil: CS
rupσσ =
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- Envoltória de ruptura:
B) Critério de Tresca (critério da maior tensão de cisalhamento):
Ensaio de tração no aço.
O que causa o rompimento do aço é a presença da tensão de cisalhamento que
“corta” a superfície da estrutura.
Observação: critério utilizado para materiais dúcteis (aço).
- Envoltória de ruptura:
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C) Critério de Saint-Venant (critério de maior deformação normal):
Envoltória de ruptura:
ν : coeficiente de Poisson.
Tanto para materiais dúcteis como para materiais frágeis.
1) Critério de Mohr
Envoltória de segurança:
Critério utilizado para diversos materiais (concreto e ferro fundido).
tctc ff >→>σσ
Resistência à compressão: fc.
Resistência à tração: ft.
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2) Critério de Coulomb (critério definido por dois parâmetros físicos):
ϕ :Ângulo de atrito interno.
Cτ :Tensão de coesão.
Critério utilizado para areias, argilas e siltes.
a) Materiais sem coesão (areia).
A partir da análise da localização do círculo de Mohr pode-se verificar se há, ou não
segurança.
0c =τ
critério de segurança: ϕα sensen ≤
a) Materiais com coesão (argila).
0c ≠τ
Mesmo princípio de funcionamento que o anterior.
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Exemplo: critério de Mohr-Coulomb.
Resistência à compressão: fc.
Resistência à tração: ft.
ct ff <
d2
fsen
t
=ϕ
2fdtg
t
c
+=
τϕ
ct
2f
tgtgd τϕϕ =⋅+⋅
ϕ
ϕτ
tg
tg2f
dt
c ⋅⋅=
d2f
f
2f
sent
c
c
++=ϕ
ϕα sensen ≤ (critério de segurança).
- Envoltória de segurança:
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3) Critério da energia de distorção (critério de von Mises).
Utilizado para materiais dúcteis com tc ff ≈ .
Critério baseado nos conceitos de energia de deformação.
Seja:
[ ] [ ] [ ]222222
21
21
xzyzxyzyzxyxzyxtotal GEEU τττσσσσσσνσσσ ++
⋅+⋅+⋅+⋅−++⋅
⋅=
para: 0yzxzxy === τττ , teremos um estado principal de tensões em função de 1σ , 2σ
e 3σ .
[ ] [ ]32312123
22
21total EE2
1U σσσσσσνσσσ ⋅+⋅+⋅−++⋅⋅
=
[ ] [ ] [ ]
desvijijmij σδσσ +⋅=
[ ] [ ] [ ]ijmijdesvij δσσσ ⋅−=
observação: 1ji ij =→= δ , 0ji ij =→≠ δ
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[ ]⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
100010001
ijδ (Delta de Kronecker).
Círculo de Mohr para o estado hidrostático de tensões.
desvhidrototal UUU +=
[ ] [ ]2m
2m
2m
2m
2m
2mhidro EE2
1U σσσνσσσ ++⋅−++⋅⋅
=
( )2321hidro E2
21U σσσν++⋅
⋅−
=
hidrototaldesv UUU −=
( ) ( ) ( )[ ]213
232
221desv G12
1U σσσσσσ −+−+−⋅⋅
=
( )ν+⋅=
12EG
Caso particular: 01 ≠σ , 032 == σσ (tração pura).
31
mσ
σ = estado hidrostático de tensões.
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G1832
33G121U
21
21
21
21
desv ⋅=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅−+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⋅
⋅=
σσσσ (tração pura).
Observação: a energia de deformação correspondente ao estado desviatório de tensão é
chamada de energia de distorção.
O critério da energia de distorção faz a seguinte hipótese:
Tração pura: 01 ≠σ , 021 == σσ
G122UU
21
distdesv ⋅⋅
==σ (tração pura).
( ) ( ) ( )[ ]213
232
221distdesv G12
1UU σσσσσσ −+−+−⋅⋅
==
( ) ( ) ( )[ ]213
232
221esc 2
1 σσσσσσσ −+−+−=
para outros pontos: ( ) ( ) ( )[ ]213
232
221i 2
1 σσσσσσσ −+−+−=
iσ : tensão ideal.
