revisÃo: operaÇÕes fundamentais -...
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REVISÃO: OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS
Estudo dos Sinais
)()()( +=+⋅+ )()()( +=−⋅− )()()( −=−⋅+
)()()( −=+⋅−
Ordem de Cálculo
Primeiro são resolvidas as operações que estiverem dentro de:
PARÊNTESES ( ) → COLCHETES [ ] → CHAVES { }
Antes de serem efetuadas adições e subtrações, são resolvidas:
DIVISÕES E MULTIPLICAÇÕES
Adição
SomaParcelas
cba↓↓↓
=+
Propriedades
Comutativa → abba +=+ 83553 =+=+⇒
Associativa → )cb(ac)ba( ++=++ 10)52(35)23( =++=++⇒
Elemento Neutro (0) → a0a =+ 303 =+⇒
→ Subtração é a Adição de parcelas negativas
O resultado tem o sinal da maior parcela:
131532051055105510 −=+−−+−−=+−+=−+
Subtração
SomaParcelas
cba)b(a↓↓↓
=−=−+
Multiplicação
ProdutosFatores
cba↓↓↓
=⋅
Multiplicação é a Adição de parcelas iguais: 15555535fatorovezes3
=++=⋅ 43421
Propriedades
Comutativa → abba ⋅=⋅
153553 =⋅=⋅⇒
Associativa → )cb(ac)ba( ⋅⋅=⋅⋅ 30)52(35)23( =⋅⋅=⋅⋅⇒
Elemento Neutro (1) → a1a =⋅ 313 =⋅⇒
Distributiva → caba)cb(a ⋅+⋅=+⋅ 165232)53(2 =⋅+⋅=+⋅⇒
acaba)cb( ⋅+⋅=⋅+ 9)3(2)3(1)3()21( −=−⋅+−⋅=−⋅+⇒
Divisão
cba=
Numerador = Denominador × Quociente + Resto
Lembre-se: Não existe divisão por zero → b ≠ 0 !
1
FRAÇÕES
Definição 1: Divide um objeto em Partes iguais →
Definição 2: Divisão de dois números inteiros →
Adição e Subtração de Frações
Mesmo Denominador
Denominadores Diferentes
m.m.c.
Multiplicação de Frações Divisão de Frações
dbca
dc
ba
⋅⋅=⋅
910
910
335)2(
35
3)2(
−=−
=⋅⋅−
=⋅−
Mantém a Primeira Fração e Inverte a Segunda
cd
ba
dcba
dc
ba
21
⋅==÷↓↓oo
1517
5372
57
32
7532
75
32 =
⋅⋅=⋅==÷⇒
NÚMEROS DECIMAIS
Adição e Subtração
“Vírgula sob vírgula”
Multiplicação
Obtém-se o produto e somam-se
as casas decimais de cada fator
Divisão
Numerador e denominador devem ter
o mesmo número de casas decimais
Fração Decimal: Denominador com Potências de 10 (10n)
ba
ba
ba −=
−=−
21
21
21 −=
−=−⇒
bca
bc
ba ±=± 15
55
2352
53 ==+=+⇒
dc
ba ± 5
757
15103
32
51 −=−=−=−⇒
Menor número que é múltiplo
de todos os denominadores
Evite trabalhar com números decimais!
Se o número for racional, é melhor
escrevê-lo na forma de fração!
8101;
1000x;
1003;
102 −
Lembre-se: O sinal deve ficar na frente do traço de fração
2
POTÊNCIA
Expoente Inteiro Base “a” e expoente “n” Inteiro
Para “n” inteiro e 1n >
a.....aaa n ⋅=
273333 3 =⋅⋅= 11......11120 =⋅⋅=
94
32
32
32 2
=⋅=⎟⎠⎞⎜
⎝⎛
161
441
41
41
2
2=
⋅==⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛
Lembre-se!
Base “a” negativa e expoente “n” par → resultado (+) ( ) ( ) ( ) 4222 2 +=−⋅−=−
Base “a” negativa e expoente “n” ímpar → resultado (-) ( ) ( ) ( ) ( ) 82222 3 −=−⋅−⋅−=−
Propriedades
Mesma Base “a” Conserva a base e soma ou subtrai os expoentes
nmnm aaa +=⋅ 2433333 53232 ===⋅ +
0a,aaaaaaa nmnm
n
mnm ≠=⋅==÷ −− 41
212222
2222 2
264646
464 ====⋅==÷ −−−
( ) 0a,aa nmnm ≠= ⋅ ( ) 64222 63232 === ⋅
Mesmo Expoente “n” Conserva a operação das bases (× ou ÷) e mantém o expoente
( )nnn baba ⋅=⋅ ( ) 225155353 2222 ==⋅=⋅
0b,ba
baba
n
n
nnn ≠⎟⎠⎞⎜
⎝⎛==÷ 2735
155
15515 33
3
333 ==⎟⎠⎞⎜
⎝⎛==÷
)0a(a1a n
n
≠
=−
n mnm
aa =
33 232
933 == 2222 12
1== ( ) 4
1
2
11024
1321
32132 5 10
555 25
2
52
===⎟⎠⎞⎜
⎝⎛−=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛−=− −
Perceba a diferença!
256222 82222 3
=== ⋅⋅ ( ) ( ) 644222 3332 ==⋅= ( ) 42222 −=⋅−=− ( ) ( ) ( ) 4222 2 +=−⋅−=−
Para “n” inteiro e 1n ≤
aa 1 = 221 =⇒
1a 0 = 11000 =⇒
1251
5551
515 3
3 =⋅⋅
==⇒ −
49
23
23
23
32 22
=⋅=⎟⎠⎞⎜
⎝⎛=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛⇒
−
49
23
23
23
32 22
+=⎟⎠⎞⎜
⎝⎛−⋅⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛−=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛−=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛−⇒
−
)0a(a1a n
n
≠
=−
Expoente Racional O expoente “n” é uma Fração Irredutível com 0n ≠ e 1n ≠
3
RADICIAÇÃO Raiz n-ésima de n a é o número “x” tal que, para 1n >
24 = )2n,2x,4a( ===⇒ ax n =⇒ 42 2 =⇒
51253= )3n,5x,125a( ===⇒ ax n =⇒ 1255 3 =⇒
21
1614 =
)4n,2
1x,161a( ===⇒ ax n =⇒ 16
121 4
=⎟⎠⎞⎜
⎝⎛⇒
Propriedades
( ) mm1
m1
m1
mm babababa ⋅=⋅=⋅=⋅
2040016251625 ==⋅=⋅
Para ( )0b ≠
63610360
10
36010360 ====÷ mm1
m1m1
m
mmmba
ba
b
a
b
aba =⎟⎠⎞⎜
⎝⎛===÷
n pnpp
n1pn aaaa ==⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ 33 23
223123 42222 ===⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛
mnmn1m
1
n1m
n1
m n aaaaa ⋅⋅ ==⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛==
661
2312
1
31
31
3 333333 ===⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛== ⋅
Índice da Raiz “n”
Par Ímpar
Radicando
“a”
Positivo
Duas Raízes Reais Simétricas
⎩⎨⎧
→=→+=
⇒Par2nPositivo9a
9
( )
( )⎪⎩
⎪⎨⎧
+=−
+=+⇒±=
93
9339
2
2
Uma Raiz Real e Positiva
⎩⎨⎧
→=
→+=⇒
Ímpar3nPositivo27a
273
( )
( )⎪⎩
⎪⎨⎧
+≠−=−
+=+⇒+=
27273
273327
3
33
Negativo
Não existe Raiz Real
⎩⎨⎧
→=→−=
⇒−Par2nNegativo9a
9
( )
( )⎪⎩
⎪⎨⎧
−≠+=−
−≠+=+⇒∉−
993
993R9
2
2
Uma Raiz Real e Negativa
⎩⎨⎧
→=
→−=⇒−
Ímpar3nNegativo27a
273
( )
( )⎪⎩
⎪⎨⎧
−=−
−≠+=+⇒−=−
273
27273327
3
33
ax n =
Lembre-se: É melhor transformar Radicais em Potências antes de efetuar as operações!
Estudo das Raízes
4
Transformar uma fração que possui no denominador raiz, não possível de simplificação, em outra equivalente, eliminando a raiz do denominador
Racionalização de denominadores
Regra Geral: Se a fração for n m
b
a com nm < , multiplica-se o numerador e o denominador por n mnb
−
bba
b
ba
b
ba
bb
ba
b
b
b
a
b
an mn
n n
n mn
n mnm
n mn
n mnm
n mn
n mn
n mn
n mn m
−−
−+
−
−
−
−
−===
⋅=⋅=
Exemplos: 223
2
23
2
23
22
23
2
2
2
3
2
3
2
32
1
121
12
12
12
12
12
2 1=⋅=⋅=
⋅
⋅=⋅==−+
−
−
−
−
−
55
5
5
55
51
5
5
5
1
5
15 3
5 5
5 3
5 32
5 3
5 25
5 25
5 25 2==
⋅
⋅=⋅=−
−
Dica! Transformar Radicais em Potências ajuda a visualizar melhor as operações!
O mesmo resultado é obtido transformando a raiz do denominador em potência e
eliminado a fração desta
55
55
5
5
5
5
55
51
5
5
5
1
5
15 3
153
5553
53
52
53
53
52
53
5353
525 2
====
⋅
⋅=⋅=+
Pode ser aplicado a denominadores com diferentes radicais
Exemplos:
a) 41
71
477
477
43
7 31
497 3
497 3
41
27 3 42
3
8
3
8
3
8
33
8
33
8
33
8
333
8
333
8 =
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
==
⋅
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛⋅
==
⋅
=
3278
338
3
38
3
38
3
3
3
844 3
44
43
43
41
43
4343
41 =⋅=⋅=⋅=⋅=
+
b) 331
3213
2
32
21
343
4313
55555
5
5
5
5
5
5
55
5
55
5 ===⋅==
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
==
⋅
=−−
5
PRODUTOS NOTÁVEIS
Para quaisquer valores de “a” e “b” tem-se
( ) ( ) ( ) 22222 bab2abbaababababa ++=+++=+=+⋅+
( ) ( ) ( ) 62526232232323 222 +=++=+⋅⋅+=+
( ) ( ) ( ) 22222 bab2abbaababababa +−=+−−=−=−⋅−
( ) ( ) 24622442222222 222 −=+−=+⋅⋅−=−
( ) ( ) 2222 babbaabababa −=−−+=−⋅+
( ) ( ) ( ) 231313131 22 −=−=−=+⋅−
( ) ( ) ( ) 322332 bab3ba3abababa +++=+=+⋅+
( ) 8x12x6x22x32x3x2x 2332233 +++=+⋅⋅+⋅⋅+=+
( ) ( ) ( ) 322332 bab3ba3abababa −+−=−=−⋅−
( ) 322332233 yyx3yx3xyyx3yx3xyx −+−=−⋅⋅+⋅⋅−=−
Não Esqueça! ( ) 222 bab2aba ++=+
( ) 222 bab2aba +−=−
( ) ( )bababa 22 −⋅+=−
Fique Atento! ( ) 222 baba +≠+ e ( ) 222 baba −≠−
( ) 333 baba +≠+ e ( ) 333 baba −≠−
O produto notável ( ) ( )bababa 22 −⋅+=− é utilizado para racionalizar frações que contenham
no denominador operações de adição ou subtração com radicais de índice dois.
( )( )
( )( )
( ) ( ) ( )5
6125
61261
612
61612
6161
612
612
22−−=
−−=
−−=
−
−⋅=−−⋅
+=
+
( )( )
( )( )
( ) 5251525
45525
25255
2525
255
255 2
22 +=+=−+=
−
+⋅=++⋅
−=
−
( )( )
( )( ) ( ) 5
2727
2727
2712727
271
271
22−=
−−=
−
−⋅=−−⋅
+=
+
Importante!
6
REGRA DE TRÊS
Regra de Três Simples Envolve apenas duas grandezas. Resolve problemas que envolvamquatro valores para as duas grandezas, onde três desses valores são conhecidos. O quarto valor é determinado a partir dos três já conhecidos
Exemplo: Um Pacote de ração alimenta 6 cachorros durante 25 dias. Quantos pacotes de ração serão necessários para alimentá-los por um período de 75 dias?