Observações: caso plano de tensões ( 01 ≠σ , 02 ≠σ , 03 =σ )
( ) ( ) ( )[ ]21
22
221dist G12
1U σσσσ −++−⋅⋅
=
G12U
21
dist ⋅=
σ (tração pura) ( esc1 σσ < )
distdist UU = (tração pura)
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12
esc
22esc
21
2
esc
1 =⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
⋅−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛σσ
σσσ
σσ (equação de uma elipse)
Para uma viga: 0x ≠σ ; 0y =σ ; 0xy ≠τ
2xy
2xx
2,1 22τ
σσσ +⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛±= ; 03 =σ
( ) ( ) ( )[ ]213
232
221i 2
1 σσσσσσσ −+−+−=
2xy
2xi 3 τσσ ⋅+=
iij σσ ≤
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Exercícios:
1) Sabendo-se que a tensão máxima de um certo material vale 2max cm/kN3,1=σ e que
este material segue o critério da energia de distorção, verificar se o carregamento na
estrutura é seguro. Dados: p = 8 kN/cm2; F = 60 kN; Iz = 14951,24 cm4.
2) Verificar a segurança nos pontos A e B, sendo dados: M = 50 tfcm; V = 10 tf; fc =
0,8 tf/cm2; ft = 0,4 tf/cm2.
3) O material segue o critério indicado na figura abaixo, verificar a segurança.
Dados: 01 =σ , 22 cm/tf3−=σ , a = 1 tf/cm2.
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4) Determinar quais valores a tensão P de compressão pode variar sem que haja ruptura.
a = 0,4 tf/cm2. Tensões em tf/cm2.
Resolução do exercício 3:
Equação da parábola:
cbyayx ++= 2
pontos conhecidos: (0,1); (1,0) e (0,-1).
cba +⋅+⋅= 1'10 2
cba +⋅+⋅= 0'01 2
( ) ( ) cba +−⋅+−⋅= 1'10 2
1−=a ; 0=b ; 1=c
12 +−= yx equação da parábola.
Equação do círculo de Mohr
( ) ( ) 220
20 Ryyxx =−+−
raio: 5,12
302
21 =+
=−
=σσ
R
coordenadas do centro: ( ) ( )0;5,10,2
, 210 −=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +
=σσ
oyx
( ) ( ) 222 5,15,1 =++ yx equação do círculo
12 +−= yx
( ) ( ) 222 5,15,1 =++ yx
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Resolvendo o sistema:
0122 =++ xx
0=Δ
A equação apresenta 2 raízes iguais, portanto a parábola e o círculo de Mohr se
tangenciam em um único ponto. Portanto há segurança.
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8-FLAMBAGEM
-Estados limites último e de utilização.
-Resistência; Rigidez; Estabilidade.
Fcr = força crítica.
hFcr %20015,1 →⋅
Estabilidade: propriedade que um sistema possui de recuperar seu estado
original apóes ter sido deslocado de usa posição de equilíbrio.
Determinação da força crítica ou força de flambagem ou força de Euller:
- Teoria de 1a ordem
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- Teoria de 2a ordem
)(" xMvIE −=⋅⋅
2
2
xvK
∂∂
≅
- Teoria de 3a ordem
2/32
2
2
1 ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
+
∂∂
=
xv
xv
K
• Método do equilíbrio:
ϕϕ ⋅≈⋅= ll send (pequenos deslocamentos)
ϕ⋅⋅=⋅= lFdFM T
ϕ⋅= cM R
MT = momento tombador; MR = momento restaurador
• RT MM <
• RT MM =
• RT MM >
ϕϕ ⋅=⋅⋅ cF l
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l
cF = (força crítica)
Barra Bi-articulada (articulada-articulada)
vFxM ⋅=)(
)()(" xMxvIE b −=⋅⋅
vFxvIE b ⋅−=⋅⋅ )("
0)(" =⋅+⋅⋅ vFxvIE → Equação diferencial da flambagem
Soluções:
)(cossen 21 xvkxckxcv =⋅+⋅=
kxkckxkcv sencos 21' ⋅⋅−⋅⋅=
kxkckxkcv cossen 22
21
" ⋅⋅−⋅⋅−=
c1,c2 e k são constantes desconhecidas.
Condições de Contorno:
• 0=x , 0=v 02 =⇒ c
kxcv sen1 ⋅=
0)(" =⋅+⋅⋅ vFxvIE
0)sen()sen( 12
1 =⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅ kxcFkxkcIE
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IEFK⋅
=
• l=x , 0=v
0sen1 =⋅ lkc → 01 ≠c → 0sen =∴ lk → π⋅= nkl onde 3,2,1,0=n
IEn
IEFK
⋅⋅
=⋅
=22
2 π
1=n
Logo: 2
2
l
IEFcr⋅⋅
=π
Comprimento de flambagem ( fll ) ou comprimento crítico ( crl ):
É o comprimento que consideramos para o cálculo. Ele depende de como as
extremidades da barra estão presas.
Uma barra bi-articulada (como tratado anteriormente) tem comprimento de
flambagem ll ⋅= 1fl , já que a barra está presa nas duas extremidades e com articulação
livre também nas duas extremidades.