Ração (pacotes) Período (dias)
1 25
x 75
Regra de Três Composta Envolve mais de duas grandezas. Deve-se avaliar a relação de proporção de cada grandeza separadamente.
Exemplo: Uma obra é construída em 200 dias por 20 operários trabalhando 6 horas por dia. Quantos operários serão necessários para construir a mesma obra em 100 dias trabalhando 8 horas por dia?
Operários (nº) Período de trabalho (horas) Duração da Obra (dias)
20 6 200
x 8 100
Relação de Proporção Para Duas Grandezas Variáveis
Direta → Quando aumentando ou diminuindo uma delas em duas, três ou “x” vezes, o valor da outra também aumenta ou diminui para duas, três ou “x” vezes, respectivamente.
Garrafas de Refrigerante (unidade) Quantidade (litros) Queijo (kg) Preço (R$)
1 2 1 8,40
2 4 1/2 4,20
Inversa → Quando aumentando ou diminuindo uma delas em duas, três ou “x” vezes, o valor da outra diminui ou aumenta para duas, três ou “x” vezes, respectivamente.
Pedreiros (nº) Execução do muro (dias) Máquina (nº) Produção de 100 velas (horas)
1 2 4 3
2 1 2 6
↑ ↑ ↓ ↓
↑ ↑ ↓↓
Procedimentos Encontrar as grandezas Montar o raciocínio Comparar as grandezas
↑ ↑ raçãodepacotes3x25
75x2575
1x =⇒=⇒=
30x100200
86
20x =⇒⋅= Operários
↑ ↓↓
Operação onde se calcula proporções envolvendo duas ou mais grandezas
Proporção é a igualdade entre duas frações e as grandezas podem ser
direta ou inversamente proporcionais
Regra de três pode ser simples ou composta
Proporção
dc
ba =
“a” está para “b” assim como “c” está para “d”
7
PORCENTAGEM
Porcentagem ou percentagem é uma razão centesimal representada pelo símbolo (%) e indica adivisão de um número por cem. Exemplo: Um carro popular valia em 1994 8 mil reais. Em 2006, um carro similar custa o equivalente a 13 mil reais. Qual o aumento de preço percentual ao longo do período?
O resultado pode ser obtido através de uma regra de três simples:
Ano Valor do Carro (R$) Valor correspondente em (%) 1994 8000 100 2006 13000 x ↑ ↑
%5,621x81300x8000
13000100
x =⇒=⇒= O aumento percentual de preço no período foi de 62,7%
SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES DE MEDIDA
UUnniiddaaddeess FFuunnddaammeennttaaiiss ddoo SSII
NNoommee SSíímmbboolloo
CCoommpprriimmeennttoo mmeettrroo ]m[
MMaassssaa qquuiillooggrraammaa ]kg[
TTeemmppoo sseegguunnddooss ]s[
IInntteennssiiddaaddee ddee CCoorrrreennttee EEllééttrriiccaaaa aammppèèrree ]A[
TTeemmppeerraattuurraa TTeerrmmooddiinnââmmiiccaa KKeellvviinn ]K[
IInntteennssiiddaaddee LLuummiinnoossaa ccaannddeellaa ]cd[
AAllgguunnss PPrreeffiixxooss ddoo SSII
FFaattoorr PPrreeffiixxoo SSíímmbboolloo 110− ddeeccii d 210− cceennttii c 310− mmiillii m 610− mmiiccrroo μ 910− nnaannoo n 310 kkiilloo k 610 mmeeggaa M
Exemplos de conversão de unidades
Sistema Internacional de Medidas (SI) Conjunto de unidades utilizada para medir e comparar
todas as espécies de grandezas, possibilitando ainda a operação com seus múltiplos e submúltiplos.
Conversão de m30 em mμ , mm , cm , dm e km mμ mm cm dm km
Conversãoa
321m
66 m101030μ
−××
321mm
33 m101030 −×× 321cm
22 m101030 −×× 321dm
11 m101030 −×× 321
km
33 m101030 ×× −
Valor m10.3 7μ mm000.30 cm000.3 dm300 km03,0
Outras Grandezas Massa Tempo Velocidade Área Volume
Valor original kg5 h3 h/km60 2cm120 37 mm10 Converter para ]g[ ]s[ ]s/m[ 2]m[ 3]m[
Conversão g105 3× s36003× s3600m1060 3× 22 )m10(120 −× 337 )m10(10 −×
Valor convertidovv g000.5 s800.10 s/m67,16 2m012,0 3m01,0
8
REVISÃO: TRIGONOMETRIA - TRIÂNGULO RETÂNGULO
Triângulo Retângulo é todo triângulo que tem um ângulo reto
Catetos São os lados que formam o ângulo reto
Hipotenusa É o lado oposto ao ângulo reto
A soma dos ângulos internos em um triângulo vale 180 graus oo 180βα90 =++
Teorema de Pitágoras
Em um triângulo Retângulo, a soma dos quadrados das medidas dos catetos é igual ao quadrado da medida da hipotenusa
222 cba +=
Exemplo: Determine o Valor de “x” no triângulo retângulo abaixo:
Relações Trigonométricas Em Um Triângulo Retângulo
Cateto oposto Lado oposto ao ângulo (“lado em frente ao ângulo”)
Cateto adjacente Lado junto ao ângulo que não é a hipotenusa (“lado ligado ao ângulo”)
HCO
HipotenusaOpostoCateto(ângulo)sen ==
HCA
HipotenusaAdjacenteCateto(ângulo)cos ==
CACO
AdjacenteCatetoOpostoCateto(ângulo)tg ==
x5a =
m6b =
x4c =
222 cba +=
( ) ( ) ( )222 x4m6x5 += ⇒ 222 x16m36x25 +=
222 m36x16x25 =− ⇒ 2222 m4xm36x9 =⇒= ⇒ m2xm4x 2 =⇒=
Dicas!
Exemplo:Determine os valores dos catetos para o triângulo retângulo
Cálculo do cateto “b”
m5bm10b
21
HCO)30(sen =⇒=⇒=o ou m5bm10
b21
HCA)60cos( =⇒=⇒=o
Cálculo do cateto “c”
m235bm10
c23
HCO)60(sen =⇒=⇒=o ou m2
35bm10c
23
HCA)30cos( =⇒=⇒=o
9
VALORES DE ÂNGULOS NOTÁVEIS E ÂNGULOS SIMÉTRICOS
Função
Valores Notáveis π→o180
630 π
=o
445 π
=o 3
60 π=o
Seno 21
22
23
Cosseno 23
22 2
1
Tangente 33 1 3
Estudo dos Sinais Máximos e Mínimos das Funções seno e cosseno
10
VALORES DE ÂNGULOS NOTÁVEIS (30º)
Retas paralelas (/ /) fazem o mesmo ângulo (30º) com as retas horizontais tracejadas, assim, a tangente do triângulo superior é igual à razão entre “1 - y” e “x” !
11
VALORES DE ÂNGULOS NOTÁVEIS (45º)
Ângulo de 45º indica a diagonal de um quadrado, portanto “x” deve ser igual a “y” !
12
VALORES DE ÂNGULOS NOTÁVEIS (60º)
Retas paralelas (/ /) fazem o mesmo ângulo (60º) com as retas horizontais tracejadas, formando um triângulo equilátero, logo, “x” é igual a 1/2 !
13
ALGUNS TIPOS DE FIGURAS GEOMÉTRICAS
Dois Lados Congruentes (Dois Lados e Dois Ângulos Iguais)
Triângulo Isósceles
Três Lados e Três Ângulos Iguais Triângulo Equilátero
Dois Lados Congruentes (Dois Lados Iguais)
Trapézio Isósceles
Dois Ângulos Retos Trapézio Retângulo
14
REVISÃO: CONJUNTOS NUMÉRICOS E INTRODUÇÃO A FUNÇÕES
Definição: Dados dois conjuntos A e B, não vazios, uma relação de A em B é
função se cada elemento x de A possui somente um único correspondente em y.
Esta relação deve atender duas condições:
Todo elemento x de A deve ter correspondente y em B
Cada elemento x de A deve ter um único correspondente y em B
Conjuntos Numéricos
Conjuntos dos Números Naturais: Surgiram da necessidade de contar objetos
IN = {0, 1, 2, 3, ... }
Conjuntos dos Números Inteiros: Inclui números inteiros negativos
Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... }
Conjuntos dos Números Racionais: Todo número que pode ser escrito na forma de fração
Q = {..., -2 , ...., -3/2 , ...., -1 , ..., -2/5, .... , -1/9 , .... 0, .... 1/5... , 3, ... , 7/2, ... }
Conjuntos dos Irracionais: É dízima não periódica
I = {..., COS 45º , ...., π , ... } COS 45º = 0,7071067 ... π = 3,1415926 ...
Conjuntos dos Reais: União dos números Racionais e Irracionais
R = Q ∪ I
Intervalos
Indica Inclusão
Indica Exclusão
∪ =
∩ =
Fechado:Inclui todos os números reais do intervalo,
incluindo os extremos ⇒ }7x3/Rx{ ≤≤−∈ →
Aberto:Inclui todos os números reais do intervalo,
excluindo os extremos ⇒ }1x6/Rx{ <<−∈ →
Semi-Abertos:Inclui todos os números reais do intervalo,
excluindo um dos extremos ⇒ }9x5/Rx{ <≤∈ →
Reta orientada que representa os Reais
Um ponto qualquer marca a Origem e outro ponto. À direita da origem estão os números positivos e à esquerda, os negativos. Cada ponto desta reta chama-se abscissa do ponto:
Reta Real
Função
Não função Função Não Função
15
Sistema Cartesiano Ortogonal
O sistema cartesiano pode ser utilizado para representar os pares ordenados de uma relação. Este sistema divide o plano em quatro quadrantes:
Gráfico de Uma Relação
Crescimento e Decrescimento de Uma Função
x aumenta e y aumenta: a função é crescente ⇒ [0, 2] e [7, 10]
x aumenta e y diminui: a função é decrescente ⇒ [2, 7]
Raiz ou Zero da Função
São os pontos onde o gráfico corta o eixo x. São chamados raízes ou zero da função, este último pelo fato de suas ordenadas serem nulas
São raízes ou zeros da função ⇒ 0, 4 e 10
Sinal de Uma Função
Se o gráfico estiver acima do eixo x: a função é positiva ⇒ ]0, 4[
Se o gráfico estiver abaixo do eixo x: a função é negativa ⇒ ]4, 10[
⇒ O ponto de interseção dos eixos é a origem do sistema
⇒ O ponto (x, y) são números reais e representam as ordenadas do ponto
⇒ Onde x é a abscissa e y a ordenada desse ponto
16
Classificação de Uma Função
Função Par e Função Ímpar
Uma função f: A → B é Par se, para cada x∈A, tem-se )x(f)x(f −=
Exemplo:
1x)x(f 4 +=
1x1)x()x(f 44 +=+−=−
ParFunção)x(f)x(f −=
Uma função f: A → B é Ímpar se, para cada x∈A, tem-se )x(f)x(f −=−
Exemplo:
xx)x(f 3 +=
)xx(xx)x()x()x(f 333 +−=−−=−+−=−
ÍmparFunção)x(f)x(f −=−
O conjunto A é chamado de domínio de f: D= {1,2,3}
Cada elemento do domínio é representado pela letra x e é a variável independente da função
O conjunto B é chamado de contradomínio de f: B= {1,2,3,4,5}
Cada elemento do contradomínio é representado pela letra y ou f(x) , que é a variável dependente da função
O subconjunto de B que possui os elementos de y que estão associados com x é chamado de conjunto imagem da função e indicado por Im: Im= {2,3,4}
A função f possui domínio em A com imagens em B , ou seja,
f:A→B (lê-se f de A em B) e a expressão de correspondência
do exemple é:
y = f(x) = x + 1
17
REVISÃO: FUNÇÃO DE PRIMEIRO GRAU
Função Linear
Definição: Se 0b = a função )x(fy = é denominada de função linear e seu gráfico é uma reta que passa
pela origem.
Exemplo: 0be1ax)x(fy =−=⇒−==
Função de Primeiro Grau
Definição: Uma Função cuja expressão é da forma bax)x(fy +== onde “a” e “b” são números reais,com 0a ≠ , chama-se função de primeiro grau.
Exemplos:
5be2a5x2)x(f ==⇒+=
0be32ax3
2)x(f =−=⇒−=
Gráfico de Uma Função de Primeiro Grau
Exemplo: 1be2a1x2)x(fy ==⇒+==
O gráfico da função bax)x(fy +== é uma reta x )x(fy = )y,x(Par -2 -3 (-2, -3) -1 -1 (-1, -1) 0 1 (0, 1) 1 3 (1, 3) 2 5 (2, 5)
3141)2(2)2(f −=+−=+−=−1121)1(2)1(f −=+−=+−=−
1101)0(2)0(f =+=+=3121)1(2)1(f =+=+=5141)2(2)2(f =+=+=
x )x(fy = )y,x(Par-1 1 (-1, 1) 0 0 (0, 0) 1 -1 (1, -1)
1)1()1(f =−−=−0)0()0(f =−=1)1()1(f −=−=
Como o gráfico de uma função de 1º grau é uma reta são,
necessários somente dois pontos para representá-lo!
Se b = 0, a função é linear e seu gráfico passa pela origem!
18
Taxa de Variação Média (TVM)
Para a função 1be2a1x2)x(fy ==⇒+== tem-se:
Função Constante
Definição: Se 0a = , a função )x(fy = é denominada de função constante e seu gráfico é uma reta
paralela ao eixo x.
Exemplo: 2be0a2)x(fy ==⇒==
x )x(fy = )y,x(Par -1 2 (-1, 2)0 2 (0, 2) 1 2 (1, 2)
2)1(f =−2)0(f =2)1(f =
Se a = 0, a função é constante e seu gráfico é paralelo ao eixo x
Função constante “não é” uma função de primeiro grau!
x )x(fy = )y,x(Par -2 -3 (-2, -3) -1 -1 (-1, -1) 0 1 (0, 1) 1 3 (1, 3) 2 5 (2, 5)
3141)2(2)2(f −=+−=+−=−1121)1(2)1(f −=+−=+−=−
1101)0(2)0(f =+=+=3121)1(2)1(f =+=+=5141)2(2)2(f =+=+=
Quando x aumenta de 1 unidade, y aumenta de 2 unidades. Assim, a razão entre a diferença de dois valores quaisquer é constante:
212
xy
1235
0113
)1(0)1(1
)2(1)3(1 ==
ΔΔ=
−−=
−−=
−−−−=
−−−−−−
A esta razão chama-se taxa de variação média. Sendo 1x e 2x elementos do domínio de )x(f e 12 xx > , tem-se:
12
12
12
12
xxyy
xx)x(f)x(f
xyTVM
−−
=−−
=ΔΔ=
Para uma função do tipo bax)x(fy +== a TVM é:
12
12
12
12
12
12
xxaxax
xx)bax()bax(
xx)x(f)x(f
xyTVM
−−
=−
+−+=
−−
=ΔΔ=
axx)xx(a
xxaxaxTVM
12
12
12
12 =−−
=−−
=
Para uma função de 1º grau, a taxa de variação média (TVM) é igual a “a”!
A constante “a” é chamada de coeficiente angular
19
Coeficiente Angular da Reta
Notar que:
aTVMxytag ==
ΔΔ
=α
A tangente do ângulo que a reta faz com o eixo x fornece a taxa de variação média da função ou Coeficiente Angular da reta!
Coeficiente Linear da Reta
A constante “b” é chamada de coeficiente linear e indica o valor onde a reta corta o eixo y, em 0x = .
Em x igual a zero (x = 0), o gráfico corta o eixo y em “b”. A constante “b” indica o Coeficiente Linear da reta!
Estudo do Sinal de Uma Função de Primeiro Grau
Para analisar o sinal de uma função deve-se obter a raiz ou zero da função, ou seja, o valor da abscissa do ponto onde o gráfico corta o eixo x, em 0y = . Assim:
20
Crescimento de Decrescimento de Uma Função de Primeiro Grau
A função )x(f é crescente se aumentado os valores de x, os valores correspondentes de y aumentam. Assim, para xΔ e yΔ maiores que zero:
0axy
>=ΔΔ
A função )x(f é decrescente se aumentado os valores de x, os valores correspondentes de y diminuem. Assim, para xΔ ou yΔ menores que zero:
0axy
<−=ΔΔ
Exemplo:
a) 1be1a1x)x(fy ==⇒+== b) 1be1a1x)x(fy =−=⇒+−==
A função é crescente se 0a >
A função é decrescente se 0a <
x )x(fy = )y,x(Par-2 -1 (-2, -1) -1 0 (-1, 0) 0 1 (0, 1) 1 2 (1, 2) 2 3 (2, 3)
11)2()2(f −=+−=−01)1()1(f =+−=−
11)0()0(f =+=21)1()1(f =+=31)2()2(f =+=
x )x(fy = )y,x(Par -2 3 (-2, 3) -1 2 (-1, 2) 0 1 (0, 1) 1 0 (1, 0) 2 -1 (2, -1)
31)2()2(f =+−−=−21)1()1(f =+−−=−
11)0()0(f =+−=01)1()1(f =+−=
11)2()2(f −=+−=
crescenteé)x(f0a ⇒> edecrescenté)x(f0a ⇒<
21
REVISÃO: FUNÇÃO DE SEGUNDO GRAU
Concavidade da Parábola
Função de segundo Grau
Definição: Uma Função cuja expressão é da forma cbxax)x(fy 2 ++== onde “a”, “b” e “c” são números reais, com 0a ≠ , chama-se função de segundo grau ou função quadrática.
Exemplos:
2ce3b,1a2x4x)x(f 2 ===⇒++= 0ce4b,1ax4x)x(f 2 ==−=⇒+−=
1ce3b,2a1x3x2)x(f 2 =−==⇒+−= 4ce0b,10a4x10)x(f 2 ==−=⇒+−=
Gráfico de Uma Função de Primeiro Grau
Exemplo: 6x5x)x(fy 2 +−==
6be5b,1a =−==
O gráfico da função
cbxax)x(fy 2 ++== é uma parábola
x )x(fy = )y,x(Par-3 30 (-3, 30) -2 20 (-2, 20) -1 12 (-1, 12) 0 6 (0, 6) 1 2 (1, 2) 2 0 (2, 0) 3 0 (3, 0)
3061596)3(5)3()3(f 2 =++=+−−−=−2061046)2(5)2()2(f 2 =++=+−−−=−
126516)1(5)1()1(f 2 =++=+−−−=−66006)0(5)0()0(f 2 =++=+−=
26516)1(5)1()1(f 2 =+−=+−=061046)2(5)2()2(f 2 =+−=+−=
061596)3(5)3()3(f 2 =+−=+−=
Como o gráfico de uma função de 2º grau é
uma parábola é necessário determinar as raízes e seu vértice para representá-lo!
Se a > 0 ⇒ Parábola com concavidade voltada para cima
Se a > 0 ⇒ Parábola com concavidade voltada para baixo
22
Raízes ou Zeros da Função de Segundo Grau
Definição: Os pontos onde o gráfico cbxax)x(fy 2 ++== corta o eixo x (em 0y = ) são chamados
raízes ou zeros da função. Para determinar as raízes usa-se a fórmula de Bháskara ou o método da soma e
produto de raízes.
Fórmula de Bháskara Soma e Produto de Raízes
Através da soma e produto das raízes é
possível determinar as raízes (geralmente
inteiras) de algumas expressões.
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−++−=+= 2a
Δb2a
ΔbxxSoma 21
ab
a2b2
a2bbS −=−=Δ+−Δ+−=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ Δ+−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ Δ+−== a2
b.a2bx.xProduto 21
2
22
2
22
a4ac4bb
a4)ac4b(bProduto +−=−−=
ac
a4ac4P 2 ==
Exemplo: 6x5x)x(fy 2 +−==
6c5b1a =−==
51)5(
abS =−−=−=
616
acP ===
Quais são os números cuja soma é igual a 5 e o produto igual a 6?
Os números são 2 e 3, pois:
532Soma =+=
632Produto =×= Assim:
3xe2x 21 ==
cbxax)x(fy 2 ++==
a2bx Δ±−=
ac4b2 −=Δ
a2bxea2
bx 21Δ−−=Δ+−=
Exemplo: 6x5x)x(fy 2 +−==
6c5b1a =−==
)6()1(4)5(ac4b 22 −−=−=Δ
12425 =−=Δ
1.21)5(
a2bx ±−−=Δ±−=
215x ±=
3
215x1 =+=
2
215x 2 =−=
As raízes são 2 e 3
6x5x)x(fy 2 +−==
6)2(52)2(fy 2 +−==
0)2(fy ==
6)3(53)3(fy 2 +−==
0)3(fy ==
23
Vértice da Parábola
O vértice da parábola é o ponto de mínimo, se 0a > , ou o ponto de máximo, se 0a < , da função.
Para 0a = , tem-se que ccbxaxy 2 =++= , isto é, a parábola corta o eixo y no ponto de ordenada “c”. Por simetria, existe outro valor de x que resulta em cy = :
Como o ponto onde abx −= é simétrico em relação ao vértice:
2ab
x v
−=
Para a2
bx v −=
a4a4)ac4b(
a4ac4b2bca2
ba4
bca2bba2
bay222222
vΔ−=−−=
+−=++=+⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛−+⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛−=
Para cy = :
abx
0x0)bax(x
0bxaxccbxax
2
1
2
2
−=
==+=+
=++
a2bxv −=
a4yvΔ−=
24
Estudo do Sinal de Uma Função de Segundo Grau
Para 0>Δ 0=Δ 0<Δ
Duas raízes reais
e
distintas
Duas raízes reais
e
iguais (raiz dupla)
Não possui raiz
real
(raízes imaginárias)
0a >
0a <
Crescimento de Decrescimento de Uma Função de Segundo Grau
A função cbxax)x(f 2 ++= é crescente se aumentado os valores de x, os valores correspondentes de y aumentam. Caso contrário, a função é decrescente. O ponto onde a parábola passa de decrescente para crescente ou vice-versa é o vértice.
Exemplo: 6c5b1a6x5x)x(fy 2 =−==⇒+−==
x )x(fy = )y,x(Par 0 6 (0, 6) Corta o eixo y1 2 (1, 2) 2 0 (2, 0) x1
5/2 -1/4 (5/2, -1/4) Vértice 3 0 (3, 0) x2 5 6 (5, 6)
66)0(5)0()0(f 2 =+−=26)1(5)1()1(f 2 =+−=06)2(5)2()2(f 2 =+−=
4/16)2/5(5)2/5()2/5(f 2 −=+−=06)3(5)3()3(f 2 =+−=66)5(5)5()5(f 2 =+−=
25
REVISÃO: FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS
Funções Exponenciais
Definição: Uma função exponencial é definida como xa)x(f = , onde 1a ≠ e 0a > .