Assim, temos: 2
2
flcr
IEFl
⋅⋅=π
Comprimentos de flambagem:
ll =fl barra bi-articulada
ll ⋅= 2fl barra engastada - livre
2/ll =fl barra engastada-articulada
2/ll =fl barra bi-engastada
Com isso, temos:
Barra engastada – livre
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2
2
4 l⋅⋅⋅
=IEFcr
π
Barra articulada – engastada
2
22l
IEFcr⋅⋅⋅
=π
Barra bi-engastada
2
24l
IEFcr⋅⋅⋅
=π
Observação:
É sempre usado o momento de inércia em relação ao eixo em torno do qual a
flambagem será analisada.
Por exemplo, para analisar a flambagem no eixo x, ou seja, em torno do eixo z,
usamos o momento de inércia em relação ao eixo z ( Iz ).
• Contraventamentos
Aqui, o importante é considerar sempre uma flambagem entre cada par de
contraventamentos, determinando os novos comprimentos (e comprimentos de
flambagem) e assim podendo calcular a nova força crítica.
• Raio de giração (i)
AIi = ou
AIi =2
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• Índice de esbeltez (λ )
icrl
=λ
• Tensão de flambagem ou crítica
2
2
2
22
2
2
λπππσ EiE
AIE
AF
crcr
crcr
⋅=
⋅⋅=
⋅⋅⋅
==ll
22
2
λλπσ
−−
=⋅
=kE
cr
Sendo: Ek ⋅=−−
2π
No caso de barras pouco esbeltas sujeitas à flambagem, deve-se abandonar o
estudo elástico.
Exercícios:
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1) Qual a relação h / b para que o pilar ofereça a mesma segurança contra a flambagem
nas direções x e y.
2) Determine o número de contraventamentos para que a carga F seja a máxima
possível. Qual a força F neste caso?
3) Um certo material segue o diagrama indicado. Calcular Fcr.
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Dados: Iz = 272 cm4; Iy = 896 cm4; E = 13000 kN/cm2; 2
2
λπσ E
cr⋅
=
4) Calcular P máximo.
Dados: 2
10363000λ
σ =cr para 105>λ ; A = 2860 mm2;
Ix = 20 x 106 mm4; Iy = 1,4 x 106 mm4.
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5) Calcular F máximo.
Dados: 300=l cm; d = 8 cm; 2,1=−−
σ tf/cm2; 2
10363000λ
σ =cr para 105>λ
6) O escoramento da vala é feito com madeira (Peroba Rosa). Sabendo-se que as peças
disponíveis para as escoras são 6 cm x 16 cm e 6 cm x 12 cm. Escolher qual das peças é
melhor.
Dados: E = 942,5 kN/cm2, 2
2
4 λπσ⋅⋅
=E
cr para 64>λ ; P = 2 kN/m2.
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Resolução do exercício 3.
Raio de giração:
cmAI
i zz 38,2
48272
===
cmAI
i yy 32,4
48896
===
Índice de esbeltez:
10538,2
250===
z
crzz i
lλ (crítico)
5832,4
250===
y
cryy i
lλ
Do gráfico, temos que 80=λ para 2/5 cmkNcr =σ
2
2
λγπσ⋅⋅
=E
cr
2
2
80130005⋅⋅
=γ
π
4=λ
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22
2
2
2
/91,2105413000 cmkNE
cr =⋅⋅
=⋅⋅
=π
λγπσ
kNAF crcr 65,1394891,2 =⋅=⋅= σ
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9-BIBLIOGRAFIA
• Beer, Ferdinand Pierre, Resistência dos Materiais, São Paulo, ed. McGraw-Hill
do Brasil, 1982.
• Féodosiev, V., Resistência dos Materiais, edições Lopes da Silva, Posto, 1977.
• Higdon, Archie, Mecânica dos Materiais, Rio de Janeiro, ed. Guanabara Dois AS, 1981.
• Langendonck, Telemanco van, Resistência dos Materiais, ed. E. Blüncher.
• Miroliubov, I. [et al.], Problemas de resistencia dos materiais, ed. Moscou :
Mir,1983.
• Nash, W. A., Resistência dos Materiais, ed. McGraw-Hill do Brasil Ltda., 1975.
• Popov, Egor Paul, Introdução à Mecânica dos Sólidos, São Paulo, ed. E. Blüncher, 1982.
• Schiel, Frederico, Introdução a Resistência dos Materiais, fascículo II, São
Paulo, 5ª edição, janeiro 1974.
• Timonshenko, S. P., Mecânica dos Sólidos, Rio de Janeiro, ed. Livros Técnicos e Científicos, 1983-84.
Obs.: Apostilas de assuntos de Resistência dos Materiais da FEC também são
referências bibliográficas.
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