Exemplos: x5)x(f = x2)x(f =x
31)x(f ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛=
Gráfico de Uma Função Exponencial
Exemplo 1: x2)x(f =
1a2a >⇒=
Em 0x = , o gráfico corta o eixo y no ponto )1,0(
Analisando a tendência dos valores de y com relação à x tem-se que: ⎩⎨⎧
→⇒−∞→+∞→⇒+∞→0yx
yx
Exemplo 2: x
21)x(f ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛=
1a05,02/1a <<⇒==
Em 0x = , o gráfico corta o eixo y no ponto )1,0(
Analisando a tendência dos valores de y com relação à x tem-se que: ⎩⎨⎧
+∞→⇒−∞→→⇒+∞→
yx0yx
x )x(fy = )y,x(Par-3 1/8 (-3, 1/8)
-2 1/4 (-2, 1/4)
-1 1/2 (-1, 1/2)
0 1 (0, 1)
1 2 (1, 2)
2 4 (2, 4)
3 8 (3, 8)
x2)x(f =
8/1)2()3(f 3 ==− −
4/1)2()2(f 2 ==− −
2/1)2()1(f 1 ==− −
1)2()0(f 0 ==
2)2()1(f 1 ==
4)2()2(f 2 ==
8)2()3(f 3 ==
x )x(fy = )y,x(Par
-3 8 (-3, 8)
-2 4 (-2, 4)
-1 2 (-1, 2)
0 1 (0, 1)
1 1/2 (1, 1/2)
2 1/4 (2, 1/4)
3 1/8 (3, 1/8)
x)2/1()x(f =
8)2/1()3(f 3 ==− −
4)2/1()2(f 2 ==− −
2)2/1()1(f 1 ==− −
1)2/1()0(f 0 ==
2/1)2/1()1(f 1 ==
4/1)2/1()2(f 2 ==
8/1)2/1()3(f 3 ==
Função exponencial crescente
Função exponencial decrescente
26
Gráfico de Uma Função Exponencial
Exemplo 3: Faça o gráfico da função x31)x(f +=
A base que tem o expoente x vale 3
crescentefunção1a3a ⇒>⇒=
Em 0x = , o gráfico corta o eixo y no ponto )2,0(
21131)0(fy31)x(fy 0x =+=+==⇒+==
Exemplo 4: Faça o gráfico da função 1x51)x(f ++=
A base que tem o expoente x vale 5
crescentefunção1a5a ⇒>⇒=
Verificando o ponto onde a função corta o eixo y (em 0x = )
65151)0(fy51)x(fy 101x =+=+==⇒+== ++
Exemplo 5: Faça o gráfico da função 2x32)x(f ++=
A base que tem o expoente x vale 3
crescentefunção1a3a ⇒>⇒=
Verificando o ponto onde a função corta o eixo y (em 0x = )
119232)0(fy32)x(fy 202x =+=+==⇒+== ++
Gráfico de Uma Função Exponencial
Outros Exemplos
Exemplo 1: Faça o gráfico da função x31)x(f +=
Em 0x = , o gráfico corta o eixo y no ponto )2,0(
21131)0(fy31)x(fy 0x =+=+==⇒+==
Analisando a tendência dos valores de y em relação à x tem-se que: ⎩⎨⎧
→⇒−∞→+∞→⇒+∞→1yx
yx
x31y +=
+∞→⇒∞+=+=+∞→ +∞ y131y:xPara
1y01113
1131y:xPara →⇒+=∞
+=+=+=−∞→ ∞+∞−
Se a > 1 ⇒ Função exponencial crescente
Se 0 < a < 1 ⇒ Função exponencial decrescente
Para xa)x(f =
Para xa)x(f =
27
Gráfico de Uma Função Exponencial
Exemplo 2: Faça o gráfico da função x221)x(f −=
Em 0x = , o gráfico corta o eixo y no ponto )0,0(
01121)0(fy21)x(fy 0x2 =−=−==⇒−==
Analisando a tendência dos valores de y em relação à x tem-se que: ⎩⎨⎧
→⇒−∞→−∞→⇒+∞→1yx
yx
⎪⎩
⎪⎨
⎧
→⇒−=∞
−=−=−=−=−∞→
−∞→⇒∞−=−=−=+∞→−=
∞+∞−−∞×
∞++∞×
1y01112
112121y:xPara
y12121y:xPara21y )(2
)(2x2
Exemplo 3: Faça o gráfico da função 1x51)x(f ++=
Em 0x = , o gráfico corta o eixo y no ponto )6,0(
65151)0(fy51)x(fy 101x =+=+==⇒+== ++
Analisando a tendência dos valores de y em relação à x tem-se que: ⎩⎨⎧
→⇒−∞→+∞→⇒+∞→1yx
yx
⎪⎩
⎪⎨
⎧
→⇒+=+=+=+=−∞→
+∞→⇒∞+=+=+=+∞→+=
∞+∞−+∞−
∞++∞++
1y015
115151y:xPara
y15151y:xPara51y 1
11x
28
Gráfico de Uma Função Exponencial
Exemplo 4: Faça o gráfico da função x123)x(f −+−=
Em 0x = , o gráfico corta o eixo y no ponto )1,0( −
12323)0(fy23)x(fy 01x1 −=+−=+−==⇒+−== −−
Analisando a tendência dos valores de y em relação à x tem-se que: ⎩⎨⎧
+∞→⇒−∞→−→⇒+∞→
yx3yx
x123y −+−=
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+∞→⇒∞+−=+−=+−=+−=−∞→
−→⇒+−=∞
+−=+−=+−=+−=+−=+∞→
∞+∞+−∞−
∞+∞−∞−+∞−
y3232323y:xPara
3y03132
13232323y:xPara
1)(1
1)(1
Exemplo 5: Faça o gráfico da função 2x32)x(f ++=
Em 0x = , o gráfico corta o eixo y no ponto )11,0(
11923232)0(fy32)x(fy 2202x =+=+=+==⇒+== ++
Analisando a tendência dos valores de y em relação à x tem-se que: ⎩⎨⎧
→⇒−∞→+∞→⇒+∞→2yx
yx
⎪⎩
⎪⎨
⎧
→⇒+=+=+=+=−∞→
+∞→⇒∞+=+=+=+∞→+=
∞+∞−+∞−
∞++∞++
2y023
123232y:xPara
y23232y:xPara32y 2
22x
29
O Número Neperiano (ou de Napier) ou Número exponencial
Também chamado de número de Euler ou de Néper, a constante matemática “ e ” tem grande
importância, pois está presente na formulação de vários fenômenos naturais (desintegração radioativa,
crescimento populacional, etc.). É um número irracional e tem valor:
Associada ao número neperiano, a função exponencial de base “e ” é uma das mais importantes funções
da matemática:
... 459 828 281 2,718e =
xef(x) =
Equações Exponenciais
Definição: Uma equação exponencial possui expoentes como incógnita. São equações exponenciais:
82x =
3433 5x =−
25525 3xx =×+ +
Para resolver equações exponenciais utiliza-se a seguinte propriedade:
Antes: Lembretes de Potenciação e Radiciação
nmnm aaa +=⋅ 0a,aaa nm
n
m≠= − ( ) 0a,aa nmnm ≠= ⋅
( )nnn baba ⋅=⋅ 0b,ba
ba n
n
n≠⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛=
n mnm
aa =
Se duas potências têm a mesma base, então os
expoentes são iguais. Assim, para a > 0 e a ≠ 0:
nmaa nm =⇔=
30
Equações Exponenciais
Exemplo 1: Resolva a equação 322x =
Reduzindo os dois membros da igualdade a mesma base tem-se: 5xx 22322 =⇒=
Se a equação exponencial tem a mesma base, é possível igualar os expoentes: 5x22 5x =⇔=
Exemplo 2: Resolva a equação 255 4x =+
Reduzindo a mesma base: 24x4x 55255 =⇒= ++
Igualando os expoentes: 2x42x24x55 24x −=⇒−=⇒=+⇒=+
Exemplo 3: Resolva a equação x32x
23
32 ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛
+
Reduzindo a mesma base: x32xx312xx32x
32
32
32
32
23
32 −+−++
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛⇒⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞⎜
⎝⎛=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛⇒⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛
Igualando os expoentes: 52x2x5x32x3
232 x32x
−=⇒−=⇒−=+⇒⎟⎠⎞⎜
⎝⎛=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛
−+
Exemplo 4: Resolva a equação 2713
2xx2 =−
Reduzindo a mesma base: 3xx23
xx2xx2 3331327
13222 −−−− =⇒=⇒=
Igualando os expoentes: 03x2x03xx23xx233 2223xx2 2=++−⇒=+−⇒−=−⇒= −−
Resolvendo a equação de 2º grau 03x2x2 =++− :
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=−=
−===−=
==−=
3xe1x
3acProdutoe2a
bSoma
3c2b1a
21
Exemplo 5: Resolva a equação 5 x32x 82 =−
Reduzindo a mesma base: ( ) ( ) 5x9
22x
5x3
322x
5x3
21
2x5 x32x 22228282 =⇒=⇒=⇒=−−
−−
Igualando os expoentes: ( ) ( )1310xx1810x5x922x5
5x9
22x22 5
x92
2x
−=⇒=−⇒=−⇒=−
⇒=−
31
Equações Exponenciais
Exemplo 6: Resolva a equação 911333 1x1xx =−+ −+
Primeiramente, reduzir a equação a um membro em cada lado da igualdade:
911
333.339
1133333911333
xxx1x1xx1x1xx =−+⇒=−+⇒=−+ −−+
Colocando em evidência x3 :
1xxxxxxx 331
113
9113
3119
1139
113
113911
313139
113
3333 −==×=⇒=⇒=⎟⎠⎞⎜
⎝⎛⇒=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ −+⇒=−×+
Com a mesma base, é possível igualar os expoentes: 1x33 1x −=⇒= −
Exemplo 7: Resolva a equação xx25
44 =+
( ) ( ) 042520425225442544 x2xxx2xxxx
=+×−⇒=+×−⇒×=+⇒=+
Fazendo uma mudança de variável do tipo x2m = e substituindo na equação:
( )⎪⎩
⎪⎨⎧
==⇒===−=
=−===+−⇒=+×−
4me1m4acodutoPre5a
bSoma
4c5b1a04m5m04252
21
2x2x
Fazendo novamente a troca da variável x2m = :
0x22212m1mPara x0xx =⇒=⇒=⇒=⇒=
2x22242m4mPara x2xx =⇒=⇒=⇒=⇒=
Exemplo 8: Resolva a equação 0ee 1xx2 =− +
( ) 0eee0ee x12x1xx2 =×−⇒=− +
Fazendo uma mudança de variável do tipo xem = e substituindo na equação:
( )⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
==⇒===−=
=−==
=⇒=−=⇒=−⇒=−
=−⇒=×−
eme0m0acProdutoeea
bSoma
0ceb1aou
em0emou0m0e)(mm0mem
0mem0eee
21
2
2x12x
Fazendo novamente a troca da variável xem = :
IRxe0em0mPara xx ∉⇒=⇒=⇒=
}1{spRe1xeeeeememPara x1xx −⇒=⇒=⇒=⇒=⇒=
32
Logaritmos
Definição: O logaritmo de um número b na base a, com 0a > , 0b > e 1a ≠ , é um número x tal que:
Onde: b indica o logaritmando
a indica a base
x indica o logaritmo
Exemplo 1: Calcule o logaritmo 8log2
O logaritmo de 8 na base 2 é: 3x2228x8log x3x2 =⇒=⇒=⇒=
Exemplo 2: Calcule o logaritmo 3log3
O logaritmo de 3 na base 3 é: 31x3333x3log x1/2x
3 =⇒=⇒=⇒=
Exemplo 3: Calcule o logaritmo 63log6
O logaritmo de 36 na base 6 é: ( ) ( ) 4xx21266663x63log
x1/22x6
=⇒=⇒=⇒=⇒=
Exemplo 4: Calcule o logaritmo 5log5
O logaritmo de 5 na base 5 é: 1x5555x5log x1x5 =⇒=⇒=⇒=
Exemplo 5: Calcule o logaritmo 100log
O logaritmo decimal de 100 é: 2x101001100x100log x2x =⇒=⇒=⇒=
baxblog xa =⇔=
1aloga =
Logaritmos decimais são aqueles cuja base é 10. Nos logaritmos
decimais normalmente a base é omitida:
blogblog10 =
Logaritmos neperianos ou naturais são aqueles cuja base é “e ”.
Os logaritmos naturais são representados da seguinte forma:
bnlbloge =
33
Propriedades dos Logaritmos Resultantes da Definição
Para 0a > , 0b > e 1a ≠ :
Exemplo 1: Calcule o logaritmo 42 2log
O logaritmo de 42 na base 2 é: 4x22x2log x442 =⇒=⇒=
Exemplo 2: Calcule o logaritmo 1log9
O logaritmo de 1 na base 9 é: 0x9991x1log x0x9 =⇒=⇒=⇒=
Exemplo 3: Calcule 9log33
Fazendo x39log
3 = e aplicando logaritmo na base 3 nos dois lados da equação:
xlog9logxlog3logx3 3339log
39log
33 =⇒=⇒=
9xx3xlog2xlog3logxlog9log 233
2333 =⇒=⇒=⇒=⇒=
Exemplo 4: Calcule o seguinte logaritmo 5log5
O logaritmo de 5 na base 5 é: 1x5555x5log x1x5 =⇒=⇒=⇒=
Exemplo 4: Calcule o seguinte logaritmo 3enl
O logaritmo neperiano de 3e é: 3xeexegolxenl x33e
3 =⇒=⇒=⇒=
Propriedades Operatórias dos Logaritmos
nlogmlog)nm(log aaa +=×
nlogmlognmlog aaa −=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
mlogpmlog ap
a ×=
Para 0m > , 0n > , 0a > , 1a ≠ e IRp∈ :
malog ma = 01loga = ba
bloga =
34
Propriedades Operatórias dos Logaritmos
Exemplo 1: Dado 0,4773loge0,3012log == calcule 6log
O logaritmo decimal de 6 é: 778,0477,0301,03log2log)32(log6log =+=+=×=
Exemplo 2: Dado 0,4773loge0,3012log == calcule 4log12log −
0,4773log4
12log4log12log ==⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=−
Exemplo 3: Dado 0,4773loge0,3012log == calcule 36log
556,1477,02301,023log32log23log2log)32(log36log 2222 =×+×=×+×=+=×=
Exemplo 4: Dado x3plogexnlog,x2mlog === , calcule 3 2
25
p
nmlog
( ) plog32nlog2mlog5plognlogmlogplognmlog
p
nmlog 3/2253 2253 2
25−+=−+=−=
x10x2x2x10x332x2x25plog
32nlog2mlog5 =−+=×−×+×=−+
Exemplo 1: Dado 0,4773loge0,3012log == , calcule 3log2
O logaritmo de 3 na base 2 é: 585,10,3010,477
2log3log3log2 ===
Exemplo 2: Calcule 5log4log3log8log 2543 ×××
2log5log
5log4log
4log3log
3log8log5log4log3log8log 2543 ×××=×××
Simplificando:
32log32log8log2log8log5log4log3log8log 2
3222543 =×====×××
Mudança de Base
Para resolver operações que envolvam Logaritmos com bases diferentes.
nlogmlogmlogn =
35
Funções Logarítmicas
Uma função logarítmica é definida como xlog)x(f a= , onde 1a ≠ e 0a > . A base do logaritmo x é a e
o domínio da função logarítmica é composto pelos *IR+ .
Exemplos: xlog)x(f 3= xlog)x(f 3/1=
Gráfico de Uma Função Logarítmica
Exemplo 1: xlog)x(f 2=
1a2a >⇒=
Em 0y = , o gráfico corta o eixo x no ponto )0,1(
Analisando a tendência dos valores de y com relação à x tem-se que: ⎩⎨⎧
−∞→⇒→+∞→⇒+∞→
y0xyx
Exemplo 2: xlog)x(f 2/1=
1a02/1a <<⇒=
Em 0y = , o gráfico corta o eixo x no ponto )0,1(
Analisando a tendência dos valores de y com relação à x tem-se que: ⎩⎨⎧
+∞→⇒→−∞→⇒+∞→
y0xyx
x )x(fy = )y,x(Par1/8 -3 (1/8, -3)
1/4 -2 (1/4, -2)
1/2 -1 (1/2, -1)
1 0 (1, 0)
2 1 (2, 1)
4 2 (4, 2)
8 3 (8, 3)
Função logarítmica crescente
Função logarítmica decrescente
xlog)x(f 2=
32log)8/1(log)8/1(f 322 −=== −
22log)4/1(log)4/1(f 222 −=== −
12log)2/1(log)2/1(f 122 −=== −
02log1log)1(f 022 ===
12log)2(f 2 ==
22log4log)4(f 222 ===
32log8log)8(f 322 ===
x )x(fy = )y,x(Par1/8 3 (1/8, -3)
1/4 2 (1/4, -2)
1/2 1 (1/2, -1)
1 0 (1, 0)
2 -1 (2, 1)
4 -2 (4, 2)
8 -3 (8, 3)
xlog)x(f 2/1=
32log)8/1(log)8/1(f 32/12/1 === −
22log)4/1(log)4/1(f 22/12/1 === −
12log)2/1(log)2/1(f 12/12/1 === −
02log1log)1(f 02/12/1 ===
12log)2(f 2/1 −==
22log4log)4(f 22/12/1 −===
32log8log)8(f 32/12/1 −===
36
Gráfico de Uma Função Logarítmica
Outros Exemplos
Exemplo 1: Faça o gráfico da função )x1(log)x(f 5 +=
Em 0y = , o gráfico corta o eixo x no ponto )0,0( :
0xx11x15)x1(log0)x1(log)x(fy 055 =⇒+=⇒+=⇒+=⇒+==
Na função dada, o logaritmando é diferente de x ( xb ≠ ). Para avaliar os valores que x pode assumir na
função, utiliza-se a condição de que b é positivo ( 0b > ). Assim: 1x0x1 −>⇒>+
Desta forma, tem-se que x pode assumir valores dentro do intervalo: [,1] ∞+−
Analisando a tendência dos valores de y em relação à x tem-se que: ⎩⎨⎧
−∞→⇒−→+∞→⇒+∞→
y1xyx
)x1(logy 5 +=
⎪⎩
⎪⎨⎧
−∞→⇒=⇒=⇒=⇒−=−+=−→
+∞→⇒=⇒+∞=⇒+∞=⇒∞+=+∞→
∞−
∞+
y5505)0(logy)11(log)]1(1[logy:1xPara
y555)(logy)1(logy:xPara
yy555
yy55
Se 0 < a < 1 ⇒ Função logarítmica decrescente
Para xlog)x(f a= Para xlog)x(f a=
Se a > 1 ⇒ Função logarítmica crescente
37
Gráfico de Uma Função Logarítmica
Exemplo 2: Faça o gráfico da função xlog1)x(f 3+=
Rearranjando a função:
)x3(log)x(fxlog3logxlog1)x(f 3333 =⇒+=+=
Em 0y = , o gráfico corta o eixo x no ponto )0,3/1( :
3/1xx31x33)x3(log0)x3(log)x(fy 033 =⇒=⇒=⇒=⇒==
Como 0b > , tem-se: 0x0x3 >⇒> . Assim, o intervalo de valores que x pode assumir é [,0] ∞+ .
Analisando a tendência dos valores de y em relação à x tem-se que: ⎩⎨⎧
−∞→⇒→+∞→⇒+∞→
y0xyx
)x3(logy 3=
+∞→⇒=⇒+∞=⇒+∞=+∞×==+∞→ +∞ y333)(log)](3[log)x3(logy:xPara yy333
−∞→⇒=⇒=⇒=⇒=×=→ −∞ y3303)0(logy)0(log)03(logy:0xPara yy333
Exemplo 3: Faça o gráfico da função )x2(log)x(f 4/1 +=
Em 0y = , o gráfico corta o eixo x no ponto )0,1(−
1xx21x2)4/1()x2(log0)x2(log)x(fy 04/14/1 −=⇒+=⇒+=⇒+=⇒+==
Como 0b > , tem-se: 2x0x2 −>⇒>+ . O intervalo de valores que x pode assumir é [,2] ∞+− .
Analisando a tendência dos valores de y em relação à x tem-se que: ⎩⎨⎧
+∞→⇒−→−∞→⇒+∞→
y2xyx
)x2(logy 4/1 +=
−∞→⇒=⇒+∞=⇒+∞=⇒∞+=+∞→ +∞− y44)4/1()(logy)2(logy:xPara yy4/14/1
+∞→⇒=⇒=⇒=⇒=⇒−+=−→ −∞−− y44040)4/1()0(logy)]2(2[(logy:2xPara yyy4/14/1
38
Gráfico de Uma Função Logarítmica
Exemplo 4: Faça o gráfico da função xlog1)x(f 3−=
Rearranjando a função:
x3logxlog3logxlog1)x(f 3333 =−=−=
)x/3(logxlog3logxlog1)x(f 3333 =−=−=
)3/x(log)1()3/x(log)x/3(log)x(f 31
33 ×−=== −
Fazendo uma mudança de base:
3log)3/x(log)1()3/x(log)1()x(f 3 ×−=×−=
13log)3/x(log
3log)1()3/x(log
3log)3/x(log)1()x(f −=
×−=×−=
)3/x(log3log
)3/x(log)x(f 131 −== −
)3/x(log)x(f 3/1=
Em 0y = , o gráfico corta o eixo x no ponto )0,3(
3x3/x13/x)3/1()3/x(log0)3/x(log)x(fy 03/13/1 =⇒=⇒=⇒=⇒==
Para 0x03/x >⇒> . O intervalo de valores que x pode assumir é [,0] ∞+ .
Analisando a tendência dos valores de y em relação à x tem-se que: ⎩⎨⎧
+∞→⇒→−∞→⇒+∞→
y0xyx
)3/x(logy 3/1=
−∞→⇒=⇒+∞=⇒+∞=⇒+∞=+∞→ +∞− y33)3/1()(logy)3/(logy:xPara yy3/13/1
+∞→⇒=⇒=⇒=⇒=⇒=→ −∞−− y33030)3/1()0(logy)3/0(logy:0xPara yyy3/13/1
39
REVISÃO: FUNÇÕES E EQUAÇOES MODULARES
Conceito
O conceito de módulo pode ser associado à distância de um ponto na reta dos reais em relação à origem:
Apesar do bloco “A” estar na posição -10 unidades e o bloco “B”, 10 unidades, ambos estão à mesma
distância: 10 unidades.
Módulo ou Valor Absoluto
Definição: Módulo ou valor absoluto de um número real é o próprio número se este for positivo ou nulo,
e seu oposto, caso seja negativo. Assim:
⎩⎨⎧
<−≥
=0xse,x
0xse,x|x|
Exemplos:
5|5| = 5)5(|5| =−−=−
110|110| −=− 46)46(|46| +−=−−=−
⎪⎩
⎪⎨
⎧
<⇒<−+−=−−
≥⇒≥−−=−
2x02xse,2x)2x(
2x02xse,2x|2x|
⎪⎩
⎪⎨
⎧
<<⇒<+−−+−=+−−
≥≤⇒≥+−+−=+−
3x103x4xse,3x4x)3x4x(
3xou1x03x4xse,3x4x|3x4x|
222
22
2
Outros exemplos
Somar -4 ⇔ subtrair 4 ⇒ 4a)4(a −⇔−+
-13ºC ⇔ 13ºC abaixo de zero
Lembrar que:
0|x| ≥ 22 x|x| = |x|x2 =
Se 0a ≥ e a|x| = , então ax −= ou ax =
40
Gráfico de Uma Função Modular
Exemplo 1: |x|)x(f =
Exemplo 2: |2x|)x(f +=
x )x(fy = )y,x(Par-3 3 (-3, 3)
-2 2 (-2, 2)
-1 1 (-1, 1)
0 0 (0, 0)
1 1 (1, 1)
2 2 (2, 2)
3 3 (3, 3)
|x|)x(f =
3|3|)3(f =−=−
2|2|)2(f =−=−
1|1|)1(f =−=−
0|0|)0(f ==
1|1|)1(f ==
2|2|)2(f ==
3|3|)3(f ==
x )x(fy = )y,x(Par
-5 3 (-5, 3)
-4 2 (-4, 2)
-3 1 (-3, 1)
-2 0 (-2, 0)
-1 1 (-1, 1)
0 2 (0, 2)
1 3 (1, 3)
|2x|)x(f +=
3|3||25|)5(f =−=+−=−
2|2||24|)4(f =−=+−=−
1|1||23|)3(f =−=+−=−
0|0||22|)2(f ==+−=−
1|1||21|)1(f ==+−=−
2|2||20|)0(f ==+=
3|3||21|)1(f ==+=
Função Modular
Definição: É a função real |x|)x(f = onde ⎩⎨⎧
<−≥
=0xse,x
0xse,x)x(f
Exemplos: |x|)x(f = 2|x|)x(f += |1x|)x(f 2 −= 10|x2|)x(f +−=
Gráfico de Uma Função Modular
Se a função modular for do tipo f(x) = | g(x) | é possível usar o seguinte procedimento:
1º - Identificar g(x) e fazer seu gráfico
2º - Girar a parte negativa do gráfico de g(x) em 180 graus em torno do eixo x
41
Gráfico de Uma Função Modular do Tipo f(x) = | g(x) |
Exemplo 1: |2x2|)x(f −=
2x2)x(g|)x(g|)x(f −=→=
Exemplo 2: |6x5x|)x(f 2 +−=
6x5x)x(g|)x(g|)x(f 2 +−=→=
Exemplo 3: |24|)x(f x1−+−=
x124)x(g|)x(g|)x(f −+−=→=
Gráfico de 2x2)x(g −=
Gráfico de |2x2||)x(g|)x(f −==
Gráfico de 6x5x)x(g 2 +−=
Gráfico de |6x5x||)x(g|)x(f 2 +−==
Gráfico de x124)x(g −+−=
Gráfico de |24||)x(g|)x(f x1−+−==
42
Gráfico de Uma Função Modular
Outros tipos de funções modulares e suas representações gráficas:
Exemplo 1: |x|x2)x(f =
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=−=⇒−=⇒<
==⇒=⇒≥==
2
2
x2)x(x2)x(fx|x|0xPara
x2)x(x2)x(fx|x|0xPara|x|x2)x(f
Exemplo 2: |1x||1x|)x(f −++=
32132121 )x(f)x(f
|1x||1x|)x(f −++=
1xraiz|1x|)x(f 1 −=⇒⇒+=
1xraiz|1x|)x(f 2 =⇒⇒−=
assim:
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≥<<−−≤−
=−++=1xpara,x2
1x1para,21xpara,x2
|1x||1x|)x(f
43
Equações Modulares
Definição: São equações que envolvem funções modulares.
Exemplo 1: 1|1x2| =+
É necessário analisar as duas condições.
Resolvendo:
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=⇒=−−⇒<+
=⇒=+⇒≥+
1x11x201x2Para
0x11x201x2Para
A solução da equação }0,1{S −=
Exemplo 2: |5x||3x3| −=−
É necessário analisar as duas condições escolhendo apenas uma das funções modulares para inverter o sinal.
Resolvendo:
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=⇒−=+−⇒<−
−=⇒−=−⇒≥−
2x5x3x303x3Para
1x5x3x303x3Para
A solução da equação }2,1{S −=
Exemplo 3: 4x|1x2| −=−
É necessário garantir a existência do módulo, pois 0|x| ≥ , assim:
4x04x ≥⇒≥−
Resolvendo:
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=⇒−=+−⇒<−
−=⇒−=−⇒≥−
3/5x4x1x201x2Para
3x4x1x201x2Para
A solução da equação =S ∅
Testes
Para 0x = :
1|1|1|102|1|1x2| =⇒=+×⇒=+
Para 1x −= :
1|1|1|12|1|1)1(2|1|1x2|
=−⇒=+−=+−×⇒=+
Testes
Para 1x −= :
|6||6||51||33||5)1(||3)1(3||5x||3x3|
−=−⇒−−=−−−−=−−×⇒−=−
Para 2x = :
|3||3||3||36||52||323||5x||3x3|
−=⇒−=−−=−×⇒−=−
Testes
Para 3x −= :
0|x|pois,servenão7|7|7|16|
43|1)3(2|4x|1x2|
≥⇒−=−−=−−
−−=−−×⇒−=−
Para 3/5x = :
0|x|pois,servenão3/7|3/7|3/7|13/10|
43/5|1)3/5(2|4x|1x2|
≥⇒−=−=−
−=−×⇒−=−
44
Equações Modulares
Exemplo 4: x3|4x| 2 =−
É necessário garantir a existência do módulo:
0x0x3 ≥⇒≥
Resolvendo:
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
⎩⎨⎧
=−=
⇒=+−−⇒=+−⇒<−
⎩⎨⎧
=−=
⇒=−−⇒=−⇒≥−
1x4x
raízes04x3xx34x04xPara
4x1x
raízes04x3xx34x04xPara
2
1222
2
1222
A solução da equação }4,1{S =
Exemplo 5: 02|x||x| 2 =−+
Fazer a|x| = e substituir na equação modular:
⎩⎨⎧
=−=
⇒=−+⇒=−+1x
2xraízescomgrauº2doequação02aa02|x||x|
2
122
Substituindo novamente:
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
⎪⎩
⎪⎨⎧
=−==−==
≥−=
⇒=
1|1|pois,1x1|1|pois,1x1|x|
0|x|pois,servenão2|x|
a|x|
A solução da equação }1,1{S −=
Testes
Para 4x −= :
0|x|pois,servenão12|12|12|416|)4(3|4)4(|x3|4x| 22 ≥⇒−=⇒−=−⇒−×=−−⇒=−
Para 1x −= :
0|x|pois,servenão3|3|3|41|)1(3|4)1(|x3|4x| 22 ≥⇒−=−⇒−=−⇒−×=−−⇒=−
Para 1x = :
0|x|pois,serve3|3|3|41|13|4)1(|x3|4x| 22 ≥⇒=−⇒=−⇒×=−⇒=−
Para 4x = :
0|x|pois,serve12|12|12|416|43|4)4(|x3|4x| 22 ≥⇒=⇒=−⇒×=−⇒=−
45
Equações Modulares
Exemplo 6: 10|1x||3x| =++−
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=⇒⇒+=
=⇒⇒−=⇒=++−
1xraiz|1x|)x(f
3xraiz|3x|)x(f10|1x||3x|
2
1
)x(f)x(f 21
321321
assim, para 10|1x||3x| =++− a solução pode ser:
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=⇒=−⇒≠
−=⇒=+−
6x102x2:Casoº3soluçãotemNão104:Casoº2
4x102x2:Casoº1
A solução da equação }6,4{S −=
Exemplo 7: 2|1x||3x| −=+−−
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=⇒⇒+=
=⇒⇒−=⇒−=+−−
1xraiz|1x|)x(f
3xraiz|3x|)x(f2|1x||3x|
2
1
)x(f)x(f 21
321321
assim, para 2|1x||3x| −=+−− a solução pode ser:
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⇒−≠−=⇒−=+−
⇒−≠
soluçãotemNão24:Casoº32x22x2:Casoº2
soluçãotemNão22:Casoº1
A solução da equação }2{S =
Testes
Para 4x −= : Para 6x = :
103710|3||7|
10|14||34|10|1x||3x|
=+=−+−
=+−+−−=++−
107310|7||3|
10|16||36|10|1x||3x|
=+=+
=++−=++−
Teste
Para 2x = :
2312|3||1|
2|12||32|2|1x||3x|
−=−−=−
−=+−−−=+−−
46
REVISÃO: INEQUAÇÕES
Função de Primeiro Grau
Definição: Uma inequação se caracteriza pela presença dos seguintes sinais de desigualdade:
Exemplos:
01x3x
1x4)1x(2
x1045x
01x2
≥−+
−<−+
+<−
≤+
031x2x3
01x2x01x5x606x8x2
2
2
2
2
≥++
<−−
≤+−
>+−
Inequações Produto e Quociente
Uma inequação do tipo produto ou quociente é resolvida através do estudo dos
sinais das funções que fazem parte da inequação. Inicialmente, são
determinados os sinais de cada função, separadamente, na reta dos reais.
Efetua-se o produto desses sinais e assim, determinam-se os valores de x que
satisfazem a inequação.
≤≥<> ou,,
Inequações do 1º Grau
Produto
0)x32()4x2( <−−
Quociente
0x25x ≥
−−
Inequações do 2º Grau
47
Inequações Produto e Quociente
Exemplo 1: Resolva a inequação 0)8x2()6x3( <−+−
Primeiramente, estudam-se os sinais de cada função 0)8x2()6x3(
21 )x(f)x(f
<−+−4342143421
separadamente:
Sinal de 1)x(f Sinal de 2)x(f
2x
06x3
6x3)x(f 1
==+−
+−=
4x
08x2
8x2)x(f 2
==−
−=
Na reta dos reais:
Exemplo 2: Resolva a inequação 0x13x ≥
−+
Estudando os sinais de }
{0x1
3x
2
1
)x(f
)x(f
≥−+ tem-se:
Sinal de 1)x(f Sinal de 2)x(f
3x
03x
3x)x(f 1
−==+
+=
1x
0x1
x1)x(f 2
==−
−=
Na reta dos reais:
Os valores de x que satisfazem a inequação,
fazendo com que o produto )8x2()6x3( −+− seja
menor que zero, são: }4xou2x/IRx{S ><∈=
Os valores de x que satisfazem a inequação,
fazendo com que o quociente de x13x
−+ seja maior
ou igual à zero, são: }1x3/IRx{S <≤−∈= . O
valor 1 foi excluído da solução, pois torna o
denominador igual à zero:
3313
Muito cuidado com inequações do tipo quociente! Nunca cancele
o denominador se nele aparecer uma incógnita. Se na inequação
aparecer ≥ ou ≤ , lembrar que a raiz da função no denominador
não faz parte da solução, pois não existe divisão por zero!
48
Inequações Produto e Quociente
Exemplo 3: Resolva a inequação 04x3 <−
Na inequação, o numerador é positivo. Para que o quociente seja negativo é necessário que o
denominador seja negativo 0)()()(
<−=−+
⇒ . Assim, determinam-se os valores de x que tornam o
denominado negativo:
Resolvendo a inequação 04x <− :
4x04x
<<−
Exemplo 4: Resolva a inequação 12x1x2 −≤
+−
Exemplo 5: Resolva a inequação 0)5x( 4 ≥+
Para qualquer valor real de x a função 4)5x()x(f += é positiva. Isso ocorre porque independente do
valor de )5x( + , essa soma tem expoente par, fazendo com que )x(f seja sempre positiva ou igual a
zero. Assim:
Os valores de x que satisfazem a inequação, fazendo com que o
quociente 4x
3−
seja menor que zero, são: }4x/IRx{S <∈=
Sinal de 1)x(f Sinal de 2)x(f
31x
01x3
1x3)x(f 1
−=
=+
+=
2x
02x
2x)x(f 2
−==+
+=
Na reta dos reais:
{02x
1x3
02x)2x(1x2
012x1x2
12x1x2
2)x(f
1)x(f
≤++
≤+
++−
≤++−
−≤+−
876
Os valores de x que satisfazem a inequação, fazendo
com que o quociente de 2x1x2
+− seja menor ou igual à
-1, são: { }31x2/IRxS −≤<−∈= . O valor -2 foi
excluído da solução, pois torna o denominador nulo.
Os valores de x que satisfazem a inequação 0)5x( 4 ≥+ , fazendo com que seu resultado seja maior ou igual a zero, são os reais: }IR{S =
49
Inequações Produto e Quociente e Sistemas de Inequações
Exemplo 6: Resolva a inequação 0)5x( 3 <+
Para que a função 3)5x()x(f += seja negativa, é necessário que a valor de )5x( + seja negativo, pois
essa soma tem expoente ímpar. Bases negativas de expoente ímpar resultam em valores negativos.
Assim:
5x05x
−<<+
Exemplo 7: Resolva a inequação 137x21 ≤+<−
Para se resolver inequações do primeiro grau do tipo simultânea (com duas desigualdades) deve-se
isolar x na desigualdade:
3x426x2
86x28
713x271137x21
≤<−
≤<−
≤<−−≤<−−
≤+<−
Exemplo 8: Resolva a inequação 53x1 ≤+−<
Isolando x na desigualdade:
2x235x31
53x1
≤−<−−≤−<−
≤+−<
Exemplo 9: Resolva o sistema ⎩⎨⎧
+≤−+>+5x1x2
7x10x2
Cada inequação é resolvida separadamente:
3x107xx2
7x10x2)x(f 1
−>−>−
+>+=
6x15xx2
5x1x2)x(f 2
≤+≤−
+≤−=
Os valores de x que satisfazem a inequação 0)5x( 3 ≥+ , fazendo com
que seu resultado seja menor que zero, são: }5x/IRx{S −<∈= .
Os valores de x que satisfazem a inequação simultânea, fazendo
com que a substituição de “x” em 7x2 + resulte em um valor
pertencente ao intervalo ] ]13,1− , são: }3x4/IRx{S ≤<−∈= .
O sentido da desigualdade é
invertido quando a inequação
é multiplicada por (-1).
Os valores de x que satisfazem a inequação simultânea 53x1 ≤+−< , fazendo
com que seu resultado pertença ao intervalo ] ]5,1 , são: }2x2/IRx{S <≤−∈= .
Multiplicando por 1)(− :
2x2ou
2x2
<≤−
−≥>+
Os valores de x devem satisfazer as
duas inequações do sistema. Para tal,
é feita uma intersecção das soluções
encontradas para cada inequação.
Os valores de x que satisfazem o sistema de
inequações, fazendo com que 7x10x2 +>+ e
5x1x2 +≤− , são: }6x3/IRx{S ≤<−∈= .
50
Inequações do Segundo Grau
Definição: Qualquer inequação do tipo 0cbxax2 >++ , 0cbxax2 <++ , 0cbxax2 ≥++ ou
0cbxax2 ≤++ , onde a, b e c são constantes com 0a ≠ , é chamada de inequação do segundo grau.
Exemplos:
025x10x010x3x
2
2
≥+−
≤++− 01x2x
01x2x2
2
>++
<−−
Uma inequação do 2º Grau é resolvida através do estudo do sinal da função.
Exemplo 1: Resolva a inequação 02xx 2 <−−
Gráfico:
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
⇒>
=−=⇒−===−=
−=−==
cimaparaeconcavidadcomParábola0a
2xe1x2acProdutoe1a
bSoma
2ce1b1,a
21
Exemplo 2: Resolva a inequação 010x3x2 ≥++−
Gráfico:
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
⇒<
=−=⇒−===−=
==−=
baixoparaeconcavidadcomParábola0a
5xe2x01acProdutoe3a
bSoma
10ce3b1,a
21
Exemplo 3: Resolva a inequação 06x5x 2 ≥+−
Gráfico:
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
⇒>
==⇒===−=
=−==
cimaparaeconcavidadcomParábola0a
3xe2x6acProdutoe5a
bSoma
6ce5b1,a
21
A solução de 2xx)x(f 2 −−=deve ser menor que zero:
Os valores de x que satisfazem a inequação
02xx 2 <−− , fazendo com que seu resultado seja
menor que zero, são: }2x1/IRx{S <<−∈=
A solução de 10x3x)x(f 2 ++−=deve ser menor ou igual à zero:
Os valores de x que satisfazem a inequação
010x3x 2 ≤++− , fazendo com que seu resultado seja
menor ou igual à zero, são: }5x2/IRx{S ≤≤−∈=
A solução de 6x5x)x(f 2 +−=deve ser maior ou igual à zero:
Os valores de x que satisfazem a inequação
06x5x 2 ≥+− , fazendo com que seu resultado seja maior
ou igual à zero, são: }3xou2x/IRx{S ≥≤∈=
51
Inequações do Segundo Grau
Exemplo 4: Resolva a inequação 04x4x 2 ≤+−
Gráfico:
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
⇒>
==⇒===−=
=−==
cimaparaeconcavidadcomParábola0a
2xe2x4acProdutoe4a
bSoma
4ce4b1,a
21
Exemplo 5: Resolva a inequação 05x2x 2 ≥−+−
Gráfico:
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
⇒<
−−=+−=⇒±−=
±−=−±−=−±−=
Δ±−=⇒−=−=Δ
−==−=
baixoparaeconcavidadcomParábola0a
i21xei21xi21x
2i42
21162
1.2162x
a2bx16ac4b
5ce2b1,a
21
2
Exemplo 6: Resolva a inequação 02x4x3 2 ≥+−
Gráfico:
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
⇒>
−=
+=⇒
±=
±=
−±=−±−−=
Δ±−=⇒−=−=Δ
=−==
cimaparaeconcavidadcomParábola0a
6i22xe3
i22x3i22x
6i224
6184
3.28)4(x
a2bx8ac4b
2ce4b,3a
21
2
A solução de 4x4x)x(f 2 +−=deve ser menor ou igual à zero:
Os valor de x que satisfaz a inequação 04x4x 2 ≤+− , fazendo
com que seu resultado seja menor ou igual à zero, é: }2{S =
A solução de 5x2x)x(f 2 −+−=deve ser maior ou igual à zero:
Não existem valores de x que satisfazem a inequação 05x2x 2 ≥−+− . Isso
ocorre porque a parábola tem concavidade voltada para baixo e a função
5x2x)x(f 2 −+−= . Paralelo a isso, a função tem raízes imaginárias e, portanto,
seu gráfico não corta o eixo real x. Sendo assim, a solução é: ou}{S = =S ∅.
A solução de 2x4x3)x(f 2 +−=deve ser maior ou igual à zero:
Os valores de x que satisfazem a
inequação 02x4x3 2 ≥+− , fazendo
com que seu resultado seja maior ou
igual a zero, são os reais: }IR{S =
Lembrar que:
1i −=
52
Inequações do Segundo Grau
Exemplo 7: Resolva a inequação 14x5x0 2 ≤−<
Primeiramente, resolve-se o sistema:
⎩⎨⎧
−−=
−=⇒
⎩⎨⎧
≤−−
>−⇒
⎩⎨⎧
≤−
>−
14x5x)x(f
x5x)x(f
014x5x0x5x
14x5x0x5x
22
21
2
2
2
2
Solução de 1)x(f : x5x)x(f 21 −=
Gráfico:
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
⇒>
==⇒===−=
=−==
cimaparaeconcavidadcomParábola0a
5xe0x0acProdutoe5a
bSoma
0ce5b1,a
21
Solução de 2)x(f : 14x5x)x(f 22 −−=
Gráfico:
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
⇒>
=−=⇒−==−=
−=−==
cimaparaeconcavidadcomParábola0a
7xe2x14Produtoe5abSoma
14ce5b1,a
21
Na reta dos reais e fazendo a intersecção:
Exemplo 8: Resolva a inequação ( )( ) 06x7x7x2x 22 ≤+−++
Estudam-se os sinais de cada função ( ) ( ) 06x7x7x2x
2
2
1
2
)x(f)x(f
≤+−++ 44344214434421 separadamente:
Solução de 1)x(f : 7x2x)x(f 21 ++=
Gráfico:
⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
⇒>
−=+=⇒±=
±=
×±−=
−±−=−±−=
Δ±−=⇒−=−=Δ
===
cimaparaeconcavidadcomParábola0a
i61xei61xi61x2
i6222
i642x
21242
1.2242x
a2bx24ac4b
7ce2b,1a
21
2
A solução de x5x)x(f 21 −=
deve ser maior que zero:
A solução de 14x5x)x(f 22 −−=
deve ser maior que zero:
Os valores de x que satisfazem a
inequação 14x5x0 2 ≤−< , fazendo com
que o resultado da função x5x)x(f 2 −=
pertença ao intervalo ] ]14,0 , são:
}7x5ou0x2/IRx{S ≤<<≤−∈=
A solução de 7x2x)x(f 21 ++=
deve ser menor ou igual à zero:
53
Inequações do Segundo Grau
Solução de 2)x(f : 6x7x)x(f 22 +−=
Gráfico:
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
⇒>
==⇒===−=
=−==
cimaparaeconcavidadcomParábola0a
6xe1x6acProdutoe7a
bSoma
6ce7b1,a
21
Na reta dos reais e fazendo a intersecção:
Exemplo 9: Resolva a inequação 03x2x
xx2
2
≥−+
−
Estudando os sinais de cada função 03x2x
xx
2)x(f
1)x(f
2
2
≥−+
−
43421
876
separadamente:
Solução de 1)x(f : 21 xx)x(f −=
Gráfico:
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
⇒<
==⇒===−=
==−=
aixobparaeconcavidadcomParábola0a
1xe0x0acProdutoe1a
bSoma
0ce1b1,a
21
Solução de 2)x(f : 3x2x)x(f 22 −−=
Gráfico:
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
⇒>
=−=⇒−===−=
−=−==
cimaparaeconcavidadcomParábola0a
3xe1x3acProdutoe2a
bSoma
3ce2b1,a
21
Na reta dos reais e fazendo a intersecção:
A solução de 6x7x)x(f 22 +−=
deve ser menor ou igual à zero:
Os valores de x que satisfazem a inequação
do segundo grau, fazendo com que o produto
( )( ) 06x7x7x2x 22 ≤+−++ seja menor
ou igual à zero, são: }6x1/IRx{S ≤≤∈=
A solução de 21 xx)x(f −= deve
ser maior ou igual à zero:
A solução de 3x2x)x(f 22 −+=
deve ser maior ou igual à zero:
Os valores de x que satisfazem a inequação,
fazendo com que o quociente 3x2x
xx2
2
−+−
seja maior ou igual à zero, são:
}0x1ou0x1/IRx{S <≤≤<−∈= . Os
valores -1 e 3 foram excluídos da solução,
pois tornam o denominador nulo.
54
Inequações do Segundo Grau
Exemplo 10: Resolva a inequação 045x14x
22 >
+−−
Como o numerador é negativo e o quociente deve ser positivo, é necessário que o denominador também
seja negativo 0)()()(
>+=−−
⇒ . Assim:
Resolvendo a inequação 045x14x 2 <+−
Gráfico:
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
⇒>
==⇒===−=
=−==
cimaparaeconcavidadcomParábola0a
9xe5x45acProdutoe14a
bSoma
45ce14b1,a
21
Exemplo 11: Resolva o sistema ⎩⎨⎧
<−
<−
0x3x04x
2
2
Cada inequação deve ser resolvida separadamente:
4x)x(f 21 −=
Gráfico:
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
⇒>
=−=⇒−===−=
−===
cimaparaeconcavidadcomParábola0a
2xe2x4acProdutoe0a
bSoma
4ce0b1,a
21
Como 0b = , outra forma de se determinar as raízes é: 2x4x04x 2 ±=⇒=⇒=−
x3x)x(f 22 −=
Gráfico:
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
⇒>
==⇒===−=
=−==
cimaparaeconcavidadcomParábola0a
3xe0x0acProdutoe3a
bSoma
0ce3b1,a
21
Como 0c = , outra forma de se determinar as raízes é: 3xe0x0)3x(x0x3x 212 ==⇒=−⇒=−
A solução de 45x14x)x(f 2 +−=deve ser menor que zero:
Os valores de x que satisfazem a inequação, fazendo com que o quociente
045x14x
22 >
+−− seja maior que zero, são: }9x5/IRx{S ≤<∈= .
A solução de 4x)x(f 21 −= deve
ser menor que zero:
A solução de x3x)x(f 22 −=
deve ser menor que zero:
Para determinar os valores de x que satisfazem
as duas inequações é feita uma intersecção.
Os valores de x que satisfazem o sistema de inequações, fazendo
com que 04x2 <− e 0x3x2 <− , são: }2x0/IRx{S <<∈= .
55
Inequações Exponenciais
Definição: Qualquer inequação que apresente funções exponenciais.
Exemplos: 06757921333151
5133 xxx1x2x
x231x3 >+×−≥+−<⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛≤ +++
Exemplo 1: 82 2x <−
Inicialmente é necessário deixar na mesma base os dois lados da inequação e identificar a função
exponencial.
{3
)x(f
2x32x 2222 <⇒< −−
Como a função 2x2)x(f −= é uma função crescente, o sinal da desigualdade será mantido.
{ 05x32x)x(g
<−⇒<−
A inequação resultante é uma inequação do primeiro grau crescente. O conjunto solução deve apresentar
os valores de x que substituídos em )x(g resulte em um valor negativo, assim:
{ 5xraizcomgrau1ºdoFunção5xg(x) =⇒−=
Solução: }5x/IRx{ <∈
Se a Inequação Exponencial for:
Crescente ⇒ Manter o sinal da desigualdade
Decrescente ⇒ Inverter o sinal da desigualdade
Testes
Um valor para 5x < pode ser 3x = , substituindo na inequação:
soluçãoàpertence3queindicando,Verdadeiro82828282 1232x
⇒<<⇒<⇒< −−
Um valor para 5x > pode ser 6x = , substituindo na inequação:
soluçãoàpertencenão6queindicando,Falso816828282 4262x
⇒<<⇒<⇒< −−
56
Inequações Exponenciais
Exemplo 2: 008,004,0 21x4
<−
Inicialmente é necessário deixar na mesma base os dois lados da inequação e identificar a função
exponencial.
3
)x(f
1x431x4
321x4
22
1x4
21x4
102
102
102
102
102
102
10008
1004008,004,0
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛<⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⇒⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛<⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛<
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⇒⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛<⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⇒<
−−
−−−
43421
Como a função 1x4
102)x(f
−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛= é uma função decrescente, o sinal da desigualdade será invertido.
04x431x4)x(g
>−⇒>− 321
A inequação resultante é uma inequação do primeiro grau crescente. O conjunto solução deve apresentar
os valores de x que substituídos em )x(g resulte em um valor positivo, assim:
{ 1xraizcomgrau1ºdoFunção44xg(x) =⇒−=
Solução: }1x/IRx{ >∈
Testes
Um valor para 1x > pode ser 2x = , substituindo na inequação:
soluçãoàpertence2queindicando,Verdadeiro008,00000128,0
008,0102008,0
102008,004,0
727
22
124
⇒<
<⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⇒<
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⇒<
−×
Um valor para 1x < pode ser 0x = , substituindo na inequação:
soluçãoàpertencenão0queindicando,Falso008,05
008,0102008,0
102008,004,0
121
22
104
⇒<
<⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⇒<
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⇒<
−−−×
57
Inequações Exponenciais
Outros exemplos:
Exemplo 3: 19 2xx2
≥−
[ ] 0xx333)3(19 20xx02xx
22xx
222
≥−⇒≥⇒≥⇒≥ −−−
⎩⎨⎧
==
⇒−=1x0x
raízescomgrauº2doFunçãoxx)x(g2
12
Solução: }1xou0x/IRx{ ≥≤∈
Exemplo 4: x4xx 264222 −− ⋅>⋅
06x5xx46xx2222226422 22x46xxx46xxx4xx 222
>−+−⇒−>+−⇒>⇒⋅>⇒⋅>⋅ −+−−+−−−
⎩⎨⎧
==
⇒−+−=3x2x
raízescomgrauº2dofunção6x5x)x(g2
12
Solução: }3x2/IRx{ <<∈
Exemplo 5: 9033 x2x ≤++
02x2x33
310103310)19(33103939103339033
2x
2x2x2xxx2xx2x
≤−⇒≤⇒≤
⋅≤⋅⇒⋅≤+⇒⋅≤+⋅⇒⋅≤+⋅⇒≤++
{ 2xraizcomgrau1ºdoFunção2xg(x) =⇒−=
Solução: }2x/IRx{ ≤∈
Exemplo 6: 4x2x4
278
23 ++
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛>⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
02x2x14x712x32x4
23
23
23
23
32
23
278
23 12x32x44x32x44x32x44x2x4
>+⇒−>⇒−>⇒−−>+
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛>⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⇒
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛>⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⇒
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛>⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⇒⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛>⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
−−++−+++++
{ 2xraizcomgrau1ºdoFunção2xg(x) −=⇒+=
Solução: }2x/IRx{ −>∈
58
Inequações Logarítmicas
Definição: Qualquer inequação que apresente funções logarítmicas.
Exemplos: 1)1x(log)1x(log3xlog)x3(log)1x(log5logxlog3/13/152/12/122
−>++−−≤−≥+<
Exemplo 1: 5logxlog22
<
Como a função xlog)x(f2
= é uma função crescente, o sinal da desigualdade será mantido.
dedesigualdadasinalomantercrescenteFunção1a2a ⇒⇒>⇒=
Assim, para satisfazer a inequação o valor de “x” deve ser menor que 5 ( 5x < ). Por outro lado, o
logaritmando “b” deve ser positivo ( bloga
) para que a função )x(f exista (condição de existência)
{
{⎪⎩
⎪⎨
⎧
=⇒>
=⇒<−⇒<⇒<
0xraizcomcrescentegrau1ºdoFunção0xe
5xraizcomcrescentegrau1ºdoFunção05x5x5logxlog
22
Como as duas condições devem ser satisfeitas ao mesmo tempo ( 0xe05x ><− ), um sistema de
inequações deve ser resolvido. O conjunto solução deve apresentar os valores de x que substituídos em
)x(f resulte em um valor menor que 5log2
. Assim:
{
{⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
>
<−
0x
05x
)x(h
)x(g
Solução: }5x0/IRx{ <<∈
Se a Inequação Logarítmica for:
Crescente ⇒ Manter o sinal da desigualdade
(a > 1)
Decrescente ⇒ Inverter o sinal da desigualdade
(0 < a < 1)
59
Inequações Logarítmicas
Exemplo 2: 3log)1x(log2/12/1
≥+
Como a função )1x(log)x(f2
+= é uma função decrescente, o sinal da desigualdade será invertido.
dedesigualdadasinalonvertericrescentedeFunção1a02/1a ⇒⇒<<⇒=
Assim, para satisfazer a inequação o valor de “ )1x( + ” deve ser menor ou igual a 3 ( 51x <+ ) e o
logaritmando “b” deve ser positivo para que a função )x(f exista. Assim:
{
{⎪⎩
⎪⎨
⎧
=⇒>+
=⇒≤−⇒≤+⇒≥+
1-xraizcomcrescentegrau1ºdoFunção01xe
2xraizcomcrescentegrau1ºdoFunção02x31x3log1)(xlog
1/21/2
Um sistema de inequações deve ser resolvido, pois duas condições devem ser satisfeitas
simultaneamente. O conjunto solução deve apresentar os valores de x que substituídos em )x(f resulte
em um valor maior ou igual a 3log2/1
.
{
{⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
>+
≤−
01x
02x
)x(h
)x(g
Solução: }2x1/IRx{ ≤<−∈
Testes
Um valor para 5x0 << pode ser 1x = , substituindo na inequação:
soluçãoàpertence1queindicando,Verdadeiro322,20
322,22log02log5log2log5log1log5logxlog
1
0222222
⇒<
<×⇒<⇒<⇒<321
Um valor para 5x > pode ser 16x = , substituindo na inequação:
soluçãoàpertencenão16queindicando,Falso322,24
322,22log42log5log2log5log16log5logxlog
1
4222222
⇒<
<×⇒<⇒<⇒<321
60
Inequações Logarítmicas
Outros exemplos:
Exemplo 3: )x3(log)1x(log3/13/1
−>+
dedesigualdadasinalonverteri1a02/1a ⇒<<⇒=
Para satisfazer a inequação o valor de )1x( + deve ser menor que o valor de ( x3− ). Porém, para que as
funções logarítmicas existam, é necessário que e o logaritmando “b” de ambas seja positivo. Se
)x31x( −<+ , fazendo )01x( >+ garante um valor positivo para “b” nos lados da desigualdade.
{
{⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=⇒>+
=⇒<−⇒−<+⇒−>+
1xraizcomcrescentegrau1ºdoFunção01xe
1xraizcomcrescentegrau1ºdoFunção02x2x31x)x3(log)1x(log
3/13/1
Resolvendo o sistema:
{⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
>−
<−
0x3
02x2
)x(h
)x(g321
Solução: }1x1/IRx{ <<−∈
Testes
Um valor para 2x1 ≤<− pode ser 0x = , substituindo na inequação:
soluçãoàpertence0queindicando,Verdadeiro585,10
585,11log)2/1(log
3log1log3log)10(log3log)1x(log0
2/12/12/12/12/12/1
⇒−≥
−≥⇒≥⇒≥+⇒≥+321
Um valor para 2x > pode ser 3x = , substituindo na inequação:
soluçãoàpertencenão3queindicando,Falso585,12
585,1)2/1(log)2(585,1)2/1(log
585,12log)2/1(log
3log4log3log)13(log3log)1x(log
1
2
2
2/12/1
2/12/12/12/12/12/1
⇒−≥−
−≥×−⇒−≥
−≥⇒≥⇒≥+⇒≥+
−
43421
61
Inequações Logarítmicas
Exemplo 4: 2xlog3
−≤
dedesigualdadasinalomanter1a3a ⇒>⇒=
Rearranjando
91logxlog
31logxlog3logxlog3log)2(xlog2xlog
333333333 22
1
≤⇒≤⇒≤⇒×−≤⇒−≤ −
321
O sistema de inequações resultante é:
{
{⎪⎩
⎪⎨
⎧
=⇒>
=⇒≤−⇒≤⇒≤
0xraizcomcrescentegrau1ºdoFunção0xe
1/9xraizcomcrescentegrau1ºdoFunção09/1x9/1x
91logxlog
33
Resolvendo o sistema:
{⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
>
≤−
0x
09/1x
)x(h
)x(g321
Solução: }9/1x0/IRx{ ≤<∈
Exemplo 5: 1)1x(log)1x(log3/13/1
−>++−
dedesigualdadasinalonverteri1a02/1a ⇒<<⇒=
Rearranjando
3log)1x()1x(log)3/1(log)1x()1x(log
)3/1(log)1()1x()1x(log1)1x(log)1x(log
3/13/13/13/1
3/13/13/13/1
11
>+−⇒>+−
×−>+−⇒−>++−
−
43421
O sistema de inequações resultante é:
{
{⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
−=⇒>+
=⇒>−
⎩⎨⎧
=−=
⇒<−⇒<+−
⇒>+−
1xraizcomcrescentegrau1ºdoFunção01x
e
1xraizcomcrescentegrau1ºdoFunção01xe
2x2x
raízescomgrauº2doFunção04x3)1x()1x(
3log)1x()1x(log
2
12
3/13/1
62
Inequações Logarítmicas
Resolvendo o sistema:
{
{⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
>+
>−
<−
01x
01x
04x
)x(i
)x(h
)x(g
2321
Solução: }2x1/IRx{ <<∈
Inequações Modulares
Definição: São inequações que envolvem funções modulares.
Exemplos: 3|x| ≤ 2|1x| <+ 3|1x| 2 ≥− 4|x| >
Exemplo 1: 3|x| ≤
Os valores de x que satisfaz a inequação são:
⎪⎩
⎪⎨⎧
≤−−⇒≤−
≤⇒≤
03x3xou
3x3|x|
Solução: }3x3/IRx{ ≤≤−∈
Exemplo 2: 4|x| >
Os valores de x que satisfaz a inequação são:
⎪⎩
⎪⎨⎧
−<⇒>−
>⇒>
4x4xou
4x4|x|
Solução: }4xou4x/IRx{ >−<∈
63
Inequações Modulares
Para 0a >
Outros exemplos:
Exemplo 3: 3|1x| 2 ≥−
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
⇒−≥⇒≥−⇒≥+−
⎩⎨⎧
=−=
⇒≥−⇒≥⇒≥−
⇒≥−
realsoluçãotemNão2x2x31x
2x2x
raízescomgrauº2doFunção04x4x31x
3|1x|22
2
1222
2
Solução: }2xou2x/IRx{ ≥−≤∈
Exemplo 4: 52
3x≤
−
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
−≥⇒≤+−⇒≤+−
≤⇒≤−⇒≤−
⇒≤−
7x103x52
3x
13x103x52
3x
52
3x
Solução: }13x7/IRx{ ≤≤−∈
Se a Inequação Modular for:
| f(x) | < a ⇒ - a < f(x) <a
| f(x) | > a ⇒ f(x) < - a ou f(x) > a
Lembrar que:
Só é possível multiplicar em cruz se no denominado não houver a variável “x”.
64
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